2016届高三数学复习教案：一元二次不等式及其解法
高三数学一轮复习精品教案1：7.2 一元二次不等式及其解法教学设计
7.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠－b 2a} Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅. 『试一试』1．(2013·苏中三市、宿迁调研)设集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－5x ≥0}，则A ∩(∁R B )＝________.『解析』集合A ＝『－1,3』，B ＝(－∞，0』∪『5，＋∞)．从而∁R B ＝(0,5)，则A ∩(∁R B )＝(0,3』． 『答案』(0,3』2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是________． 『解析』由题意知－12、13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根．则a ＝－12，b ＝－2.a ＋b ＝－14.『答案』－143．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 『解析』∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.『答案』(－∞，－4)∪(4，＋∞)1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 『练一练』若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 『解析』①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 『答案』『0,1)考点一一元二次不等式的解法『典例』 解下列不等式：(1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)．『解』 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔(2)(1)0(3)(2)0x x x x -+>⎧⎨-+≤⎩⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.(2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0.由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a 或x ＜－a .『备课札记』 『类题通法』1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类． 『针对训练』 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2 ≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. 考点二一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：1形如f(x )≥0x ∈R 确定参数的范围； 2形如f(x ) ≥0，x ∈『a ，b 』，确定参数范围； 3形如f(x )≥0参数m ∈『a ，b 』确定x 的范围. 角度一 形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．『解析』根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，2sin 2α－(1－2sin 2 α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 『答案』06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 角度二 形如f (x )≥0，(x ∈『a ，b 』)，确定参数范围2．对任意x ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围； 解：函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为x ＝－a －42＝4－a2.①当4－a2<－1，即a >6时，f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0，解得a <3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a 2≤1，即2≤a ≤6时，只要f ⎝⎛⎭⎫4－a 2＝⎝⎛⎭⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0，即a 2<0，故有a ∈∅；③当4－a2>1，即a <2时，只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0，即a <1，故有a <1.综上可知，当a <1时，对任意x ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零． 角度三 形如f (x )≥0(参数m ∈『a ，b 』)确定x 的范围3．对任意a ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.由题意知在『－1,1』上，g (a )的值恒大于零，则22(1)(2)(1)440(1)2440g x x x g x x x ⎧-=-⨯-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩解得x <1或x >3. 故当x <1或x >3时，对任意的a ∈『－1,1』，函数f (x )的值恒大于零．『备课札记』 『类题通法』恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．考点三一元二次不等式的应用『典例』 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?『解』 (1)设该商品价格下降后为x 元/件，则由题意可知年销量增加到⎝⎛⎭⎫kx －4＋a 件，故经销商的年收益y ＝⎝⎛⎭⎫kx －4＋a (x －3)，5.5≤x ≤7.5.(2)当k ＝2a 时，依题意有⎝⎛⎭⎫2a x －4＋a (x －3)≥(8－3)a ×(1＋20%)，化简得x 2－11x ＋30x －4≥0，解得x ≥6或4<x ≤5.又5.5≤x ≤7.5，故6≤x ≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%.『备课札记』 『类题通法』构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解． 『针对训练』某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价， 所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为『0,2』． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.『课堂练通考点』1．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为『0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 『解析』由题意知，因为函数f (x )的值域为『0，＋∞)， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝4b －a24＝0，所以4b ＝a 2， 所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22，所以关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为⎝⎛⎭⎫－a 2－c ，－a2＋c ， 即(m ，m ＋6)，故⎩⎨⎧－a2－c ＝m ，－a2＋c ＝m ＋6，两式相减得c ＝3，所以c ＝9.『答案』92．不等式4x －2x ＋2＞0的解集为________．『解析』令2x ＝t ，则不等式变为t 2－4t ＞0.由于t ＞0，故t ＞4，即2x ＞4，解得x ＞2.所以不等式的解集为(2，＋∞)． 『答案』(2，＋∞)3．(2013·南通三模)不等式x ＜2x －1的解集是________．『解析』不等式等价于(2)(1)0x x x+-<，由数轴标根法得x ＜－2或0＜x ＜1，从而不等式的解集为{x |x ＜－2或0＜x ＜1}．『答案』{x |x ＜－2或0＜x ＜1}4．(2013·苏州常镇二调)若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则实数m 的值为________．『解析』由关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，得－1,2为方程mx 2＋2x ＋4＝0的两个实数根．得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m －2＋4＝0，4m ＋4＋4＝0，所以m ＝－2.『答案』－25．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________．『解析』不等式f (x )<4等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2＋1<4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x <4，即0<x <3或－4<x ≤0.因此，不等式f (x )<4的解集是(－4，3)． 『答案』(－4，3)6．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )·(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.『解析』因为|x ＋2|<3，即－5<x <1，所以A ＝(－5,1)，又A ∩B ≠∅，所以m <1，B ＝(m,2)，由A ∩B ＝(－1，n )得m ＝－1，n ＝1. 『答案』－1 1。
