2012年北京高考数学试题(理数)

⎧0 ≤ x ≤ 2, ，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标 ⎩0 ≤ y ≤ 2
原点的距离大于 2 的概率是 （A）
π 4
（B）
π −2 2
（C）
π 6
（D）
4 −π 4
【解析】题目中 ⎨
⎧0 ≤ x ≤ 2 表示的区域如图正方形所示，而动点 D ⎩0 ≤ y ≤ 2
可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此
【答案】 3 13．已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE ⋅ CB 的值为________，
DE ⋅ DC 的最大值为______。
【解析】根据平面向量的数量积公式 DE ⋅ CB = DE ⋅ DA = | DE | ⋅ | DA | cos θ ，由图可知，
S底 = 10 ， S后 = 10 ， S右 = 10 ， S左 = 6 5 ， 因 此 该 几 何 体 表 面 积
S = S底 + S后 + S右 + S左 = 30 + 6 5 ，故选 B。
【答案】B 8.某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前 m 年的年 平均产量最高。m 值为（ ）
要求 x ∈ ( −∞ ,−4) ， f ( x) g ( x) < 0 的限制，可分析得出在 x ∈ ( −∞ ,−4) 时， f ( x ) 恒负，因 此就需要在这个范围内 g ( x) 有得正数的可能，即 − 4 应该比 x1 , x2 两根中小的那个大，当
m ∈ (−1,0) 时， − m − 3 < −4 ，解得，交集为空，舍。当 m = −1 时，两个根同为 − 2 > −4 ，
1 2 × 2 − π ⋅ 22 4 − π 4 ，故选 D。 P= = 2× 2 4
【答案】D 3．设 a，b∈R。“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】当 a = 0 时，如果 b = 0 同时等于零，此时 a + bi = 0 是实数，不是纯虚数，因此不 是充分条件；而如果 a + bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 a = 0 ， 因此想必要条件，故选 B。 【答案】B 4．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
10．已知 {an } 等差数列 S n 为其前 n 项和。若 a1 =
【 解 析 】 在 △ ABC 中 ， 利 用 余 弦 定 理 cos B =
a2 + c 2 − b2 1 4 + (c + b)(c − b) ⇒− = 2ac 4 4c
⎧c = 3, 4 + 7 (c − b ) ⎪ ，化简得： 8c − 7b + 4 = 0 ，与题目条件 b + c = 7 联立，可解得 ⎨b = 4, = 4c ⎪a = 2. ⎩
k = tan 60° = 3 ， 利 用 点 斜 式 ， 直 线 方 程 为 y = 3 x − 3 ， 将 直 线 和 曲 线 联 立
⎧ A(3,2 3 ) ⎧ 1 1 ⎪ y = 3x − 3 ⎪ ⇒ ⎨ 1 2 3 ，因此 S ∆OAF = × OF × y A = × 1 × 2 3 = 3 ． ⎨ 2 2 2 ⎪ ) ⎪ B ( ,− ⎩ y = 4x 3 ⎩ 3
f ( x ) < 0 或 g ( x) < 0 成立的限制，导致 ( x ) 在 x ≥ 1 时必须是 f ( x ) < 0 的。当 m = 0 时， f ( x ) = 0 不能做到 f ( x) 在 x ≥ 1 时 f ( x) < 0 ，所以舍掉。因此， f ( x) 作为二次函数开口只
A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选 C。 【答案】C 第二部分(非选择题共 110 分) 二.填空题共 6 小题。每小题 5 分。共 30 分. 9．直线 ⎨
⎧x = 2 + t ⎧ x = 3 cos α (t 为参数)与曲线 ⎨ (α 为参数)的交点个数为______。 ⎩ y = −1 − t ⎩ y = 3 sin α
【答案】4 12．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点.
