三类边界条件可以统一地写成
多层圆柱稳态传热 第三类边界条件
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数学物理方程_定解问题
根据边界条件确定任意函数 f：
令 故
规定，当
时
4、定解问题是一个整体
达朗贝尔公式的求解过程，与大家熟知的常 微分方程的求结果成完全类似。
但遗憾的是，绝大多数偏微分方程很难求出 通解；即是求出通解，用定解条件确定其中待 定函数往往更为困难。这说明，达朗贝尔公式 不适用于普遍的数学物理定解问题的求解？
（7.1.8）
称式（7.1.8）为弦的自由振动方程。
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 作用，则式(7.1.8)应该改写为
(7.1.9)
式中
称为力密度，为 时刻作用于
处单位质量上的横向外力
式（7.1.9）称为弦的受迫振动方程.
2、 均匀杆的纵振动
一根杆，只要其中任一小段做纵向移动，必然使 它的邻段压缩或伸长，这邻段的压缩或伸长又使 它自己的邻段压缩或伸长。这样，任一小段的纵 振动必然传播到整个杆,这种振动的传播是纵波.
泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件, 而只有边界条件. 边界条件分为三类:
1、在边界上直接给定未知函数 , 即为第一类边界条件．
2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件．
3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件.
第一、二、三类边界条件可以统一地写成
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数 的数值
u n
x0 , y0 ,z0
f (x0, y0, z0,t)
（7.2.3）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在 边界上的数值
（7.2.4）
其中 是时间 的已知函数， 为常系数．
7.2.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件
边界条件是什么意思有什么条件
边界条件是什么意思有什么条件边界条件指在运动边界上方程组的解应该满足的条件。
那么你对边界条件了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是边界条件的内容，希望大家喜欢!边界条件的简介有限元计算，无论是ansys，abaqus，msc还是comsol等，归结为一句话就是解微分方程。
而解微分方程要有定解，就一定要引入条件，这些附加条件称为定解条件。
定解条件的形式很多，最常见的有两种——初始条件和边界条件。
如果方程要求未知量y(x)及其导数y′(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值，即y(x0 )=y0，y′(x0)= y0′，则这种条件就称为初始条件，由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题;而在许多实际问题中，往往要求微分方程的解在在某个给定区间a ≤ x ≤b的端点满足一定的条件，如y(a) = A , y(b) = B，则给出的在端点(边界点)的值的条件，称为边界条件，微分方程和边界条件构成数学模型就称为边值问题。
边界条件的分类边值问题中的边界条件的形式多种多样，在端点处大体上可以写成这样的形式，Ay+By'=C，若B=0，A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克莱(Dirichlet)条件;B≠0,A=0，称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件;A≠0,B≠0，则称为第三类边界条件或洛平(Robin)条件。
总体来说，第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值;第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数;第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。
对应于comsol，只有两种边界条件：Dirichlet boundary(第一类边界条件)—在端点，待求变量的值被指定。
Neumann boundary(第二类边界条件)—待求变量边界外法线的方向导数被指定。
再补充点初始条件：初始条件，是指过程发生的初始状态，也就是未知函数及其对时间的各阶偏导数在初始时刻t=0的值.在有限元中，好多初始条件要预先给定的。
细说传热学三类边界条件
细说传热学三类边界条件传热学是研究不同温度的物体或同一物体的不同部分之间热量传递规律的学科，学科定律主要建立在3种基本传热方式基础之上，即导热、对流和辐射。
（传热示意图）1. 传热方程传热过程主要使用关于温度（或者能量）的控制方程来描述，比如说考虑温度随时间的变化、导热以及对流后的方程为显然，上述方程属于偏微分方程，也是大部分CFD研究人员最常用的方程。
求解后得到的结果为温度T关于时间t，位置x, y, z以及一些常数c1,c2, c3…的函数T(x, y,z, t, c1, c2,c3,…)。
（温度分布示意图）2. 热边界决定唯一解这个时候想必有人就要问了，传热问题千千万，你光用这一个方程得到的解不都是一样的吗？的确是一样的。
（一维稳态导热图）比如说，对于上述一维稳态导热问题，其控制方程为求解后得到T=ax+b。
换句话说，对于任意一维稳态导热问题而言，T=ax+b均满足上述控制方程。
但是，a和b的值为任意值，所以想要确定具体的温度分布，还需要给出a和b的具体值。
而这一过程正是通过边界条件确定的，也是边界条件的意义所在。