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例一、教学目标1.理解一元二次不等式的概念及其与一元二次方程的关系。
2.掌握一元二次不等式的解法及解集表示方法。
3.能够运用一元二次不等式解决实际问题。
二、教学重点与难点1.教学重点：一元二次不等式的解法及解集表示方法。
2.教学难点：一元二次不等式解法中的分类讨论。
三、教学过程1.导入新课（1）回顾一元二次方程的解法，引导学生思考如何将一元二次方程转化为一次方程来求解。
（2）引出一元二次不等式的概念，让学生初步了解一元二次不等式的解法。
2.知识讲解（1）讲解一元二次不等式的定义：形如ax^2+bx+c>0（a≠0）的不等式称为一元二次不等式。
（2）讲解一元二次不等式的解法：a.将一元二次不等式化为标准形式：ax^2+bx+c>0。
b.然后，求解对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间，分别讨论每个区间内的不等式解。
d.将三个区间的解合并，得到一元二次不等式的解集。
（3）讲解一元二次不等式解集的表示方法：a.使用区间表示法，如（-∞，x1）∪（x2，+∞），其中x1、x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
b.使用集合表示法，如{x|x<x1或x>x2}。
3.实例讲解（1）讲解例题1：解一元二次不等式x^24x+3>0。
a.将不等式化为标准形式：x^24x+3>0。
b.求解对应的一元二次方程x^24x+3=0，得到根x1=1，x2=3。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间：（-∞，1）、（1，3）、（3，+∞）。
d.分别讨论每个区间内的不等式解，得到解集为（-∞，1）∪（3，+∞）。
（2）讲解例题2：解一元二次不等式2x^25x3<0。
a.将不等式化为标准形式：2x^25x3<0。
b.求解对应的一元二次方程2x^25x3=0，得到根x1=-1/2，x2=3。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间：（-∞，-1/2）、（-1/2，3）、（3，+∞）。
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例教学目标
1.了解一元二次不等式的基本定义。
2.学习求解一元二次不等式的方法和技巧。
3.能够自己独立解决一元二次不等式问题。
教学重点
1.一元二次不等式的定义和性质。
2.求解一元二次不等式的方法和技巧。
教学难点
1.复杂的一元二次不等式的求解问题。
2.解决实际问题时如何将问题转化为一元二次不等式的形式。
教学步骤
第一步：引入概念
讲师可以通过图示和实例引入一元二次不等式的定义和性质。
第二步：解法介绍
1.教育者介绍一元二次不等式的最基本解法。
2.教练员通过实例演示一元二次不等式的解决过程。
3.教练员介绍一元二次不等式的常规解法。
第三步：例题讲解
1.针对一元二次不等式的基本解法讲解几道例题。
2.针对一元二次不等式的常规解法讲解几道例题。
3.参与者自己解决例题。
第四步：综合练习
1.针对一元二次不等式的基本解法分组进行练习。
2.针对一元二次不等式的常规解法分组进行练习。
3.教育者鼓励每个参与者独自解决综合练习的问题。
总结
1.通过这一次教学，学生们已经掌握了基本的一元二次不等式求解方法和技巧。
2.同时，学生们也理解了如何将实际问题转换为一元二次不等式的形式。
3.这种一元二次不等式教学法适用于各个年龄段的学生，并且可扩展到更高难度的问题.。
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例教案范例：高三数学一元二次不等式及其解法教学目标：1. 理解一元二次不等式的定义和解法；2. 掌握一元二次不等式的图解法和代数解法；3. 能够运用解一元二次不等式的方法解决实际问题。
教学步骤：Step 1：引入知识（5分钟）通过提问学生对一元二次方程的回顾，引入一元二次不等式的概念。
简单介绍一元二次不等式与一元二次方程的异同点。
Step 2：图解法（15分钟）1. 讲解一元二次不等式的图解法：先将不等式转化为对应的一元二次方程，然后求出方程的解集并在坐标系中表示出来，最后根据问题中的不等号关系确定解集。
2. 示例演练：出示若干个一元二次不等式，引导学生尝试用图解法求解。
Step 3：代数解法（15分钟）1. 讲解一元二次不等式的代数解法：通过移项和因式分解的方法将一元二次不等式化为二次因式的乘积形式，然后根据因式的性质确定不等式的解集。
2. 示例演练：出示若干个一元二次不等式，引导学生尝试用代数解法求解。
Step 4：综合训练（15分钟）1. 提供一些综合性的一元二次不等式问题，要求学生综合运用图解法和代数解法解答。
2. 引导学生分析问题的实际背景，并对解集进行合理性判断。
Step 5：拓展应用（10分钟）提供一些与实际问题相关的一元二次不等式，要求学生能够将问题转化为数学不等式，并用所学的方法解决。
Step 6：总结归纳（5分钟）总结一元二次不等式的解法，强调图解法和代数解法的适用条件及各自的特点。
Step 7：作业布置（5分钟）布置一定量的练习题，要求学生熟练掌握一元二次不等式的解法。
教学反思：通过图解法和代数解法的对比，可以帮助学生全面理解一元二次不等式的解法。
同时，引入一些实际问题，能够增强学生对一元二次不等式应用的理解和能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考和分析问题，培养他们的解决问题的能力。
教学设计-一元二次不等式及其解法 优秀教学设计
教学设计：一元二次不等式及其解法一、教学课题：1、教材版本：普通高中新课程（A版）必修52、教学章节：第三章不等式3.2 一元二次不等式及其解法3、教学年级：高二4、授课类型：新授课二、课前分析：1、教材分析：本课的基础是一元二次方程及二次函数，可以从三个“一次”的关系入手，让学生自然类比、归纳出三个“二次”的关系。
2、学生分析：学生需要联系前面所学的一元二次方程、二次函数的知识，然而有的学生这些知识并未掌握牢固；再者要深刻挖掘它们之间的联系，从中寻求一元二次不等式的解法。
这比单纯数形结合要求更高。
三、教学目标：（一）知识与能力：1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
2．一元二次不等式的解法。
3. 通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想。
4.通过一元二次不等式的解集的分类列表形式，培养分类讨论的数学思想。
（二）过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；（三）情感态度与价值观：1. 从解一元一次不等式到解一元二次不等式的过程是培养学生类比的思维方法的过程．2. 通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，激发学生学习数学的热情，培养勇于探索、勇于创新的精神，同时使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，从而树立辨证的世界观。
四、教学重点：一元二次不等式的解法。
五、教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。
六、教学方法与手段：问题探究启发式,结合电脑、投影仪等多媒体设备辅助教学，增强直观性，增大教学容量，提高课堂效率七、教学过程： （I ）复习提问：1、一元二次方程的解的情况。
20,(0)ax bx c a ++=≠2、二次函数的图像的作法。
2,(0)y ax bx c a =++≠（II ）新课学习： 1.问题引入：①解方程 230x +=②作函数 的图像23y x =+③解不等式 及230x +>230x +< 【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。
一元二次不等式及其解法教案
一元二次不等式及其解法第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
一元二次不等式是高中数学中最基本的不等式之一，是解决许多数学问题的重要工具,本节课的主要内容就是一元二次不等式的解法 【教学难点】一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间的关系。
