电磁场与电磁波第一章习题答案

第一章 习题解答

1.2给定三个矢量A ，B ，C ：

A =x a +2y a -3z a

B = -4y a +z a

C =5x a -2z a

求：⑴矢量A 的单位矢量A a ；

⑵矢量A 和B 的夹角AB θ；

⑶A ·B 和A ⨯B ⑷A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；

⑸A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C

解：⑴A a =A A

（x a +2y a -3z a ）

⑵cos AB θ =A ·B /A B

AB θ=135.5o

⑶A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a

⑷A ·（B ⨯C ）=-42

（A ⨯B ）·C =-42

⑸A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a （A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a

1.3有一个二维矢量场F(r) =x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图

形。

解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c

1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2

z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。

解：等值面方程为ln （2x +2y +2

z ）=c

则c=ln(1+4+9)=ln14

那么2x +2y +2z =14

1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y

ψ∂∂+z a z ψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ∇=-24x a +72y a +z a

1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S:

⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为

A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) ⑵验证散度定理。 解：⑴⎰∙s d A =

A d S ∙⎰ 曲+A dS ∙⎰ xoz +A d S ∙⎰ yoz +A d S ∙⎰ 上+A d S ∙⎰ 下

A d S ∙⎰ 曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++⎰曲

=156.4

A dS ∙⎰ xoz =(3)y z dxdz +⎰xoz =-6 A d S ∙⎰ yoz =-23x dydz ⎰yoz =0

A d S ∙⎰ 上+A d S ∙⎰ 下=(6cos )d d ρθρθρ-⎰上+cos d d ρθρθ⎰下=272π ⎰∙s d A =193

⑵dV A V ⎰∙∇=(66)V x dV +⎰=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+⎰=193 即：⎰∙s s d A =dV A V

⎰∙∇ 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2a 的线积分，再求A ∇⨯ 对此圆周所包围的表

面积分，验证斯托克斯定理。 解：⎰∙l l d A =2L

xdx xy dy +⎰ =44a π A ∇⨯ =z a 2y

⎰∙⨯∇S s d A =2S

y dS ⎰ =22sin S d d θρρρθ⎰ =44a π 即：⎰∙l l d A =⎰∙⨯∇S s d A ，得证。

1.15求下列标量场的梯度：

⑴u=xyz+2x u ∇=x a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z

∂∂=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy ⑵u=42x y+2y z -4xz

u ∇=x a u x ∂∂+y a u y

∂∂+z a u z ∂∂=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x) ⑶u ∇=x a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z

∂∂=x a 3x+y a 5z+z a 5y 1.16 求下列矢量场在给定点的散度

⑴A ∙∇=x A x ∂∂+y A y ∂∂+z A z

∂∂=32x +32y +3(1,0,1)|-=6 ⑵A ∙∇=2xy+z+6z (1,1,0)|=2

1.17求下列矢量场的旋度。

⑴A ∇⨯ =0

⑵A ∇⨯ =x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0

1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求：

⑴P 的位置矢量r 和Q 点的位置矢量'r ；

⑵从Q 点到P 点的距离矢量R ；

⑶r ∇⨯ 和r ∙∇； ⑷1()R ∇。

解：⑴r =x a x+y a y+z a z;

'r =x a x ’+y a y ’+z a z ’

⑵R =r -'r =x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）

⑶r ∇⨯ =0 , r ∙∇=3

⑷1R = 1()R ∇=(x a x ∂∂+y a y

∂∂+z a z ∂∂)1R =-x

a 212(')2x x R R --y a 212(')2y y R R --z a 212(')2z z R R - =-x

a 3'x x R --y a 3'y y R --z a 3'z z R -

=-31R [x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）]

=-3R R 即：1()R ∇=-3R R