微积分经管类第四版课件(吴赣昌)第一章
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《高等数学C1》教学大纲
《高等数学C1》教学大纲（2013版）课程编码：1510308903课程名称：高等数学C1学时/学分： 48/3先修课程：《初等数学》、《立体几何》、《平面解析几何》适用专业：会计学、国际经济与贸易、物流管理、人力资源管理等专业开课教研室：大学数学教研室执笔：庄乐森审定：王仁举 赵国喜《高等数学C1》教学大纲（2013版）课程编码：1510308903课程名称：高等数学C1学时/学分： 48/3先修课程：《初等数学》、《立体几何》、《平面解析几何》适用专业：会计学、国际经济与贸易、物流管理、人力资源管理等专业开课教研室：大学数学教研室执笔：审定：一、课程性质与任务1．课程性质：《高等数学C1》是大学阶段经管类专业必修的基础理论课。
它是自然科学与经济领域中应用性很强的一门学科。
开设该课程的目的是使学生掌握高等数学的基础理论、基本方法和基本运算技能，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
2．课程任务：通过本课程的教学，培养学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析问题、解决问题的能力。
使数学思想、数学方法 、数学的应用价值在人们身上长期发挥作用，培养21世纪需要的勇于开拓进取、勇于创新的人才。
通过本课程的学习，要使学生获得：函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学中不定积分等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
二、课程教学基本要求《高等数学C1》课程安排在一年级第一个学期授课，总共48个学时，设置3个学分。
1.正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：函数，极限，无穷小，连续，导数，微分，极值，不定积分2.正确理解下列基本定理和公式并能正确运用：极限的主要定理，罗尔定理和拉格朗日中值定理3.牢固掌握下列公式：两个重要极限，基本初等函数的导数公式，基本积分公式4.熟练掌握下列法则和方法：导数的四则运算法则和复合函数的求导法，洛必达法则，换元积分法和分部积分法5．理解下列概念及并会解决相关实际问题：经济学中常用函数，边际和弹性，函数的极值和最值成绩考核形式：平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)＋期末成绩（闭卷考试）（70%）,成绩评定采用百分制，60分为及格。
微积分-经管类.-第四版-课件-(吴赣昌)-第四章
求 f ( x).
解 设 t ln x, 则当0 x 1时, t 0, f (t ) 1.
于是 f (t) f (t)dt t C1, 即 f ( x) x C1
当 1 x 时, 0 t , f (t) et ,
x
2
1
1
1 x
2
dx
x
2dx
1dx
1
1 x
2
dx
x3 x arctan x C .
3
完
例
求不定积分
1 x x2 x(1 x2 )
dx.
解
1 x x2 x(1 x2 )
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)
dx
得
C2 1.
所以
x, x 0
f ( x) e x 1,
. 0 x
完
例 求满足下列条件的 F ( x). F ( x) 1 x , F (0) 1. 13 x
解 根据题设条件, 有
F(x)
F( x)dx
1 1 3
x x
x
2 3
dx
3 2
x
2 3
3 5
x
5 3
C;
(2)
4
e
x
2 3x
32 x
dx
4
e 3
x
2
3x
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
微积分演示(本科上)01(§01)
JINSW 本科 １
立信会计学院
数统系 数统系
Jinsw Jinsw
1
JINSW 本科 １
微 积 分
序
2
自我介绍：
姓名： 金士伟 办公室： 一号楼四楼 Email：
JINSW 本科 １
jinswjinsw@ 答疑： 周三(4023)
3
要求：
JINSW 本科 １
一．每人至少准备一本参考书； 二．作业用纸张形式，首 、尾 均写上班级、姓名、学号； 三．按章节整理内容，做好公式、图 形的备忘录； 四．作业每周交一次； 五. 预习！！！
解： f (2) = 2 + 3 = 7
2 2
y |x=2 = 2 + 3 = 7
2
f [ g ( x)] = sin x + 3 g[ g ( x)] = sin(sin x)
22
＊有关概念 （１）记号
JINSW 本科 １