理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法即图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。
由于学生年龄及认知规律等因素，要真正掌握有一定的难度。
【学情分析】我班中等程度偏下的学生占大多数，程度较高与程度较差的学生占少数。
学生数学基础差异不大，但进一步钻研的精神相差较大。
学生已经学习了一元一次不等式（组）的解法和二次函数的零点，会画一元二次函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识可以使学生写出一元二次不等式的解集，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍一元二次不等式的解法，从认知规律上讲，应该是容易理解的。
在教学中加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生观察、讨论，在实践中体验三者的联系，从而直观地归纳、总结、分析出三者的联系成为可能。
【教学内容分析】一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性和工具性的作用。
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例_人教版不等式教案这篇《初中数学说课稿:一元二次不等式的解法》是小编为大家整理的，盼望对大家有所帮忙。
以下信息仅供参考！！！一、教材内容分析：1.本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，本节课内容的地位表达在它的根底性，作用表达在它的工具性。
一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的连续和深化，对已学习过的集合学问的稳固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容亲密相关。
很多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。
因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的根底性，表达出很大的工具作用。
2.教学目标定位。
依据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的学问储藏状况和学生心理认知特征，我确定了四个层面的教学目标。
第一层面是面对全体学生的学问目标：娴熟把握一元二次不等式的两种解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。
其次层面是力量目标，培育学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的力量，提高运算和作图力量。
第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的熟悉，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。
第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，沟通争论，培育学生的合作意识和创新精神。
3.教学重点、难点确定。
本节课是在复习了一次不等式的解法之后，利用二次函数的图象讨论一元二次不等式的解法。
只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可。
因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。
二、教法学法分析：数学是进展学生思维、培育学生良好意志品质和美妙情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得学问、提高解题力量，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培育顽强的意志品质、形成良好的道德情感。
2016届高考数学一轮复习—专题二、一元二次不等式及其解法(教学教案+复习技法+含解析)
2016届高考数学一轮复习 专题二、一元二次不等式及其解法[知识能否忆起]一元二次不等式的解集二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的解集的关系，可归纳为：若a <0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．[小题能否全取]1．(教材习题改编)不等式x (1－2x )＞0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 D ．R3．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.5．不等式1x －1＜1的解集为________．解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标相同．典题导入[例1] 解下列不等式： (1)0＜x 2－x －2≤4；(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．由题悟法1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．以题试法1．解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．典题导入[例2] 已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．本题中的“x∈[－1，＋∞)改为“x∈[－1,1)”，求a的取值范围．由题悟法1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)(x ∈R ) 恒成立的充要条件是：a ＞0且b 2－4ac ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)(x ∈R )恒成立的充要条件是：a ＜0且b 2－4ac ＜0.以题试法2．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．典题导入[例3] 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．由题悟法解不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题．以题试法3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？1．(2012·重庆高考)不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2．(2013·湘潭月考)不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)3．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]4．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1311D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)5.已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)＞1的解集为( )A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2) C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)6．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)7．若不等式k －3x －3＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝________.8．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________．9．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________．10．解下列不等式： (1)8x －1≤16x 2；(2)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)．11．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．1．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析：由题意得x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12，解得x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，所以λ的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]2．