圆锥曲线大题20道(含标准答案)

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圆锥曲线测试题有答案)

圆锥曲线测试题1．过椭圆2241x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长为（）A. 2B. 4C. 8D.2．已知，是椭圆：的两个焦点，在上满足的点的个数为（）A. B. C. D. 无数个3．已知双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A. ()1,2 B. (]1,2 C. [)2,+∞ D. ()2,+∞4．已知抛物线22y px =与直线40ax y +-=相交于,A B 两点，其中A 点的坐标是()1,2，如果抛物线的焦点为F ，那么FB FA +等于（）A. 5B. 6C.D. 75．设12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过12,F F 作x 轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（）A.B. C. 2D. 6．设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12,F F ， P 是两曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 的值等于（）A.13 B. 14 C. 19 D. 357．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()1,2 ，则此双曲线为（）A. 2214x y -=B. 2214y x -=C. 2212x y -=D. 2212y x -=8．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点()2,3-的抛物线方程是（）A. 294y x =B. 243x y =C. 294y x =-或243x y =-D. 292y x =-或243x y = 9．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12， E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合， ,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 1210．已知1F ， 2F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是（）A. ()1+∞，B. ()01，C.D.)+∞11．已知抛物线C ： 24y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线交曲线C 于A ， B 两点，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（）A.163 B. 133 C. 83 D. 5312．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=， 1F ， 2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1 6.5PF =，则2PF 等于（）． A. 0.5 B. 12.5 C. 4或10 D. 0.5或12.513．已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的2倍，且过点()3,0P ，则椭圆的方程为__________．14．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝______． 15．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>， O 为坐标原点， A ， B 为抛物线上的点，若OAB 为等边三角形，且面积为p 的值为__________．16．若,A B 分别是椭圆22:1(1)x E y m m+=>短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，若直线AP 与直线BP 的斜率之积为4m-，则椭圆E 的离心率为__________．17．已知双曲线C 和椭圆22141x y +=．（Ⅰ）求双曲线C 的方程．（Ⅱ）经过点()2,1M 作直线l 交双曲线C 于A ， B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的18．已知抛物线2:2(03)C y px p =<<的焦点为F ，点(,Q m 在抛物线C 上，且3QF =。

圆锥曲线测试题及答案

圆锥曲线测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 椭圆的离心率定义为：A. 长轴与短轴的比值B. 长轴的一半与焦距的比值C. 焦距与长轴的比值D. 焦距与长轴的一半的比值2. 抛物线的标准方程是：A. $ x^2 = 4py $B. $ y^2 = 4px $C. $ x^2 = 2py $D. $ y^2 = 2px $3. 双曲线的渐近线方程是：A. $ y = \pm \frac{b}{a}x $B. $ y = \pm \frac{a}{b}x $C. $ x = \pm \frac{a}{b}y $D. $ x = \pm \frac{b}{a}y $4. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是：A. 长轴的长度B. 短轴的长度C. 焦距的两倍D. 不确定5. 对于双曲线，如果 $ a > b $，则它是：A. 垂直轴双曲线B. 水平轴双曲线C. 焦点在x轴上D. 焦点在y轴上二、填空题（每题2分，共10分）6. 椭圆的方程 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 中，$ a $ 和 $ b $ 分别代表______和______。

7. 抛物线 $ y^2 = 4px $ 的焦点坐标是______。

8. 双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 的焦距是______。

9. 椭圆 $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 $ 的离心率是______。

10. 如果一个点 $ P(x, y) $ 在双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1 $ 上，那么 $ x $ 和 $ y $ 满足的关系是______。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 描述椭圆的基本性质。

全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)

全国卷高考数学圆锥曲线大题（带答案）1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若=. 求证：.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa.（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;（2）若2<tanα<3，求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+（a＞b＞0）的离心率36=e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点；（2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线；（3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。

(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。

圆锥曲线专题20题练习含答案

1．如图，曲线22:1(0,0)x y E m n m n+=>>与正方形L（1）求m n +的值；（2）设直线:l y x b =+交曲线E 于A ，B ，交L 于C ，D ，是否存在这AB 成等差数列？若存在，求出实数b样的曲线E ，使得CA ，的取值范围；若不存在，请说明理由．2.已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为'l 的方程．3．已知圆22:4O x y +=，点(F ，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若()11,A x y ，()22,B x y 为曲线C ，且⊥m n ，试问AOB △的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．4.（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22:12x T y +=的一个焦点重合，点()0,2M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点.（1）求抛物线C 的标准方程以及MF 的值.（2）记抛物线的准线l x '与轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ= ，且22854HA HB +=都成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.5．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=.（1）求抛物线的方程椭圆的方程；（2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围.6. 已知抛物线的焦点为，为轴上的点.2:4E x y =F (),0P a x（1）当时，过点作直线与相切，求切线的方程；（2）存在过点且倾斜角互补的两条直线，，若，与分别交于，和，四点，且与的面积相等，求实数的取值范围.7.设点A 为圆C ：224x y +=上的动点，点A 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足2MQ AQ =，动点M 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）设E 与y 轴正半轴的交点为B ，过点B 的直线l 的斜率为k （0k ≠），l 与E 交于另一点为P ，若以点B 为圆心，以线段BP 长为半径的圆与E 有4个公共点，求k 的取值范围．8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点()3,04M m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭作斜率不为0的直线，交椭圆E 于,A B 两点，点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭，且PA PB ⋅ 为定值．（1）求椭圆E 的方程；（2）求OAB △面积的最大值．9．已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从1C ，2C 上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：12（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆1C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线过定点1,08G ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数的取值范围． 10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，内切圆的半径为.(1)求椭圆的方程；0a ≠P l E l P 1l 2l 1l 2l E A B C D FAB ∆FCD ∆a(2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.11. 已知抛物线2:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . （1）求直线AP 斜率k 的取值范围；（2）求|||PA PQ ⋅的最大值.12. 如图，分别过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左、右焦点12,F F 的动直线12,l l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于,A B 与,C D 不同四点，直线,,,OA OB OC OD 的斜率1234,,,k k k k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，AB =CD =（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在定点,M N ，使得PM PN +为定值？若存在，求出,M N 点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．13.(本小题满分12分）已知椭圆C: 12222=+by a x (a>b>0)的离心率为22，过右焦点F 且与长轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，0为坐标原点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设经过点M(0,2)作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值及相应的直线l 的方程.1．【答案】（1）16m n +=；（2【解析】（1，得()28160n m x mx m mn +-+-=，有()()2644160m m n m mn ∆=-+-=，···········2分化简的()4640mn m n mn +-=．又0m >，0n >，所以0mn >从而有16m n +=；···········4分（2）由2AB CA BD =+，AB =···········5分，得()2220n m x bmx mb mn +++-=，由2224440nmb n m m n ∆=-++>可得216b m n <+=，且122bmx x n m-+=+，212mb mn x x n m -=+，···········7分···········8分 323=，···········10分符合216b m n <+=，故当实数b 时，存在直线和曲线E ，使得CA ，AB ，BD 成等差数列．···········12分 2.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=--1(,)2PF x y =-- ，(,2)PH PF x y +=-- ，()0HF PH PF += ，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+，由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x kx x +=⎧∴⎨⋅=-⎩，112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+ MA MB ⊥ ，0MA MB ∴= ，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=，22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==，3221||(1)2MABS AB d k ∆==+=，解得1k =±， ∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=．法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()00,y x E则211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩ 直线'l 的方程为012y x x =+，过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点，所以在Rt AMB 中，11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB 故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01(,)2M x -点M 到直线'l的距离为：2d ==因为E 点在直线'l 上，所以有20012y x =+，从而21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+由2011||2(22MAB S AB d x ==⨯+= 01x =± 所以直线'l 的方程为12y x =+或12y x =-+．3．【答案】（1）2214y x +=；（2）答案见解析．【解析】（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ， ∵两圆相内切，∴122OM FP =-，又12OM PF ='，∴4PF PF FF +=>=''，···········3分∴点P 的轨迹是以F ，F '为焦点的椭圆，其中24a =，2c =，∴2a =，c =，∴2221b a c =-=，∴C 的轨迹方程为2214y x +=．···········5分（2）当AB x ⊥轴时，有12x x =，12y y =-，由⊥m n ，得112y x =，又221114y x +=，∴1x =1y =∴11112122AOB S x y ∆=⨯⨯=⨯=．···········7分当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()2224240k x kmx m +++-=，则12224kmx x k -+=+，212244m x x k -=+，···········9分由0⋅=m n ，得121240y y x x +=，∴()()121240kx m kx m x x +++=，整理得()()22121240k x x km x x m ++++=，···········10分 ∴2224m k =+，12m21m==，综上所述，AOB △的面积为定值．···········12分5.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a ac b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （）∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵Q F P F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(kk ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616kk -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得，=2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 6.解：（1）设切点为则. ∴点处的切线方程为. ∵过点，∴，解得或. 当时，切线的方程为或. （2）设直线的方程为，代入得， ①，得， ②由题意得，直线的方程为，同理可得，即， ③ ②×③得，∴.④设，，则，.∴.点到的距离为，200,3x Q x ⎛⎫⎪⎝⎭002x x l x yk ===Q ()200042x x y x x -=-l P ()200042x x a x -=-02x a =00x =0a ≠l 0y =20ax y a --=1l ()y k x a =-24x y =2440x kx ka -+=216160k ka ∆=->()0k k a ->2l ()y k x a =--()0k k a --->()0k k a +>()2220k k a ->22a k <()11,A x y ()22,B x y 224x x k +=224x x ka=AB =FAB d =∴的面积为同理的面积为由已知得，化简得， ⑤欲使⑤有解：则，∴.又，得，∴. 综上，的取值范围为或或.7.解：（1）设点(,)M x y ，由2MQ AQ =，得(,2)A x y ，由于点A 在圆C ：224x y +=上，则2244x y +=，即点M 的轨迹E 的方程为2214x y +=．（2）由（1）知，E的方程为2214x y +=，因为E 与y 轴的正半轴的交点为B ，所以(0,1)B ，所以故B 且斜率为k 的直线l 的方程为1y kx =+（0k ≠）．由221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(14)80k x kx ++=，设11(,)B x y ，22(,)P x y ，因此10x =，22814kx k =-+，12|||BP x x =-=由于圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设在y 轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P ，T ，满足||||BP BP =，此时直线BP 斜率0k >，FAB ∆41S =+FCD ∆41S =-4141+=-()2221a k -=22a <a <22212a k k=-<21k ≠21a ≠a 1a <<-11a -<<1a <<设直线BT 的斜率为1k ，且10k >，1k k ≠，则||BT ==10-=，即221(14(14k k +=+所以222222111()(18)0k k k k k k -++-=，由于12k k ≠，因此222211180k k k k ++-=，故22122111198188(81)k k k k +==+--．因为20k >，所以21810k ->，因此22119188(81)8k k =+>-，又因为0k >，所以k >，又因为1k k ≠，所以2222180k k k k ++-≠，所以428210k k --≠，又因为0k >，解得2k ≠，所以)k ∈+∞ ，综上所述，k的取值范围为(,()-∞+∞ ．8．（本小题满分12分）【答案】（1）2212x y +=；（2）．【解析】（1）设1(,0)F c ，∵抛物线24y x =﹣的焦点坐标为(1,0)-，且椭圆E 的左焦点1F 与抛物线24y x =﹣的焦点重合，∴1c =，···········2分又椭圆Ea =···········3分于是有2221b ac ==﹣．故椭圆E 的标准方程为：2212x y +=．···········4分（2）设11,A x y （），22,B x y （），直线的方程为：x ty m =+，由2222x ty m x y =+⎧⎨+=⎩整理得2222220t y tmy m +++=（）﹣ 12222tm y y t -+=+，212222m y y t -=+，···········6分 115(,)4PA x y =- ，225(,)4PB x y =- ， 121255()()44PA PB x x y y ⋅=--+ 2212125525(1)()()4216t y y tm t y y m m =++-++-+222225(2)(2)5722216m m t m m m t -+-+-=+--+．···········8分要使PA PB ⋅ 为定值，则22522212m m m -+--=，解得1m =或23m =（舍）， ···········9分当1m =时，2122|)2t AB y y t +==+﹣，···········10分点O 到直线AB的距离d =，···········11分OAB △面积1s ==． ∴当0t =，OAB △··········12分 9．【答案】（1）1C ：22143x y +=．22:4C y x =；（2）,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】（1）设抛物线()22:20C y px p =≠，则有()220y p x x =≠，据此验证4个点知(3,-，()4,4-在抛物线上，易求22:4C y x =．·········2分设()2222:10x y C a b a b +=>>，把点()2,0-，⎭代入得： 222412614⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩=a ab ，解得2243==⎧⎨⎩a b ，所以1C 的方程为22143x y +=．·········5分（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程，消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=，所以()()()22284344120km k m ∆=-+->，即2243m k <+．① 由根与系数关系得122834km x x k+=-+，则122634m y y k +=+，·········7分所以线段MN 的中点P 的坐标为2243,3434km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．·········8分又线段MN 的垂直平分线的方程为118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，·········9 由点P 在直线上，得22314134348m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，即24830k km ++=，所以()21438m k k =-+，·········10分由①得()2222434364k k k +<+，所以2120k >，即k <或k >，所以实数的取值范围是,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．·········12分 10.(1)依题意： PF 1 + PF 2 − F 1F 2 2=r ,则 PF 1 + PF 2 − F 1F 2 =4−2 3，即2a −2c =4−2 3又c a = 32,联立解得：a =2,c = 3，故b =1，所以椭圆的方程为x 24+y 2=1 (2)设, 联立直线和椭圆的方程得：, 当时有：由得：,即, 整理得：,所以, 化简整理得：，代入得：, 解之得：或, 点到直线的距离, 设，易得或，则, 当时；当时，, 若，则；若，则，当时，综上所述：，故点到直线的距离没有最大值.11.（1）由题可知11(,)24A --，39(,)24B -，设2(,)p p P x x -，1322p x -<<，所以 21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-，故直线AP 斜率k 的取值范围是(1,1)-.（2）直线11:24AP y kx k =+-，直线93:042BQ x ky k ++-=，联立直线AP ，BQ 方程可知点Q 的横坐标为223422Q k k x k --=+，||PQ =()Q p x x -22341()222k k k k --=+-+2=1||)2p PA x =+)k =-，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+，令3()(1)(1)f x x x =-+，11x -<<，则2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+，当112x -<<-时'()0f x >，当112x -<<时'()0f x <，故()f x 在1(1,)2--上单调递增，在1(,1)2-上单调递减. 故max 127()()216f x f =-=，即||||PA PQ ⋅的最大值为2716. 12.解：（Ⅰ）当1l 与x 轴重合时，1230k k k k +=+=，即34k k =-2l ∴垂直于x轴，得2AB a ==，223b CD a ==得a b =，∴椭圆E 的方程为：22132x y +=．（Ⅱ）焦点12,F F 坐标分别为()()1,0,1,0-当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0-或()1,0当直线1l 、2l 斜率存在时，设斜率分别为12,m m ，设()()1122,,,A x y B x y ，由()2211321x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()2222111236360m x m x m +++-= 由求根公式并化简得：211221623m x x m +=-+或2112213623m x x m -⋅=+ 121212112112121212111422y y x x x x m k k m m x x x x x x m ⎛⎫⎛⎫++++=+=+=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 同理：2342242m k k m +=--．1234k k k k +=+ ，()()1212212212442022m m m m m m m m -=-⇒⋅+-=--，由题意知：210m m -≠，1220m m ∴⋅+=．设(),P x y ，则+2=01+1y y x x ⋅-，即()22112y x x +=≠± 当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0-或()1,0，也满足此方程，所以点P 在椭圆()22112y x x +=≠±上，存在点()0,1M -和()0,1N ，使得PM PN +为定值，定值为。

圆锥曲线测试题(20个选择,10个填空)(含答案)