于是我们可以这样操作，对于上述区域的两个边界点x0，x1，如果给定1)，则有两个方程两个未知数，轻松得到a和b的值；2)，则有同样可以轻松得到a和b的值；3)，则有同样可以轻松得到a和b的值。
复杂的热边界事实上，以上三种边界条件恰好对应了传热学的三类边界条件。
看上图给出的两种传热学应用场景，几何够复杂吧，热边界其实也是一样的。
即第一类边界条件（也叫狄利克雷边界条件），给定边界上的温度值；第二类边界条件（也叫诺依曼边界条件），给定边界上温度的梯度值，或者说给定边界上的热流密度；第三类边界条件，给定边界上温度的梯度值与边界温度的关系。
这三类边界条件综合起来，也可以总结为以下公式不同问题的边界条件不同，决定温度T分布的常数c1, c2, c3…也就不同，这也是为什么相同控制方程能够得出不同温度分布的真正原因。
传热学三类边界条件（第一二三类边界条件）
传热学三类边界条件（第一二三类边界条件）文化 2020-05-08 10:38:49 共10个回答【定解条件】使微分方程获得某一特定问题的解的附加条件.1)初始条件:给出初始时刻的温度分布2)边界条件:给出导热物体边界上的温度或换热情况.【第一类边界条件】规定了边界上的温度值.【第二类边界条件】规定了边界上的热流密度值.【第三类边界条件】规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数h及流体温度tf.对稳态问题只需边界条件.通过其表面来分析,其表面能量守恒故应有kdT/dx=h(T-T∞)1.定解条件是初始条件和边界条件的统称.2.温度值热,流密度值,传热系数h及流体温度tf.3.初始条件是指在微分方程中未知函数在初始时刻所需满足的条件.4.边界条件绝热,定壁温和对流条件你好,第一类边界条件:规定了边界上的温度值.第二类边界条件:规定了边界上的热流密度.第三类边界条件:规定了边界上物体与周围流体间表面传热系数h以及周围流体的温度Tf.边界条件有三类第一类,规定了边界上的温度值.第二类,规定了边界上的传热密度值.第三类,规定了物体与周围流体间的表面传热系数h及周围流体的温度.对于稳态导热问题,定解条件中没有初始条件,仅有边界条件.边界条件有:1、第一类边界条件,规定了边界上的温度2、第二类边界条件,规定了边界上的热流密度值3、第三类边界条件,规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数h及周围流体温度tf.至于需要几个独立的边界条件,与所求区域有关,比如圆,只需一个.而长方形区域,则必须明确四条边上的边界条件.传热学问题常壁温边界条件就是第一类边界条件,壁温为常数,常热流边界条件就是第二类边界条件,热流密度为常数边值问题中的边界条件的形式多种多样,在端点处大体上可以写成这样的形式,Ay+By'=C,若B=0,A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克莱(Dirichlet)条件;B≠0,A=0,comsol在声学模拟无限边界有三种方法:1.采用平面波辐射,或球面波辐射边界条件.2.采用完美匹配层.3.采用周期性边界条件.。
传热学思考题答案中国石油大学
第二章
2.1 什么是傅里叶导热定律？它的意义是什么？
答：傅里叶定律是指在任意时刻，各向同性连续介质内任意位置处的热流密度
在数值上与该点的温度梯度成正比，但方向相反。意义：揭示了导热热流与局
部温度梯度之间的内在关系。
2.2 傅里叶定律中没有时间项，能否用来计算非稳态导热过程中的导热量？
答: 能，傅里叶定律是导热的基本定律，是分析导热问题的理论基础。非稳
而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，
温度只是时间的函数，数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低
了求解难度。
20、要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数 =
，形状上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流
ℎ
换热。
2-15 空心砖好，因为空心砖内部充满空气，而空气的导热系数相对较小，热阻
较大，空心砖导热性较之实心砖差，同一条件下空心砖的房间的散热量小，保
温性好。
2-16 棉被中棉絮的中充斥着空气，空气导热系数小，所以棉絮中的热量不容易
散发出来，拍打过后，棉絮更加蓬松，空气增多，故效果更好。
2-17 导热系数是从傅里叶定律定义出来的一个物性量，它反映了物质的导热性
料。
2.4 什么是保温材料?选择和安装时应注意哪些问题。
答：导热系数小的非金属材料在保温隔热、保冷工程中应用广泛，这类材料
被称为保温材料或隔热材料。工程上对保温材料的要求是高效、耐温、易得和
廉价，选择是应注意保温材料的导热系数不大于 0.12w/(m*k)，使用时材料吸
水后会使性能下降，导热系数增加，因此使用时应注意防水。
态导热过程的求解需要导热微分方程，而导热微分方程是在傅里叶定律的基础
静电场的Laplace方程和Poisson方程(精)
边界条件当然不限于以上三类,还可以有各式各样的边界 条件，甚至是非线性边界条件。
除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
（P159）
（定解问题所需边界条件的数目？）
三类定解问题
定解问题有微分方程(泛定方程)和定解条件组成. 定解条件主要是由初始条件和边界条件组成.根据定解 条件的情况,可以把定解问题分成三类:
二阶线性偏微分方程
把函数 u 的所有自变量（包含空间坐标和时间）依次记作
x1 , x2 ,
, xn ,二阶偏微分方程如果可以写成如下形式:
a u
i, j
n
ij xi x jFra bibliotek biuxi cu f 0
i
n
如果 aij , bi , c, 是线性的.如果 齐次的.
