电磁场及电磁波第10讲静电场的边值问题

设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，d→0 ,则
V1 V2 lim
1 2
2
1
d d E dl lim( E1n E2 n ) 0 d 0 2 2
电位的衔接条件
V1 V2
V2 , D2 n 2 E2 n 2 n
V1 V2 1 2 s n n
Q A V0 Q sl A A; C d V0 d
11
Example 2.
同轴线内导体半径为 a ，电势为V0 ；外导体接地，其半径为 b。 求解 (a)两导体间电势分布 (b)电场强度 (c)内导体的电荷密度 (d)每单位长度的电容
解:
1. 对给定的图形选择合适的坐标系 2. 写出相关的计算式和边界条件
6
积分变换法
分离变量法 解析法 镜像法（电轴法） 微分方程法 计算法 保角变换法 格林函数法

边值问题 研究方法
实验法
半解析法/半数值法 有限差分法 有限元法 边界元法 数值法 矩量法 实测法 模拟法 数学模拟法 物理模拟法

作图法
定性 定量
7
用电位函数 V
表示分界面上的衔接条件
2
1. 泊松方程和拉普拉斯方程
电势V 和电场强度 E 之间的关系是：
E V
对上式等式两边分别进行散度操作
E V 2V
在各向媒质的线性媒质中, 电场强度 E 的散度为
E

3
电势 的差分方程为
V
2
称为 泊松方程（Poisson’s equation）。 在没有自由电荷（无源） 区域, 上述等式变为
8
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
Байду номын сангаас
V1 D1n 1 E1n 1 n
D2n D1n s
在分界面两侧：电位法向导数发生跃变
Example 1.一维泊松方程的解 类似例4-1（P103）
两个金属平板面积为 A相距为 d 形成一个平行板电容器。 上平板电 势为V0 , 下平板接地。 求解 (a)电势分布 (b)电场强度 (c) 各平板的电荷分布 (d)平行板电容器的电容
电磁场与电磁波
主讲教师：黄文
重庆邮电大学 光电工程学院 电磁场与无线技术教学部 Email: huangwen@cqupt.edu.cn 办公室：老1教1403
Main topic
Chapter 4. 静电问题的解
1. 泊松方程和拉普拉斯方程 2. 静电问题解的唯一性
3. 镜像法 4. 直角坐标系中的边值问题
2
在圆柱坐标系中:
1 V 2 V r r r r 在球坐杯系中:
2 2 1 V V 2 2 2 z r
2 1 V 1 V 1 V 2 2 V 2 R 2 sin 2 2 R R sin R sin 2 R R
z 0 z d
0 V0
9
3. 方程的通解
2V 区域中的场方程： 2 0 V C1 z C （积分两次） 2 z
4. 特解（带入边界条件求解未知系数）
V V
z 0
0 V0
V
z 0
C1z C2 C1 0 C2 0 C2 0 V0 C1d V0 V0 C1 V z d d
5
在直角坐标系中:
2V V V V V V ax ay az ax ay az x y z x y z 2V 2V 2V 2 V 2 2 2 x y z
V 0
2
称为拉普拉斯方程 （ Laplace’s equation ）。
4
Remarks
V
2
① 泊松方程表明均匀媒质中，V的拉普拉斯运算 (梯度的散 度) 等于– / , 其中 是介质的介电常数 (它是常数) ， 是 自由电荷体密度。 ② 算子 2 , 拉普拉斯算子，代表“梯度的散度” 或 “”。 ③ 因为散度运算和梯度运算都涉及一阶空间导数，所以泊松 方程是一个二阶偏微分方程 ，在二阶导数存在的空间中每 一点，二阶偏微分方程都成立。
z d
V
z d
V V0 V0 ˆz ˆ z ；D E a ˆ z E V a a z d d
10
导体/介质分界面边界条件： Dn s ；Et 0; : aˆ 指向导体外部 n
The lower plate： V0 V0 ˆn a ˆ z ; Dn D a ˆn a ˆz a ˆ z a sl d d The up plate： V0 V0 ˆn a ˆ z ; Dn D a ˆn a ˆ z ( a ˆz ) a su d d
2 2 1 V V ＝0 2 2 2 r z 轴对称的场，且忽略边缘效应（无限长圆柱体）V r
1 V V r r r r
2

1 V r r r r
V ＝ 0 场方程 r r r
r =a r =b
＝0
V 边界条件： V
V0 0
12
3. 方程的通解
V V C1 C1 r r r V C1 ln r C2 r
解:
1. 对给定的图形选择合适的坐标系 2. 写出有关的计算式和边界条件。 匀强电场，电位 V只是随高度 z 的变化而变化
2V 2V 2V 2V V V 2 2 2 2 0 x y z z
2
V 区域中的场方程： 2 0 z
2
V 边界条件 V