y = f ( x) ―――――― y 是 x 的函数 x ――自变量， y ――函数， f ――对应法则。
§１
函数
9
§１．１集合 一．绝对值 ▲定义： 一个实数 x 的绝对值记为 x 。且
JINSW 本科 １
⎧ x x>0 ⎪ x =⎨ 0 x=0 ⎪− x x < 0 ⎩ x 表示数轴上点 x（不论 x 在原点的左边还
是右边）与原点之间的距离。
| | |
o
1
x
10
＊性质： （１） x ≥ 0 仅当 x = 0 时等号成立。 x = （２） − x ≤ x ≤ x ， − x = x 。 （３） x ≤ a ( a > 0) ⇔ − a ≤ x ≤ a 。
立信会计学院
数统系 数统系
Jinsw Jinsw
1
JINSW 本科 １
微 积 分
序
2
自我介绍：
姓名： 金士伟 办公室： 一号楼四楼 Email：
JINSW 本科 １
jinswjinsw@ 答疑： 周三(4023)
3
要求：
JINSW 本科 １
一．每人至少准备一本参考书； 二．作业用纸张形式，首 、尾 均写上班级、姓名、学号； 三．按章节整理内容，做好公式、图 形的备忘录； 四．作业每周交一次； 五. 预习！！！
解： f (2) = 2 + 3 = 7
2 2
y |x=2 = 2 + 3 = 7
2
f [ g ( x)] = sin x + 3 g[ g ( x)] = sin(sin x)
22
＊有关概念 （１）记号
JINSW 本科 １
y = f ( x) ―――――― y 是 x 的函数 x ――自变量， y ――函数， f ――对应法则。
§１
函数
9
§１．１集合 一．绝对值 ▲定义： 一个实数 x 的绝对值记为 x 。且
JINSW 本科 １
⎧ x x>0 ⎪ x =⎨ 0 x=0 ⎪− x x < 0 ⎩ x 表示数轴上点 x（不论 x 在原点的左边还
是右边）与原点之间的距离。
| | |
o
1
x
10
＊性质： （１） x ≥ 0 仅当 x = 0 时等号成立。 x = （２） − x ≤ x ≤ x ， − x = x 。 （３） x ≤ a ( a > 0) ⇔ − a ≤ x ≤ a 。
高等数学第一章第三节教案-吴赣昌
ห้องสมุดไป่ตู้
01、承上启下：回顾初等函数、分段函数，列出等教学要学习和讨论的主要内容。 02、本节引言：介绍刘徽的割圆术和极限的思想方法。 03、数列极限：给出数列的概念，列举并观察数列的变化趋势，引入极限的概念，深入 分析，用数学语言表述数列的极限，并演示几何意义。 04、例题选讲： （选择 1-2 例，介绍对给定的ε 找 N 的方法） 例 1：利用数列极限的定义，验证数列是否收敛，以及数列的极限。 例 2：利用 N 论证法，证明一个数列的极限为某个确定的值。 例 3：利用数列极限的定义，证明一常数数列的极限为其自身的值。 例 4： 利用数列极限的定义， 证明一抽象数列在某区间内极限是否为某个确定的值。 。 例 5：利用数列极限的定义和一已知数列的极限，证明另一数列的极限值。 例 6：利用数列极限定义，证明一数列的极限。 例 7：利用数列极限定义，证明一特殊数列的极限。 例 8：利用数列极限的 N 定义，证明一不等式成立。 05、承前启后：分析极限的定义，介绍数列的有界性，并归纳导出有极限的数列必有界 （定理 1） 。 06、定理的说明：说明定理中的条件是充分的，但不是必要的，并举例。进一步分析， 有定理的逆否命题导出推论。 07、承前启后：分析常数的唯一性和确定性，引入极限的唯一性（定理 2） 。 08、例题选讲： （举例说明定理 2 的应用，即用定理 2 证明列举的数列极限不存在。 ） 例 9：利用数列极限的定义和反证法，证明数列是发散的。 09、承前启后：由数列极限与数列有界的关系，联想到数列极限的符号与数列的符号之 间的联系，引出极限的保号性（定理 3） 。 10、定理的推论：分析定理 3 的逆命题，导出定理 3 的推论。 11、承前启后：回顾数列收敛的概念，分析数列与其部分之间的关系，引出子数列的概 念，并举例观察他们的收敛性，归纳导出定理 4. 12、定理的说明：分析定理 4 的逆否命题，导出判断数列发散的充分条件，并举例说明
01、承上启下：回顾初等函数、分段函数，列出等教学要学习和讨论的主要内容。 02、本节引言：介绍刘徽的割圆术和极限的思想方法。 03、数列极限：给出数列的概念，列举并观察数列的变化趋势，引入极限的概念，深入 分析，用数学语言表述数列的极限，并演示几何意义。 04、例题选讲： （选择 1-2 例，介绍对给定的ε 找 N 的方法） 例 1：利用数列极限的定义，验证数列是否收敛，以及数列的极限。 例 2：利用 N 论证法，证明一个数列的极限为某个确定的值。 例 3：利用数列极限的定义，证明一常数数列的极限为其自身的值。 例 4： 利用数列极限的定义， 证明一抽象数列在某区间内极限是否为某个确定的值。 。 例 5：利用数列极限的定义和一已知数列的极限，证明另一数列的极限值。 例 6：利用数列极限定义，证明一数列的极限。 