f
只是 1
x , x2 ,
, xn 的函数,则该方程
f 0 ,则称该方程是齐次的;否则称为非
(1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶． (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数． (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以上的方程称为非线性方程． (4)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (5)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
t ,
u x x, t | x l t k
1
又如杆的纵振动问题,若一端受有外力,且单位面积上所受的力 为
数学物理方法三类边界条件
数学物理方法三类边界条件
在数学物理中，常常会遇到需要考虑边界条件的问题。
根据不同的情况，可以将数学物理方法中的边界条件分为三类，第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
1. 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：
第一类边界条件是指在边界上给定了物理量的具体值。
例如，在一个热传导问题中，可以给定边界上的温度值。
在一个波动方程中，可以给定边界上的振幅值。
这类边界条件可以用数学上的等式或函数来表示。
2. 第二类边界条件（Neumann边界条件）：
第二类边界条件是指在边界上给定了物理量的导数。
例如，在一个热传导问题中，可以给定边界上的热流密度（即温度梯度）。
在一个波动方程中，可以给定边界上的振幅的导数。
这类边界条件可以用数学上的导数来表示。
3. 第三类边界条件（Robin边界条件）：
第三类边界条件是指在边界上给定了物理量的线性组合，其中既包括物理量的值，也包括物理量的导数。
例如，在一个热传导问题中，可以给定边界上的热流密度和温度的线性组合。
这类边界条件可以用数学上的线性组合来表示。
需要注意的是，以上分类只是一种常见的方式，具体问题中的边界条件可能会有其他形式。
此外，边界条件的选择和应用也取决于所研究的具体物理问题和数学模型。
在实际问题中，根据边界条件的具体形式，可以选择合适的数学方法和技巧来求解。
静电势的Laplace方程和Poisson方程(精)
又如杆的纵振动问题,若一端与一个一端固定的弹簧相连,则相 应的边界条件为
u
cu
0.
5
第一、二、三类边界条件可以统一地写成
u [ u ] (, t ) n
其中
u 是边界上的变点； n
表示物理量
u
沿边界外法线方向的方向导数；
,
为常数，它们不同时为零．
6
上述三类边界条件,当函数
f r,t 0
时,分别称为
第一、第二、第三类齐次边界条件。
边界条件当然不限于以上三类,还可以有各式各样的边界 条件，甚至是非线性边界条件。
除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
（P159）
, xn 的函数,则该方程
f 0 ,则称该方程是齐次的;否则称为非
10
(1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶． (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数． (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以上的方程称为非线性方程． (4)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (5)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
(混合边界条件)
第三类边界条件给出未知函数和在边界上的法线方向的导数
的线性组合在边界上的取值，即
其中 r 取边界上的点.
u cun |rB f r , t
u0
x l
如在杆的热传导问题中,若在某个端点自由冷却,则边界条件 为
Delta函数及其性质(精)
（静电场方程）
5
弦的横振动方程
1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确： (1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物 理方程
4
静电势的Laplace方程或Poisson方程
由静电场的性质：E , E
E 2 或者:
2
稳定问题
在均匀导体中，静电势满足Laplace方程：
0
在有电荷分布的区域，静电势满足Poisson方程：
xl
0.