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋＝a24－c ，解得c ＝9.答案：93.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，其种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝nv 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜8，14＜s 2＜17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧6＜40n 100＋1 600400＜8，14＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜10，52＜n ＜9514.又n ∈N ，所以n ＝6.11 (2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60.因为v ≥0，所以0≤v ≤60， 即行驶的最大速度为60 km/h.1．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，152 B ．[2,8] C ．[2,8)D ．[2,7] 解析：选C 由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜8. 2．(2012·江西高考)不等式x 2－9x －2>0的解集是________．解析：由x 2－9x －2>0，得(x ＋3)(x －3)(x －2)>0，利用数轴穿根法易得－3<x <2或x >3. 答案：{x |－3<x <2，或x >3}3．(2012·温州高三适应性测试)若圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＞－6B ．m ＞3或－6＜m ＜－2C ．m ＞2或－6＜m ＜－1D ．m ＞3或m ＜－1解析：选B 依题意，令x ＝0得关于y 的方程y 2＋2my ＋m ＋6＝0有两个不相等且同号(均不等于零)的实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－m ＋＞0，m ＋6＞0， 由此解得m ＞3或－6＜m ＜－2.。
(完整版)一元二次不等式及其解法教学设计
一元二次不等式及其解法【设计思想】新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。
这与建构主义教学观相吻合。
本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。
强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。
本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。
这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。
【教材分析】本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。
这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。
学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。
【学情分析】学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。
【教学目标】知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法；过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力；情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。
【教学重点】一元二次不等式的解法。
【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。
【教学策略】探究式教学方法（创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）【课前准备】教具：“几何画板”及PPT课件.粉笔：用于板书示范.【教学过程】一、创设情境，提出问题某同学去网吧上网，现有两家网吧A 、B 可去，上网不足一小时均按1小时计算收费,一次连续上网不得超过17个小时.网吧A 每小时收费1.5元；网吧B 收费原则如下：问题1：想一想，一次上网多长时间内能够保证选择去网吧A 上网所需费用不大于去网吧B 所需费用？设计意图：问题（1）的设置与上一章节数列知识关联，从旧知识中产生新问题.问题（2）的设置是想通过学生感兴趣的上网问题及计时收费问题引入，通过学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系——一元二次不等式.课件展示：设上网时间为x ，则去网吧A 所需费用为1.5x 元；去网吧B 所需费用为1.7＋1.6＋1.5＋…＋1.7－0.1（x －1）= 20)35(x x -， 由题意知1.5x ≤20)35(x x -，整理得x 2－5x ≤0. （其解集为｛x | 0≤x ≤5｝所以，当上网时间在5小时以内时选择去网吧A ） 二、明确概念，探究解法由上面的研究，可得出一个不等式x 2－5x ≤0，由此明确概念.一元二次不等式：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式. 问题2：你能够解出这个一元二次不等式吗？请你试一试.教师此时可放手让学生尝试解这个一元二次不等式.设计意图：让学生自己动手尝试解决，形成自己的解决方法，完成对一元二次不等式解法的初步建构.学生情况预案：从以往的经验看，学生一般会有三种解决方式：（1）两边消掉x 得出x ≤5；因为x ≥0，故得0≤x ≤5.（2）将x 2－5 x ≤0转化为⎩⎨⎧≤-≥050x x ，或⎩⎨⎧≥-≤.050x x ，（3）利用一元二次函数图象数形结合解决.课件预案:利用“几何画板”演示二次函数y =x 2－5x 的图象，引导学生观察点在函数图象上变化时横纵坐标的变化. （视情况而定，若有学生是画图象数形结合的话，就展示学生的成果）三、观察体会，归纳总结通过上面不等式的求解，学生自己可以体会数形结合思想的运用，同时更能感受三个二次之间的关系.此时，教师趁热打铁.问题3：试根据刚才解不等式的情况,我们想想看，对于一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）该如何求解呢？学生在思考后提出自己的看法，然后老师引导学生完成下表.课件预案：利用PPT课件投影上表填表结果.设计意图：通过几个具体的不等式的求解，引导学生寻求更一般的解法，使之推广，让学生体会从特殊到一般的认知规律.四、优化思维，形成步骤例1：求不等式-x2+2x-3>0的解集.（板书过程）例2：求不等式4x2－4x＋1>0的解集.问题4：你能总结出解一元二次不等式的一般步骤吗？课件预案：利用PPT课件投影：解一元二次不等式的步骤：①先把不等式中二次项系数化为正数；②计算Δ=b2－4ac，解对应的一元二次方程；③根据对应方程的根的情况，结合不等号的方向，写出不等式的解集.设计意图：对于一元二次不等式的求解，其书写格式也需规范，通过教师板书予以示范.从求解过程中，提炼出解题步骤，形成方法，从感性认识上升到理性认识.解后反思应形成习惯，这对于学生以后的学习也是一种帮助.五、练习反馈，合作检测练1：求不等式4x2-4x>15的解集.练2：求不等式13-4x2>0的解集.六、探究提高，深化理解（1）ax2+bx＋c>0对一切x都成立的条件是什么？（2）ax2+bx＋c<0对一切x都成立的条件是什么？设计意图：前面一直是给出不等式然后求解，而当我们知道一个不等式的解后，能否知道这个不等式呢？这个问题的设置对于学生进一步理解三个二次之间的关系大有助益.而开放性问题的设置，也使得学生的思维空间更广阔.七、课堂小结（1）通过这堂课，你学到了什么？（2）给你留下印象最深的是什么？八、作业（1）阅读作业：阅读课本78页内容并完成解一元二次不等式程序图的设计.（2）书面作业：习题3.2 A组 1,2,3,4【板书设计】。
一元二次不等式及其解法(优秀教案)
七、 训练评估
1、解下列不等式 (1)x2 4 0 (2) x2 4x 3 2x2 1
2、求函数 y x2 4x 9 地定义域
课后作业：教材 P80 A 组 第 1、2、3、4 题
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思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？
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四、 合作展示
1、自主探究： （ 1） 类比一元一次不等式地定义， 你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学
表达形式是什么？
（ 2） ①利用预学案第 1 题，观察图象填空： 当 x___________________， y=0，即 x2 5x _____0
五、 应用探究 ：