例 7：利用数列极限定义，证明一特殊数列的极限。 例 8：利用数列极限的 N 定义，证明一不等式成立。 05、承前启后：分析极限的定义，介绍数列的有界性，并归纳导出有极限的数列必有界 （定理 1） 。 06、定理的说明：说明定理中的条件是充分的，但不是必要的，并举例。进一步分析， 有定理的逆否命题导出推论。 07、承前启后：分析常数的唯一性和确定性，引入极限的唯一性（定理 2） 。 08、例题选讲： （举例说明定理 2 的应用，即用定理 2 证明列举的数列极限不存在。 ） 例 9：利用数列极限的定义和反证法，证明数列是发散的。 09、承前启后：由数列极限与数列有界的关系，联想到数列极限的符号与数列的符号之 间的联系，引出极限的保号性（定理 3） 。 10、定理的推论：分析定理 3 的逆命题，导出定理 3 的推论。 11、承前启后：回顾数列收敛的概念，分析数列与其部分之间的关系，引出子数列的概 念，并举例观察他们的收敛性，归纳导出定理 4. 12、定理的说明：分析定理 4 的逆否命题，导出判断数列发散的充分条件，并举例说明
吴传生 经济数学 微积分 第一章1.2
第五页，共37页。
概括起来，构成一个映射必须具备下列三个 基本要素：
(1) 集合 X ，即定义域 D f X ； (2) 集合 Y ，即限制值域的范围：Rf Y ； (3) 对应法则 f : 使每个 x X有，唯一
确定的 y=f (x) 与之对应.
需要指出的是：
（1）映射要求元素的像必须是唯一的.
1
•
o
x
无理数点
有理数点
第十八页，共37页。
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
第十九页，共37页。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
y W
y
(x, y)
o
x
x
例如，x2 y2 a2 是多值函数
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
第十五页，共37页。
3.几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
x) x)
(x， 0) (x 0)
（B）既是奇函数又是偶函数
（D）非奇非偶函数
第三十六页，共37页。
THANK YOU!
第三十七页，共37页。
2.函数的两要素:
定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
概括起来，构成一个映射必须具备下列三个 基本要素：
(1) 集合 X ，即定义域 D f X ； (2) 集合 Y ，即限制值域的范围：Rf Y ； (3) 对应法则 f : 使每个 x X有，唯一
确定的 y=f (x) 与之对应.
需要指出的是：
（1）映射要求元素的像必须是唯一的.
1
•
o
x
无理数点
有理数点
第十八页，共37页。
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
第十九页，共37页。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
y W
y
(x, y)
o
x
x
例如，x2 y2 a2 是多值函数
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
第十五页，共37页。
3.几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
x) x)
(x， 0) (x 0)
（B）既是奇函数又是偶函数
（D）非奇非偶函数
第三十六页，共37页。
THANK YOU!
第三十七页，共37页。
2.函数的两要素:
定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)第一章第一节 函数
例7 设函数f(x)是周期为T的周期函数，试求函数f(ax+b) 的周期，其中a,b常数，且a>0。
解：
T f (ax b ) f (ax b T ) f a (x ) b a
所以函数f(ax+b)的周期为T/a
五、数学建模——函数关系的建立
1.依题意建立函数关系
例5 证明函数y
x
1x
在( 1, )上是单调增加函数。
3. 奇偶性
设函数 y = f (x) 的定义域 Df 关于坐标原点对称, 若x
Df , 有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为偶函数; x Df ,
有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为奇函数; 奇函数的图形关于坐标原点对称, 偶函数的图形关于 y 轴对称. 在关于坐标原点对称的区间 I 内: 两个偶 (奇) 函数之和仍是一偶 (奇) 函数. 两个偶 (奇) 函数之积均为一个偶函数.
