1.2.2矩形的性质与判定(教师)
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定优秀教学案例
4.反思与评价：在课堂的最后阶段，我组织学生进行反思，让他们回顾本节课所学的矩形的性质和判定方法，巩固知识。同时，我设计相关的练习题目，让学生进行实践操作，检验他们对矩形性质和判定方法的掌握程度。这种反思与评价的教学策略能够培养学生的自我评估和自我改进能力，提高他们的学习效果。
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定优秀教学案例
一、案例背景
本节课的教学内容是北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定。矩形是初中数学中的重要几何图形之一，它具有独特的性质和判定方法。在本节课中，学生需要掌握矩形的性质，包括对角线相等、四个角都是直角等，同时还需要学习如何判定一个四边形是矩形。
在教学过程中，我以实际生活中的情境为导入，让学生观察教室的黑板，发现黑板是一个矩形。通过这个实例，让学生初步感知矩形的性质，并激发他们对本节课的学习兴趣。接着，我引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索矩形的性质和判定方法。在学生掌握矩形的性质后，我组织学生进行实践操作，让他们运用所学知识解决实际问题，如测量教室的长和宽等。
（四）反思与评价
1.在课堂的最后阶段，组织学生进行反思，让他们回顾本节课所学的矩形的性质和判定方法，巩固知识。
2.设计相关的练习题目，让学生进行实践操作，检验他们对矩形性质和判定方法的掌握程度。
3.教师对学生的学习情况进行评价，及时给予肯定和鼓励，提高他们的学习积极性和自信心。
作为一名特级教师，我深知教学策略的重要性。在教学过程中，我将根据学生的实际情况，灵活运用各种教学策略，以激发学生的学习兴趣，培养他们的几何思维和问题解决能力，提高他们的学习效果。同时，我还会注重学生的情感态度与价值观的培养，让他们在愉快的氛围中学习和成长。
北师大版九年级数学上册.2矩形的性质与判定课件
自我诊断
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（C）
A 对角线相等
B 对角线垂直
C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等
2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是 5
cm
3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD
分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形
九年级上册
1.2.2 矩形的性质与判定
复习回顾
四边形
两组对边 分别平行
平行 四边形
一个角 是直角
∟
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
边 矩形对边平行且相等；
A
D
O
角 矩形的四个角都是直角；
B
C
对角线 矩形的对角线相等且平分；
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
情境一：工人师傅为了检验两组对 边相等的四边形窗框是否成矩形， 一种方法是量一量这个四边形的两 条对角线长度，如果对角线长相等， 则窗框一定是矩形，你知道为什么 吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
情境一：李芳同学有“边——直角、 边——直角、边——直角、边”这 样四步，画出了一个四边形，她说 这就是一个矩形，她的判断对吗？ 为什么？
ABCD是（ C ） E
A 菱形 B 平行四边形 C 矩形 D 不能确定
AP F
B
D
M
C
N
Q
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
作业
完成教材和 练习册中的练习 题。
1.2矩形的性质与判定 第1课时（教案）
北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》《矩形的性质与判定》(第1课时)教案课题矩形的性质单元第一章学科数学年级九年级学习目标1.知识与技能了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．2.过程与方法经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．3.情感态度和价值观培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．重点掌握矩形的性质，并学会应用．难点理解矩形的特殊性．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课教师说：“同学们，下面几幅图片中都含有一些平行四边形。
观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？”引导学生发现：是平行四边形，且它们的四个角都相等，且都等于90度. 学生看黑板，观察图片，思考老师提出的问题观察图片，思考相关问题，能够给学生清晰的思考路径讲授新课矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形是特殊的平行四边形教师：同学们，开动脑筋，想一想，矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
你能列举一些这样的性质吗？点名学生回答教师问：你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
学生讨论，点名学生回答。
教师：同学们，拿出一张矩形纸片出来，我们来动学生听讲，并思考老师问的问题小组讨论矩形的性质，并举手回答老师问题学生动手跟着老师指导的思增强学生观察，总结能力，小组讨论能力学生自己观察得出结论，能够让学生更好地掌握新知识增强同学间的互动，交流，动手手试试看。
用矩形纸片折一折，回答下列问题：1）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？教师点名学生回答问题。
得出结论：矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对边垂直平分线，两条对称轴互相垂直. 也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
教师：同学们完成任务的能力很好哦，接下来，老师要提高问题难度了，谁来帮老师和同学们从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质． ①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直； ②角：四个角是直角； ③对角线：相等且互相平分．教师带领学生验证猜想结论 验证结论：已知：如图，在矩形ABCD 中，∠A=90°. 求证：（1）∠A=∠B=∠C=∠D=90°路，完成任务。
新版北师大版-1.2.2矩形的性质与判定
学习目标（1分钟）
掌握矩形的判定方法，并能够灵活运用。
自学指导1（7分钟）
自学课本P14-15页例2以上内容， 思考课本上的问题：
1.“做一做”： 随着∠a的增加，所在角的对角线长度在 （1）减少，另一条对角线长度在增加 平行四边形四个内角都为直角， （2） 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 2.定理1：对角线 相等 的 平行四边形 是矩形。 3.“想一想”： 4.定理2： 有三个角是直角 的四边形是矩形。 5.“议一议”：
自学指导2（5分钟）
自学P15页例2,然后完成P16页习题1.5第1题。
（直接分析出结果即可，不写过程）
1.（1）四边形ABEC是平行四边形； （2）△ABC满足∠BAC=90°时， 四边形ABEC是矩形。
自学检测2（5分钟）
完成P16页习题1.5第2题。