17
第二类边界条件
(Neumann条件)
第二类边界条件给出未知函数在边界上的法线方向的取值，即
u x, y, z, t |rB f r , t n
其中 r 取边界上的点.
如在杆的热传导问题中 , 若在一端流入的热流强度为度为
t ,则 u x x, t |x l t
回 顾
1、Delta函数及其性质
x x0 dx 1, x x0 f x dx f x0
2、Laplace变换及其性质
pt L f t F p f t e dt , 0 pt f t L F p f t e dt i 1
解题思路:对偏微分方程(变量 t)进行 Laplace 变换并代 入初始条件，则偏微分方程变为关于 u 的 Laplace 变换的常微 分方程；求解常微分方程得出其通解，再对边界条件进行 Laplace 变换并代入通解中，确定通解中的待定系数；最后对 通解进行 Laplace 反演即得到原问题的解。 变换之后的方程为 p2U x, p pu x,0 u x,0 a2U ；
流体力学三类边界条件
流体力学三类边界条件
流体力学作为力学的一个重要分支，研究的是流体在运动中的力学性质。
在流体运动过程中，存在着三类不同的边界条件，分别是壁面边界条件、开放边界条件和封闭边界条件。
壁面边界条件是指流体与固体壁面接触时的边界条件。
在这种情况下，流体的速度与固体壁面的速度相同，并且流体的法向速度分量为零。
这意味着流体在与固体壁面接触时会发生粘滞效应，使得流体在壁面附近的速度较低，流线较为密集。
这种边界条件在实际工程应用中非常常见，例如在管道内部流体运动中，壁面边界条件对流体的流动状态有着重要影响。
开放边界条件是指流体与自由表面接触时的边界条件。
在这种情况下，流体在自由表面处的法向速度分量为零，且流体的速度与自由表面的速度相同。
这种边界条件通常用于研究液体在自由表面上的运动，例如瀑布的水流、湖泊中的波浪等。
开放边界条件的研究对于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
封闭边界条件是指流体在封闭容器内部流动时的边界条件。
在这种情况下，流体与容器壁面接触时的速度分量为零，且流体在容器内部流动时受到容器壁面的约束。
封闭边界条件在工程实践中也是十分常见的，例如在液压系统中液体在管道内部的流动、气体在容器内部的压缩等。
封闭边界条件的研究有助于优化系统设计，提高系统效率。
流体力学中的三类边界条件分别是壁面边界条件、开放边界条件和封闭边界条件。
这些边界条件在不同的流体运动场景中发挥着重要作用，对于工程实践和科学研究具有重要意义。
通过深入研究和理解这些边界条件，可以更好地掌握流体运动规律，为工程设计和科学研究提供有效的理论支持。
热力学三类边界条件
热力学三类边界条件热力学是自然科学中重要的分支，处理的是物体之间的能量转换和传递。
在热力学中，研究物体的边界条件十分重要。
本文将详细介绍热力学三类边界条件，帮助读者更好地理解这个领域。
一、第一类边界条件热力学的第一类边界条件也称为温度边界条件。
它指定了固体表面的温度变化情况。
如果一个物体表面的温度被固定，那么第一类边界条件就被满足了。
例如，一个锅里的水沸腾时，锅底的温度就是一个固定的数值，这个温度就是第一类边界条件，用符号表示为T =T0(x,y,z,t)。
二、第二类边界条件在热力学中，第二类边界条件也称为热传导边界条件。
它描述了从一个物体的表面向外扩展的热量流量。
第二类边界条件是通过沿着某个方向的温度梯度来定义的。
如果在物体的表面上指定了热通量，那么第二类边界条件就被满足了。
例如，考虑一块方形物体，当一个脉冲光线照射在其表面上时，产生的热流就是一个边界条件 Q =Q0(x,y,z,t)。
三、第三类边界条件第三类边界条件是指固体表面上对于流体流的边界条件。
它是通过固体表面和流体本身之间的光滑接触面来定义的。
第三类边界条件要求在每个流体阻力表面上有一个相应的温度和速度分布。
例如，在船底上的涂漆和外部海水之间的交界处，存在着对流对流换热，这就是第三类边界条件。
综上所述，热力学的三类边界条件分别是：温度边界条件、热传导边界条件和对流换热边界条件。
它们分别描述着热力学中物体表面的温度变化情况、热流的传输方向以及固体表面与流体之间的物理现象。
熟练掌握这些边界条件，对于理解物理现象和解决实际问题都有着重要的意义。
电磁场三类边界条件
电磁场三类边界条件电磁场三类边界条件电磁场的边界条件是指在介质边界处，电场和磁场的变化情况。
根据边界条件的不同，可以将其分为三类：第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
下面将详细介绍这三类边界条件。
一、第一类边界条件第一类边界条件也称为零法向电场和零切向磁场边界条件。
它是指在介质表面上，法向于表面的电场强度和切向于表面的磁感应强度均为零。
1. 零法向电场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的电荷分布情况，因此会产生一个法向于表面方向的电场。
而当这个电场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——法向于表面方向上的电通量密度。
根据高斯定理可知，在任意一个闭合曲面内部，通过该曲面的总电通量等于该曲面所包围空间内部所有自由电荷之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合曲面。