圆锥曲线测试题姓名得分一、选择题（20小题，每题5分）1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=2.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则此双曲线的离心率等于A ． 2B ．3 CD ．93．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1 (a>0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A . 3B . 6C ．2D ．34.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A ．28y x =-B ．28y x =C ．24y x =- D ．24y x = 5. 已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A（B（C ） 2 （D ） 36. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45 B ．35 C ．35-D ．45-7. 设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．18. 双曲线8222=-y x 的实轴长是（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）429. 已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（A ）34 （B ）1 （C ）54 （D ）7410. 双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（）A ．25B ．45CD11.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（）A．2214x =B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．2212x =12. 已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)则C 的渐近线方程为（）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±13. 抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（）A ．12B．2C ．1 D14. 若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（）A ．y =±2xB ．y=C ．12y x =±D．2y x =±15.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y +=16. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C的方程为（）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =17. 已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等18. 从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（） AB ．12CD19. 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（）A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(X-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1)D ．y=(x-1)或y=-(x-1)20. O 为坐标原点,F为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（）A ．2B．C．D ．4二、填空题（10小题。

(完整版)圆锥曲线-面积问题(原题+答案)

直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题1、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．又因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为 93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ，从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 2、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

（1）当AB x ⊥轴时，AB =。

（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+。

=，得223(1)4m k =+。

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。

22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。

(完整版)圆锥曲线练习题含标准答案(最新整理)

当 0 m 1 时，
y2 1
x2 1
1, e2
a2 b2 a2
1m
3,m 4
1 ,a2 4
1 m
4, a
2
m
20． x2 y2 1 20 5
设双曲线的方程为 x2 4 y2 , ( 0) ，焦距 2c 10, c2 25
5 /9
当
0 时，
x2
y2
1,
4
25,
20 ；
4
当
0
时，
y2
x2
1,
(
)
4
25,
20
4
21． (, 4) (1, ) (4 k)(1 k) 0, (k 4)(k 1) 0, k 1,或k 4
22． x 3 2 p 6, p 3, x p 3
2
22
23．1
焦点在 y 轴上，则 y2 x2 1, c2 5 1 4, k 1
28． ( 7, 0) 渐近线方程为 y m x ，得 m 3, c 7 ，且焦点在 x 轴上 2
29． b2 a2
设A( x1 ,y1), NhomakorabeaB(x2 ,
y2
)
，则中点
M
(
x1
2
x2
,
x
, 2
x2
8x
4
0,
x1
x2
8,
y1
y2
x1
x2
4
4
中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) (4, 2)
2
2
27． , 2
t2 设 Q(
,t) ，由
PQ
a
t2 得(