解：四边形ACBD是矩形； 理由如下： 又∵O是AB的中点 ∴OA=OB=OC=OD ∴四边形ABCD是平 行四边形且AB=CD ∴四边形ACBD是矩形
二、P16页 随堂练习。
随堂练习：如图，在□ABCD中， M是AD边的
中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。 证明：在□ABCD中， AB=DC，AB∥DC
A
M
D
C B 要判定一个四 ∵M是AD边的中点 边形是矩形，通常 ∵ AB∥DC ∴AM=DM 先判定它是平行四 ∴ ∠A+∠D=180° 边形，再根据平行 又∵MB=MC ∴∠A=∠D=90° 四边形构成矩形的 ∴△ABM≌△DCM 条件，判定有一个 ∴四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠D 角是直角或者对角 线相等。
1、下列识别图形不正确的是（ C ） A、有一个角是直角的平行四边形是矩形； B、有三个角是直角的四边形是矩形； C、对角线相等的四边形是矩形； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形； 2、如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，∠D=900，若再添加 一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形,你所添加的条件是 AB∥CD （写出一种情况即可）
1.2《矩形的性质与判定》北师大版九年级数学上册教案(第2课时)
第一章特殊的平行四边形1.2 矩形的性质与判定第2课时一、教学目标1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的判定定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：探索矩形的判定方法．难点：合理应用矩形的判定定理解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资《四边形到平行四边形再到矩形的变化》动画，《矩形的判定》微课.五、教学过程设计【复习引入】1．什么叫做矩形？答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形与平行四边形及四边形有什么从属关系？3．矩形有什么特有的性质呢？答：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等．4．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？答：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）．5．那么除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？这节课我们就共同来探究一下．师生活动：教师出示问题，学生回答，让学生复习前面学过的内容．设计意图：通过复习，巩固旧知，铺垫新知，设置问题，引出新课．【探究新知】做一做如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？师生活动：教师出示“做一做”并操作演示，学生思考、讨论、交流，猜想出矩形的一个判定方法．答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另一条对角线逐渐变长．（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都等于90°．得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形．思考你能证明你的猜想吗？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．答：已知：如图，在四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB．求证：□ABCD是矩形．分析：利用全等三角形证明平行四边形的某两个相邻的角相等，而这两个角又互补，所以它们都是直角，从而得证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC．又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC=∠DCB．∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=∠DCB=．∴□ABCD是矩形（矩形的定义）．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．该判定定理的两个适用条件：（1）对角线相等；（2）是平行四边形．想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、交流，形成猜想并证明猜想．猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形．已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．设计意图：培养学生的归纳猜想，推理论证的能力．判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形．归纳:矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．议一议你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答．答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装的门框一定是矩形．如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形，否则不是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形．设计意图：让学生运用所学知识解决实际问题．【典例精析】例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题．分析：教师先带学生从已知条件入手，对平行四边形对角线的性质进行分析，再结合△ABO是等边三角形的条件，很容易推出对角线相等，从而利用刚学的矩形的判定定理“对角线相等的四边形是矩形”证得是矩形，再利用勾股定理求出边长BC，进而求出矩形的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．∴OA=OB=OC=OD=4．∴AC=BD=2OA=2×4=8．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴．∴S□ABCD=AB·BC=4×=．设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．【课堂练习】1．下列命题错误的是（）．A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形B．对角互补的平行四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形参考答案C2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________．参考答案12．3．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC．求证：四边形ABCD是矩形．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．∵M是AD边的中点，∴AM=DM．又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）．∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°．∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是□ABCD外一点，且∠AEC=∠BED=90°．求证：□ABCD是矩形．师生活动：教师出示题目，学生思考，教师请有思路的学生讲述解题思路，然后订正，最后教师写出解题过程．证明：如图，连接OE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵∠AEC=∠BED=90°，∴OE=AC=BD．∴AC=BD．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识，进一步加深对所学知识的理解．六、课堂小结请同学们回顾一下，我们学过的矩形的判定方法有哪些？答：我们学过的矩形的判定方法有：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计1.2 矩形的性质与判定（2）1．矩形的判定方法：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的性质与判定