例：解不等式 2x2 3x 2 0
变式：若不等式改为 2x2 3x 2 0，则解集为 _______________ 小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？
变式练习： 1、解不等式 4x2 4x 1 0
2、解不等式 x2 2x 3 0
六、 知识整理：
本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？
当 x__________________，y>0，即 x2 5x _____0
当 x___________________， y<0，即 x2 5x _____0
②不等式
2
x
5x >0 地解集是 _ x2 5x <0 地解集是 _________________ 2、合作探究：
一元二次不等式及其解法优秀教案
一元二次不等式及其解法教学内容：人教版普通高中课程标准试验教科书数学必修1《一元二次不等式及其解法》第一课时。
.课题：一元二次不等式及其解法教材地位和作用：从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它与一元二次方程，二次函数之间联系紧密，涉及的知识面多，突出了数形结合的思想，同时也是解决函数定义域值域问题的工具，因此本节课在数学教学中具有较重要的地位。
学情分析：学习者是高二文科普通班基础差的学生，已经学习了一元一次不等式，一元一次方程，一元一次函数。
教学目标：一、知识与技能1、正确理解一元二次不等式，一元二次方程，二次函数的关系。
2、熟悉掌握一元二次不等式的解法。
二、情感态度与价值观：通过具体情境，使学生体验数学与实践的紧密关系，激发学生研究一元二次不等式的积极性和对数学的情感，使学生充分体验获取知识的成功感受；在探究，讨论，交流过程中培养学生的合作意识和团队精神，使其养成严谨的治学态度和良好的思维习惯。
教学重点：一元二次不等式的解法，数形结合的思想。
教学难点：三个二次的关系。
预习提纲：复习一元二次函数的图像和一元二次方程的解，用不等式表示表示引例中的不等关系，通过书上的引例发现“三个一次”联系的过程及教科书77页“三个二次”的关系，用类比的方法研究一元二次不等式的解法。
教学设计:一、设计情景，引入课题（一）内容引例（预习作业）你能表示这里的不等式关系吗？板书：设一次上网时间为X小时X（35－X）/20≧1.5X （学生独立完成）1.5X 为公司A的收取费用，X（35－X）/20 为公司A的收取费用。
整理得：x2－5X≦0 （学生独立完成）按照我们的命名习惯这个不等式应该叫什么不等式？依据是什么？学生得出一元二次不等式定义。
求出不等式中X的范围，问题就迎刃而解了，一元二次不等式如何解呢？这节课我们将学习如何解一元二次不等式。
板书课题：一元二次不等式及其解法（二）师生活动（1）学生预习又不等式表示材料提供的信息。
高中数学高三第六章不等式一元二次不等式及其解法(教案)
高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。
【重点难点】1。
教学重点：会解一元二次不等式并了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2。
教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:意x∈[m，m＋1],都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．解析［由题可得f（x）<0对于x∈［m，m＋1］恒成立，即错误!解得－错误!〈m〈0.答案错误!知识梳理：知识点1 三个“二次”的关系ΔacΔ〉0Δ＝0Δ数＋a〉象次有两相异实根有两相等实根没有ax2＋bx＋c＝0（a>0)的根x1，x2(x1<x2)x1＝x2＝－错误!ax2＋bx＋c〉0 （a>0)的解集｛x|x〈x1或x〉x2｝{x｜x≠x1}Rax2＋bx＋c<0 （a〉0）的解集{x|x1〈x<x2｝∅∅知识点2 用程序框图表示ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程1．必会结论；（1)（x－a）(x－b）〉0或(x－a)(x－b)〈0型不等式解法教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
由常见问题的解决和总结，使学。
(完整word版)高中数学一元二次不等式的解法教案
一元二次不等式及其解法二探索研究1.引例：画出函数y=x2-x-6的图象，观察函数图象，填空：当y=0时，x的取值集合是＿＿＿＿当y<0时，x的取值集合是＿＿＿＿当y>0时，x的取值集合是＿＿＿＿教师引导学生分析出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系（有关结论以表格的形式通过多媒体出示）。
教师进一步提出可以利用二次函数的图象解一元二次不等式。
画函数图象，填空。
分组讨论出一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。
2．提出问题：一般地，怎样确定一元二次不等式与的解集呢？引导学生进行讨论，完成一元二次不等式的解集表的填写。
关键要考虑以下两点：(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程根的情况；(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号。
从上面的例子出发，学生讨论，共同完成表格。
（后附表格）3.例题：例1：解下列不等式（1）x2-x-2>0解：∵Δ>0，对应方程x2-x-2= 0的两根分别为x1=－1，x2=2。
∴不等式x2-x-2>0的解集是：{x|x<－1或x>2}（2）-2x2+x+3>0解：原不等式变形为2x2-x-3＜0∵Δ>0，对应方程2x2-x-3=0的两根分别为x1=－1，x2=3/2∴原不等式的解集是：{x|－1＜x＜234．提出问题：解一元二次不等式的基本步骤是什么？教师引导学生结合例题得出结论。
与教师共同求解例题，结合例题概括出求解一元二次不等式的基本步骤：1、把二次项的系数变为正的；2、求解对应的一元二次方程；3、根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。
三应用实践给出课堂练习：解下列不等式1、4x2-4x+1>02、-x2+2x-3>0学生求解给出的一元二次不等式：1、解：∵Δ=0,对应方程4x2-4x+1=0的解为x1=x2= 1/2∴不等式的解集是：{x|x≠1/2 }2、解：将原不等式变形得：x2-2x+3<0∵Δ<0,对应方程x2-2x+3=0无实数解∴不等式x2-2x+3<0解集是ø故原不等式的解集是ø。
必修五3.2.一元二次不等式及其解法(教案)
人教版新课标普通高中◎数学⑤必修3.2 一元二次不等式及其解法教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1. 正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系.2. 熟练掌握一元二次不等式的解法.二、过程与方法1.通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力.2.通过对问题的思考、探究、交流，培养学生良好的数学交流能力，增强其数形结合的思维意识.3.在教学中渗透由具体到抽象，由特殊到一般、类比猜想、等价转化的数学思想方法.三、情感、态度与价值观1. 通过具体情境，使学生体验数学与实践的紧密联系，激发学生学习研究一元二次不等式的积极性和对数学的情感，使学生充分体验获取知识的成功感受.2.在探究、讨论、交流过程中培养学生的合作意识和团队精神，使其养成严谨的治学态度和良好的思维习惯.教学重点和难点教学重点：一元二次不等式的解法.教学难点：一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系.教学关键：使学生明白三个二次之间的关系，规范学生解题的步骤.教学突破方法：采用表格的形式，把“三个二次”关系表制成幻灯片，答案逐个播放，把节省大量的板书时间转化成学生的思考时间；在引导学生结合图象写解集时用白板笔做标记帮助学生分析，突破难点.例题讲解、方法总结环节中，白板演示例题、黑板板书步骤，黑板、白板交替使用既节省了板书例题时间又起到了规范解题步骤的作用，也符合学生接受新事物时的心理.教学小结环节展示整节课的教学导图.教法与学法导航教学方法：选择观察、探究、发现、类比、总结的教学模式.重点以引导学生为主，让他们能积极、主动的进行探索，获取知识.学习方法：结合本节内容和学生实际，适当引入研究性学习，采用讲练结合方法，通过阅读发现问题，分析探索，合作交流最终形成技能.使学生在观察、思考、交流中体验数学学习的乐趣.教学准备1教师备课系统──多媒体教案2教师准备：把书上的引例、发现“三个一次”联系的过程及教材第77页“三个二 次”关系、第78页程序框图制成课件.学生准备：完成预习作业（用不等式表是引例中的不等关系），复习一元二次函数的图象和一元二次方程的解. 教学过程一、创设情境，导入新课引例: 某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司（网络服务公司）可供选择，公司A 每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B 的收费原则是：在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）.