第三章(边值问题)

er
E2

q 4π 2 (r)2
er
代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：
q 1 2 q 1 2
q 2 2 q 1 2
28
为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系是非 常重要的。
对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法。 为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是 分离变量法。
分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分 离简化为三个独立的常微分方程，从而简化求解过程。
分离变量法对于11种坐标系都是行之有效的。
29
3. 直角坐标系中的分离变量法
在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为
2 2 2 0
x 2 y 2 z 2
令
(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z)
S
S
21
0
若导体球不接地，则其电位 不为零。
q 由q 及 q 在球面边界上形
成的电位为零，因此必须再引
入一个镜像电荷q 以产生一定
的电位。
q 的位置和量值应该如何?
22
为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q
必须位于球心。
为了满足电荷守恒原理，
第二个镜像电荷q 必须为
q q" q'
代入上式，两边再除以 X (x)Y(y)Z(z)，得
1 d2 X 1 d2Y 1 d2Z 0 X dx2 Y dy2 Z dz2
式中左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变 量 x 求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于常数。
30
1 d2 X 1 d2Y 1 d2Z 0 X dx2 Y dy 2 Z dz 2
位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加 原理得知，同样可以应用镜像法求解。
l
l
–l
18
（2）点电荷与导体球
P
a r
r
O d
q
q
f
若导体球接地，导体球的
电位为零。令镜像点电荷q
位于球心与点电荷 q 的连线 上，那么球面上任一点电位 为
q q 4π r 4π r
在圆柱轴线与线电荷
之间，离轴线的距离d l 处，平行放置一根镜像
线电荷 。 l
已知无限长线电荷产生的电场强度为
E

l 2π
r
er
取某点参考电位，该点距离������������为������0，则距离������������为������的P点
电位为
r
Edr
l
ln r0
成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位
由 q 及 q' 共同产生，即
q q 4π r 4π r
q q
无限大导体平面的电位为零
14
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分 完全相同。
z



p er
4π0r 2

p cos 4π0r 2

k
2 x

k
2 y

k
2 z
0
31
d2X dx 2

k
2 x
X
0
d 2Y dy 2
k y2Y

0
d2Z dz 2

k
2 z
Z

0
由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简
化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简
便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的
散度为
E
那么，电位满足的微分方程式为
2
泊松方程
2
2
对于无源区， ，0 上式变为
2 0
拉普拉斯方程
已知分布在V 中的电荷 在(r无) 限大的自由空间
产生的电位为
(r) 1
(r) dV

r


V
Gr
,
r


r


dV


S

r
G
r
,
r

dS

对第二类边界条件，给定边界上的������������，可选择格林函
数在边界上满足������������ ������, ������′ = ������，从而得到

r


V
Gr
,
r


r


dV

5
解的存在、稳定及惟一性问题。 存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的 解是否变化很大。 惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是 惟一的。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在 确信无疑。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经 得到证明。 可以证明电位微分方程解具有惟一性。
电场的边值问题。
此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于 前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
4
边界条件有三种类型： 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边 值问题又称为狄利克雷（Dirichlet）问题。 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值， 这种边值问题又称为诺依曼(Neumann)问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另 一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又 称为混合边界条件。

S
Gr
,
r

r

dS

7
若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就
是第一类边界。
已知
S n
可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。
因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。
因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位 的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的 静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性 定理。
* 上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因 为在上半空间中，源及边界条件未变。
16
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜 像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须 引入几个镜像电荷。
例如，夹角为 π的导电劈需引入 5 个镜像电荷。
3
q /3

q

/3


17
仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时， 才可求出其镜像电荷。 为什么？
依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原 来的边界条件。
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电 荷分布才有可能确定其镜像电荷。
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（1）点电荷与无限大的导体平面
P r q
介质
导体
P r
q
h
r 介质
h
介质
q
以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变
8
对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满
足泊松方程方程
2
在无源区，电位满足拉普拉斯方程
2 0 静电场的边值问题 —— 根据给定的边界条件求解
静电场的电位分布。
利用格林函数，可以求解泊松方程。
利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。
求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。
6
利用格林函数得到泊松方程在有限空间的通解。

r


V
Gr
,
r


r


dV


S
Gr
,
r

r


dS


S

r
G
r
,
r

dS

对第一类边界条件，给定边界上的������，可选择格林函
数在边界上满足������ ������, ������′ = ������，从而得到
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利用边界条件： U ra
0 rb
求得
C1 ln a C2 U U
C1 ln a b
C1 ln b C2 0 U ln b
C2 ln a b
最后求得


U
ln
r b

ln a b
E

9
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为U，外导体 接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函 数以及电场强度。
Ua O
b
解 选用圆柱坐标系。由于场量仅 与坐标 r 有关，因此，电位所满足 的拉普拉斯方程变为
2 1 d r d 0
r dr dr
求得
C1 ln r C2
en
= et
1
1 r
+ Et Et
2

2
E t

q'
En
E
En
E"
对于上半空间，可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚电荷
的作用，将整个空间变为介电常数为1的均匀空间。
对于下半空间，可用位于原点电荷处的 q" 等效原来的 点电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为
介电常数为2 的均匀空间。
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q
q
En E'
r
q"
r
1 2
en
= et
1
1
r
+ Et Et
2