其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60º.则△OAF 的面积为 【解析】由 y 2 = 4 x 可求得焦点坐标 F(1,0) ，因为倾斜角为 60° ，所以直线的斜率为
能向下，故 m < 0 ，且此时两个根为 x1 = 2m ， x2 = − m − 3 。为保证此条件成立，需要
1 ⎧ ⎧ x1 = 2m < 1 ⎪m < ⇒⎨ 2 ，和大前提 m < 0 取交集结果为 − 4 < m < 0 ；又由于条件 2： ⎨ x = − m − 3 < 1 ⎩ 2 ⎪ ⎩m > − 4
(sin x − cos x) sin 2 x = (sin x − cos x) × 2 cos x sin x π = sin 2 x − (1 + cos 2x ) = 2 sin(2x − ) − 1 4 2π 得： f ( x ) 的最小正周期为 T = =π ； 2 π π （2）函数 y = sin x 的单调递增区间为 [2kπ − , 2kπ + ]( k ∈ Z ) 2 2 π π π π 3π 则 2kπ − ≤ 2 x − ≤ 2kπ + ⇔ kπ − ≤ x ≤ kπ + 2 4 2 8 8 π 3π 得： f ( x ) 的单调递增区间为 [ kπ − , kπ ), ( kπ , kπ + ](k ∈ Z ) 8 8
舍。当 m ∈ ( −4,−1) 时， 2m < −4 ，解得 m < −2 ，综上所述 m ∈ ( −4,−2) ． 【答案】 m ∈ ( −4,−2) （lbylfx） 三、解答题公 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15． （本小题共 13 分） 已知函数 f ( x ) =
(sin x − cos x ) sin 2 x 。 sin x
（1）求 f ( x) 的定义域及最小正周期； （2）求 f ( x) 的单调递增区间。 解（1） ： sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ ( k ∈ Z ) 得：函数 f ( x ) 的定义域为 {x x ≠ kπ , k ∈ Z }
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理科）
本试卷共 5 页. 150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求 的一项. 1．已知集合 A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则 A∩B= A （- ∞ ，-1）B （-1，-
A. 28+6 5
B. 30+6 5
C. 56+ 12 5
D. 60+12 5
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为 直接从题目所给三视图中读出的长度， 黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 本题 所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
2 2 ） C （- ,3）D (3,+ ∞ ) 3 3 2 ， 利用二次不等式可得 B = {x | x < −1 或 x > 3} 画出数 3
【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因 为 A = {x ∈ R | 3x + 2 > 0} ⇒ x > −
轴易得： A ∩ B = {x | x > 3} ．故选 D． 【案】D 2．设不等式组 ⎨
解： （1）∵ CD ⊥ DE ， A1 E ⊥ DE
∴ DE ⊥ 平面 A1CD ，
又∵ A1C ⊂ 平面 A1CD ，
∴ A1C ⊥ DE
又 A1C ⊥ CD ，
∴ A1C ⊥ 平面 BCDE 。
（2）如图建系 C − xyz ，则 D ( −2 ，0 ，0 ) ， A 0 ，0 ，2 3 ， B ( 0 ，3 ，0 ) ， E ( −2 ，2 ，0 )
f ( x) =
16． （本小题共 14 分） 如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC ，AB 上的点，且 DE∥BC，DE=2，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1C⊥CD,如图 2. (I)求证：A1C⊥平面 BCDE； (II)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； (III)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由
【解析】直线的普通方程 x + y − 1 = 0 ，圆的普通方程为 x 2 + y 2 = 9 ，可以直线圆相交， 故有 2 个交点。 【答案】2
1 ， S 2 = a3 ，则 a2 =_______。 2 1 【解析】因为 S 2 = a3 ⇒ a1 + a2 = a3 ⇒ a1 + a1 + d = a1 + 2d ⇒ d = a1 = ， 2 1 1 所以 a2 = a1 + d = 1 ， S n = na1 + n( n − 1) d = n2 + n 。 4 4 1 2 1 【答案】 a2 = 1 ， S n = n + n 4 4 1 11．在△ABC 中，若 a =2，b+c=7，cosB= − ，则 b=_______。 4