分析：一般说来，一次上网时间不会超过17小时，所以不妨假设一次上网时间总小于17小时. 此时比较一次上网在多长时间内能够保证选择公司A 的上网费用小于或等于选择公司B 所需费用.假设一次上网x 小时，则公司A 收取的费用为1.5x （元）， 公司B 收取的费用为元）(20)35(x x -. 如果能够保证选择公司A 比选择公司B 所需费用少，则x x x 5.120)35(≥-.整理得 052≤-x x这是一个关于x 的一元二次不等式，只要求出满足这个不等式的解集，就可以得到问题的答案.按照我们的命名习惯这个不等式应该叫什么不等式？依据是什么？学生得出一元二次不等式定义.求出不等式中x 的范围，问题就迎刃而解了，一元二次不等式如何解呢？这节课我们将学习如何解一元二次不等式.板书课题：一元二次不等式及其解法. 二、主题探究，合作交流以前解过一次不等式， （1）2x-5>0的解是什么？（2）根据图象回答.不等式2x-7>0的解集为：{x | x >2.5}；不等式2x-7<0的解集为：{x | x <2.5}； 不等式2x-7≥0的解集为：{x | x ≥2.5}； 不等式2x-7≤0的解集为：{x | x ≤2.5}.（3）思考：一元一次不等式 2x -5>0、一元一次方程 2x -5=0、 一元一次函数 y =2x －5这“三个一次”之间有什么联系？（4）结论推广：对于一元一次方程 ax +b =0、一元一次函数 y=ax +b 、一元一次不等式ax +b>0，“三个一次”的关系成立吗?人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修3观察要解得不等式x 2-5x ≤0，左边代数式是哪个函数的解析式？左边代数式的值是0是不等式变成了什么形式？你能借助由“三个一次”的联系解一次不等式的方法尝试找到“三个二次”的联系，求解一元二次不等式吗？请同学们自己亲自动手试一试. 三、拓展创新，应用提高1. 探讨求不等式x 2-5x ≤0的解集. 解：令 f （x ）=x 2-5x ，方程x 2-5x =0的解为x 1=0，x 2=5. 即函数f （x ）=x 2-5x 与x 轴的交点坐标为（0,0）、（5,0），由于二次项系数大于0，所以二次函数的图象抛物线开口向上.由图象易知当0≤x ≤5时，函数值f （x ）≤0， 即不等式x 2-5x ≤0的解集为{x |0≤x ≤5}.点评：显然这里不等式的求解用了一元二次函数、一元二次方程，体现了用函数和方程来求解一元二次不等式解集的思想和方法.练习：求解 x 2-5x +6>0的解集.解：不等式的解集为()()+∞⋃∞-,32,.2. 讨论一般情况下一元二次不等式的解集.任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：220(0),0(0),ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集呢？ 从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：（1）抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2=0的根的情况.（2）抛物线=y c bx ax ++2的开口方向，由a 的符号确定.总结：（l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a > 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=∆三种取值情况（Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分三种情况讨论.教师备课系统──多媒体教案4（2）a <0可以转化为a >0.分△>0，△=0，△<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集.∆=b 2-4ac0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅教师多媒体演示表格，白板笔做标记.学生观察、分析、交流、探究.例1 求不等式 4x 2-4x +1>0 的解集.解：因为210144,0212===+-=∆x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠21x x . 例2 求不等式－x 2+2x -3>0的解集.教学安排：学生自主完成，教师巡视指导，纠正错误，最后教师有针对性的演板，规范学生解题格式.解：先把二次项系数化为正数 x 2-2x +3<0.因为032,0314222=+-<⨯⨯-=∆x x 方程无实数解,所以原不等式的解集为空集.学生总结解不等式的步骤. 随堂练习：人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修5（1）解不等式x 2-7x +12≥0； 答：(][),34,-∞⋃+∞ （2）解不等式 -2x 2+x -5<0； 答：R （3）解不等式 4x 2-4x +1<0. 答：∅ 四、小结1. 从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；2. 应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；3. 解一元二次不等式的步骤：（1） 将二次项系数化为“+”：A =c bx ax ++2>0（或<0）（a >0） （2）计算判别式△，分析不等式的解的情况： ①当△>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若②当△=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φ③当△<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若（3）写出解集.五、课堂作业教材第80页习题3.2 A 组 第1、2题；第81页 B 组 第1题。
高中数学《一元二次不等式及其解法》教学设计(经典、值得收藏)
1《一元二次不等式及其解法》教学设计教学目标1.知识与技能: 正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一元二次不等式的解法；2.过程与方法: 通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；3.情态与价值：创设问题情境，培养学生的探索精神和合作意识。
教学重点，难点弄清一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法。
教学过程教学过程1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P84互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250x x -< (1)【设计意图】依托日常生活背景，运用学生感兴趣的上网费用最少问题，以趣引思,激发学生学习热情。
2.讲授新课1）一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式250x x -<的解集怎样求不等式（1）的解集呢？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知：当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->；当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。
3）探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：220,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或2 一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集呢？组织讨论，总结讨论结果：（l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a<0可以转化为a>0分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格) 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2 （0>a ）的图象c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅【设计意图】领悟数学应用价值；从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。
【精品】一元二次不等式及其解法辅导教案
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
∅
∅
[化解疑难]
一元二次方程的根对应于二次函数图象与x轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x轴上方(下方)，或在x轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．
(2)原不等式可化为x2－7x＋6<0.
