偏微分方程 第6章 变分法与边值问题

第6章 变分法与边值问题
• 应用
取 Hilbet 空间为
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子 可以验证，它们各自对应的算子是正算子。对应于以上三种问题算 的定义域分别为
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• 6.1.3 正定算子
设 A 是
弱解存在性
对任意 有
上的线性算子，若存在常数
则称算子 A 是 在
上的正算子。
上引入新内积
由此内积诱导的新范数记为
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• 6.2 Laplace 算子的特征值问题
本节考虑如下的Laplace 算子特征值问题：
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• 6.2.1 特征值与特征函数的存在性
第6章 变分法与边值问题
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• 6.2.2 特征值与特征函数的性质
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• 6.1.2 正算子与算子方程
我们称满足等式（Au,v)=(Av,u) 的算子 A 为对称算子。 设 A 是定义在 Hilbert 空间 H 的某一线性稠密子集 上的线性算子， 若对 中的任意元素 u，有 且等号成立当且仅当 u=0, 则称 A 是正算子。
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类似于5.2.5小节中对Dirichlet原理的讨论，可知泛函 （6.1.1）的极小函数就是Poisson方程Dirichlet问题
的解；反之边值问题（6.1.2)的解 u 也是泛函(6.1.1)的极小函 数,即
于是,我们可以用变分方法得到边值问题(6.1.2)的解.值得注 意的是, 为了保证极小函数的存在性,有时必须将容许函数类扩大. 此时我们得到的不一定是边值问题的古典解而是弱解.
• 6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理
考虑张在平面有界区域 微小横振动，薄膜的边缘固定在 为
其中，T 表示张力，F(x,y) 表示外力面密度，u(x,y) 表示薄膜在点 (x,y) 出垂直于平面方向的位移。 由于薄膜边缘固定, 故 可见, (6.1.1) 是定义在容许 函数类 上的泛函。
第6章 变分法与边值问题
第6章 变分法与边值问题
通过求解一个相应的泛函的 极小函数而得到偏微分方程边值问 题的解，这种理论和方法通常叫作 偏微分方程中的变分原理，简称变 分方法。本章通过求解一类边值问 题和特征值问题简单介绍该方法的 理论及其应用。
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• 6.1
边值问题与算子方程
上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的 上。利用微元分析法可得薄膜的总位能