实数的连续性：实数点能铺满整个数轴，而不会留下任何空隙，即实数与 数轴上的点成一一对应关系。
常用数集： N 表示全体正整数的集合；Z 表示全体整数的集合； Q 表示全体有理数的集合；R 表示全体实数的集合； C 表示全体复数的集合．．
（1）有限区间
（2）无限区间
[a , ) x a x ;[ , b ) x x b .
y O M y
x
m O
x
有上界 在区间 I 上:
有下界
f (x)有界 f (：
2
x x 1
2
在( , )上是有界的。
x 1 2 x ,
1 f (x ) 2 x 1 2
吴传生 经济数学 微积分 第一章1.6 PPT
四、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C 总 C 固 C 可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
平均成本
总成本 产量
固定成本
可变成本 产量
即 C AC
C (Q ) Q
C
1
Q
C
2
(Q )
3 Q + 4 P = 1 0 0 ,求 总 收
益和平均收益．
解
价格函数为
P
100 3 Q 4
,
100 Q 3 Q 4
100 3Q 4 .
2
所以总收益为
R (Q ) P Q
,
平均收益为
A P (Q ) P (Q )
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
q 2
，
在时间 T 内的总费用 E 为
E 1 2 C 1 Tq C Q
2
q
其中 ，
1 2
C 1 Tq 为贮存费，
C2
Q q
为进货费用
.
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数 y ka
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
b
t
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示
1 .4
2.某 工 厂 对 棉 花 的 需 求 函 数 由
PQ
=0.11 给
出 ,（ 1） 求 其 总 收 益 函 数 R;（ 2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若 工 厂 生 产 某 种 商 品 ， 固 定 成 本 200,000 元 ， 每 生 产 一 单 位 产 品 ， 成 本 增 加 1000 元 ， 求总成本函数。
高等数学第一章第七节教案-吴赣昌
11、第二个重要极限：（简单介绍数学发现的归纳法，既由特殊到一般的思想方法，并强调第二个重要极限的特征和它的应用。）
12、例题选讲：（挑选1-3例，说明第二个重要极限的应用）
例19：应用第二个重要极限，求一数列的极限
例20：应用第二个重要极限，求一函数当x→0时极限
例21：通过变换函数形式应用第二重要极限。
02、承前启后：为求形如 的极限，导出夹逼准则。
03、夹逼准则：（说明夹逼法的思想，应用中的关键步骤）
04、例题选讲：（选择1-2例，分析应用夹逼法求极限的放缩技巧）
例1：利用函数组成项之间的变化特点进行放大和缩小。
例2：把函数进行恒等变形后，再进行放大和缩小。
例3：利用函数项的变化规律，进行放大和缩小。
★例5★例6★例7★ 例8ห้องสมุดไป่ตู้例9
★单调有界准则★ 例10★ 例11
★ ★ 例12★ 例13★ 例14
★ 例15 ★ 例16 ★ 例17★ 例18
★ ★ 例19-20 ★ 例21 ★ 例22
★ 例23 ★ 例24★ 例25
★ 柯西极限存在准则
★内容小结★课堂练习★习题1-7
教学过程设计
01、承上启下：复习极限的运算法则，引出本节要讨论的问题。
16、课外作业：根据教学要求，选择适量的习题或补充题。
06、例题选讲：（选一例说明单调准则的应用）
例10：利用单调有界准则求递归数列的极限。
例11：利用单调有界准则求递归数列的极限。
07、承前启后：分析、总结夹逼准则的思想方法，并推广到求函数的极限，导出准I’。
08、第一个重要极限：作图直观分析，应用夹逼准则，给出第一个重要极限的证明，并阐述第一个重要的极限的特征和在求极限中的应用。
12、例题选讲：（挑选1-3例，说明第二个重要极限的应用）
例19：应用第二个重要极限，求一数列的极限
例20：应用第二个重要极限，求一函数当x→0时极限
例21：通过变换函数形式应用第二重要极限。
02、承前启后：为求形如 的极限，导出夹逼准则。
03、夹逼准则：（说明夹逼法的思想，应用中的关键步骤）
04、例题选讲：（选择1-2例，分析应用夹逼法求极限的放缩技巧）
例1：利用函数组成项之间的变化特点进行放大和缩小。
例2：把函数进行恒等变形后，再进行放大和缩小。
例3：利用函数项的变化规律，进行放大和缩小。
★例5★例6★例7★ 例8ห้องสมุดไป่ตู้例9
★单调有界准则★ 例10★ 例11
★ ★ 例12★ 例13★ 例14
★ 例15 ★ 例16 ★ 例17★ 例18