解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为
{x|1<x<6}．
(3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
当a＝－1时，原不等式解集为∅；
当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
[类题通法]
解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
(5)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
[类题通法]
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
高考数学总复习教案：一元二次不等式及其解法
第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法(对应学生用书(文)、(理)84～86页)考情分析考点新知掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解程序框图.1. (必修5P69习题2(2)改编)不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.答案：⎣⎡⎦⎤－1，43解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤43.2. (必修5P71习题1(3)改编)不等式x2＋x－6≤0的解集为________．答案：[－3，2]解析：由x2＋x－6≤0，得－3≤x≤2.3. (必修5P71习题7(4)改编)不等式1－2xx＋1>0的解集是________．答案：⎝⎛⎭⎫－1，12解析：不等式1－2xx＋1>0等价于(1－2x)(x＋1)>0，也就是⎝⎛⎭⎫x－12(x＋1)<0，所以－1<x<12.4. (必修5P71习题5(2)改编)已知不等式x2－2x＋k2－3>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是________．答案：k>2或k<－2解析：由Δ＝4－4(k2－3)<0，知k>2或k<－2.5. (必修5P71习题6改编)不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a－b＝________．答案：－10解析：由题意可知，－12和13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个实根，则⎩⎨⎧－12＋13＝－ba，⎝⎛⎭⎫－12·13＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－12b＝－2，所以a－b＝－10.1. 一元二次不等式的解法在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)．因此，可以通过y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如下表：二次函数一元二次方程一元二次不等式一般式y＝ax2＋bx＋c(a>0)Δ＝b2－4acax2＋bx＋c＝0(a＞0)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)图象与解Δ>0 x＝x1，x＝x2x<x1或x>x2x1<x<x2 Δ＝0 x＝x0＝－b2a x≠－b2aÆΔ<0 无解R Æ2. 用一个流程图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程：[备课札记]题型1 一元二次不等式的解法例1 已知a ＞0，解关于x 的不等式x2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1＜0.解：原不等式可化为(x －a)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0.由a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a ，得①当0＜a ＜1时，a ＜1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a<x<1a ；②当a ＞1时，a ＞1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x<a ；③当a ＝1时，a ＝1a ，(x －1)2＜0的解集为． 变式训练已知关于x 的不等式：（a ＋1）x －3x －1<1.(1) 当a ＝1时，解该不等式； (2) 当a>0时，解该不等式．解：(1) 当a ＝1时，不等式化为2x －3x －1<1，化为x －2x －1<0，∴ 1<x<2，解集为{x|1<x<2}．(2) a>0时，由（a ＋1）x －3x －1 <1得ax －2x －1<0，(ax －2)(x －1)<0，方程(ax －2)(x －1)＝0的两根x1＝2a ，x2＝1. ①当2a ＝1即a ＝2时，解集为；②当2a >1即0<a<2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x<2a ；③当2a <1即a>2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2a <x<1.题型2 由二次不等式的解求参数的值或范围例2 已知不等式(2＋x)(3－x)≥0的解集为A ，函数f(x)＝kx2＋4x ＋k ＋3(k<0)的定义域为B.(1) 求集合A ；(2) 若集合B 中仅有一个元素，试求实数k 的值； (3) 若B A ，试求实数k 的取值范围．解：(1) 由(2＋x)(3－x)≥0，得(2＋x)(x －3)≤0， 解得－2≤x≤3，故A ＝[－2，3]．(2) 记g(x)＝kx2＋4x ＋k ＋3，则g(x)≥0在R 上有且仅有一解，而k<0，所以Δ＝0. 由k<0与16－4k(k ＋3)＝0，解得k ＝－4.(3) 记g(x)＝kx2＋4x ＋k ＋3，首先g(x)≥0在R 上有解，而k<0，所以Δ＝16－4k(k ＋3)≥0, 解之得－4≤k<0.①设g(x)＝0的两个根为x1，x2(x1<x2)，则B ＝[x1，x2]．由BA ，得⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）≤0，g （3）≤0，－2<－2k <3，即⎩⎪⎨⎪⎧5k －5≤0，10k ＋15≤0，－2<－2k <3，②由①与②，解得－4≤k≤－32.备选变式（教师专享）已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x ＋b. (1) 解关于a 的不等式f(1)>0；(2) 当不等式f(x)>0的解集为(－1，3)时，求实数a 、b 的值． 解：(1) f(1)＝ －3＋a(6－a)＋b ＝ －a2＋6a ＋b －3， ∵ f(1)>0，∴ a2－6a ＋3－b<0. ∵Δ＝24＋4b ，当b≤－6时，Δ≤0，∴此时f(1)>0的解集为；当b>－6时，3－b ＋6<a<3＋b ＋6. ∴ f(1)>0的解集为{a|3－b －6<a<3＋b ＋6. (2) ∵不等式－3x2＋a(6－a)x ＋b>0的解集为(－1，3)， ∴f(x)>0与不等式(x ＋1)(x －3)<0同解． ∵3x2－a(6－a)x －b<0解集为(－1，3)， ∴⎩⎨⎧2＝a （6－a ）3，3＝b 3， 解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝9.题型3 三个二次之间的关系例3 已知不等式x2－2x －3<0的解集为A ，不等式x2＋x －6<0的解集是B ，不等式x2＋ax ＋b<0的解集是A∩B ，那么a ＋b ＝________． 答案：－3解析：由题意：A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x|－3<x<2}，A ∩B ＝{x|－1<x<2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴ a ＋b ＝－3. 备选变式（教师专享）关于x 的不等式x2－ax －20a2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是________． 答案：0 解析：方程x2－ax －20a2＝0的两根是x1＝－4a ，x2＝5a ，则由关于x 的不等式x2－ax －20a2<0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1，且a≠0，故填0. 题型4 一元二次不等式的应用例4 要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？ 解： 设半圆直径为2R, 矩形的高为a ， 则2a ＋2R ＋πR ＝L(定值)，S ＝2Ra ＋12πR2＝－⎝⎛⎭⎫12π＋2R2＋LR ， 当R ＝L π＋4时S 最大，此时Ra ＝1，即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线． 