三类边界条件可以统一地写成

定解问题问题的分类

数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件一起构成了定解问题。根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：

初值问题：定解条件仅有初值条件；

边值问题：定解条件仅有边值条件；

混合问题：定界条件有初值条件也有边值条件。

3

5

分离变量理论

(,)(,)(,)(,)(,)0xx yy x y a x y u b x y u c x y u d x y u e x y u ++++=考察如下两变量的二阶线性齐次偏微分方程：试确定方程如下形式的解：

()()

u X x Y y =将该解代入方程可得：

aX Y bXY cX Y dXY eXY ′′′′′′++++=

8

有界弦的自由振动问题

（齐次方程的混合问题）

研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：()()()()()()()()()2

0, 0,0,0, ,

00;,0, ,0, 0.tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩

在求解常微分方程时，通常的做法是先求出方程的通解，然后利用给定条件确定通解中的积分常数。对于如上定解问题，这中做法一般情况下是行不通的。原因在于通常很难求出偏微分方程的通解。解决这一问题的办法是直接求满足定解条件的特解。

10相应地，边界条件变为：

()()()()()()()()0000,00,0u t X T t u l t X l l t X X T ==⎫⎪⇒⎬===⎧=⎪⎭⎪⎨⎪⎩

这样就得到如下常微分方程：

()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩

该常微分方程的解依λ的取值不同而不同，需要讨论。

15

本征值问题

在求解方程过程中，我们遇到如下问题：

()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩

通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函函数。求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。

量子力学中的本征值问题

经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个Hermitian operator。任意一个Hermitian operator的本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。而其他任意Hermitian operator的本征函数都可以用这个完备基展开，而且展开式是唯一的。每个Hermitian operator的本征值对应于该物理量可能的观测值；每次测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值，这个概率由测量时体系的波函数决定。

16

分离变量法处理问题的程序

1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件

是非齐次的，还要对边界条件进行处理。

2、求解常微分方程的本征值问题

3、构造变量分离形式的特解

4、叠加特解，利用初始条件确定叠加系数

19

分离变量法可以推广应用到各种定解问题，但它的应用也有一定的限制：

1、常系数偏微分方程总能进行变量分离，

而变系数偏微分方程则不一定。

2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量

分离的解。

20

分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的某一种完备基函数，然后将问题的解用该完备基展开，再利用定解条件确定展开系数，从而确定问题的解。这一做法在量子力学中被广泛使用，尤其是在利用数值方法求解薛定谔方程的时候。

21

22

The End

28

第七章作业

P163：4，9，11，15，16

29