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

【2023届新高考必刷题目】高中数学圆锥曲线大题综合

【2023届新高考必刷】圆锥曲线大题综合1.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)已知AB 为抛物线G :y 2=2px (p >0)的弦，点C 在抛物线的准线l 上.当AB 过抛物线焦点F 且长度为8时，AB 中点M 到y 轴的距离为3.(1)求抛物线G 的方程；(2)若∠ACB 为直角，求证：直线AB 过定点.【答案】(1)y 2=4x(2)证明见解析【分析】(1)利用抛物线弦长公式，以及中点到y 轴的距离公式，计算出p 即可；(2)先设C -1,c ,A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB 的方程：x =ty +n ，联立方程组，由韦达定理可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4n ，又因为∠ACB 为直角可得CA ⋅CB=0，化简求解可得n =1，所以得出直线过定点1,0 .【详解】(1)设A x A ,y A ,B x B ,y B ，则由题意得|AB |=x A +x B +p =8x A +x B 2=3，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x (2)直线AB 过定点1,0 ，证明如下：设C -1,c ,A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB 的方程：x =ty +n ，将x =ty +n 代入y 2=4x 得y 2-4ty -4n =0，则Δ>0，得t 2+n >0，由韦达定理可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4n ，所以CA =y 214+1,y 1-c ,CB =y 224+1,y 2-c，因为∠ACB =90∘，所以CA ⋅CB =0，即y 21y 2216+y 21+y 224+1+y 1y 2-c y 1+y 2 +c 2=0，即n 2+4t 2+2n +1-4n -4tc +c 2=0，即(n -1)2+(2t -c )2=0，所以n =1，所以直线AB 过定点1,0 .2.(2023·江苏泰州·统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过左焦点F 的直线与C 交于P ,Q 两点.当PQ ⊥x 轴时，PA =10，△PAQ 的面积为3.(1)求C 的方程；(2)证明：以PQ 为直径的圆经过定点.【答案】(1)x2-y23=1(2)证明见解析【分析】(1)根据题意，可得PF=b2a，b2a2+c-a2=10212⋅2b2a⋅c-a=3c2=a2+b2，进而求解；(2)设PQ方程为x=my-2，P x1,y1,Q x2,y2，联立直线和双曲线方程组，可得3m2-1y2-12my+9 =0，以PQ为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0，由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，进而得到x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0，进而求解.【详解】(1)当PQ⊥x轴时，P,Q两点的横坐标均为-c，代入双曲线方程，可得y P=b2a，y Q=-b2a，即PF=b2a，由题意，可得b2a2+c-a2=10212⋅2b2a⋅c-a=3c2=a2+b2，解得a=1，b=3，c=2，∴双曲线C的方程为：x2-y23=1；(2)方法一：设PQ方程为x=my-2，P x1,y1,Q x2,y2，x=my-2 3x2-y2=3⇒3m2y2-4my+4-y2=3⇒3m2-1y2-12my+9=0,以PQ为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0，x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2y+y1y2=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令y=0，可得x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0，而x1+x2=m y1+y2-4=12m23m2-1-4=43m2-1，x1x2=my1-2my2-2=m2y1y2-2m y1+y2+4=-3m2-4 3m2-1，∴x2-43m2-1x+-3m2-43m2-1+93m2-1=0⇒3m2-1x2-4x+5-3m2=0⇒3m2-1x+3m2-5x-1=0对∀m∈R恒成立，∴x=1，∴以PQ为直径的圆经过定点1,0；方法二：设PQ方程为x=my-2,P x1,y1,Q x2,y2，x=my-2 3x2-y2=3⇒3m2-1y2-12my+9=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点.设以PQ 为直径的圆过E t ,0 ，∴EP ⋅EQ=0⇒x 1-t x 2-t +y 1y 2=0⇒x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+y 1y 2=0，而x 1x 2=my 1-2 my 2-2 =m 2y 1y 2-2m y 1+y 2 +4=m 2⋅93m 2-1-2m ⋅12m 3m 2-1+4=-3m 2-43m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 -4=12m 23m 2-1-4=43m 2-1∴-3m 2-43m 2-1-4t 3m 2-1+t 2+93m 2-1=0，3m2-1 t 2-4t +5-3m 2=0，即3m 2-1 t +3m 2-5 t -1 =0对∀m ∈R 恒成立，∴t =1，即以PQ 为直径的圆经过定点1,0 .3.(2023秋·浙江绍兴·高三期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,0),B (2,0)，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-14，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx +m 与曲线C 交于M ，N 两点，直线MA ，NB 与y 轴分别交于E ，F 两点，若EO=3OF ，求证：直线l 过定点．【答案】(1)x 24+y 2=1(x ≠±2)(2)证明见解析【分析】(1)设P 点坐标为(x ,y )，由y x +2⋅y x -2=-14可得结果；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立y =kx +m x 24+y 2=1，得x 1+x 2和x 1x 2，再求出E ,F 的坐标，根据EO =3OF得k =m ，从而可得结果.【详解】(1)设P 点坐标为(x ,y )，则y x +2⋅y x -2=-14，即x 24+y 2=1(x ≠±2)，所以曲线C 的方程为x 24+y 2=1(x ≠±2).(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由y =kx +mx 24+y 2=1，消去y 并整理得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0，由Δ=64k 2m 2-4(4k 2+1)(4m 2-4)>0，得4k 2+1>m 2,所以x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1．MA :y =y 1x 1+2(x +2)⇒E 0,2y 1x 1+2 ，NB :y =y 2x 2-2x -2 ⇒F 0,-2y 2x 2-2 ，因为EO =3OF ，所以-2y 1x 1+2=3⋅-2y 2x 2-2，即y 1(x 2-2)=3y 2(x 1+2)，∴kx 1+m x 2-2 =3kx 2+m x 1+2 ，∴2kx 1x 2+(2k +3m )x 1+x 2 +4(k -m )x 2+8m =0，所以2k ⋅4m 2-44k 2+1+(2k +3m )⋅-8km4k 2+1+4(k -m )x 2+8m =0，所以(k -m )4km -2+4k 2+1 x 2 =0对任意x 2都成立，∴k =m ，故直线l 过定点(-1,0)．4.(2023秋·浙江·高三期末)已知点A 463,233 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，B 与A 关于原点对称，F 是右焦点，∠AFB =π2．(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y 轴上的圆C 经过点P (-4,0)，与双曲线的右支交于点M ，N ，且直线MN 经过F ，求圆C 的方程．【答案】(1)x 28-y 24=1(2)x 2+(y ±26)2=40【分析】(1)由已知条件列方程求出a ,b ,c ，即可求出双曲线的方程；(2)讨论直线MN 的斜率不存在时不满足题意；当斜率存在时设直线MN 的方程为y =kx +m ，联立双曲线的方程，由韦达定理求出MN 的中点Q 的坐标以及C 的坐标，根据勾股定理有CN 2=CP 2=CQ 2+12MN2，代入解方程即可得出答案.【详解】(1)由已知条件得：463+c ,233 ⋅463-c ,233 =0323a 2-43b 2=1a 2+b 2=c 2⇒a 2=8b 2=4c =23双曲线方程为：x 28-y 24=1．(2)若直线MN 的斜率不存在，则圆C 的圆心不在y 轴上，因此不成立．设直线MN 的方程为y =kx +m ，由y =k (x -23)x 28-y 24=1消元得：2k 2-1 x 2-83k 2x +24k 2+8 =0⇒2k 2-1≠0Δ=32k 2+1 >0x 1+x 2=83k 22k 2-1,y 1+y 2=k x 1+x 2 -43k =83k 32k 2-1-43k =43k2k 2-1∴MN 的中点Q 的坐标为43k 22k 2-1,23k2k 2-1．设C (0,m )，直线CQ :y =-1k x +m ，得C 0,63k2k 2-1，又|MN |=k 2+1⋅82⋅-8k 2+4+12k 28k 2-4 =42k 2+1 2k 2-1，根据勾股定理有CN 2=CP 2=CQ 2+12MN2∴63k 2k 2-1 2+42=43k 22k 2-1 2+23k 2k 2-1-63k 2k 2-1 2 +22k 2+1 2k 2-12．化简得2k 4-5k 2+2=0解得k 2=2或k 2=12(舍)∴C (0,±26)，∴圆C 的方程为x 2+(y ±26)2=40．5.(2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点为F ，点F 关于直线y =12x +34的对称点恰好在y 轴上．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)直线l :y =k x -2 k ≥6 与抛物线E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，若D 6,0 ，求AB CD的最大值．【答案】(1)y 2=4x(2)2915【分析】(1) 由题意得F p 2,0 ，设F 关于直线y =12x +34的对称点为F 0,m ，根据题意列出方程组，解之即可求解；(2)将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，并求得线段AB 的垂直平分线方程为y -2k =-1k x -2k 2+2k 2 ，进而得到AB CD=22+49t +36t-12，利用函数的单调性即可求解.【详解】(1)由题意得F p 2,0 ，设F 关于直线y =12x +34的对称点为F0,m ，则m -p 2=-2m 2=18p +34 ，解得m =p =2，∴抛物线E 的标准方程为y 2=4x ．(2)由y =k x -2 y 2=4x 可得k 2x 2-4k 2+4 x +4k 2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2+4k 2，x 1x 2=4，∴AB =1+k 2⋅x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅4k 2+4k 22-16=42k 4+3k 2+1k 2，y 1+y 2=k x 1+x 2 -4k =4k ，∴线段AB 的中点坐标为2k 2+2k 2,2k ，则线段AB 的垂直平分线方程为y-2k =-1k x -2k 2+2k 2 ，令y =0，得x =4+2k2，故C 4+2k 2,0 ，又D 6,0 ，得CD =4+2k 2-6=2-2k 2．∴ABCD =22k 4+3k 2+1k 2-1=22+7k 2-1k 4-2k 2+1，令t =7k 2-1k ≥6 ，则k 2=17t +1 ，t ≥41，∴AB CD=22+t 149t +1 2-27t +1+1=22+49t +36t-12，易知函数f t =t +36t在41,+∞ 上单调递增，∴当t =41时，f t 取得最小值，此时k =6，故AB CD的最大值为22+4136-12+1=2915．6.(2023·湖南邵阳·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=10<a 10,b 0 的右顶点为A ，左焦点F -c ,0 到其渐近线bx +ay =0的距离为2，斜率为13的直线l 1交双曲线C 于A ，B 两点，且AB=8103．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点T 6,0 的直线l 2与双曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线x =6相交于M ，N 两点，试问：以线段MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)x 29-y 24=1(2)以线段MN 为直径的圆过定点6-23,0 和6+23,0 ．【分析】(1)根据点到直线的距离公式即可求解b =2，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解a =3，(2)联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在x 轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.【详解】(1)∵双曲线C 的左焦点F -c ,0 到双曲线C 的一条渐近线bx +ay =0的距离为d =bca 2+b2=b ，而d =2，∴b =2．∴双曲线C 的方程为x 2a2-y 24=10<a <10 ．依题意直线l 1的方程为y =13x -a ．由x 2a 2-y 24=1,y =13x -a ,消去y 整理得：36-a 2 x 2+2a 3x -a 2a 2+36 =0，依题意：36-a 2≠0，Δ>0，点A ，B 的横坐标分别为x A ,x B ，则x A x B =a 2a 2+36a 2-36．∵x A =a ，∴x B =a a 2+36a 2-36．∴AB =1+132x A -x B =103x A -x B =8103，∴x A -x B =8．即a -a a 2+36a 2-36=8，解得a =3或a =12(舍去)，且a =3时，Δ>0，∴双曲线C 的方程为x 29-y 24=1．(2)依题意直线l 2的斜率不等于0，设直线l 2的方程为x =my +6．由x =my +6,x 29-y 24=1,消去x 整理得：4m 2-9 y 2+48my +108=0，∴4m 2-9≠0，Δ1>0．设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-48m 4m 2-9，y 1y 2=1084m 2-9．直线AP 的方程为y =y 1x 1-3x -3 ，令x =6得：y =3y 1x 1-3，∴M 6,3y 1x 1-3 ．同理可得N 6,3y 2x 2-3．由对称性可知，若以线段MN 为直径的圆过定点，则该定点一定在x 轴上，设该定点为R t ,0 ，则RM =6-t ,3y 1x 1-3 ，RN =6-t ,3y 2x 2-3 ，故RM ⋅RN =6-t 2+9y 1y 2x 1-3 x 2-3 =6-t 2+9y 1y 2my 1+3 my 2+3 =6-t 2+9y 1y 2m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=6-t 2+9×1084m 2-9m 2×1084m 2-9-3m ×48m 4m 2-9+9=6-t 2-12=0．解得t =6-23或t =6+23．故以线段MN 为直径的圆过定点6-23,0 和6+23,0 ．【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.7.(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x 2a 2+y 2b 2=λ(a >b >0)表示的椭圆C λ称为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的相似椭圆.(1)如图，已知F 1-3,0 ,F 23,0 ,M 为⊙O :x 2+y 2=4上的动点，延长F 1M 至点N ，使得MN =MF 1 ,F 1N 的垂直平分线与F 2N 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆C λ是椭圆C 的相似椭圆，M 1,N 1是椭圆C λ的左､右顶点.点Q 是C λ上异于四个顶点的任意一点，当λ=e 2(e 为曲线C 的离心率)时，设直线QM 1与椭圆C 交于点A ,B ，直线QN 1与椭圆C 交于点D ,E ，求AB +DE 的值.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)5【分析】(1)由图可知OM 是△F 1NF 2的中位线，由此可得F 2N 长为定值，因为点P 在F 1N 的垂直平分线上，所以PF 1 +PF 2 =PF 2 +PN ，根据椭圆定义求解析式即可；(2)假设出点Q 坐标，表示直线QM 1与直线QN 1的斜率，并找出两斜率关系，最后表示出两直线方程，分别与椭圆C 联立方程，利用弦长公式和韦达定理求出AB +DE 的值.【详解】(1)连接OM ，易知OM ∥12F 2N 且OM =12F 2N ，∴F 2N =4，又点P 在F 1N 的垂直平分线上，∴PF 1 =PN ，∴PF 1 +PF 2 =PF 2 +PN =NF 2 =4>23，满足椭圆定义，∴a =2,c =3,b =1，∴曲线C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知椭圆C 方程为x 24+y 2=1，则离心率e =32⇒λ=34，∴楄圆C λ的标准方程为x 23+4y 23=1，设Q x 0,y 0 为椭圆C λ异于四个顶点的任意一点，直线QM 1,QN 1斜率k QM 1,k QN 1，则k QM1⋅k QN 1=y 0x 0+3⋅y 0x 0-3=y 2x 20-3，又x 203+4y 203=1⇒y 20=143-x 20 ，∴k QM 1⋅k QN 1=-14k QM 1≠±12.设直线QM 1的斜率为k ，则直线QN 1的斜率为-14k.∴直线QM 1为y =k x +3 ，由y =k x +3 ,x 24+y 2=1,得1+4k 2 x 2+83k 2x +12k 2-4=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k 2，∴AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=41+k 21+4k 2，同理可得DE =1+16k 21+4k 2，∴AB +DE =41+k 2 1+4k 2+1+16k 21+4k 2=5.8.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)过坐标原点O 作圆C :(x +2)2+y 2=3的两条切线，设切点为P ,Q ，直线PQ 恰为抛物E :y 2=2px ,(p >0)的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点A ,B ,M ,N 满足：TA =2TM ,TB =2TN，设AB 中点为D .(i )求直线TD 的斜率；(ii )设△TAB 面积为S ，求S 的最大值.【答案】(1)y 2=2x(2)(i )0；(ii )48【分析】(1)设直线PQ 与x 轴交于P 0-p 2,0 ，由几何性质易得：CP 2=CP 0 ⋅CO ，即可解决；(2)设T x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，(i )中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得y 0+y 12 2=2⋅x 0+x 12，将A x 1,y 1,B x 2,y 2 ，代入联立得D 点纵坐标为y 1+y 22=y 0，即可解决；(ⅱ)由(i )得点D 3y 20-4x 02,y 0，S =12TD ⋅y 1-y 2 =322⋅y 20-2x 03，又点T 在圆C 上，得y 20=-x 20-4x 0-1，可得：S =322⋅-x 0+32+8 3即可解决.【详解】(1)设直线PQ 与x 轴交于P 0-p2,0 .由几何性质易得：△CPP 0与△OCP 相似，所以CP CP 0=CO CP，CP2=CP 0 ⋅CO ，即：3=-p2+2 ⋅2，解得：p =1. 所以抛物线E 的标准方程为：y 2=2x .(2)设T x0,y0,A x1,y1,B x2,y2(i)由题意，TA中点M在抛物线E上，即y0+y122=2⋅x0+x12，又y21=2x1，将x1=y212代入，得：y21-2y0y1+4x0-y20=0，同理：y22-2y0y2+4x0-y20=0，有y1+y2=2y0y1y2=4x0-y20，此时D点纵坐标为y1+y22=y0，所以直线TD的斜率为0.(ⅱ)因为x1+x22=y21+y224=y1+y22-2y1y24=3y20-4x02，所以点D3y20-4x02,y0 ，此时S=12TD⋅y1-y2，TD =3y20-4x02-x0=32y20-2x0，y1-y2=y1+y22-4y1y2=8y20-2x0，所以S=322⋅y20-2x03，又因为点T在圆C上，有x0+22+y20=3，即y20=-x20-4x0-1，代入上式可得：S=322⋅-x20-6x0-13=322⋅-x0+32+83，由-2-3≤x0≤-2+3，所以x0=-3时，S取到最大价322⋅83=48.所以S的最大值为48.9.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1．(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l ，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y2=4x(2)存在，-1,0或-1,-4【分析】(1)设点M的坐标为-p 2,a，根据直线MF的斜率为-1，得到a=p，再根据△OFM的面积为1求出p，即可得解；(2)假设存在点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方．设直线l 的方程为x=my+1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，N -1,t ，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，又k NF =-t2，k NA+k NB =y 1-t x 1+1+y 2-tx 2+1，化简k NA +k NB ，即可得到方程，求出t 的值，即可得解.【详解】(1)解：由题意知F p 2,0 ，设点M 的坐标为-p2,a ，则直线MF 的斜率为a -0-p 2-p 2=-ap ．因为直线MF 的斜率为-1，所以-ap =-1，即a =p ，所以△OFM 的面积S =12OF a =p 24=1，解得p =2或p =-2(舍去)，故抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)解：假设存在点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方．由(1)得F 1,0 ，抛物线C 的准线l 的方程为x =-1．设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，N -1,t ，联立x =my +1y 2=4x得y 2-4my -4=0，所以Δ=16m 2+16>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4．因为k NF =0-t 1+1=-t 2，k NA +k NB =y 1-t x 1+1+y 2-tx 2+1=2my 1y 2+2-tm y 1+y 2 -4t m 2y 1y 2+2m y 1+y 2 +4=2m ⋅-4 +4m 2-tm -4t -4m 2+2m ⋅4m +4=-4t m 2+14m 2+1 =-t ，所以-t =-t22，解得t =0或t =-4．故存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方，其坐标为-1,0 或-1,-4 ．10.(2023·山东菏泽·统考一模)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1-3,0,F 23,0 ,A 为椭圆C 上一点，△F 1AF 2的面积最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若B ､D 分别为椭圆C 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P ､Q (P 在上方，Q 在下方，且均不与B ,D 点重合)两点，直线PB ,QD 的斜率分别为k 1,k 2，且k 2=-3k 1，求△PBQ 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)12【分析】(1)根据条件，得到关于a ,b ,c 的方程，即可得到结果；(2)根据题意设直线PQ 的方程为y =kx +m ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由k 2=-3k 1列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】(1)S ΔF 1AF 2=12⋅23⋅b =3，∴b =1，a =b 2+3=2，故椭圆的方程为x 24+y 2=1；(2)依题意设直线PQ 的方程为y =kx +m ，P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程组y =kx +mx 24+y 2=1，消元得：1+4k 2 x 2+8km x +4m 2-4=0，∴x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k2，Δ=64k 2m 2-41+4k 2 4m 2-4 =161+4k 2-m 2 >0，由k 2=-3k 1得：y 2+1x 2=-3⋅y 1-1x 1，两边同除x 1，y 2+1x 1x 2=-3⋅y 1-1x 21=-3⋅y 1-141-y 21 =341+y 1 ，即3x 1x 2-41+y 1 1+y 2 =0；将y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m 代入上式得：3x 1x 2-41+y 1 1+y 2 =3x 1x 2-4kx 1+m +1 kx 2+m +1 =3-4k 2 x 1x 2-4k m +1 x 1+x 2 -4m +1 2=3-4k 2 4m 2-41+4k 2-4k m +1 -8km 1+4k 2 -4m +1 2=0,整理得：m 2-m -2=0所以m =2或m =-1(舍)，S △PQB =12⋅1⋅x 1-x 2 =12x 1+x 2 2-4x 1x 2=12-8km 1+4k 2 2-44m 2-41+4k 2=24k 2-31+4k 2=24k 2-3+44k 2-3≤12,当k =±72时等号成立，满足条件，所以△PQB 面积的最大值为12.11.(2023·福建泉州·统考三模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆O :x 2+y 2=4交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若|MN |=455，求l 的斜率；(2)记直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k 1k 2为定值．【答案】(1)k =±12；(2)证明过程见解析.