∴四边形DEMN是平行四边形．
∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB.又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO. ∴∠AMB＝∠EMN＝90°. ∴四边形DEMN是矩形． ∵AB＝5，DN＝BM＝EM＝4，∴AM＝3＝MO. ∴MN＝6. ∴矩形DEMN的面积为6×4＝24.
理由如下： ∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC，
A
E N
∴BD = CD,
F
又∵ADCE是矩形，∴AE = CD，AE∥CD，
∴BD=AE, BD∥AE,
B
D
C
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
探究新知
A 直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半。 B
符号语言：
∵ Rt△ABC，O是AC的中点
∴
BO=
(2)当AB=DC时，求证：AEFD是矩形.
B (2)证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
E
F
C
∴DE=AB，AF=DC.
又AB=DC，
∴DE=AF.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
A
D
四边形 判定 条件
平行四边形 有一个角是直角
对角线相等
B
O
C
判定菱形的常见思路：
四条边都相等
四边形 判定 平行四边形 一组邻边相等
条件
对角线互相垂直
菱形
随堂练习
1. 已知：如图，四边形 ABCD 由两个全等的等边三角形 ABD 和 CBD 组 成，M，N 分别是 BC 和 AD 的中点. 求证：四边形BMDN是矩形.
2022年初中数学精品教案《矩形的性质 (2)》公开课专用
1.2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质一、教学目标：1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．二、重点、难点1．重点：矩形的性质．2．难点：矩形的性质的灵活应用．三、例题的意图分析例1是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．四、课堂引入1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．矩形性质1 矩形的四个角都是直角．矩形性质2 矩形的对角线相等．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD ．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．五、例习题分析例1 已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长． 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AC 与BD 相等且互相平分．∴ OA=OB ．又 ∠AOB=60°，∴ △OAB 是等边三角形．∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm ）．例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A到BD 的距离AE 的长．分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．略解：设AD=xcm ，则对角线长（x+4）cm ，在Rt △ABD 中，由勾股定理：222)4(8+=+x x ，解得x=6． 则 AD=6cm ．“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB ＝ AD×AB ，解得 AE ＝ ．例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ．分析：CE 、EF 分别是BC ，AE 等线段上的一部分，若AF ＝BE ，则问题解决，而证明AF ＝BE ，只要证明△ABE ≌△DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠B=90°，且AD ∥BC ． ∴ ∠1=∠2．∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD=90°．∴ ∠B=∠AFD ．又 AD=AE ，∴ △ABE ≌△DFA （AAS ）．∴ AF=BE ．∴ EF=EC ．此题还可以连接DE ，证明△DEF ≌△DEC ，得到EF ＝EC ．六、随堂练习1．（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm ， cm ， cm ， cm ．2．（选择）（1）下列说法错误的是（ ）．（A ）矩形的对角线互相平分 （B ）矩形的对角线相等（C ）有一个角是直角的四边形是矩形 （D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．（A ）2对 （B ）4对 （C ）6对 （D ）8对3．已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数．七、课后练习1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）．(A)12cm (B)10cm (C) (D)5cm2．在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，求∠A 、∠B 的度数．3．已知：矩形ABCD 中，BC=2AB ，E 是BC 的中点，求证：EA ⊥ED ．4．如图，矩形ABCD 中，AB=2BC ，且AB=AE ，求证：∠CBE 的度数．教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．重点难点1．重点：（1）多边形的内角和公式．（2）多边形的外角和公式．2．难点：多边形的内角和定理的推导．教学过程一、探究1．我们知道三角形的内角和为180°．2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论？同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．二、思考几个问题1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于（n一2）·180°．想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。
矩形的性质与判定(2)
4．通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
教
材
分析
重 点
探索矩形判定定理的过程及应用.