★ ★ 例19-20 ★ 例21 ★ 例22
★ 例23 ★ 例24★ 例25
★ 柯西极限存在准则
★内容小结★课堂练习★习题1-7
教学过程设计
01、承上启下：复习极限的运算法则，引出本节要讨论的问题。
16、课外作业：根据教学要求，选择适量的习题或补充题。
06、例题选讲：（选一例说明单调准则的应用）
例10：利用单调有界准则求递归数列的极限。
例11：利用单调有界准则求递归数列的极限。
07、承前启后：分析、总结夹逼准则的思想方法，并推广到求函数的极限，导出准I’。
08、第一个重要极限：作图直观分析，应用夹逼准则，给出第一个重要极限的证明，并阐述第一个重要的极限的特征和在求极限中的应用。
高等数学第一章第二节教案-吴赣昌
高等数学课程教案——与高等数学（完整版 理工类）立体化教材配套
授课单元 授课时间 教学要求 教学重点 教学难点
第一章 函数、极限与连续：第二节 初等函数 授课地点 授课类型 理论课 理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念，掌握基本初等函数 的性质及其图形，理解初等函数的概念。 复合函数及分段函数 复合函数的求法 教学内容分布 ★ 反函数 ★ 例1 ★ 例2 ★ 基本初等函数 ★ 复合函数 ★例 3 ★例 4 ★初等函数 ★例 7 ★例 8 ★双曲函数和反双曲函数 ★内容小结 ★习题 1-2
★例 5 ★例 9 ★课堂练习
★例 6 ★例 10
教学过程设计 01、反函数：由函数的定义导出反函数的定义，给出反函数存在的条件。 02、例题选讲： （可选讲 1 例，介绍反函数的求法） 例 1、例 2：利用反函数的定义来求反函数。 03、基本初等函数：回顾以往学过的函数，给出基本初等函数的概念。 04、复合函数：给出复合函数的定义，讲解复合函数的 3 种求法，及代入法、分析法、 示图法。 05、例题选讲： 例 3：代入法求复合函数。 例 4：分析法分解复合函数。 例 5：分段函数的复合运算。 例 6：求函数表达式。 06、初等函数：简介初等函数的概念，给出指数增长（衰减）模型。 07、例题选讲： （可选 1 例） 例 7：指数增长模型。 例 8：指数衰减模型。 例 9：指数衰减模型——半衰期。 例 10：里氏震级模型 08、双曲函数：双曲正弦、双曲余弦、双曲正切及其反函数。可以类比于相应的三角函 数进行讲解。 09、课堂小结：总结本节主要内容，归纳解题方法。 10、课堂练习：根据教学情况，适当安排和选择练习题。 11、课外作业：根据教学要求，选择适量的习题或补充题。
概率论与数理统计(经管类·第四版)吴赣昌 主编
A B
A1 , A2 ,, An 的积事件 ——
Ai
i 1
n
A1 , A2 ,, An , 的积事件 ——
Ai
i 1
5. 事件的差
—— A 与B 的差事件
A B
A B
A B
A B 发生
事件 A 发生，但 事件 B 不发生
6. 事件的互斥(互不相容)
AB —— A 与B 互斥
确定性现象 随机现象 ——
每次试验前不能预言出现什么结果 每次试验后出现的结果不止一个 在相同的条件下进行大量观察或试
验时，出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性
§1.1 随机事件
基本术语 对某事物特征进行观察, 统称试验. 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示
可在相同的条件下重复进行
试验结果不止一个,但能明确所有的结果 试验前不能预知出现哪种结果
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间 记为 样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为
样本点(or基本事件) 常记为 ， = {}
随机事件 —— 的子集, 记为 A ,B ,… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
完备事件组?niia1???naaa21?若两两互斥且naaa21?则称为完备事件组naaa21?或称为的一个划分??1ana1?na2a3a??吸收律aaa???????aaa???????运算律对应事件运算集合运算aaba??abaa????幂等律aaa??aaa???差化积abababa?????重余律aa??交换律abba???baab??结合律cbacba?????bcacab??分配律cbcacba??????cababca????ccbaba??baab????niiniiaa11?????niiniiaa11????反演律运算顺序
微积分(一)第一节课件
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2.邻域: 设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
U (a ) { x a x a }.