则在该曲面上的电通量密度可以表示为：$$\vec{D_1}\cdot\vec{n}=\rho_s$$其中，$\vec{D_1}$表示介质1内部的电位移矢量，$\vec{n}$表示介质表面法向矢量，$\rho_s$表示表面自由电荷密度。
当我们将这个式子应用于介质表面时，可以得到：$$D_{1n}=\rho_s$$其中，$D_{1n}$表示介质1内部法向于表面方向上的电场强度。
由于介质表面上不存在自由电荷，因此$\rho_s=0$。
因此，在第一类边界条件下，法向于介质表面方向上的电场强度为零。
2. 零切向磁场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的磁场分布情况，因此会产生一个切向于表面方向的磁感应强度。
而当这个磁场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——切向于表面方向上的磁通量密度。
根据安培环路定理可知，在任意一个闭合回路上，通过该回路的总磁通量等于该回路所包围空间内部所有电流之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合回路。
Delta函数及其性质(精)
u x, y, z, t |r B f r , t
其中 r 取边界上的点.
如在杆的热传导问题中,若在一端的温度为 T0e ,则
t
u x, t |xl T0e
x0
t
又如在两端固定的弦的振动问题中,相应的边界条件为
u x, t
0, u x, t
第七章 数学物理定解问题
3
物理学中常见的数学物理方程
静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 波的传播问题中的波动方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 连续介质力学中的Navier-Stokes方程组和Euler方程组 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 作为微观物质运动规律的Schrödinger和Dirac方程 弹性力学中的de Saint-Venant方程组 二阶线性偏微分方程（组）
回 顾
1、Delta函数及其性质
x x0 dx 1, x x0 f x dx f x0
2、Laplace变换及其性质
pt L f t F p f t e dt , 0 pt f t L F p f t e dt i 1
（P159）
21
4
静电势的Laplace方程或Poisson方程
由静电场的性质：E , E
E 2 或者:
2
稳定问题
在均匀导体中，静电势满足Laplace方程：
0
在有电荷分布的区域，静电势满足Poisson方程：
可得
utt Yu xx 0
力学边界条件类型
力学边界条件类型一、力学边界条件类型有哪些呢？（一）固定边界条件这就好比把东西死死地钉在那儿一样。
比如说，一根柱子插在地上，它底部的边界就是固定的，不能移动也不能转动。
在很多建筑结构里，像高楼大厦的地基部分，就会有这种类似的固定边界情况。
就像是一个超级固执的家伙，坚决不让步。
（二）简支边界条件想象一下，一个梁架在两个支座上，支座只提供竖向的支撑力，梁可以在这个支撑上自由转动。
就像跷跷板一样，中间有个支撑点，两边可以上下晃悠。
这种边界条件在一些桥梁结构的设计中经常会用到呢。
（三）滑动边界条件这就像是在冰面上滑动的物体，它只能沿着某个方向滑动，其他方向的运动是被限制的。
比如一些机械结构里，有滑块在导轨上滑动的情况，滑块的边界就是滑动边界条件。
（四）弹性边界条件这个就有点复杂啦。
就像是一个弹簧连接着物体，物体在边界上会受到一个与位移成比例的力。
就好像物体被一个有弹性的东西拉扯着，动一下就会有相应的拉力或者推力回来。
在一些地质结构的分析中，岩石和土壤之间的相互作用有时候就可以用弹性边界条件来近似模拟。
（五）自由边界条件这是最自由的啦，没有任何约束。
就像在空中飞行的小鸟，没有东西限制它的边界。
在一些有限元分析中，如果我们只关注物体内部的力学情况，而把物体的边缘当作自由边界，就可以简化计算呢。
（六）对称边界条件这种边界条件是利用结构的对称性来简化分析的。
比如说一个圆形的盘子，如果它受到的力也是对称分布的，我们就可以只分析它的一部分，然后利用对称边界条件得到整个盘子的力学情况。
这就像是照镜子一样，一边的情况可以反映出另一边的情况。
（七）反对称边界条件和对称边界条件有点相反。
如果结构有反对称的特性，那么在边界上就会有反对称的约束。
比如一个结构关于某个轴对称，但是受到的力是反对称的，那么在对称轴上就会有反对称边界条件。
（八）周期性边界条件这种边界条件常见于一些具有周期性结构的物体。
比如说晶体结构，它的原子排列是有周期性的。
格林函数(免费)
§2.4 格林函数法 解的积分公式在第七章至第十一章中主要介绍用别离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。
格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和〔或〕初始条件下所产生的场。
知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。
一、 泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。
设u 〔r 〕和v 〔r 〕在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分⎰⎰∑⋅∇Sd v u化成体积积分.)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=∇⋅∇=⋅∇∑TTTvdV u vdV u dV v u S d v u〔12-1-1〕这叫作第一格林公式。