【分析】(1)根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式、椭圆切线的性质进行求解即可；(2)根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】(1)当直线l 不存在斜率时，方程为x =±2，显然与圆也相切，不符合题意，设直线l 的斜率为k ，方程为y =kx +m ，与椭圆方程联立，得x 24+y 23=1y =kx +m⇒(3+4k 2)x 2+8km x +4m 2-12=0，因为直线l 与C 相切，所以有Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =0⇒m 2=4k 2+3，圆O :x 2+y 2=4的圆心坐标为0,0 ，半径为2，圆心0,0 到直线y =kx +m 的距离为mk 2+-12，因为|MN |=455，所以有455=2×4-mk 2+-1 22⇒45=4-4k 2+3k 2+1⇒k =±12；(2)A -2,0 ,B 2,0 ，由x 2+y 2=4y =kx +m ⇒1+k 2 x 2+2km x +m 2-4=0，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,x 1<x 2，则有x 1+x 2=-2km k 2+1,x 1x 2=m 2-4k 2+1=4k 2-1k 2+1，x 1=-km -11+k 2,x 2=-km +11+k 2，k 1k 2=y 1x 1+2⋅y 2x 2-2=kx 1+m kx 2+m x 1x 2-2x 1+2x 2-4=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2-2x 1+2x 2-4，把x 1+x 2=-2km k 2+1,x 1x 2=m 2-4k 2+1=4k 2-1k 2+1，x 1=-km -11+k 2,x 2=-km +11+k 2代入上式，得k 1k 2=k 24k 2-1k 2+1+km -2km k 2+1+m 24k 2-1k 2+1-2⋅-km -1k 2+1+2⋅-km +1k 2+1-4=m 2-4k 2m 2-4-4k2，而m 2=4k 2+3，所以k 1k 2=4k 2+3-4k 24k 2+3-4-4k 2=-3.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合椭圆切线的性质进行求解是解题的关键.12.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 三个点在椭圆x 22+y 2=1，椭圆外一点P 满足OP =2AO ，BP =2CP，(O 为坐标原点).(1)求x 1x 2+2y 1y 2的值；(2)证明：直线AC 与OB 斜率之积为定值.【答案】(1)12(2)证明见解析【分析】(1)设P x ,y ，根据向量关系用x 1,x 2,y 1,y 2表示x 3,y 3，代入椭圆方程即可求解；(2)用x 1,x 2,y 1,y 2表示x 3,y 3，代入斜率公式即可求解.【详解】(1)设P x ,y ，因为OP =2AO ，所以x ,y =2-x 1,-y 1 解得x =-2x 1y =-2y 1 ，又因为BP =2CP ，所以-2x 1-x 2,-2y 1-y 2 =2-2x 1-x 3,-2y 1-y 3 解得x 3=-x 1+12x 2y 3=-y 1+12y 2，因为点C 在椭圆上，所以-x 1+12x 2 22+-y 1+12y 2 2=1⇒x 212+y 21+14x 222+y 22-12x 1x 2-y 1y 2=1，即x 1x 2+2y 1y 2=12.(2)设直线AC 与OB 斜率分别为k AC ,k OB ，k AC k OB =y 3-y 1x 3-x 1×y 2x 2=-y 1+12y 2-y 1-x 1+12x 2-x 1×y 2x 2=-2y 1y 2+12y 22-2x 1x 2+12x 22=x 1x 2-12+121-12x 22 -2x 1x 2+12x 22=x 1x 2-14x 22-2x 1x 2+12x 22=-12是定值.13.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 ，过焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且AB =AF ⋅BF .(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 4,4 ，直线PA ，PB 分别交准线l 于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点.【答案】(1)y 2=4x (2)证明见解析【分析】(1)设AB :x =my +p2m ∈R ，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物线的定义，根据AB =AF ⋅BF 建立方程求出p 得解；(2)由直线方程求出M ,N 的坐标，计算y M ⋅y N =-4，设Q x ,y 是以线段MN 为直径的圆上任意一点，根据MQ ⋅NQ=0化简0=x +1 2+y -y M y -y N ，根据对称性令y =0可得解.【详解】(1)设AB :x =my +p2m ∈R ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则联立y 2=2pxx =my +p 2得y 2-2pmy -p 2=0，所以Δ=4p 2m 2+4p 2>0y 1+y 2=2pm y 1y 2=-p 2，所以x 1+x 2=2m 2+1 px 1x 2=p 24，又AF =x 1+p 2，BF =x 2+p2，所以AB =AF +BF =x 1+x 2+p 由AB =AF ⋅BF 得x 1+x 2+p =x 1+p 2 x 2+p2 ，即x 1+x 2+p =x 1x 2+p 2x 1+x 2 +p 24所以2m 2+1 p +p =p 22m 2+1 p +p 22，化简得m 2+1 p p -2 =0，又p >0，所以p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)由(1)知AB :x =my +1m ∈R ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，易得x 1+x 2=4m 2+2，x 1x 2=1，由题意知AP :y -4=y 1-4x 1-4x -4 ，BP :y -4=y 2-4x 2-4x -4 ，所以令x =-1得y M =-5y 1-4 my 1-3+4，y N =-5y 2-4my 2-3+4，即M -1,-5y 1-4 x 1-4+4，N -1,-5y 2-4 x 2-4+4，所以y M ⋅y N =-5y 1-4my 1-3+4-5y 2-4 my 2-3+4=4m -5 y 1+8 4m -5 y 2+8my 1-3 my 2-3=4m -52y 1y 2+84m -5 y 1+y 2 +64m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-44m -5 2+32m 4m -5 +64-4m 2-12m 2+9=64m 2-36-16m 2+9=-4设Q x ,y 是以线段MN 为直径的圆上得任意一点，则有MQ ⋅NQ=0，即0=x +1 2+y -y M y -y N ，由对称性令y =0得0=x +1 2+y M y N =x +1 2-4，所以x =1或x =-3所以以线段MN 为直径的圆经过定点，定点坐标为-3,0 与1,0 .【点睛】关键点点睛：求出M ,N 的点的坐标，计算出y M ⋅y N 为定值-4，是解题的关键之一，其次写出以MN 为直径的圆的方程，根据圆的方程0=x +1 2+y -y M y -y N ，由对称性，令y =0求定点是解题的关键.14.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为23，且经过点P -3,12 ．(1)求椭圆E 的标准方程：(2)过椭圆E 的左焦点F 1作直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点(点A 在x 轴上方)，过点A ，B 分别作椭圆的切线，两切线交于点M ，求AB MF 1的最大值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)2【分析】(1)由待定系数法求解析式；(2)设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M ，再由弦长公式及两点距离公式表示出AB MF 1，进而讨论最值.【详解】(1)由题意得2c =233a 2+14b 2=1a 2=b 2+c2 ，所以a =2b =1 ，即椭圆方程为x24+y 2=1；(2)当直线l 斜率为0时，A ，B 分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l ：x =ty -3，由x 24+y 2=1x =ty -3，得t 2+4 y 2-23ty -1=0．Δ=16t 2+16>0，y 1+y 2=23t t 2+4，y 1y 2=-1t 2+4.AB =1+t 2y 1-y 2 =1+t 2y 1+y 22-4y 1y 2=1+t212t 2t 2+42+4t 2+4=4t 2+1t 2+4不妨设A x 1,y 1 在x 轴上方，则B x 2,y 2 在x 轴下方．椭圆在x 轴上方对应方程为y =1-x 24，y =-x41-x 24，则A 处切线斜率为-x 141-x 214=-x 14y 1，得切线方程为y -y 1=-x 14y 1x -x 1 ，整理得x 1x4+y 1y =1.同理可得B 处的切线方程为x 2x4+y 2y =1．由x 1x 4+y 1y =1①x 2x 4+y 2y =1②得x M =4y 2-y 1 x 1y 2-x 2y 1=4y 2-y 1 ty 1-3 y 2-ty 2-3 y 1=4y 2-y 1 3y 1-y 2 =-433，代入①得y M =1+33x 1y 1=1+33ty 1-3 y 1=3t 3，所以M -433,3t 3．因为MF 1 =-433+3 2+t 23=1+t 23，所以AB MF 1 =4t 2+1t 2+41+t 23=43t 2+1t 2+4设m =t 2+1≥1，则t 2=m 2-1，则AB MF 1=43m m 2+3=43m +3m≤4323=2，当且仅当m 2=3，即t =±2时，ABMF 1的最大值是2．另解：当直线l 的斜率存在时，设l ：y =k x +3 ，由x 24+y 2=1y =k x +3得1+4k 2 x 2+83k 2x +12k 2-4=0，所以Δ=k 2+1>0，x 1+x 2=-83k 21+4k 2，x 1x 2=12k 2-41+4k 2，AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅64×3k 21+4k 22-412k 2-41+4k 2=41+k 21+4k 2椭圆在x轴上方的部分方程为y=1-x24，y'=-x41-x24，则过A x1,y1y1>0的切线方程为y-y1=-x14y1x-x1，即x1x4+y1y=x214+y21=1，同理可得过B x2,y2y2<0的切线方程为x2x4+y2y=1.由x1x4+y1y=1x2x4+y2y=1得x M=4y2-y1x1y2-x2y1=4y2-y1y1k-3y2-y2k-3y1=4y2-y13y1-y2=-433设M-43 3,t，则-3x13+ty1=1-3x23+ty2=1 ，所以直线l的方程为-33x+ty=1，所以t=33k.MF1=-433+32+t2=1+k23k2，AB MF1=41+k21+4k2⋅3k21+k2=43k21+k21+4k22令n=1+4k2≥1，则k2=n-14，所以ABMF1=3-3⋅1n2+2⋅1n+1，当1n=-22×-3⇒n=3时，即k=±22时，ABMF1取得最大值，为2．【点睛】直线与圆锥曲线问题，一般设出直线，联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理表示出所求的内容，进而进行进一步讨论.15.(2023春·江苏常州·高三校联考开学考试)已知点P2,-1在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的长轴长为42，直线l:y=kx+m与C交于A,B两点，直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求QA|2+QB|2的值.【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】(1)根据题意求出椭圆方程为:x28+y22=1，将椭圆，及相关直线、点进行平移，将y1x1,y2x2看作方程8n-4X2+8t-4nX-4t+1=0的两不等实根，进而可得n=-2t，代入直线方程化简即可；(2)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得y3+y4=m，y3y4=m2-22，化简QA|2+QB|2=5y3+y42-2y3y4，代入韦达定理即可求解.【详解】(1)由题意知2a=424a2+1b2=1⇒a=22b=2,∴椭圆方程为:x28+y22=1.将椭圆平移至(x +2)28+(y -1)22=1即x 2+4y 2+4x -8y =0，此时P 点平移至P 0,0 ,A ,B 分别平移至A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，设直线A B 方程为tx +ny =1代入椭圆⇒x 2+4y 2+4x -8y tx +ny =0，整理得8n -4 y 2+8t -4n xy -4t +1 x 2=0，两边同除以x 2⇒8n -4 ⋅y x2+8t -4n ⋅y x-4t +1 =0，∴k PA ⋅k PB=k PA ⋅k PB =14⇒y 1x 1⋅y 2x 2=14令y x =X ，则y 1x 1,y 2x 2可看作关于X 的一元二次方程，8n -4 X 2+8t -4n X -4t +1 =0的两不等实根，∴y 1x 1⋅y 2x 2=X 1X 2=-4t +1 8n -4=14,∴4t =-2n ，即n =-2t ，∴直线A B 方程为tx -2ty =1t ≠0 ,∴y =12x -12t，∴A B 的斜率为定值12，即k 的定值12.(2)设A x 3,y 3 ,B x 4,y 4 ，y =12x +m x 2+4y 2=8⇒8y 2-8my +4m 2-8=0，即2y 2-2my +m 2-2=0,Δ>0，故y 3+y 4=m ，y 3y 4=m 2-22，∴QA |2+ QB 2=1+4⋅y 3 2+1+4⋅y 4 2=5y 23+y 24 =5y 3+y 4 2-2y 3y 4=5m 2-2×m 2-22=10，∴QA |2+ QB |2=1016.(2023春·江苏苏州·高三统考开学考试)已知抛物线y 2=a 2x 的焦点也是离心率为32的椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的一个焦点F ．(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过F 的直线l 交抛物线于A 、B ，交椭圆于C 、D ，且A 在B 左侧，C 在D 左侧，A 在C 左侧．设a =AC ，b =μCD ，c =DB ．①当μ=2时，是否存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列，求μ的范围．【答案】(1)抛物线的标准方程是y 2=12x ，椭圆的标准方程为x 212+y 23=1(2)①不存在，理由见解析；②μ∈43-12,+∞【分析】(1)根据相同焦点得到a 24=32a ，解得a =23，得到答案.(2)设l ：x =my +3和各点坐标，联立方程利用韦达定理得到根与系数的关系，计算AB =12m 2+1 ，CD =43m 2+1m 2+4，根据等差数列的性质得到方程，方程无解得到答案；整理得到m 2=3+23μ-123>0，解不等式即可.【详解】(1)抛物线的焦点F a 24,0 ，椭圆的焦点F c ,0 ，由于e =c a =32，即F 32a ,0 ，则有a 24=32a ，因此a =23，c =3，b =a 2-c 2=3，故椭圆的标准方程为x 212+y 23=1，抛物线的标准方程是y 2=12x ．(2)①设l ：x =my +3，m ≠0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，将直线与抛物线联立，则有y 2=12xx =my +3 ，y 2-12my -36=0，Δ=144m 2+36×4>0，则y 1+y 2=12m y 1y 2=-36，于是x 1x 2=my 1+3 my 2+3 =m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9，将直线与椭圆联立，则有x 2+4y 2-12=0x =my +3，得到二次方程m 2+4 y 2+6my -3=0，Δ>0，则有y 3+y 4=-6m m 2+4y 3y 4=-3m 2+4，则AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2=1+m 2⋅y 1+y 22-4y 1y 2=12m 2+1 ，CD =x 3-x 42+y 3-y 4 2=1+m 2⋅y 3+y 4 2-4y 3y 4=1+m236m 2m 2+4 2+12m 2+48m 2+42=43m 2+1 m 2+4，AC +DB =AB -CD =12m 2+1 -43m 2+1m 2+4，假设存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列，即AC +DB =4CD 即有12m 2+1 -43m 2+1 m 2+4=2×2×43m 2+1m 2+4，整理得到12m 2=203-48，方程无解，因此不存在l 满足题设．②只需使得方程12m 2+1 -43m 2+1 m 2+4=2μ×43m 2+1m 2+4有解即可．整理得到m 2=3+23μ-123，故m 2=3+23μ-123>0，解得μ∈43-12,+∞【点睛】关键点睛：本题考查了抛物线和椭圆的标准方程，等差数列性质，直线和抛物线，椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用韦达定理得到根与系数的关系，根据设而不求的思想，可以简化运算，是解题的关键，需要熟练掌握.17.(2023秋·江苏无锡·高三统考期末)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点F 和抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，且C 1和C 2的一个公共点是23,263．(1)求C 1和C 2的方程；(2)过点F 作直线l 分别交椭圆于A ，B ，交抛物线C 2于P ，Q ，是否存在常数λ，使1AB -λPQ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1， y 2=4x (2)存在，λ=13【分析】(1)先求出抛物线的方程，进而求出焦点，再根据椭圆的右焦点与其重合，列出方程组求解即可；(2)利用弦长公式分别表示出AB ,PQ ，然后代入1AB -λPQ ，可求出使1AB -λPQ为定值的常数λ.【详解】(1)解：由题意知2632=2p ⋅23⇒p =2，∴y 2=4x ，抛物线焦点1,0 ，∴c =149a 2+83b 2=1a 2=b 2+c2 ⇒a =2b =3 ⇒C 1方程：x 24+y 23=1，C 2方程：y 2=4x ．(2)解：方法一：假设存在这样的l ，设直线l 的方程为：x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，x =my +13x 2+4y 2=12⇒3m 2y 2+2my +1 +4y 2=12，3m 2+4 y 2+6my -9=0．Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 ，∴AB =1+m 2⋅y 1-y 2 =1+m 2⋅144m 2+1 3m 2+4=12m 2+13m 2+4．设P x 3,y 3 ，Q x 4,y 4 ，x =my +1y 2=4x⇒y 2=4my +4，y 2-4my -4=0，Δ=16m 2+16，∴PQ =1+m 2⋅y 3-y 4=1+m 2⋅16m 2+16=4m 2+1 ，∴1AB -λPQ =3m 2+412m 2+1 -λ4m 2+1 =3m 2+4-3λ12m 2+1 为定值．∴312=4-3λ12⇒λ=13，∴存在常数λ=13使1AB -λPQ为定值14．方法二：1AB -λPQ =1-14cos 2θ3-λ1-cos 2θ4对比cos 2θ前系数λ=13．方法三：设l 倾斜角为θ，∴AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ=2×2×34-cos 2θ=124-cos 2θ，PQ =2p sin 2θ=4sin 2θ，∴1AB -λPQ =4-cos 2θ12-λsin 2θ4=4-3λsin 2θ-cos 2θ12为定值，∴3λ=1，λ=13，此时定值为14．18.(2023秋·江苏·高三统考期末)如图，已知椭圆x 24+y 2=1的左､右顶点分别为A ,B ，点C 是椭圆上异于A ,B 的动点，过原点O 平行于AC 的直线与椭圆交于点M ,N ,AC 的中点为点D ，直线OD 与椭圆交于点P ,Q ，点P ,C ,M 在x 轴的上方.(1)当AC =5时，求cos ∠POM ；(2)求PQ ⋅MN 的最大值.【答案】(1)-35(2)10【分析】(1)根据题意求出k AC ⋅k OD =-14，根据AC =5分析出点C 满足的方程，求出点C 坐标，进而求出cos ∠POM ；(2)利用弦长公式求出PQ 和MN ，再利用基本不等式求出最值.【详解】(1)由题知A -2,0 ,设C x 0,y 0 ，则D x 0-22,y 02，则k AC ⋅k OD =y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=1-14x 2x 20-4=-14.因为AC =5，所以C 在圆(x +2)2+y 2=5上，又C 在椭圆x 24+y 2=1上，所以C x 0,y 0 满足(x +2)2+y 2=5x 24+y 2=1，所以(x +2)2+1-x 24=5，34x 2+4x =0，所以x 0=0或x 0=-163<-2(舍去)，又C 在x 轴上方，所以C 0,1 ，所以直线AC 的斜率为12，故直线OD 的斜率为-12，所以直线AC 与直线OD 关于y 轴对称.设直线AC 的倾斜角θ，cos ∠POM =cos2π2-θ=-cos2θ=sin 2θ-cos 2θ=sin 2θ-cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ-1tan 2θ+1=-35(2)当直线MN 斜率为k ,k >0，则直线MN :y =kx ，直线PQ :y =-14k x ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 满足y =kxx 24+y 2=1，所以4k 2+1 x 2=4,x 2=44k 2+1，所以MN 2=1+k 2 164k 2+1，同理PQ 2=1+116k 2 114k 2+1=416k 2+1 4k 2+1，所以MN 2⋅PQ 2=164k 2+4 16k 2+1 4k 2+1 2≤164k 2+4+16k 2+12 24k 2+1 2=420k 2+5 24k 2+12=100所以MN ⋅PQ ≤10，当且仅当4k 2+4=16k 2+1，即k ≤12时取“=”，所以PQ ⋅MN 的最大值为10.【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.(2023·浙江·校联考模拟预测)设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的右焦点为F 3,0 ，F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 的直线交曲线C 于A ，B 两点(其中A 在第一象限)，交直线x =53于点M ，(i )求|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |的值；(ii )过M 平行于OA 的直线分别交直线OB 、x 轴于P ，Q ，证明：MP =PQ .【答案】(1)x 25-y 24=1(2)(i )1；(ii )证明见解析【分析】(1)结合点F 到其中一条渐近线的距离为2和a 2+b 2=c 2，即可求得本题答案；(2)(i )设AB 直线方程为x =my +3，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，得y M =-43m，直线方程与双曲线方程联立消x ，然后由韦达定理得y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5，把|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |逐步化简，即可求得本题答案；(ii )把QM 和OB 的直线方程分别求出，联立可得到点P 的坐标，由此即可得到本题答案.【详解】(1)因为双曲线其中一条渐近线方程为bx +ay =0，又点F 3,0 到它的距离为2，所以3b b 2+a2=3bc =2，又c =3，得b =2，又因为a 2+b 2=c 2，所以a 2=5，所以双曲线C 的方程为x 25-y 24=1.(2)(2)设AB 直线方程为x =my +3，则y M =-43m，代入双曲线方程整理得：4m 2-5 y 2+24my +16=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5，(i )|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |=y 1 ⋅y 2-y M y M -y 1 ⋅y 2 =y 1y 2-y 1y My 2y M -y 2y 1 而y 1y 2-y 1y M -y 2y M -y 2y 1 =2y 1y 2-y M y 1+y 2 =324m 2-5--24m 4m 2-5⋅-43m =0，所以y 1y 2-y 1y M =y 2y M -y 2y 1，，则y 1y 2-y 1y M =y 2y M -y 2y 1 ，所以|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |=1 ；(ii )过M 平行于OA 的直线方程为y +43m =y 1my 1+3x -53，直线OB 方程为y =y 2my 2+3x 与y +43m =y 1my 1+3x -53联立，得y +43m =y 1my 1+3my 2+3y 2y -53，即y 2my 1+3 y +43m my 1+3 y 2=y 1my 2+3 y -53y 1y 2，则3y 2-y 1 y =-3y 1y 2-4my 2，所以y P =-3y 1y 2-4my 23y 2-y 1 ，由y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5两式相除得，y 1y 2y 1+y 2=2-3m ，则y 1y 2=-23m y 1+y 2 ，所以y P =-3y 1y 2-4m y 23y 2-y 1 =2m y 1+y 2 -4m y 23y 2-y 1 =2m y 1-y 2 3y 2-y 1 =-23m ，因为y Q =0，所以y P =y M +y Q2，故P 为线段MQ 的中点，所以|MP |=|PQ |.【点睛】关键点点睛：本题第二小题第一问考了|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |如何用y 1,y 2,y M 表示出来，进而利用韦达定理进行化简求值，考查了学生的转化能力以及对复杂运算的求解能力20.(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1,B 1,0 .(1)设P 是椭圆C 上的一个动点，求PO ⋅PB的取值范围；(2)设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，试问：是否存在满足条件的直线l ，使得△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】(1)23,6(2)y =54x -355或y =-54x +355【分析】(1)设点P (x 0,y 0)，将PO ⋅PB转化为坐标表示，求取值范围；(2)设直线方程，与椭圆方程联立，设MN 中点为D ，若△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BM ⊥BN ，BD ⊥MN ，解出直线方程.【详解】(1)设点P (x 0,y 0)，则x 204+y 20=1，PO ⋅PB =(-x 0,-y 0)⋅(1-x 0,-y 0)=x 0(x 0-1)+y 20=34x 0-23 2+23，因为-2≤x 0≤2，所以当x 0=-2时，PO ⋅PB max =34×-2-23 2+23=6，当x 0=23时，PO ⋅PB min =34×23-23 2+23=23，所以PO ⋅PB ∈23,6 .(2)设直线l ：y =kx +m (k ≠0)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，y =kx +mx 24+y 2=1，消去y 得，(4k 2+1)x 2+8km x +4m 2-4=0，由题，Δ=64k 2m 2-4(4k 2+1)(4m 2-4)>0，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1，y 1+y 2=kx 1+m +kx 2+m =2m 4k 2+1，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=m 2-4k 24k 2+1，若△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BM ⊥BN ， BM ⋅BN=(x 1-1,y 1)⋅(x 2-1,y 2)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2=8km +5m 2-34k 2+1=0，所以8km +5m 2-3=0，①设MN 中点为D ，则D -4km 4k 2+1,m4k 2+1，因为BD ⊥MN ，。