例1
(1) y ( x 1)
2
100
由y u
u
100
, u x 1 复合而成。
2
sin 2 (3 x )
2
(2) y 2
由 y 2 , u v , v sin w , w 3x 复合而成
(3) y arcsin
2
2
1 4x
由 y u , u arcsin v , v w , w 1 4 x 复合而成
y
y f (x)
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 )
f ( x2 )
o
o
I
x
I
x
(3) 奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
无限区间
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b]
[a ,) { x a x }
吴赣昌编_概率论和数理统计_第1章课件
2020/11/6
四、事件之间的关系 （熟练掌握）
1.事件的包含与相等(p4)“A发生必导致B发生”，即A中的样 本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。 A与B两个事件相等：A＝B AB且BA。
例1.2
2020/11/6
2.和事件(p4)（[4]） ：“事件A与B至少有一个发生”，记作 A∪B
2020/11/6
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 频率与概率 • 古典概型和几何概型 • 条件概率 • 事件的独立性
2020/11/6
1.1随机试验、样本空间、随机事件
一、随机试验（简称“试验”） 试验Ⅰ：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后任意摸出
一球 试验Ⅱ：一个盒子中有10个大小完全相同的球，5个白色，5个
3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点， 但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。
4)股市的变化。
2020/11/6
说明：随机现象是广泛存在的。
• 一个射手在一次射击中可能击中目标，也可 能未击中目标，但在一个短时间内，每天的 命中率却是稳定的。
• 同一门炮在同样发射条件下射出的许多炮弹 其落点不一样。虽然落点不同，但形成一个 椭圆---落点分布。
n n
fn A fn(Ai) i1 i1
2020/11/6
事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越 大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生 的可能性越大。
历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰 和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图 证明出现正反面的机会均等。
实验者
思考：何时A-B=?
何时A-B=A？
5.互斥的事件(p4) ：AB=Φ ,指事件A与B不能同时发生 。又称A与B互不相容。
四、事件之间的关系 （熟练掌握）
1.事件的包含与相等(p4)“A发生必导致B发生”，即A中的样 本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。 A与B两个事件相等：A＝B AB且BA。
例1.2
2020/11/6
2.和事件(p4)（[4]） ：“事件A与B至少有一个发生”，记作 A∪B
2020/11/6
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 频率与概率 • 古典概型和几何概型 • 条件概率 • 事件的独立性
2020/11/6
1.1随机试验、样本空间、随机事件
一、随机试验（简称“试验”） 试验Ⅰ：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后任意摸出
一球 试验Ⅱ：一个盒子中有10个大小完全相同的球，5个白色，5个
3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点， 但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。
4)股市的变化。
2020/11/6
说明：随机现象是广泛存在的。
• 一个射手在一次射击中可能击中目标，也可 能未击中目标，但在一个短时间内，每天的 命中率却是稳定的。
• 同一门炮在同样发射条件下射出的许多炮弹 其落点不一样。虽然落点不同，但形成一个 椭圆---落点分布。
n n
fn A fn(Ai) i1 i1
2020/11/6
事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越 大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生 的可能性越大。
历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰 和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图 证明出现正反面的机会均等。
实验者
思考：何时A-B=?
何时A-B=A？
5.互斥的事件(p4) ：AB=Φ ,指事件A与B不能同时发生 。又称A与B互不相容。
微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)CH1第三节 常用经济函数
C (x ) 10x 270000
而需求函数为
x 900P 45000 C (P ) 9000P 270000
R (P ) P ( 900P 45000) 900P 2 45000P
L(P ) R (P ) C (P ) 900(P 2 60P 800) 900(P 30)2 90000
称为单位成本函数或平均成本函数。成本函数是单调增加函 数，称为成本曲线。
C x C x , x 0 x
例5 某工厂生产某产品，每日最多生产200单位，它的日固 定成本为150元，生产一个单位产品的可变成本为16元。求 该厂日总成本函数及平均成本函数。
C C x 150 16x , 0 x 200
§1.3 常用经济函数
一、单利与复利
利息：借款者向贷款者支付的报酬，它是根据本金的数额 按一定比例计算出来的。 主要有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等形式
单利计算公式： 设初始本金为p元，银行年利率为r，则：
第一年未本利和： s 1 第二年未本利和： s 2 ……
第n年未本利和：
p rp p (1 rห้องสมุดไป่ตู้)
R R p (1 r ) 得p n (1 r )
n
R表示第n年后到期票据金额，r表示贴现率，p为贴现金额， 1/(1+r)n为贴现因子。
若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据， 且每张票据的贴现率都是相同的，则一次性向银行转让票 据而得到的现金为：
R2 p R0 2 (1 r ) (1 r )
到期的票 据金额
R1
1 Rn n (1 r )