高等代数多项式试题库

§1 数域[达标训练题]

一 填空题

1．数集{0}对 运算封闭.

2．自然数集N 对 运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭.

二 判断题

1. 数域必含有无穷多个数.

2. 所有无理数构成的集合是数域.

三 证明

1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数.

2. 证明},2{3

Q b a b a ∈+不是数域.

3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域.

§1 数域[达标训练题解答]

一 填空题

1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法.

二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题

1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++,

)()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +⋅+

n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈.

当011≠+n b a 时, n b a n

b a 1122++

)

(21212

12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈⋅--+--=

.故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法

封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域.

2．证明 因为

∈3

2},2{3

Q b a b a ∈+,

∉=⋅333

422},2{3

Q b a b a ∈+.

即}

,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以

}

,2{3Q b a b a ∈+不是数域.

3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2

1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故

1,P ab b a ∈±,2,P ab b a ∈±;当0≠b 时,21,P b a P b a ∈∈, 所以2

1,,P P b a ab b a ∈±.即

21P P 是数域.

例如:

取1P =},2{)2(Q b a b a Q ∈+=, =2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=, 容易验证2

1P P 不一定是数域; 取1P =Q ,=2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=,显然21P P =},3{Q b a b a ∈+是数域.

§2 一元多项式[达标训练题]

A 组

一 填空题

1. 系数在数域P 上的关于文字x 的一元多项式指的是形式表达式 , 其中i 次项是 , i 次项系数是 , 常数项是 .

2.

下列形式表达式(i)2;(ii)x 1

; (iii)0; (iv))3ln(13

2x x x +++;

(v)1)1(2

3

+--x i ix ;(vi) +++++

n x n x x !1

!31!2113; 其中 是

多项式.

3. 零多项式是 , 零次多项式是 .

4. 设多项式∑∑====m

i i

i n

i i

i x b x g x a x f 1

1

)(,)(, 则)()(x g x f 的k 次项系数

是 .

二 判断题

1. 0是零次多项式.

2. 若)()()()(x h x f x g x f =,则)()(x h x g =.

3. 若)(),(),(x h x g x f 都是数域P 上的多项式, 则))()((x g x f +∂))((x f ∂≥或者

))()((x g x f +∂))((x g ∂≥.

三 解答题

1. 设)2()1()2()(2

2+-+++-=x x c x b x a x f , 试确定c b a ,,, 使)(x f (i)零次多项式; (ii)零多项式; (iii)一次多项式5-x . 2. 若)(),(x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若,0)()(2

2=+x g x f 则

0)()(==x g x f .

B 组

1.设)(),(),(x h x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若),()()(2

22x xh x xg x f +=则

0)()()(===x h x g x f .

2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式.

3. 次数定理中,式子 ))}(()),((max{))()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂

何时等号成立?何时小于号成立?

§2 一元多项式[达标训练题解答]

A 组

一 填空题

1．

1110n n n n a x a x a x a --++++，i i x a ，i a ， 0a ；2.（i ），（iii ）（v ） ；

3. 0，非零常数 ；

4.

∑-=-1

1

k i i

k i

b

a .

二 判断题 1．(F)； 2. (F).; 3.(F). 三 解答题

1．解 因为

222()(2)(1)(2)()f x a x b x c x x a c x =-+++-+=++(2)a b c x +-

)24(c b a +++.利用多项式相等的定义的:

(i)⎪⎩

⎪

⎨⎧≠++=-+=+024020c b a c b a c a (ii) ⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=-+=+024020c b a c b a c a (iii) ⎪⎩

⎪

⎨⎧-=++=-+=+524120c b a c b a c a

即(i)当0,3,≠=-=c c b c a 时, )(x f 为零次多项式; (ii)当0===c b a 时)(x f 为零多项式;(iii)6,17,6-=-==c b a 时)(x f 是一次多项式5-x .

2．证明 设01)(a x a x a x f n n +++= ，01)(b x b x a x g m m +++= ，则)

()(2

2x g x f +的第k 次项系数为)

(0

i k i k

i i

k i

b b a

a -=-+∑=0,当0=k 得000==

b a ,当1=k 时得02

121=+b a ,进

而011==b a ,同样地,得到022==b a …….因此0)()(==x g x f

B 组

1．证明 若0)(≠x g (或0)(≠x h )显然得)()()(2

22x xh x xg x f +=是一个奇次多项式, 这是不可能的.又若0)(≠x f ,则)(),(x h x g 不全为零,因此也得)()()(2

22x xh x xg x f +=是一个奇次多项式, 这也是不可能的.

所以0)()()(===x h x g x f

2．解 取1)(),1()(,2)(-=+==x x h x i x g ix x f ，则)()()(2

22x xh x xg x f +=. 3．解 当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数时,等号成立; 其余情形小于号成立.