难 点
矩形判定定理的应用.
教 具
PPT
教
学
过
程Байду номын сангаас
第一环节 测故导新
第一章特殊平行四边形
1.2.2矩形的性质与判定(二)
备课人：田杰审核人： 课型:
教
学
目
标
1．能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；
2．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；
（3）用规范的数学语言写出证明过程；
（4）同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
第三环节：异彩纷呈
1.活动内容：
定理 三个角是直角的四边形是矩形。
（1）学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；
（2）请学生交流大体思路；
（3）用规范的数学语言写出证明过程；
（4）同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
2.例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
第四环节：百炼成钢
活动内容：
1．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC.
求证：四边形ABCD是矩形.
2. 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，CM∥BD,DM∥AC.
1.2.2矩形的性质与判定(教案)
同时，我也发现部分学生在解决矩形相关问题时，仍然存在思维定式，不能灵活运用所学知识。为了帮助学生克服这一问题，我打算在课后加强个别辅导，针对不同学生的特点，引导他们运用多种方法解决问题，提高他们的解题能力。
1.培养学生的几何直观与空间想象能力：通过探究矩形的性质与判定，使学生在观察、操作、思考中形成对矩形几何特征的直观认识，提高空间想象力。
2.培养学生的逻辑推理能力：在探究矩形性质与判定的过程中，训练学生运用逻辑思维，通过推理、证明等方式掌握矩形的性质及其应用。
3.培养学生的数学建模能力：通过解决与矩形相关的实际问题，让学生学会运用所学知识构建数学模型，培养解决实际问题的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是有一个角是直角的平行四边形，具有对边平行且相等、对角相等、四个角都是直角的特点。它在几何学中具有重要地位，广泛应用于日常生活和建筑等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个矩形物体的性质，了解矩形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
（2）矩形的判定方法：掌握至少三种判定矩形的方法，并能运用到实际问题中。
-举例：通过具体练习题，让学生练习如何根据直角、对角线相等、对边平行等条件判断一个四边形是否为矩形。
2.教学难点
（1）矩形的性质推导：理解并掌握矩形对角线互相平分、相等的性质，以及矩形是轴对称图形的证明。
-难点解释：这部分内容需要学生具备一定的逻辑推理和几何证明能力，教师应通过直观演示和逐步引导，帮助学生理解性质背后的几何原理。
北师大版九年级数学上1.2 矩形的性质与判定 (共39张PPT)
2.明确定理： 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2 + BC 2 = AC 2 ,
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:15:0210:15:0210:159/8/2021 10:15:02 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:15:0210:15Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:15:0210:15:0210:15Wednesday, September 08, 2021
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∟
CAD = 1 BAC，CAN = 1 ∠CAM.