同理，又有.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=⋅∇∑TTvdV u udV v S d u v〔12-1-2〕〔12-1-1〕与〔12-1-2〕两式相减，得,)()(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⋅∇-∇∑TdV u v v u S d u v v u亦即.)(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∑T dV u v v u dS n u v n vu〔12-1-3〕n ∂∂表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。
〔12-1-3〕叫作第二格林公式。
现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。
泊松方程是)( ),(T r r f u ∈=∆〔12-1-4〕第一、第二、第三类边界条件可统一地表为),( M u n u ϕβα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑〔12-1-5〕其中 ϕ〔M 〕是区域边界 ∑ 上的给定函数。
α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。
泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。
三类边界条件推导
三类边界条件的推导边界条件是弦在两个端点处的状态或受到的约束情况，一般有三种：1. 第一类边界条件：已知未知函数在边界上的值()i g t ，即端点处弦的位移：1(0,)()u t g t =，2(,)()u l t g t =当()0i g t =时，表示在端点处弦是固定的。
2. 第二类边界条件：已知未知函数在边界上法向导数的值，即端点处弦所受到的垂直于弦的外力() f t ：对0x =，即弦的左端：弦的张力在垂直方向的分量为：sin T α，根据牛顿第二定律，有：000sin () x x u T Tf t x α==∂=-=∂对于x l =，即弦的右端：同理可得：sin () x l l x l u T T f t x α==∂==∂特别地，当()0i f t =时，表示弦在两端不受约束作用，即可以自由滑动，适应于自由端的情形。
3. 第三类边界条件：又称混合边界条件，它给出了未知函数和它的法线方向上的导数的线性组合在边界上的值。
对弦的一维振动问题，即已知端点处弦的位移（引起弹性支撑的力）和所受的垂直于弦线的外力。
对0x =，即弦的左端：弦对支撑外力的垂直分量为：u T x∂∂，由胡克定律知： 000(t)x x u T ku f x==∂=+∂ 设k T σ=，()()f t v t T=，可以得到，弹性支撑条件下，弦振动的边界条件为： 0()()x u u v t xσ=∂-=∂ 对于x l =，即弦的右端：弦对支撑外力的垂直分量为：u Tx ∂-∂，由胡克定律知(t)x l x l l u T ku f x ==∂-=+∂此时得到的弦振动的边界条件为： ()()x l u u v t x σ=∂+=∂对于外力()0i f t =的特殊情况，即()0v t =，边界条件在弦的两端可统一简化为：()0 (0,)x a u u a a l x σ=∂===∂。
传热学第二章思考题
传热学第二章思考题第二章思考题1、什么是傅里叶导热定律？它的意义是什么？傅里叶定律：在任意时刻，各向同性连续介质内任意位置处的热流密度在数值上与该点的温度梯度的大小成正比，方向相反。
意义：它揭示了导热热流与局部温度梯度之间的内在关系，是试验定律。
2、傅里叶定律中并没有出现时间，能否用来计算非稳态导热过程中的导热量？可以用来计算非稳态导热过程中的导热量3、试举例说明影响导热系数的因素有哪些？物性参数，与物质的几何形状，质量体积等因素无关主要取决于物质的种类、结构、密度、温度、压力和含湿量等有些材料，如木材、结构体、胶合板等还与方向有关(各向异性材料)有关4、什么是保温材料？选择和安装保温材料是应注意哪些问题？习惯上吧导热系数较小的材料称为保温材料(又称隔热材料或绝热材料)。
保温材料要注意防潮、防水。
5、推导导热微分方程式时依据的原理和定律是什么？依据：能量守恒定律和导热定律6、说明直角坐标系下的导热微分方程的适用条件。
某均质、各向同性物体内发生着导热过程，内部有强度为Φ的均匀内热源。
7.具体导热问题完整的数学描述应包括哪些内容？答：（1）导热微分方程()λφρτ+++=222222ztytxtct【直角坐标系】（2）单值性条件8.何谓导热问题的单值性条件？它包括哪些内容？答：（1）单值性条件：对问题予以描述的说明或限定性条件（2）内容①几何条件：规定了导热物体的几何形状和尺寸。
②物理条件：说明了导热物体的物理特征，如物体的热物性参数的大小及其随其他参数（如温度）的变化规律，是否有内热源，其大小和分布情况。
③初始条件：时间条件，给出了过程开始时刻物体内的分布状况。
④边界条件：规定了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用。
9.试分别用数学语言及传热术语说明导热问题三种类型的边界条件。