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB的交点为Q 。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋；（2）求证：112||||PC PD PQ +=.2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.3. 如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线1222=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3MON π∠=，双曲线的焦距为4。

圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)

.xy1A 2ATG PMON 圆锥曲线1．设椭圆222:12x y M a +=()2a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =（其中O为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值．2 ．已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()13,0F -,而且过点13,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.3、已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.4设)0(1),(),,(22222211>>=+b a b x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅a y b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.xy O PF QA B5 、直线l：y = mx + 1，双曲线C：3x2- y2 = 1，问是否存在m的值，使l与C相交于A , B两点，且以AB为直径的圆过原点6 已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的两个焦点为F1（-2，0），F2（2，0），点P(3,7)在曲线C上。

圆锥曲线基础大题20道

圆锥曲线基础大题20道一、解答题1．（1）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的焦距为x =±，求椭圆1C 的方程；（2）已知双曲线()22222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，求双曲线2C 的方程. 2．已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是1. （1）这组直线何时与椭圆有公共点？（2）当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程. 3．过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA ．(1)求弦OA 中点M 的轨迹方程；(2)延长OA 到N ，使|OA|=|AN|，求N 点的轨迹方程.4．已知动圆经过点F (2,0)，并且与直线x ＝－2相切（1）求动圆圆心P 的轨迹M 的方程；（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l 与轨迹M 相交于A ，B 两点，求|AB | 5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(1,2)P 在抛物线C 上.（1）求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两个不同点，若AB 的中点为(3,2)M -，求OAB 的面积.6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.7．焦点在x 轴上的椭圆的方程为2214x y m +=，点(2,1)P 在椭圆上. （1）求m 的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 8．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2（2）经过23(2,),(2,)A B ---两点 9．如图，若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且12·32PF PF =，试求12F PF ∆的面积. 10．已知条件p :空间向量(1,0,)a n =,(1,1,1)b =-,满足0a b ⋅>;条件q :方程2212x y n k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线. （1）求使条件p 成立的n 的取值范围;（2）若p 成立是q 成立的充分条件,求实数k 的取值范围.11．已知椭圆的两个焦点坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线1y x =+与椭圆交于A ､B 两点，求AB 中点的坐标和AB 长度. 12．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2e =(2,3)P （1）求双曲线的方程；（2）求双曲线的焦点到渐近线的距离13．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，1F ，2F 是椭圆的左､右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆上，且122PF PF -=，求12PF PF ⋅的值. 14．已知双曲线22:12x C y -=. （1）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且A 、B 的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率.15．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，实轴长为2.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l：y kx =+C 的左支交于A ､B 两点，求k 的取值范围.16．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为6，离心率为23. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，求AB 的最大值.17．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>的焦距为4，短半轴长为2. （1）求椭圆Ω的方程；（2）若直线l 与椭圆Ω相交于A ，B 两点，点()2,1P -是线段AB 的中点，求直线l 的方程.18．已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为F ，一条渐近线方程为0x =，直线:0l x y -+=与双曲线交于点A ， B 两点.记F A ， FB 的斜率分别为12,.k k （1）求双曲线C 的方程;（2）求1211k k +的值. 19．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，O 为坐标原点，O 到直线2AF 的距离为3，12AF F △为等边三角形. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若倾斜角为60 的直线经过椭圆C 的右焦点2F ，且与椭圆C 交于M ，N 两点（M 点在N 点的上方）求线段2MF 与2NF 的长度之比.20．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M (2，m )为其上一点，且|MF |＝4.（1）求p 与m 的值；（2）如图，过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，求直线OA 、OB 的斜率之积.参考答案1．（1）22196x y +=；（2）22145x y -= 【分析】（1）由已知可得c =2a c±=± （2）由已知可得b a =，29c =，计算即可得出结果. 【详解】（1）焦距为c =x =±，则2a c±=±3a =，由222a b c =+，可得：26b =，所以椭圆1C 的方程为22196x y +=；（2）由双曲线的一条渐近线方程为2y x =可知，b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则29c =，又因为222a c b =-，即2223c b a a c b =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得：2a =，b =3c =，所以双曲线2C 的方程为22145x y -=. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题.2．（1）截距在[范围内；（2）940x y +=.【分析】（1）由已知设直线方程y x b =+结合椭圆方程，根据有公共点即所得方程的判别式2264208(9)0b b ∆=--≥即可知直线截距在[上有交点；（2）结合（1）由中点坐标可得49(,)1313b b -，而其中必有原点即可求直线方程；【详解】（1）设平行直线的方程为y x b =+，若直线与椭圆有公共点，则：将y x b =+代入22149x y +=，整理得：221384360x bx b ++-=，∴2264208(9)0b b ∆=--≥解得：b ≤≤；（2）令交点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由（1）知：12813b x x +=-，而121218213b y y x x b +=++=，所以线段中点坐标为49(,)1313b b -，其中必有一个中点为坐标原点，故直线的斜率为94k =-， ∴所在的直线方程：940x y +=；【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，计算确定何时它们会有公共点，以及求交点弦的中点所构成直线的方程.3．(1)x 2+y 2-4x="0;" (2)x 2+y 2-16x=0【解析】试题分析：（1）设M 点坐标为（x ，y ），那么A 点坐标是（2x ，2y ），A 点坐标满足圆x 2+y 2-8x=0的方程，所以，（2x ）2+（2y ）2-16x=0，化简得M 点轨迹方程为x 2+y 2-4x=0．（2）设N 点坐标为（x ，y ），那么A 点坐标是（,22x y ）， A 点坐标满足圆x 2+y 2-8x=0的方程，得到：（2x ）2+（y 2）2-4x=0， N 点轨迹方程为：x 2+y 2-16x=0．考点：轨迹方程点评：中档题，本题利用“相关点法”（“代入法”），较方便的使问题得解．4．（1）28y x =（2）16【分析】（1）设(,)P x y ，根据题目条件列方程可求得结果；（2）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可得结果.【详解】（1）设(,)P x y |(2)|x =--，化简得28y x =，所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为28y x =（2）直线l 的方程为(2)y x =--，即2y x =-+，联立228y x y x=-+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得21240x x -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212x x +=，124x x =，由弦长公式可得||AB =16==.所以|16|AB =【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理和弦长公式，属于基础题.5．（1）()1,0，1x =-；（2）【分析】（1）因为()1,2P 在抛物线C 上，可得2p =，由抛物线的性质即可求出结果；（2）由抛物线的定义可知1226AB x x =++=，根据点斜式可求直线AB 的方程为1y x =-+ ，利用点到直线距离公式求出高，进而求出面积.【详解】（1）∵()1,2P 在抛物线C 上，422p P ∴=∴=，， ∴点F 的坐标为()1,0，抛物线C 的准线方程为1x =-；（2）设,A B 的坐标分别为()()1122,,x y x y ，，则1228AB x x =++=，1MF k =-，∴直线AB 的方程为1y x =-+ ，点O 到直线AB 的距离2d =， 12OAB S AB d ∴=⋅=【点睛】本题主要考查了抛物线的基本概念，直线与抛物线的位置关系，属于基础题.6．（1）2212y x -=；（2）实轴长2 【分析】（1）由共渐近线双曲线方程的求法求解即可；（2）由双曲线方程及点到直线的距离求解即可.【详解】解：（1）解：在双曲线22142-=y x 中，2a '=，b '=，则渐近线方程为a y x b''=±=， ∵双曲线2222:1x y C a b -=与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线，b a∴=， ∴方程可化为222212x y a a-=，又双曲线C 经过点M ，代入方程，222212a a∴-=，解得1a =，b = ∴双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）解；由（1）知双曲线22:12y C x -=中，1a =，b =c =∴实轴长22a =，离心率为==c e a设双曲线C 的一个焦点为(，一条渐近线方程为y =，d ∴==，.【点睛】本题考查了共渐近线双曲线方程的求法，重点考查了点到直线的距离，属基础题.7．（1）2（2）长轴长4、短轴长2【分析】（1）根据题意，代入点P ，即可求解.（2）由（1），写出椭圆方程，求解,,a b c ，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.【详解】（1）由题意，点P 在椭圆上，代入，得2114m +=，解得2m =（2）由（1）知，椭圆方程为22142x y +=，则2,a b c ===椭圆的长轴长24a =；’短轴长2b =焦距2c =；离心率c e a ==. 【点睛】本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，属于基础题.8．（1）22143x y +=（2）2218x y += 【分析】（1）利用已知椭圆可得焦点的坐标，结合椭圆的定义可求a ，从而可得椭圆标准方程：（2）利用待定系数法，设出方程，代入两点的坐标，解方程可求.【详解】（1）椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±， ∵椭圆过点3(1,)2，∴24a ==，∴2,a b ==， ∴椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入，得：14213241m n m n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，待定系数法和定义法是常用的求解方法，侧重考查数学运算的核心素养.9．（1）10或22（2）1216F PF S ∆= 【分析】（1）设点M 到另一个焦点的距离为m ，由双曲线定义即可求得m 的值.（2）由双曲线定义及12·32PF PF =，可证明2221212PF PF F F +=，即12F PF ∆为直角三角形，即可求得12F PF ∆的面积. 【详解】（1）12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，则3,4,5,a b c ===设点M 到另一个焦点的距离为m ，由抛物线定义可知1626m a -==，解得10m =或22m =，即点M 到另一个焦点的距离为10或22. （2）P 是双曲线左支上的点，1226PF PF a -==，则2211222·36PF PF PF PF -+=，代入12·32PF PF =，可得221232321006PF PF +=+⨯=，即2212122100PF PF F F +==，所以12F PF ∆为直角三角形，所以12121·1232162F PF S PF PF ∆⨯===. 【点睛】本题考查了双曲线定义及性质的的简单应用，交点三角形面积求法，属于基础题.10．（1）1n >；（2）1k ≤ 【分析】（1）因为空间向量(1,0,)a n =,(1,1,1)b =-,可得(1,0,)(1,1,1)1a b n n ⋅=⋅-=-,即可求得答案;（2）方程2212x y n k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线, 0n k ->,解得n k >,即可求得答案. 【详解】（1）空间向量(1,0,)a n =,(1,1,1)b =-可得(1,0,)(1,1,1)1a b n n ⋅=⋅-=-,∴要使p 成立,只需1n >（2）方程2212x y n k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线,∴0n k ->,解得n k >,若p 成立是q 成立的充分条件,∴k 的取值范围为1k ≤.【点睛】本题主要考查了根据命题成立求参数范围和根据充分条件求参数范围,解题关键是掌握充分条件定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.11．（1）221106x y +=；（2）中点坐标为53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭，4AB =. 【分析】（1）由题意设出椭圆方程并求得c ，由椭圆定义求得a ，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得AB 的中点坐标，再由弦长公式求弦长．【详解】解：（1）由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>，由椭圆定义知2c =，2a ==，所以a =，所以222104b a c =-=-，所求椭圆标准方程为221106x y +=.（2）设直线与椭圆的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2211061x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2810250x x +-=，得1254x x +=-，12258x x =-. 设AB 的中点坐标为()00,x y ，则120528x x x +==-，038y =，所以中点坐标为53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭.由弦长公式4AB ===. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．12．（1）221x y -=；（2）1.【分析】（1）由条件得22431caa b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而可得方程；（2）分别写出焦点坐标和渐近线方程，再由点到直线距离公式可得解. 【详解】（1）双曲线22221x y a b-=的离心率为e =(2,P ，可得22431caa b⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，解得：2211a b ⎧=⎨=⎩，所以221x y -=；（2）双曲线的焦点为(，渐近线为0x y ±=，1=，13．（1）2214x y +=；（2）1-. 【分析】（1）根据离心率公式，可得c a =222c a b =-，即可求得a ，b 的值，即可求得答案；（2）根据椭圆定义，结合条件，可得12,PF PF 的值，根据余弦定理，可求得12cos F PF ∠的值，带入数量积公式，即可求得答案. 【详解】（1）依题意有2c a =，221314a b +=，222c a b =-，解得2a =，1b =，则椭圆的方程为2214x y +=.（2）因为点P 在椭圆上，由椭圆定义得：1224PF PF a +==所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得13PF = ，21PF =，在12PF F △中，由余弦定理222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==-，221112co 1s 3113PF PF PF PF F PF ⎛⎫⋅=⋅⋅⋅-=- ⎪⎝∠=⎭.14．（1）2212x y -=；（2）12. 【分析】（1）设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入点坐标，求得k ，即可得答案；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，利用点差法，代入A 、B 的中点坐标为（1，1），即可求得斜率. 【详解】（1）因为所求双曲线与双曲线C有共同的渐近线，所以设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入(1k =-，所以所求双曲线方程为2212x y -=；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为A 、B 在双曲线上，所以221122221(1)21(2)2x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（1）-（2）得12121212()()()()2x x x x y y y y -+=-+，因为A 、B 的中点坐标为（1，1），即12122,2x x y y +=+=，所以1212121212()2l y y x x k x x y y -+===-+.15．（1）2213x y -=；（2）13k <<.【分析】（1）由条件可得a =2c =，然后可得答案；（2）联立直线与双曲线的方程消元，然后可得()22221303610,0,1390,13A B A B k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎪⎩，解出即可. 【详解】（1）设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >，0b >).由已知得：a =2c =，再由222+=a b c ，∴21b =，∴双曲线方程为2213x y -=.（2）设()A A A x y ，，()B B B x y ，，将y kx =+2213x y -=，得()221390k x ---=，由题意知()22221303610,0,1390,13A B A B k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎪⎩解得13k <<.1k <<时，l 与双曲线左支有两个交点. 16．（1）22195x y +=；（2）maxAB =. 【分析】（1）由题意得2623a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，求出,a c ，从而可求出b 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设()()1122,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系得1297m x x +=- 21294514m x x -=，再利用弦长公式可得AB==【详解】解：（1）由题意可得2623aca=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3,2a c==，所以2225b a c，所以椭圆C的方程为22195x y+=；（2）设()()1122,,A x yB x y222214189450195y x mx mx mx y=+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，由22(18)414(945)0m m∆=-⨯⨯->，得2140m-<1297mx x+=-，21294514mx x-=AB∴==≤所以当0m=时，max7AB=．17．（1）22184x y+=；（2）30x y-+=.【分析】（1）直接求出,b c，即可求解；（2）利用点差法，设()11,A x y，()22,B x y，由题意得22112222184184x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，然后，得到斜率()121212122y y x xkx x y y-+==--+，再代入中点，即可出k，进而求出直线l的方程【详解】（1）由题意可知24c =，2b = 所以24b =，24c =，2228a b c =+=所以椭圆Ω的方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意得22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，得22221212084x x y y --+=，即()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，所以直线l 的斜率()121212122y y x x k x x y y -+==--+.因为点(2,1)P -是线段AB 的中点，所以124x x +=-，122y y +=，所以1k =所以直线l 的方程为1(2)y x -=+，即30x y -+=. 【点睛】关键点睛：利用点差法和中点求出斜率k 是解题关键，属于基础题18．（1）2212x y -=；（2）10-. 【分析】（1）设双曲线方程，由焦点及渐近线方程运算即可得解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组，结合韦达定理可得12y y +=-121y y =-，再由斜率公式即可得解. 【详解】（1）设双曲线的方程为()22221,0,0x y a b a b-=>>，由题意，223a b +=，该双曲线的渐近线方程by x a=±，又双曲线的一条渐近线方程为0x +=，所以2b a =，所以222,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2212x y -=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由22120x y x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消去x化简可得210y +-=，0∆>，所以12y y +=-121y y =-，所以12121212121211112x x y y k k y y y y y y ⎛⎫--+=+=+=-+ ⎪⎝⎭121222101y y y y +-=-=-=--. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是联立方程组，结合韦达定理对1211k k +变形.19．（1）22143x y +=；（2）35. 【分析】（1）由椭圆的定义结合平面几何的知识可直接求得a 、b ，即可得解；（2）联立直线方程与椭圆方程，求得点8,55M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,N ，再由22MN MF y NF y =即可得解. 【详解】（1）因为12AF F △为等边三角形，1OA =即b =，又O 到直线2AF的距离d =2b d ==2a =，则椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）倾斜角为60°的直线经过椭圆C 的右焦点()21,0F ，则直线的方程为)1y x =-，联立)221143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩85x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为M 点在N点的上方，所以8,55M ⎛ ⎝⎭，(0,N ，所以2235M N MF y NF y ==. 20．（1）p ＝4，m ＝±4；（2）-4. 【分析】（1）利用抛物线的定义及题干条件，可求得p 的值，将M 点坐标代入，即可求得m 值；（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为：x ＝2，代入抛物线方程，求得A 、B 点坐标，即可求得OA OB k k ⋅的值，当直线l 的斜率存在时，设直线为y ＝k (x -2)，与抛物线联立，利用韦达定理，求得12y y ，12x x 的值，即可求得OA OB k k ⋅的值，综合即可得答案. 【详解】（1）抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为(,0)2pF ，准线为2p x =-，由抛物线定义知：点M (2，m )到F 的距离等于M 到准线的距离， ∴||242pMF =+=，∴p ＝4，故抛物线C 的方程为y 2＝8x ， ∵点M (2，m )在抛物线C 上，∴m 2＝16，∴m ＝±4，∴p ＝4，m ＝±4；（2）由（1）知：抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点为F (2，0)，答案第17页，总17页若直线l 的斜率不存在，则其方程为：x ＝2，代入y 2＝8x ，可得：A (2，4)，B (2，-4)，从而404042020OA OB k k ---=⨯=---⋅；若直线l 的斜率存在，设为k (k ≠0)，则其方程可表示为：y ＝k (x -2)，由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：21(2)8y k y =-，即ky 2-8y -16k ＝0(k ≠0)， Δ＝64+64k 2＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则121616k y y k-==-， ∴22221212121111(()(16)4886464)()x x y y y y ===⨯-=⋅，从而OA k ⋅1212121200164004OB y y y y k x x x x ---=⨯===---，综上所述：直线OA 、OB 的斜率之积为-4.【点睛】处理抛物线问题，需熟练应用抛物线定义，在联立直线与抛物线方程时，消x 得到关于y 的一元二次方程为常用办法，可简化计算，提高正确率，属基础题.。