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定教学设计
（2）探讨矩形与平行四边形、菱形之间的关系。
（3）研究矩形在生活中的应用，如建筑设计、包装设计等。
3.创新实践题：结合生活实际，设计一道运用矩形知识的创新题目，要求学生运用所学知识解决问题。
例如：设计一个矩形花园，已知矩形的长和宽之和，求矩形的最大面积。
4.小组合作作业：分小组完成以下任务，培养团队合作意识和沟通能力。
b.提高题：判断一个四边形是否为矩形，并说明理由。
c.应用题：运用矩形知识解决实际问题，如设计矩形包装盒等。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学矩形性质、判定方法进行总结。
2.教学过程：
a.学生自主归纳矩形的性质和判定方法。
b.教师点评，强调矩形与平行四边形、菱形之间的关系。
c.学生分享学习心得，交流学习过程中遇到的困难和解决方法。
1.学生对矩形性质的掌握程度，特别是对边平行且相等、对角线互相平分等基本性质的理解。
2.学生在运用矩形判定定理时的困惑和误区，如容易将矩形的判定与平行四边形、菱形的判定混淆。
3.学生在解决实际问题时，运用矩形知识的能力，尤其是在求矩形面积、周长等方面。
4.学生的几何直观和空间观念的发展情况，以及他们对几何图形美的感知。
d.教师布置课后作业，巩固所学知识。
五、作业布置
1.基础巩固题：完成课本练习题1-5题，巩固矩形的性质及判定方法。
（1）求矩形的面积和周长。
（2）判断给定四边形是否为矩形，并说明理由。
（3）运用矩形的性质解决实际问题，如设计矩形桌面等。
2.提高拓展题：完成课本练习题6-10题，提高学生运用矩形知识解决问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
1.2 矩形的性质与判定(第二课时 矩形的判定)(课件)九年级数学上册(北师大版)
D
几何语言： ∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形。
B
C
课堂总结
定义法： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩
形
的
判
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定
定理：
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
课堂练习
1 检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ） A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分 C．测量门框的三个角，是否都是直角 D．测量两条对角线，是否互相垂直
课堂练习
7 在□ ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝ BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形；
课堂练习
4．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B
B．∠A=∠C
C．AC=BD
D．AB⊥BC
【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行 四边形为矩形，正确； B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误； C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确； D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确， 故选B．
课堂练习
2．如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
九年级数学上册矩形的性质与判定教案北师大
1.2 矩形的性质与判定教学目标1、知识与技能：通过探索与交流，已经得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。
通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。
2、过程与方法：通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观：在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。
重点重点：理解矩形判定定理的应用难点难点：矩形判定定理的应用教学用具教学环节说明二次备课复习新课导入复习导入课程讲授环节一：回顾交流，温故知新通过上节课对矩形的学习，谁能回答以下问题1、矩形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？（通过对矩形定义及性质的回顾，引出判定矩形除了定义外，还有哪些方法，导入新课。
）性质定理：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等。
2、判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义）（1）是不是平行四边形，（2）再看它有无直角。
判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形。
环节二：应用辨析，巩固定理教师讲解教材P16例3，以加深学生对矩形性质定理的应用的认识；讲解P14例4，加深学生对矩形判定定理的应用的认识。
环节三：课堂练习，巩固提高1. 如图，EF是四边形ABCD的对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABC D的面积的（）FEDCBAOA ．15 B.14 C.13 D.3102. 矩形ABCD 的两条对称轴为EF ，MN ，其中E 、F 、M 、N 分别在 AB 、 DC 、AD 、BC 上，连结ME,EN,NF,FM,AB= 6cm,BC= 3cm,则四边形EN F M 的周长和面积各是多少？(练习一，二是课内练习，主要为加强学生对所学定理的理解和掌握， 使学生能将给出的条件转化为应用定理所需的条件，辨析判定定理的题设，以便更好地应用定理。
1.2矩形的性质及判定(最新整理)
A
D
B
C
【例15】☆如图，有一矩形纸片 ABCD ， AB 10，AD 6 ，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE ， 在将 AED 以 DE 为折痕向右折叠， AE 与 BC 交于点 F ，则 CEF 的面积为
A
BA
D
Bห้องสมุดไป่ตู้
D
BA
F
D
C
E
C
E
C
【巩固】如图，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示，则该主板的周长为
PF BH 交 BH 于点 F ，当 AB，BC 满足条件
时，四边形 PEHF 是矩形
【例2】 如图，在四边形 ABCD 中， ABC BCD 90 ， AC BD ，求证：四边形 ABCD 是矩形．
A
D
13.1.2 矩形的性质和判定
讲义·学生版
B
C
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【巩固】☆矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）
矩形的性质 及判定
中考要求
知识点 A要求
B要求
Ｃ要求
掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判 会运用矩形的知识解决有关
矩形 会识别矩形
定解决简单问题
问题
中考要求
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等． ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中， 30 角所对的边等于斜边的一半． 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．
1.2.2矩形的判定 课件(共19张PPT)
2.动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一对不相邻的顶点（如图）.
思考：①随着∠α的变化，两条对角线的长度是否发生变化？ （发生了变化）
②当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？
（对角线相等的平行四边形是矩形）
③矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个
框符不符合我的要求?”王子听后，找来一把三角尺，用三角尺量了量
门框的三个角，然后对国王说:“父王，我量了门框的三个角，它们都
是90度，因此，这个门框是矩形.”
(1)问:你认为王子说得对吗?请同学们分组讨论并给出老师答案.(让其中的
一组来讲)
(2)有三个角是直角的四边形是矩形吗?
自主探究 （10min）
中点, ∴ = =
,
∥ .