答：（1）第一类边界条件。
规定了导热物体在边界上的温度，即()ττ,,,|,0zyxftw=>（2）第二类边界条件。
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定解问题问题的分类
数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件一起构成了定解问题。
根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：
初值问题：定解条件仅有初值条件；
边值问题：定解条件仅有边值条件；
混合问题：定界条件有初值条件也有边值条件。
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5
分离变量理论
(,)(,)(,)(,)(,)0xx yy x y a x y u b x y u c x y u d x y u e x y u ++++=考察如下两变量的二阶线性齐次偏微分方程：试确定方程如下形式的解：
()()
u X x Y y =将该解代入方程可得：
aX Y bXY cX Y dXY eXY ′′′′′′++++=
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有界弦的自由振动问题
（齐次方程的混合问题）
研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：()()()()()()()()()2
0, 0,0,0, ,
00;,0, ,0, 0.tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩
在求解常微分方程时，通常的做法是先求出方程的通解，然后利用给定条件确定通解中的积分常数。
对于如上定解问题，这中做法一般情况下是行不通的。
原因在于通常很难求出偏微分方程的通解。
解决这一问题的办法是直接求满足定解条件的特解。
10相应地，边界条件变为：
()()()()()()()()0000,00,0u t X T t u l t X l l t X X T ==⎫⎪⇒⎬===⎧=⎪⎭⎪⎨⎪⎩
这样就得到如下常微分方程：
()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩
该常微分方程的解依λ的取值不同而不同，需要讨论。
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本征值问题
在求解方程过程中，我们遇到如下问题：
()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩
通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。
这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函函数。
求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。
量子力学中的本征值问题
经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个Hermitian operator。
任意一个Hermitian operator的本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。
而其他任意Hermitian operator的本征函数都可以用这个完备基展开，而且展开式是唯一的。
每个Hermitian operator的本征值对应于该物理量可能的观测值；每次测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值，这个概率由测量时体系的波函数决定。
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分离变量法处理问题的程序
1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件
是非齐次的，还要对边界条件进行处理。
2、求解常微分方程的本征值问题
3、构造变量分离形式的特解
4、叠加特解，利用初始条件确定叠加系数
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分离变量法可以推广应用到各种定解问题，但它的应用也有一定的限制：
1、常系数偏微分方程总能进行变量分离，
而变系数偏微分方程则不一定。
2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量
分离的解。
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分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的某一种完备基函数，然后将问题的解用该完备基展开，再利用定解条件确定展开系数，从而确定问题的解。
这一做法在量子力学中被广泛使用，尤其是在利用数值方法求解薛定谔方程的时候。
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22
The End
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第七章作业
P163：4，9，11，15，16
29。