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(解析版)-2024届新高考数学大题精选30题

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选30题)1(2024·山东·二模)已知椭圆的焦点分别是F 13,0 ,F 2-3,0 ，点M 在椭圆上，且MF 1 +MF 2 =4．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y =kx +2与椭圆交于A ,B 两点，且OA ⊥OB ，求实数k 的值．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)62或-62．【分析】(1)根据所给条件求出a ,b ，即可得出椭圆标准方程；(2)联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA ⊥OB ，列出方程求k 即可.【详解】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)．由题意可知c =32a =4a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =1,c =3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，如图，联立方程y =kx +2x 24+y 2=1，消去y ，得1+4k 2 x 2+82kx +4=0，则x 1+x 2=-82k 1+4k 2,x 1x 2=41+4k2，从而y 1y 2=kx 1+2 kx 2+2 =k 2x 1x 2+2k x 1+x 2 +2=2-4k 21+4k 2，因为OA ⊥OB ,OA ⋅OB=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，所以41+4k 2+2-4k 21+4k 2=6-4k 21+4k 2=0，解得k =62或-62，经验证知Δ>0，所以k 的值为62或-62．2(2024·江苏南通·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C :x 2a 2+y2b2=1a >b >0 的离心率为32，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 2作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，且△AF 1F 2的周长是4+23.(1)求椭圆C 的方程；(2)当AB =32DE 时，求△ODE 的面积.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)223【分析】(1)由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出a ,b ，得椭圆C 的方程；(2)设直线l 1，l 2的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和AB =32DE 求出DE 和l 2的方程，再求出O 到直线l 2的距离，可求△ODE 的面积.【详解】(1)由题意知，2a +2c =4+23c a =32b 2=a 2-c 2 ，解得a =2,b =1,c=3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)若直线l 1的斜率不存在，则直线l 2的斜率为0，不满足AB =32DE ，直线l 1的的斜率为0，则A ,F 1,F 2三点共线，不合题意，所以直线l 1的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为x =my +3，由x =my +3x24+y 2=1，消去x 得m 24+1 y 2+3m 2y -14=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-3m2m 24+1，y 1y 2=-14m 24+1，∴AB =1+m 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 2⋅4m 2+1m 2+4=4m 2+1 m 2+4.同理可得DE =41m2+11m 2+4=4m 2+1 1+4m 2.，由AB =32DE ，得4m 2+1 m 2+4=32⋅4m 2+1 1+4m 2，解得m 2=2，则DE =43，∴直线l 2的方程为y =±2x -3 ，∴坐标原点O 到直线l 2的距离为d =63=2，S △ODE =12×43×2=223.即△ODE 的面积的面积为223.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3(2024·河北邯郸·二模)已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过M 2,0 ,N 1,-32 两点．(1)求C 的方程．(2)A ,B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x24+y2=1(2)存在，3个【分析】(1)设椭圆C的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，根据条件得到4m=1m+34n=1，即可求出结果；(2)设直线DA为y=kx+1，直线DB为y=-1kx+1，当k=1时，由椭圆的对称性知满足题意；当k2≠1时，联立直线与椭圆方程，求出A,B的坐标，进而求出AB中垂线方程，根据条件中垂线直经过点D(0,1)，从而将问题转化成方程k4-7k2+1=0解的个数，即可解决问题.【详解】(1)由题设椭圆C的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，因为椭圆过M2,0,N1,-3 2两点，所以4m=1m+34n=1，得到m=14,n=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)由(1)知D(0,1)，易知直线DA,DB的斜率均存在且不为0，不妨设k DA=k(k>0)，k DB=-1k，直线DA为y=kx+1，直线DB为y=-1kx+1，由椭圆的对称性知，当k=1时，显然有DA=DB，满足题意，当k2≠1时，由y=kx+1x24+y2=1，消y得到14+k2x2+2kx=0，所以x A=-8k1+4k2，y A=-8k21+4k2+1=1-4k21+4k2，即A-8k1+4k2,1-4k21+4k2，同理可得B8kk2+4,k2-4k2+4，所以k AB=k2-4k2+4-1-4k21+4k28kk2+4+8k1+4k2=(k2-4)1+4k2-(k2+4)(1-4k2)8k(1+4k2+k2+4)=k2-15k，设AB中点坐标为(x0,y0)，则x0=-8k1+4k2+8kk2+42=12k(k2-1)(k2+4)(1+4k2)，y0=1-4k21+4k2+k2-4k2+42=-15k2(k2+4)(1+4k2)，所以AB中垂线方程为y+15k2(k2+4)(1+4k2)=-5kk2-1x-12k(k2-1)(k2+4)(1+4k2)，要使△ADB为AB为底边的等腰直角三角形，则直AB中垂线方程过点(0,1)，所以1+15k2(k2+4)(1+4k2)=-5kk2-10-12k(k2-1)(k2+4)(1+4k2)，整理得到k4-7k2+1=0，令t=k2，则t2-7t+1=0，Δ=49-4>0，所以t有两根t1,t2，且t1+t2=7>0,t1t2=1>0，即t2-7t+1=0有两个正根，故有2个不同的k2值，满足k4-7k2+1=0，所以由椭圆的对称性知，当k2≠1时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第(2)问，通过设出直线DA 为y =kx +1，直线DB 为y =-1kx +1，联立椭圆方程求出A ,B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点D (0,1)，再转化成关于k 的方程的解的问题.4(2024·广东广州·模拟预测)已知椭圆C :x 28+y 2b2=1(0<b <22)，右顶点为E ，上､下顶点分别为B 1,B 2,G 是EB 1的中点，且EB 1 ⋅GB 2=1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点D -4,0 的直线l 交椭圆C 于点M ,N ，点A -2,-1 ，直线MA ,NA 分别交直线x =-4于点P ,Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)x 28+y 22=1(2)证明见解析【分析】(1)通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；(2)设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点P ,Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】(1)由题可得a 2=8,∵E a ,0 ，B 10,b ,B 20,-b ，∴EB 1的中点为G a 2,b2，∵EB 1 ⋅GB 2 =(-a ,b )⋅-a 2,-3b 2 =a 22-3b 22=1,∴b 2=2,故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1；(2)依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k x +4 ，由y =k x +4x 28+y 22=1消去y 并化简得1+4k 2 x 2+32k 2x +64k 2-8=0，由Δ=1024k 4-41+4k 2 64k 2-8 >0，得k 2<14,-12<k <12.设M x M ,y M ,N x N ,y N ，则x M +x N =-32k 21+4k 2,x M x N =64k 2-81+4k 2，依题意可知直线MA ,NA 的斜率存在，直线MA 的方程为y +1=y M +1x M +2x +2 ，令x =-4，得y P =-2y M -x M -4x M +2=-2k x M +4 -x M -4x M +2=-2k -1 x M -8k -4x M +2=-2k -1 x M +2 -4k -2x M +2=-2k -1-4k +2x M +2，同理可求得y Q =-2k -1-4k +2x N +2，∴y P +y Q =-4k -2-4k +2x M +2-4k +2x N +2=-4k -2-4k +2 1x M +2+1x N +2=-4k -2-4k +2 ⋅x M +x N +4x M x N +2x M +x N +4=-4k -2-4k +2 ⋅-32k 21+4k 2+464k 2-81+4k 2+2-32k 21+4k2+4=-4k -2+(4k +2)=0，∴线段PQ 的中点为定点-4,0 .【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5(2024·辽宁·二模)平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点A ,B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且OP =23OA +33OB，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点E 4,1 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点M ,N 时，在线段MN 上取点Q ，满足|EM |⋅|QN|=|QM |⋅|EN|．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)点Q 在定直线上，定直线方程为3x +y -3=0【分析】(1)设点P ,A ,B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得x 0=32x y 0=3y，结合正方形面积得Γ的方程；(2)设l :y =kx +1-4k ，Q ,M ,N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得M ,N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得x 0-x 1x 2-x 0=4-x 14-x 2，化简得x 0=2+4k3+k，代入直线方程即可y 0，从而求出定直线方程.【详解】(1)设P x ,y ,A x 0,0 ,B 0,y 0 ，由OP =23OA +33OB =23(x 0,0)+33(0,y 0)=23x 0,33y 0 ，得x =23x 0y =33y 0，所以x 0=32x y 0=3y，因为正方形ABCD 的面积为AB 2=9，即x 20+y 20=9，所以32x 2+(3y )2=9，整理可得x 24+y 23=1，因此C 的轨迹方程为x 24+y 23=1．(2)依题意，直线l 存在斜率，设l ：y -1=k (x -4)，即y =kx +1-4k ，设点Q x 0,y 0 ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 x 1<x 0<x 2 ，由y =kx +1-4k3x 2+4y 2=12，消y 得3x 2+4(kx +1-4k )2=12，即(3+4k 2)x 2+8k (1-4k )x +4(1-4k )2-12=0，由Δ=64k 21-4k 2-163+4k 2 1-4k 2-3=161-4k 24k 2-3+4k 2 +483+4k 2 =483+4k 2 -1-4k 2 =48-12k 2+8k +2 =96-6k 2+4k +1 >0，可以得到2-106<k <2+106，所以k ≠-3，可得x 1+x 2=-8k (1-4k )3+4k 2，x 1x 2=4(1-4k )2-123+4k 2，由|EM |⋅|QN |=|QM |⋅|EN |，得|QM ||QN |=|EM||EN |，所以x 0-x 1x 2-x 0=4-x 14-x 2，可得x 0=4(x 1+x 2)-2x 1x 28-(x 1+x 2)=4-8k (1-4k )3+4k 2 -24(1-4k )2-123+4k 28--8k (1-4k )3+4k 2=-32k 1-4k -81-4k 2+2424+32k 2+8k -24k 2=-32k +128k 2-128k 2+64k -8+2424+8k =16+32k 24+8k =2+4k 3+k，所以y 0=kx 0+1-4k =2k +4k 23+k +1-4k 3+k 3+k =3-9k3+k，因为3x 0+y 0=6+12k 3+k +3-9k3+k=3，所以点Q 在定直线上，定直线方程为3x +y -3=0．6(2024·福建厦门·三模)在直角坐标系xOy 中，已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M ,N 两点，且当l 的斜率为1时，MN =8．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q (异于原点)，线段MN 的中点为R ，若QR ≤3，求△MNQ 面积的取值范围．【答案】(1)y 2=4x ；(2)2,63 .【分析】(1)先设l 的方程为x =my +p2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；(2)先设出R 2m 2+1,2m ，进而可求P ,Q 的坐标，可得直线QR ⎳x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】(1)不妨先设l 的方程为x =my +p2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，代入y 2=2px ，可得y 2-2mpy -p 2=0，所以y 1+y 2=2mp ，y 1y 2=-p 2，则MN =x 1+x 2+p =m y 1+y 2 +2p =2m 2p +2p ，由题意可知当斜率为1时，m =1，又MN =8，即2p +2p =8，解得p =2，所以C 的方程为y 2=4x ；(2)由(1)知p =2，直线l 的方程为x =my +1，抛物线方程y 2=4x ，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4所以R 的纵坐标y R =y 1+y 22=2m ，将R 的纵坐标2m 代入x =my +1，得x =2m 2+1，所以R 的坐标2m 2+1,2m ，易知抛物线的准线为x =-1,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标-1,-2m ，则直线OP 的方程为x =m2y ，把x =m2y 代入y 2=4x ，得y 2=2my ，即y =2m 或y =0，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把y =2m 代入x =m 2y ，得x =m2y =m 2，所以Q m 2,2m ，因为R 的坐标2m 2+1,2m ，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线QR ⎳x 轴，且QR =2m 2+1-m 2 =m 2+1 ，所以△MNQ 面积S △MNQ =S △MRQ +S △NRQ =12QR y 1-y 2 ，因为y 1-y 2 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=16m 2+16，所以y 1-y 2 =16m 2+16=4m 2+1，所以S △MNQ =12m 2+1 ×4m 2+1=2m 2+1 32=2QR 32，因为点Q 异于原点，所以m ≠0，所以m 2+1 >0，因为QR ≤3，所以1<QR ≤3，所以2<2QR 32≤63，即△MNQ 面积的取值范围为2,63 .7(2024·浙江丽水·二模)已知抛物线E :y 2=4x ，点A ,B ,C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方(B 在C 左侧)，A ,C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值(O 为坐标原点)；(2)若点Q 的横坐标为-1，且MB ⋅MC =89，求△AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)x -19 2+y 2=49【分析】(1)根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；(2)根据(1)的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】(1)设直线AB 的方程为x =my +t m >0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则C x 1,-y 1 ,M t ,0 ，由x =my +ty 2=4x，消去x ，得y 2-4my -4t =0，Δ=16m 2+t >0⇒m 2+t >0，所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4t ，直线BC 的方程为y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1x -x 1 ，化简得y =4xy 2-y 1-y 1y 2y 2-y 1，令y =0，得x Q =y 1y 24=-t ，所以Q -t ,0因此OM OQ =t-t =1.(2)因为点Q 的横坐标为-1，由(1)可知，Q -1,0 ,M 1,0 ，设QA 交抛物线于D ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 1,-y 1 ,D x 4,y 4 ，如图所示又由(1)知，y 1y 2=-4，同理可得y 1y 4=4，得y 4=-y 2，又x 1+x 2=my 1+1+my 2+1=m y 1+y 2 +2=4m 2+2，x 1x 2=y 214⋅y 224=y 1y 2 216=1，又MB =x 2-1,y 2 ,MC=x 1-1,-y 1 ，则MB ⋅MC=x 2-1 x 1-1 -y 1y 2=x 1x 2-x 1+x 2 +1+4=4-4m 2，故4-4m 2=89,结合m >0，得m =73.所以直线AB 的方程为3x -7y -3=0,又y 1-y 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=16m 2+16=163，则k AD =y 1-y 4x 1-x 4=y 1-y 4x 1-x 4=y 1-y 4y 214-y 224=4y 1+y 4=4y 1-y 2=34，所以直线AD 的方程为3x -4y +3=0，设圆心T (s ,0)(-1<s <1),因为QM 为∠AQB 的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以3s +3 5=3s -3 4，因为-1<s <1，解得s =19，故圆T 的半径r =3s +35=23，因此圆T 的方程为x -19 2+y 2=49.8(2024·江苏苏州·模拟预测)已知点A (1,0)，B (0,1)，C (1,1)和动点P (x ,y )满足y 2是PA ⋅PB ，PA⋅PC的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线C 1按向量a =-34,116平移后得到曲线C 2，曲线C 2上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点Q (0,b )，如果∠MON (O 为坐标原点)为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在(2)的条件下，如果b =2时，曲线C 2在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)y =x 2-32x +12；(2)b <0或b >1；(3)证明见解析.【分析】(1)根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，由平移公式可得曲线C 2的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；(3)根据题意，求导可得在点M ,N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】(1)由题意可得PA =(1-x ,-y )，PB =(-x ,1-y )，PC=(1-x ,1-y )，则PA ⋅PB=(1-x )⋅(-x )+(-y )⋅(1-y )=x 2+y 2-x -y ，PA ⋅PC=(1-x )⋅(1-x )+(-y )⋅(1-y )=x 2+y 2-2x -y +1，又∵y 2是PA ⋅PB ，PA ⋅PC 的等差中项，∴x 2+y 2-x -y +x 2+y 2-2x -y +1 =2y 2，整理得点P (x ,y )的轨迹方程为y =x 2-32x +12．(2)由(1)知C 1:y =x 2-32x +12，又∵a =-34,116 ，∴平移公式为x =x -34y =y +116 即x =x +34y =y -116，代入曲线C 1的方程得到曲线C 2的方程为：y -116=x +342-32x +34 +12，即y =x 2．曲线C 2的方程为y =x 2．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y =kx +b ，由y =x 2y =kx +b消去y 得x 2-kx -b =0，令M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 x 1≠x 2 ，则x 1+x 2=kx 1x 2=-b ，∴OM =x 1,y 1 =x 1,x 21 ，ON =x 2,y 2 =x 2,x 22 ，又∵∠MON 为锐角，∴cos ∠MON =OM ⋅ON |OM |⋅|ON |>0，即x 1x 2+x 21x 22|OM |⋅|ON |>0，∴x 1x 2+x 21x 22>0，又x 1x 2=-b ，∴-b +(-b )2>0，得b <0或b >1．(3)当b =2时，由(2)可得x 1+x 2=kx 1x 2=-b =-2，对y =x 2求导可得y =2x ，∴抛物线C 2在点，∴M =x 1,x 21 ，N x 2,x 22 处的切线的斜率分别为k M =2x 1，k N =2x 2，∴在点M ，N 处的切线方程分别为l M :y -x 21=2x 1x -x 1 ，l N :y -x 22=2x 2x -x 2 ，由y -x 21=2x 1x -x 1y -x 22=2x 2x -x 2x 1≠x 2，解得交点R 的坐标(x ,y )．满足x =x 1+x 22y =x 1⋅x2即x =k2y =-2，∴R 点在定直线y =-2上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9(2024·江苏南通·二模)已知双曲线E 的渐近线为y =±33x ，左顶点为A -3,0 .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线l :x =t 交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)x 23-y 2=1(2)①34,0 ；②S >27π16且S ≠7π4【分析】(1)根据渐近线方程及顶点求出a ,b 得双曲线方程；(2)①设D t ,0 ，由四点共圆可得k AG ⋅k OH =1，根据斜率公式转化为B ,C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】(1)因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)，从而渐近线方程为：y =±b a x ，由题条件知：b a =33.因为双曲线的左顶点为A -3,0 ，所以a =3，b =1，所以双曲线的方程为：x 23-y 2=1.(2)如图，①D t ,0 ，设直线BC 的方程为：my =x -t ，将x =my +t 代入方程：x 2-3y 2-3=0，得m 2-3 y 2+2mty +t 2-3=0，当m 2-3≠0且Δ=12t 2+m 2-3 >0时，设B x 1,y 1 ，C x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2mt m 2-3，y 1y 2=t 2-3m 2-3.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设0<α<π2，则∠AGH =π2-α，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：∠HOD =∠AGH ，所以直线OH 的倾斜角为π2-α，k AG ⋅k OH =tan α⋅tan π2-α =sin αcos α×sin π2-α cos π2-α=1.直线AC 的方程为：y =y 2x 2+3x +3 ，令x =t ，则y =y 2t +3 x 2+3，从而H t ,y 2t +3x 2+3，所以k OH =y 2t +3 t x 2+3 ，又k AG =k AB =y 1x 1+3，得：y 1x 1+3×y 2t +3 t x 2+3=1⇒t +3 y 1y 2=t x 1+3 x 2+3 ，又x 1=my 1+t ，x 2=my 2+t 代入上式得：t +3 y 1y 2=t my 1+t +3 my 2+t +3 ，⇒t +3 y 1y 2=t m 2y 1y 2+m t +3 y 1+y 2 +t +3 2 ，⇒t +3 ⋅t 2-3m 2-3=t m 2⋅t 2-3m 2-3+m t +3 ⋅-2mt m 2-3+t +3 2，化简得：4t 2+33t -3=0，解得：t =-3(舍)或t =34.故点D 的坐标为34,0.②直线AG 的方程为y =tan α⋅x +3 ，由①知：t =34，所以G 34,534tan α .直线OH 方程；y =1tan αx ，所以H 34,34tan α，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan α>0时，534tan α>34tan α；若G ，H 在x 轴下方时，即tan α<0时，534tan α<34tan α，所以tan α>55或tan α<-55.又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠±33.所以0<α<π，tan α>55或tan α<55且tan α≠±33.