数值计算方法上机实验报告

数值计算方法上机实验报告

班级：农电0801 姓名：杨 昆

学号：200801090122 算法原理以及程序框图

①牛顿法求非线性方程

● 算法原理：

对于非线性方程()0f x =，若已知跟*x 的一个近似值k x ，将()f x 在k x 处展开成一阶泰勒公式：

"'

2()

()()()()()2!

k k k k f f x f x f x x x x x ξ=+-+-

忽略高次项，有

'()()()()k k k f x f x f x x x ≈+-

右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程()f x 。将非线性方程

()0f x =的根*x 代入*()0f x =，即

'*()()()0k k k f x f x x x +-≈

解出

*'()

()

k k k f x x x f x ≈-

将右端取为1k x +，则1k x +是比k x 更接近于*x 的近似值，即

1'

()

()

k k k k f x x x f x +=-

这就是牛顿迭代公式。 ● 程序框图：

●具体算例及求解结果：

导出计算(0)

c c>的牛顿迭代公式，并计算115。

迭代结果：

10.750000

10.723837

10.723805

●输入变量、输出变量说明：

输入变量：0x迭代初值，ε迭代精度，N迭代最大次数

输出变量：k当前迭代次数，

x当前迭代值

1

②列主元消去法求解线性方程组

●算法原理：

高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数

乘一个方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下

而上对上三角方程组求解。

列选住院是当高斯消元到第k 步时，从k 列的kk a 以下（包括kk a ）的各元素中选出绝对值最大的，然后通过行交换将其交换到kk a 的位置上。交换系数矩阵中的两行（包括常数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结果。 ● 程序框图：

● 具体算例及求解结果：

用列选主元法求解下列线性方程组

1231231

232315410030.12

x x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪-+=⎩ 求解结果：

1.200000

2.000000 -1.400000

● 输入变量、输出变量说明：

输入变量：ij a 系数矩阵元素，i b 常向量元素 输出变量：12,,n b b b 解向量元素

③LU 分解求解线性方程组

● 算法原理：

求解线性方程组Ax b =时，当对A 进行杜里特尔分解，则等价于求解LUx b =，这时可归结为利用递推计算相继求解两个三角形（系数矩阵为三角矩阵）方程组，用顺代，由

Ly b =

求出y ，再利用会带，由Ux y =求出x 。 ● 程序框图：

● 具体算例及求解结果：

用杜里特尔分解法求解方程组

123223347712457x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 求解结果：

2.000000 -2.000000 1.000000

● 输入变量、输出变量说明：

输入变量：ij a 系数矩阵元素，i b 常向量元素 输出变量：12,,n b b b 解向量元素

④拉格朗日插值多项式

● 算法原理：

首先构造基函数0()n

i

k i k i

i k x x l x x x =≠-=-∏

，可以证明基函数满足下列条件：

()1

k i i k l x i k

≠⎧=⎨

=⎩，

对于给定1n +个节点，n 次拉格朗日插值多项式由下式给出：

0()()n

k k k L x l x y ==∑

其中

0()n

i

k i k i

i k

x x l x x x =≠-=-∏

由于()k l x 是一个关于x 的n 次多项式，所以()L x 为关于x 的不高于n 次的代数多项式。当i x x =时，()i i L x y =，满足插值条件。 ● 程序框图：

● 具体算例及求解结果：

已知()sin f x x = 的值如下表所示。

()sin f x x =的值

x

0 6

π 4

π 3

π 2π sin x

12

22

32

1

试用四次Lagrange 多项式计算sin 12

π

的估计值。

求解结果： 0.258588

● 输入变量、输出变量说明：

输入变量：(,)i i x y 插值节点

输出变量：y 插值所得到被插函数在插值点的近似值

⑤最小二乘法曲线拟合

● 算法原理：

对于给定的一组数据(,)i i x y ，i =1，2…，m ，寻求做n 次多项式

0n

k k k y a x ==∑

使性能指标

2011

(,,,)()m

n

k n i k i i k J a a a y a x ===-∑∑ 为最小。

由于性能指标J 可以被看做关于k a ，k =0，1，…，n 的多元函数，故上述拟合多项式的构造问题可转化为多元函数的极值问题。令

0k

J

a ∂=∂ 从而有正则方程组

203

1211

2

2n i i

i

i n i i i i i

i

n n n n n n i i i i i

i m x x

x y a x y a x x x

x

a x y x x x

x +++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣

⎦

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

求解即得多项式系数。

● 程序框图：