备选变式（教师专享）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2，x>5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题．(1) 要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ 解：依题意，G(x)＝x ＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ，x>5.(1) 要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0， 当0≤x≤5时，解不等式－0.4x2＋3.2x －2.8>0， 即x2－8x ＋7<0，得1<x<7， ∴1<x ≤5.当x>5时，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2， ∴5<x<8.2.综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x －4)2＋3.6， 故当x ＝4时，f(x)有最大值3.6； 而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2.所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．1. (2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为______．答案：{x|x<－lg2}解析：由条件得－1<10x<12，即x<－lg2.2. (2013·四川)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x ，那么不等式f(x ＋2)<5的解集是________． 答案：(－7，3) 解析：解f(x)＝x2－4x<5(x≥0)，得0≤x<5.由f(x)是定义域为R 的偶函数得不等式f(x)<5的解集是(－5，5)，所以不等式f(x ＋2)<5转化为－5<x ＋2<5，故所求的解集是(－7，3)． 3. (2013·重庆)关于x 的不等式x2－2ax －8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a ＝________． 答案：52解析：x2－x1＝4a －(－2a)＝6a ＝15. 4. (2013·上海)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100(5x ＋1－3x )元．(1) 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2) 要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1) 根据题意，200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 0005x －14－3x ≥0.又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2) 设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝⎛1x －162＋6112，故x ＝6时，ymax ＝457 500元．1. 解关于x 的不等式(1－ax)2<1.解：由(1－ax)2<1得a2x2－2ax ＋1<1，即ax(ax －2)<0. ① 当a ＝0时，不等式转化为0<0，故x 无解．② 当a<0时，不等式转化为x(ax －2)>0，即x ⎝⎛⎭⎫x －2a <0.∵ 2a <0，∴ 不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x<0.③ 当a>0时，原不等式转化为x(ax －2)<0，又2a >0，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x<2a .综上所述，当a ＝0时，原不等式解集为；当a<0时，原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x<0； 当a>0时，原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x<2a .2. 函数f(x)＝x2＋ax ＋3.(1) 当x ∈R 时，f (x)≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2) 当x ∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1) ∵ x ∈R ，f (x)≥a 恒成立， ∴ x2＋ax ＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.∴ 当x ∈R 时，f (x)≥a 恒成立，则a 的取值范围为[－6，2]．(2) f(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋3－a24.讨论对称轴与[－2，2]的位置关系，得到a 的取值满足下列条件： ⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤－2，f （－2）≥a 或⎩⎨⎧－2＜－a2＜2，3－a24≥a或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥2，f （2）≥a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a≥4，7－2a≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜a ＜4，a2＋4a －12≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a≤－4，7＋2a≥a. 解得－7≤a≤2.∴ 当x ∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，则a 的取值范围为[－7，2]．3. 某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价，减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，问该商场将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最多？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所赚的利润在300元以上？解：设每件提高x 元(0≤x≤10)，即每件获利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，设每天获得总利润为y 元，由题意有y ＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360.所以当x ＝4时，ymax ＝360元，即当定价为每件14元时，每天所赚利润最多．要使每天利润在300元以上，则有－10x2＋80x ＋200＞300，即x2－8x ＋10＜0，解得4－6＜x ＜4＋ 6.故每件定价在(14－6)元到(14＋6)元之间时，能确保每天赚300元以上．4. 设关于x 的不等式mx2－2x －m ＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m 都成立，则x 的取值范围是________． 答案：7－12<x<3＋12解析：以m 为主体变元构造函数f(m)＝(x2－1)m －(2x －1)，问题转化为求x 的范围，使f(x)在[－2，2]上恒为负值．故有⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＜0，f （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x2－2x ＋3＜0，2x2－2x －1＜0，解得7－12＜x ＜3＋12.1. 一元二次不等式ax2＋bx ＋c>0，ax2＋bx ＋c<0的解就是使二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的函数值大于0或小于0时x 的范围，应充分和二次函数图象结合去理解一元二次不等式的解集表． 2. 解带参数的不等式(x －a)(x －b)>0，应讨论a 与b 的大小再确定不等式的解，解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程的根的情况)，三写(写出不等式的解集)3. 应注意讨论ax2＋bx ＋c>0的二次项系数a 是否为0.4. 要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想．分类讨论要做到“不重”、“不漏”、“最简”的三原则．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.。