因为OG =34 2+53tan α4 2=1431+25tan 2α ，设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2R =OG sin α=1431+25tan 2α sin α，所以R 2=364×1+25⋅tan 2α sin 2α=164×1+25tan 2α sin 2α+cos 2α sin 2α=364×1+25tan 2α 1+tan 2α tan 2α=36425tan 2α+1tan 2α+26≥364225tan 2α⋅1tan 2α+26=2716，当且仅当25tan 2α=1tan 2α即tan α=±55时，上述不等式取等号，tan α>55或tan α<-55且tan α≠±33.所以R 2>2716且R 2≠74，从而S >27π16且S ≠7π4.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出k AG ⋅k OH =tan α⋅tan π2-α =sin αcos α×sin π2-α cos π2-α=1这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10(2024·江苏南京·二模)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)有公共的焦点F ，且p =4b ．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足λ1|OP |+1|OQ |=1|AF |-1|BF |，求λ的取值范围．【答案】(1)y =±33x (2)0,12【分析】(1)由两曲线有公共的焦点F ，且p =4b ，得c =2b ，a =3b ，可求渐近线方程；(2)通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出1|OP |+1|OQ |和1|AF |-1|BF |，由λ1OP +1OQ=1AF -1BF求λ的取值范围．【详解】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有p2=c ，又p =4b ，则c =2b .由a 2+b 2=c 2，得a =3b ，所以E 的渐近线的方程为y =±33x (2)设l :x =my +c ，P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有m 2<3，由x =my +c y =±33x，解得y 1=c 3-m ，y 2=c -3-m，1OP +1OQ =12y 1 +12y 2=3-m +-3-m 2c =3-m --3-m 2c =3c .设A x 3,y 3 ,B x 4,y 4 ，由x =my +cy 2=2px，消去x 得y 2-2pmx -p 2=0，则有y 3+y 4=2pm ,y 3y 4=-p 2，1AF-1BF=11+m 2y 3 -11+m 2y 4=11+m 2⋅y 3 -y 4 y 3 y 4=11+m 2⋅y 3+y 4 y 3y 4 =11+m 2⋅2pm p 2=2p ⋅m 2m 2+1，由λ1OP +1OQ=1AF -1BF，p 2=c ，有λ⋅3c =2p⋅m 2m 2+1，即3λ=m 2m 2+1，由m 2<3，有3λ∈0,32 ，所以λ∈0,12 .【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11(2024·重庆·三模)已知F2,0，曲线C上任意一点到点F的距离是到直线x=12的距离的两倍.(1)求曲线C的方程；(2)已知曲线C的左顶点为A，直线l过点F且与曲线C在第一、四象限分别交于M，N两点，直线AM、AN分别与直线x=12交于P，H两点，Q为PH的中点.(i)证明：QF⊥MN；(ii)记△PMQ，△HNQ，△MNQ的面积分别为S1，S2，S3，则S1+S2S3是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)x2-y23=1(2)(i)证明见解析；(ii)是，12【分析】(1)设曲线C上任意一点坐标为x,y，利用坐标可得曲线C的方程；(2)(i)设直线MN：x=my+2，M x1,y1，N x2,y2，联立方程组可得y1+y2=-12m3m2-1，y1y2=93m2-1，求得直线AM：y=y1x1+1x+1，求得P，H，进而可得Q的坐标，求得FQ的坐标，直线MN的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii)法一：利用(i)可求得MN=61+m21-3m2；QF=31+m22，进而可得S3=12MN⋅QF=91+m2 3 221-3m2 ，进而求得S1+S2=14PH⋅x1+x2-1，代入运算可求得S1+S2=91+m23241-3m2，可求结论.法二：(利用双曲线的第二定义)由(1)知，MF=2x1-1 2，同理NF =2x2-12，计算可得S1+S2=1 8PH⋅MN，又S3=12MN⋅QF，S1+S2S3=14PHQF，进而计算可得结论成立.【详解】(1)设曲线C上任意一点坐标为x,y，则由题意可知：x-22+y2=4x-1 22⇒x2-4x+4+y2=4x2-4x+1⇒x2-y23=1，故曲线C的方程为x2-y23=1.(2)(i )设直线MN ：x =my +2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，其中-33<m <33且x 1>1，x 2>1x =my +23x 2-y 2-3=0⇒3m 2-1 y 2+12my +9=0 ，故y 1+y 2=-12m 3m 2-1，y 1y 2=93m 2-1；直线AM ：y =y 1x 1+1x +1 ，当x =12时，y =3y 12x 1+1 ，故P 12,3y 12x 1+1，同理H 12,3y 22x 2+1，Q 为PH 中点，故y Q =12⋅32y 1x 1+1+y 2x 2+1=34⋅y 1x 2+1 +y 2x 1+1x 1+1 x 2+1；x 1+1 x 2+1 =my 1+3 my 2+3 =m2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9m 2-36m 2+93m 2-13m 2-1=-93m 2-1；(*)y 1x 2+1 +y 2x 1+1 =y 1my 2+3 +y 2my 1+3 =2my 1y 2+3y 1+y 2 =18m -36m 3m 2-1=-18m3m 2-1；故y Q =34⋅18m 9=3m 2，即Q 12,3m 2，则FQ =-32,3m2 ，直线MN 的方向向量a =m ,1 ，a ⋅FQ =-3m 2+3m2=0，故QF ⊥MN .(ii )法一：y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=144m 2-363m 2-1 3m 2-12=61+m 21-3m 2；(**)故MN =1+m 2y 1-y 2 =61+m 2 1-3m 2；QF =2-122+0-3m 2 2=31+m 22，又QF ⊥MN ，故S 3=12MN ⋅QF =91+m 2 3221-3m 2.S 1+S 2=12PQ ⋅x 1-12 +12HQ ⋅x 2-12 =14PH ⋅x 1+x 2-1 ；x 1+x 2-1=m y 1+y 2 +3=-12m 2+9m 2-33m 2-1=31+m 2 1-3m 2；PH =3y 12x 1+1 -3y 22x 2+1 =32y 1x 2+1 -y 2x 1+1x 1+1 x 2+1，=32y 1my 2+3 -y 2my 1+3 x 1+1 x 2+1=92y 1-y 2x 1+1 x 2+1，由(*)知x 1+1 x 2+1 =91-3m 2，由(**)知y 1-y 2 =61+m 21-3m 2，故PH =92⋅61+m 21-3m 2⋅1-3m 29=31+m 2，故S 1+S 2=14⋅31+m 2⋅31+m 21-3m 2=91+m 2 3241-3m 2，则S 1+S 2S 3=12.法二：(利用双曲线的第二定义)由(1)知，MF =2x 1-12 ，同理NF =2x 2-12，故S 1+S 2=14PH x 1+x 2-1 =18PH ⋅MF +NF =18PH ⋅MN ，又S 3=12MN ⋅QF ，故S 1+S 2S 3=14PHQF ，又y P y H =94y 1y 2x 1+1 x 2+1，且由(*)知y P y H =9493m 2-1-93m 2-1=94，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由y P y H =94可得PK ⋅HK =FK 2，即PK FK =FK HK，即△PKF ∽△PFH ，故PF ⊥HF ；又Q 为PH 的中点，故QF =12PH ，即S 1+S 2S 3=14PH QF =12.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ>0(有些题可不考虑).第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．有些运算量大，转化是关徤，运算求解能力也是考查点之一.12(2024·河北·二模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22．(1)若椭圆E 过点2,2 ，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线l 1，l 2均过点P p n ,0 0<p n <a ,n ∈N * 且互相垂直，直线l 1交椭圆E 于A ,B 两点，直线l 2交椭圆E 于C ,D 两点，M ,N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点Q t n ,0 ，设p n =13n .(ⅰ)求t n ；(ⅱ)记a n =PQ ，求数列1a n的前n 项和S n ．【答案】(1)x 28+y 24=1(2)(ⅰ)t n =23n +1；(ⅱ)S n =92(3n -1).【分析】(1)根据椭圆的离心率得到a ,b 之间的关系，再结合椭圆过点2,2 ，求出b 2的值，从而得到椭圆的方程.(2)(ⅰ)利用根与系数的关系及中点坐标公式求得点M ,N 的坐标，再根据M ,N ,Q 三点共线得t n ,p n 之间的关系；(ⅱ)求得a n ，并利用等比数列的前n 项和公式求得S n .【详解】(1)因为e =c a =22，a 2=b 2+c 2，所以a 2=2b 2，所以椭圆E 的方程为x 22b 2+y 2b2=1，因为椭圆E 过点2,2 ，所以42b 2+2b 2=1，解得b 2=4，所以椭圆E 的方程为x28+y 24=1.(2)(ⅰ)当直线l 1,l 2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线MN 与x 轴重合，不符合题意.故直线l 1,l 2的斜率均存在且不为0.设直线l 1的方程为y =k (x -p n )(k ≠0)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ),N (x N ,y N ),联立方程x 22b 2+y 2b 2=1y =k (x -p n) ，消去y 并整理得(1+2k 2)x 2-4k 2p nx +2k 2p 2n-2b 2=0，因为直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以Δ>0，根据韦达定理得，x 1+x 2=4p n k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2p 2n -2b21+2k 2，则x M =2p n k 21+2k 2yM=-p n k 1+2k 2，同理可得x N =2p n k 2+2y N=p n k k 2+2，因为M ,N ,Q 三点共线，所以y N (x N -x M )=(y N -y M )(x N -t n )，易知y N -y M ≠0，则t n =x M y N -x N y My N -y M =2p n k 21+2k 2⋅p n k k 2+2-2p n k 2+2⋅-p n k1+2k 2p n k k 2+2--p n k1+2k 2=2p n3，因为p n =13n ，所以t n =23n +1.(ⅱ)结合(ⅰ)可知a n =|PQ |=|p n -t n |=13n -23n +1=13n +1，所以1a n=3n +1，所以数列1a n 是首项为9，公比为3的等比数列，所以数列1a n 的前n 项和S n =9(1-3n )1-3=92(3n-1).【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交以及等比数列求和的问题.其中关键点是联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和M ,N ,Q 三点共线，求出点Q 的坐标，从而得到t n .13(2024·辽宁沈阳·二模)以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为6和3，P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点B ,PP ⊥x 轴于P ,BB ⊥PP 于B ,B 点的轨迹为Ω．(1)求B 点轨迹Ω的方程；(2)点A 2,1 ，若点M 、N 在Ω上，且直线AM 、AN 的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求∠AOG 的余弦值．【答案】(1)x 26+y 23=1(2)-31010【分析】(1)设B (x ,y ),∠POP =θ，根据条件得到x =OP cos θ=6cos θy =OB sin θ=3sin θ，消元即可求出结果；(2)法一：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，联立直线MN 与椭圆方程得到1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，由韦达定理得x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2，根据题设得到直线MN 的方程为y =-12x +m ，再利用点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 在椭圆上，得到k OG =1，从而有OG 与y 轴负平轴所形成的夹角为α=π4，再求出OA 与x 正半轴所形成的夹角，即可解决问题；法二：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线AM 的方程为y =k (x -2)+1，直接求出M ,N ，再根据条件求出k MN =-12，后面同法一；法三：建立新的坐标系，在新的坐标系中，得椭圆的方程为(x -2)26+(y -1)23=1，及直线MN 的方程为mx +ny =1，联立直线与椭圆，再结合条件得到n =2m ，从而有k MN =-12，后面同法一；法四：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，联立椭圆方程得1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=0，进而得到1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=1+2k 2 x -x 1 x -x 2 ，通过令x =2，得到41+2k 2 +8km +2m 2-2=1+2k 22-x 1 2-x 2 ，令x =1-m k ，得到(m -1)2k21+2k 2+4km 1-m k +2m 2-2=1+2k 2 1-m k -x 1 1-m k -x 2 ，从而有4k 2+2km +m -1=0，下面同方法一.【详解】(1)设B (x ,y ),∠POP =θ，则x =OP cos θ=6cos θy =OB sin θ=3sin θ，消去θ得x 26+y 23=1，所以B点轨迹Ω的方程为x 26+y 23=1.(2)方法一：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，y =kx +mx 26+y 23=1 ，消去y 得1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，Δ=(4km )2-41+2k 2 2m 2-6 =48k 2-8m 2+24>0，即m 2<6k 2+3由韦达定理知x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2，k AM ⋅k AN =y 1-1x 1-2⋅y 2-1x 2-2=kx 1+m -1x 1-2⋅kx 2+m -1x 2-2=k 2x 1x 2+k (m -1)x 1+x 2 +(m -1)2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=12，所以(2m 2-6)k 21+2k 2+-4k 2m (m -1)1+2k2+(m -1)22m 2-61+2k 2+8km1+2k 2+4=12，整理得4k 2+2km +m -1=0，即4k 2-1 +m (2k +1)=(2k +1)(2k -1+m )=0，当2k +1=0时，直线MN 的方程为y =-12x +m当2k -1+m =0时，直线MN 的方程为y =k (x -2)+1，恒过A (2,1)点，不合题意设G x G ,y G ，将M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，将M 、N 两点代入到椭圆得x 216+y 213=1x 226+y 223=1，两式相减得x 21-x 226+y 21-y 223=0，即y 1-y 2 y 1+y 2 x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 22-0 x 1-x 2 x 1+x 22-0=-36，所以k MN ⋅k OG =-12，故k OG =1，设OG 与y 轴负平轴所形成的夹角为α，因为k OG =1，所以α=π4，设OA 与x 正半轴所形成的夹角为β，因为A (2,1)，所以sin β=55,cos β=255，cos ∠AOG =cos π2+α+β =-sin (α+β)=-(sin αcos β+cos αsin β)=-31010.方法二：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线AM 的方程为y =k (x -2)+1y =k (x -2)+1x 26+y 23=1消去y 可得：1+2k 2 x 2-8k 2-4k x +8k 2-8k -4=0从而x A ⋅x 1=8k 2-8k -41+2k 2，故x 1=4k 2-4k -21+2k2，将x 1代入直线AM 的方程可得y 1=-4k 2-4k 1+2k 2+1，所以M 4k 2-4k -21+2k 2,-4k 2-4k1+2k 2+1，又k AM ⋅k AN =12，将式点M 中的k 换成12k 得到N 2-4k -4k 21+2k 2,-2-4k1+2k 2+1，k MN =y 2-y 1x 2-x 1=-12，下面同方法一方法三：以A (2,1)为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程(x -2)26+(y -1)23=1，在新坐标系下设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为mx +ny =1将椭圆方程变形可得：x 2+4x +2y 2+4y =0将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得x 2+4x (mx +ny )+2y 2+4y (mx +ny )=0，整理得(4n +2)y 2+(4n +4m )xy +(1+4m )x 2=0即：(4n +2)y x 2+(4n +4m )yx +(1+4m )=0，所以k AM ⋅k AN =y 1x 1⋅y 2x 2=1+4m 4n +2=12，故n =2m ，直线MN 的方程为mx +2my =1,k MN =-12，下面同方法一方法四：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +my =kx +mx 26+y 23=1 消去y 可得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=0因为x 1,x 2是上述一元二次方程的两个根，所以1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=1+2k 2x -x 1 x -x 2 ①又k AM ⋅k AN =y 1-1x 1-2⋅y 2-1x 2-2=12整理得：x 1-2 x 2-2 -2y 1-1 y 2-1=x 1-2 x 2-2 -2k 2x 1+m -1k x 2m -1k=0在①式中令x =2得：41+2k 2 +8km +2m 2-2=1+2k 2 2-x 1 2-x 2 ②令x =1-m k 得：(m -1)2k 21+2k 2 +4km 1-m k +2m 2-2=1+2k 2 1-m k -x 1 1-m k -x 2 ③②+③×-2k 2 可得：整理得4k 2+2km +m -1=0，下面同方法一【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第(2)问，通过设出直线MN 的方程为y =kx +m ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立直线MN 与椭圆方程得到1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，由韦达定理得x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k2，根据题设得到直线MN 的方程为y =-12x +m ，再利用点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 在椭圆上，得到k OG =1，从而将问题转化成cos ∠AOG =cos π2+α+β 解决，其中α为OG 与y 轴负平轴所形成的夹角，β为OA 与x 正半轴所形成的夹角.14(2024·广东佛山·二模)两条动直线y =k 1x 和y =k 2x 分别与抛物线C :y 2=2px p >0 相交于不同于原点的A ，B 两点，当△OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =45.(1)求p ；(2)若k 1k 2=-4，弦AB 中点为P ，点M -2,0 关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求△PMN 的面积.【答案】(1)p =2；(2)62.【分析】(1)利用垂直关系，结合斜率坐标公式，列式计算即得.(2)求出P 的轨迹方程，分k 1=-k 2和k 1≠-k 2两种情况讨论，求出直线AB 过定点F (1,0)，再求出N 点坐标，即可求出三角形面积.【详解】(1)由△OAB 的垂心恰是C 的焦点，由抛物线对称性得|OA |=|OB |，AF ⊥OB ，而AB=45，不妨设A 10p ,25 ,B 10p ,-25，而焦点F p 2,0 ，则2510p -p 2⋅-2510p=-1，解得p =2，所以p =2.(2)由(1)知，y 2=4x ，由y =k 1x y 2=4x，解得A 4k 21,4k 1 ，同理B 4k 22,4k 2 ，则P 2k 21+2k 22,2k 1+2k 2，而2k 1+2k 22=4k 21+4k 22+8k 1k 2=22k 21+2k 22-2，因此所以P 的轨迹方程为y 2=2x -2，当k 1=-k 2时，不妨设k 1=2，k 2=-2，此时A (1,2),B (1,-2)，直线AB 过点(1,0)，当k 1≠-k 2时，直线AB 的斜率为4k 1-4k24k 21-4k 22=k 1k 2k 1+k 2=-4k 1+k 2，AB 的方程为y -4k 1=-4k 1+k 2x -4k 21，整理得y =-4k 1+k 2(x -1)，直线AB 过点(1,0)，因此直线AB 过定点F (1,0)，由|FN |=|FM |可得x N +1=3，解得x N =2，于是N (2,-22)或N (2,22)，当N (2,-22)时，MN 的中点为(0,-2)，直线MN 的斜率为-22，此时直线AB 的方程为y =2x -2，由y =2x -2y 2=2x -2 解得P (2,2)或P (1,0)，当P 1,0 时，直线AB 为x =1，不符合题意，舍去，则P 2,2 ，MN =26，△PMN 边MN 上的高h =23，因此△PMN 的面积S △PMN =62，当N (2,22)时，由对称性，同理可得S △PMN =62，所以△PMN 的面积为6 2.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点x 0,y 0 ，常利用直线的点斜式方程y -y 0=k x -x 0 或截距式y =kx +b 来证明.15(2024·广东深圳·二模)设抛物线C ：x 2=2py (p >0)，直线l ：y =kx +2交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线y =-2于点M ．对任意k ∈R ，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线l ⎳l ，且l 与C 相切于点N ，证明：△AMN 的面积不小于22．【答案】(1)x 2=4y ；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，分k =0与k ≠0代入计算，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，再由等差中项的定义列出方程，即可得到结果；(2)方法一：联立直线l 与抛物线的方程，表示出AB 中点E 的坐标，再由点M ，N ，E 三点共线可得△AMN面积为△ABM 面积的14，结合三角形的面积公式代入计算，即可证明；方法二：联立直线l 与抛物线的方程，再由Δ=0，得n =-k 2，点N 2k ,k 2 ，即可得到直线MN 与x 轴垂直，再由三角形的面积公式代入计算，即可证明.【详解】(1)设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由题可知，当k =0时，显然有k AM +k BM =0；当k ≠0时，直线OM 的方程为y =-1kx ，点M 2k ,-2 ．联立直线AB 与C 的方程得x 2-2pkx -4p =0，Δ=4p 2k 2+16p >0，所以x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=-4p ，因为直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列，所以y 1+2x 1-2k +y 2+2x 2-2k=2k ．即kx1+4x1-2k+kx2+4x2-2k=2k，kx1+4x2-2k+kx2+4x1-2kx1-2kx2-2k=2k，化简得2k2+2x1+x2-4k=0．将x1+x2=2pk代入上式得2k2+22pk-4k=0，则p=2，所以曲线C的方程为x2=4y．(2)(法一)设直线l ：y=kx+n，联立C的方程，得x2-4kx-4n=0．由Δ=0，得n=-k2，点N2k,k2，设AB的中点为E，因为x1+x22=2k，y1+y22=k x1+x2+42=2k2+2，则点E2k,2k2+2．因为2k2+2-22=k2，所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，所以△AMN面积为△ABM面积的1 4．记△AMN的面积为S，点M2k,-2到直线AB：kx-y+2=0的距离d=2k2+4k2+1，所以S=18AB×d=181+k2×x1+x22-4x1x2×2k2+4k2+1=k2+232≥22，当k=0时，等号成立．所以命题得证．(法二)设直线l ：y=kx+n，联立C的方程，得x2-4kx-4n=0．由Δ=0，得n=-k2，点N2k,k2．所以直线MN与x轴垂直．记△AMN的面积为S，所以S=12×MN×x1-x22=14×MN ×x1+x22-4x1x2=12×k2+2×4k2-4×-8=k2+2 32≥22．当k=0时，等号成立．所以命题得证．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键采用设线法，联立抛物线方程，根据相切求出N2k,k2，再得出E2k,2k2+2，最后计算出面积表达式求出其最值即可.16(2024·湖南·一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(b>a>1)的渐近线方程为y=±2x，C的半焦距。