∴四边形 DECF 是平行四边形.
∵∠ACB=90°,∴四边形 DECF 是矩形,∴EF=CD=6cm.
典例精讲
例 6: 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,O 是 AC 的中点,AD∥BC.
(1)求证：四边形 ABCD是平行四边形；
四边形就是矩形？
（一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形）
小组讨论（4min）
①如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是平行四边形？
（两组对边分别相等为平行四边形）
②如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是菱形？
（四边相等为菱形）
③如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是矩形？
测量…？
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”
这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断
《矩形的性质与判定》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】(第1课时)
第一章特殊的平行四边形1.2 矩形的性质与判定第1课时教学设计一、教学目标1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的性质定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：掌握矩形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．难点：矩形的性质的灵活应用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源多张《生活中的矩形》图片，《平行四边形变矩形》动画，《矩形的性质》微课，《矩形的性质》图片.五、教学过程【情境引入】下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？师生活动：教师出示问题及图片，学生观察图片并尝试回答问题．生：这些特殊的平行四边形中都有一个角是直角．这就是我们本节课要研究的矩形．设计意图：通过实际生活中的图片引入本课，激发学生学习本节课的兴趣．【探究新知】矩形的定义．矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形应满足的两个条件：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角．师生活动：教师讲解，并明确矩形应满足的两个条件．师：矩形是生活中常见的图形，你还能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。
生：……设计意图：让学生感受到矩形在实际生活中的广泛应用．想一想：（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？（2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？师生活动：教师首先引导学生回忆一般平行四边形的性质，从而得出矩形的一般性质，然后再探究矩形的特殊性质．答：矩形的一般性质：具备平行四边形的所有性质．边：对边平行且相等．角：对角相等．对角线：对角线互相平分．中心对称性：是中心对称图形．矩形的特殊性质：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴．教师追问：（3）矩形还有特殊性质吗？师生活动：教师追问，引导学生继续探究矩形的性质．发现：四个内角都是直角，两条对角线长度相等．猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．试一试：你能证明一下上面猜想的正确性吗？师生活动：教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．猜想1的证明：已知：四边形ABCD是矩形，∠B=90°．求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．证明：∵四边形ABCD是矩形，∠B=90°，又∵矩形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°．∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即矩形的四个角都是直角．性质1：矩形的四个角都是直角．几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．猜想2的证明：已知：AC与BD是矩形ABCD的对角线．求证：AC=BD．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB．又BC=CB，∴△ABC≌△DCB．∴AC=BD．性质2：矩形的对角线相等．几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．议一议：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答，最后得出答案．答：BE是斜边AC上的中线，BE=12 AC．得到的结论是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．尝试完成定理的证明。
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九年级数学导学案
课题： 1.2.2矩形的性质与判定 学习目标 1.进一步掌握矩形的定义与性质。
2.经历探索矩形的判定方法的过程，进一步了解和体会说理的基本方法.
3.在探索活动过程中发展学生的探究意识。
兴趣.
学习重点 1.矩形判定方法的探索与理解 学习过程
一、自主学习 1.什么是矩形？ 2. 矩形的性质有哪些？
二、合作探究
1. 观察下图平行四边形变化
（1）随着∠α的变化，两条对角线 的长度分别是怎样变化的？
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能得出一个怎样的猜想？ 结论：对角线
的平行四边形是矩形 请你尝试证明你的结论：
已知：平行四边形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=BD
求证：平行四边形ABCD 是矩形
主备： 授课： 日期： 次数：
2.我们知道，矩形的四个角都是直角。
反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形？请证明你的结论，并与同伴交流 结论： 的四边形是矩形 请你尝试证明你的结论：
3.你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，与同伴交流
三、互动展示（学生在独立思考的基础上小组交流，并选代表展示）
1.如图在平行四边形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ， △AOB 是等边三角形AB=4 cm ．求平行四边形ABCD 的面积。
四、达标测试
1、课本P16“随堂练习”（在导学案背后完成）
五、课堂小结与反思
你通过本节课的探索解决了哪些问题？还有那些困惑？有哪些新的发现、想法？ 六、课堂延伸、布置作业、预习思考
1、必做题：课本P16习题1.5 第1、2题。
2、选做题：课本P16习题1.5 第3题。
3、预习：课本P16--19“矩形的性质与判定”的应用。
七、复议、二次备课、教后反思。