圆锥曲线专题40大题练习（含答案）

圆锥曲线44道特训221.已知双曲线C：「-仁=1的离心率为心，点（V3,o）是双曲线的一个顶点.a-b'（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点旦作倾斜角为30°直线/，直线/与双曲线交于不同的A,3两点,求A3的长.22[2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆、+与=1（。

〉力〉0）的离心率为一，过椭圆右a2b22焦点F作两条互相垂直的弦A3与CQ.当直线A3斜率为0时，AB+CD=7.（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围.3.已知椭圆C：「+「=1（。

〉力〉0）的一个焦点为尸（1,0）,离心率为土.设P是椭圆Zr2C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PA|2+|PB|2的最大值.224.已知椭圆C：「+七=1（0〉力〉0）的右焦点为『（L°）,短轴的一个端点B到F的距离a'd等于焦距.（1）求椭圆。

的方程；（2）过点万的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线/,使得△3加与△B月V的面积比值为2?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由..2,25.已知椭圆C：=■+%■=1（a>b>0）过点p（—1,—1）-c为椭圆的半焦距，且c=姻b.过a"b~点P作两条互相垂直的直线L,L与椭圆C分别交于另两点M,N.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L的斜率为一1,求APMN的面积；第1页共62页(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.6.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0)，离心率e=—.2(1)求椭圆£*的方程；(2)若直线l:y=kx+m(人主0)与椭圆E交于不同的两点A、B,且线段的垂直平分线过定点P(|,0),求实数女的取值范围.Ji7.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e.2(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l-.y=x+m(m^O)与椭圆E交于A、3两点，线段A3的垂直平分线交x 轴于点T,当hi变化时，求面积的最大值.8.已知椭圆错误!未找到引用源。

完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)

完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)圆锥曲线综合练1.已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的长轴在 $y$ 轴上，焦距为 4，则 $m$ 等于（）A。

4B。

5C。

7D。

82.直线 $x-2y+2=0$ 经过椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为frac{\sqrt{5}}{2}3.设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)$ 的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$，则 $a$ 的值为24.若 $m$ 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的离心率是frac{\sqrt{5}}{2}5.已知双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)$，$N$ 两点，$O$ 为坐标原点，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 $M$ 点。

若 $OM\perp ON$，则双曲线的离心率为frac{\sqrt{5}+1}{2}6.已知点$F_1,F_2$ 是椭圆$x^2/2+y^2/2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 是该椭圆上的一个动点，则 $|PF_1+PF_2|$ 的最小值是sqrt{2}7.双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 上的点到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距离为2\sqrt{5}8.$P$ 为双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的右支上一点，$M$，则 $|PM|-|PN|$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x-5)^2+y^2=1$ 上的点，的最大值为99.已知点 $P(8,a)$ 在抛物线 $y^2=4px$ 上，且 $P$ 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为210.在正三角形 $ABC$ 中，$D\in AB$，$E\in AC$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}$，则以 $B$，$C$ 为焦点，且过 $D$，$E$ 的双曲线离心率为frac{3+\sqrt{5}}{2}11.两个正数 $a$，$b$ 的等差中项是 $5$，一个等比中项是 $25$，且 $a>b$，则抛物线 $y^2=-x$ 的焦点坐标是left(-\frac{5\sqrt{21}}{21},0\right)12.已知 $A_1$，$A_2$ 分别为椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的左右顶点，椭圆 $C$ 上异于$A_1$，$A_2$ 的点 $P$ 恒满足 $k\cdot PA_1\cdot k\cdotPA_2=-1$，则椭圆 $C$ 的离心率为frac{3}{5}13.已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $A$ 在第一象限内且在椭圆上，点 $B$ 也在椭圆上。

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1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i 、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=，且4=+b a.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设AP =λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP j ∆=，且3,3OF FP t OM OP j ⋅==+ . （I ）设443,t OF FP θ<<求向量与的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-，0MA AP ⋅=. （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

(Ⅰ)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明);QB QA (QP λ-⊥(Ⅱ)设直线AB 的方程是x —2y+12=0,过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程。

10.已知平面上一定点(1,0)C -和一定直线: 4.l x =-Ｐ为该平面上一动点，作,PQ l ⊥垂足为Q ，0)2()2(=-⋅+→→→→PC PQ PC PQ .(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2) 点Ｏ是坐标原点，A B 、两点在点Ｐ的轨迹上，若1OA OB OC λλ+=+（），求λ的取值范围．11.如图，已知E 、F 为平面上的两个定点6||=EF ，10||=FG ，且EG EH =2，HP ·0=GE ，（G 为动点，P 是HP 和GF 的交点）（1）建立适当的平面直角坐标系求出点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹上存在两个不同的点A 、B ，且线段AB 的中垂线与EF（或EF 的延长线）相交于一点C ，则||OC ＜59（O 为EF 的中点）．12．已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切. (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出GPH直线l 的方程；若不存在，说明理由.13．已知)0,1(),0,4(N M 若动点P 满足||6NP MP MN = （1）求动点P 的轨迹方C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线0122:=-+y x l 的距离的最小值. 19．如图，直角梯形ABCD 中，∠︒=90DAB ，AD ∥BC ，AB=2，AD=23，BC=21 椭圆F 以A 、B 为焦点且过点D ，（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；（Ⅱ）若点E 满足AB EC 21=,是否存在斜率与的直线l k 0≠M 、F 交于椭圆N 两点，且||||NE ME =，若存在，求K 的取值范围；若不存在，说明理由。

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