因式分解知识点归纳总结

初中数学之因式分解知识点汇总

初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。

因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

因式分解知识点总结

因式分解知识点总结一、因式分解的概念。

1. 定义。

- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

例如：x^2-4=(x + 2)(x - 2)，就是将多项式x^2-4因式分解为两个整式(x + 2)与(x - 2)的积的形式。

2. 与整式乘法的关系。

- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。

整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

二、因式分解的方法。

1. 提公因式法。

- 公因式的确定。

- 系数：取各项系数的最大公因数。

例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。

- 字母：取各项相同的字母。

在6x^2+9x中，相同的字母是x。

- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。

对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。

所以公因式是3x。

- 提公因式的步骤。

- 找出公因式。

- 用多项式除以公因式，得到另一个因式。

例如，6x^2+9x = 3x(2x+3)。

2. 公式法。

- 平方差公式。

- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 应用条件：多项式必须是两项式，并且这两项都能写成平方的形式，符号相反。

例如，9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)，这里9x^2=(3x)^2，16y^2=(4y)^2。

- 完全平方公式。

- 公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2，a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。

- 应用条件：多项式是三项式，其中有两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。

例如，x^2+6x + 9=(x + 3)^2，这里x^2=x^2，9 = 3^2，6x=2× x×3。

3. 十字相乘法（拓展内容，人教版教材部分有涉及）- 对于二次三项式ax^2+bx + c(a≠0)，如果能找到两个数m和n，使得m + n=b 且mn = ac，那么ax^2+bx + c=(x + m)(x + n)。

初中数学专题复习资料-----多项式的因式分解

分解因式要求结果到不能再分解为止。【例题 7】、把下列各式因式分解：
1、（08 年沈阳）
2、（08 年浙江绍兴）
3、(08 年山东）
【练习】
一、填空题：
1、分解因式 2x2 4x
； 4x2 9
； x2 4x 4
。
2、分解因式； a(x y)2 b( y x)2 _______________ ；
完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同）； ③、将多项式写成等于两个因式相乘（公因式与余式的积）的形势。
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【例题 3】、把下列各式因式分解：
1、 14abc 7ab 49ab2c ；
2、 xx y yy x； 3、 mx y2 x y
①确定公因式的系数：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；
②确定公因式的字母：公因式的字母取各项都含有的相同的字母（相同的多项式）；
③ 确定公因式的指数：各字母的指数取各项中字母次数最低的（多项式的次数取最低的）。如
(1) x2 7x 6 ；
(2) x2 13x 36 ；
(3) x2 5x 24 ；
(4) x2 2x 15 ；
(5) x2 xy 6 y2 ；
(6) (x2 x)2 8(x2 x) 12
【例题 6】、把下列各式因式分解：
(1) 12x2 5x 2
(2) 8a 4a2 4;
初中数学专题复习资料-----多项式的因式分解
【知识点归纳 1】一、因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

整式的乘除因式分解定义公式总结

《整式的乘除与因式分解》四大知识点归纳第一类、幂的运算法则：同底数幂的乘法a m a n=a m+n幂的乘方（a m ）n=a m n积的乘方(a b)n = a n b n同底数幂的除法a m÷a n=a m+n (a≠0，m、n为正整数，m﹥n）零指数幂a0 = 1（a≠0)负指数幂 a – p = （a≠0 ，p为正整数）第二类、整式的乘、除法整式的乘法1.单项式乘以单项式法则单项式和单项式相乘，把它们的系数,相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.2。

单项式乘以多项式法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。

即m（a+b+c）=ma+mb+mc3.多项式乘以多项式法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即（a+b) (m+n) = am + an + bm +bn整式的除法1.单项式除以单项式法则单项式相除，把系数和同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

2．多项式除以单项式法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

即(am+bm)÷m = a + b第三类、乘法公式平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

即(a+b）（a –b）= a2 –b2完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和,加（或减）它们的积的2倍.即(a+b）2=a2+2ab+b2 (a—b）2=a2—2ab+b2第四类、因式分解：1。

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2。

方法①提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提到括号外面,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法．②运用公式法:把乘法公式逆运用，可以把某些类型的多项式因式分解，这种方法叫公式法。

八年级数学整式的乘法与因式分解常考必考知识点总结

一、整式的乘法1.几个常用公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)(a-b)=a²-b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³2.整式的乘法法则：(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd加减混合运算：(a+b)(c-d) = ac - ad + bc - bd3.多项式的乘法：(a₁+a₂+...+aₙ)(b₁+b₂+...+bₙ)=a₁b₁+a₁b₂+...+a₁bₙ+a₂b₁+a₂b₂+...+a₂bₙ+...+aₙb₁+aₙb₂+...+aₙb ₙ4.整式的乘法性质：交换律：a·b=b·a结合律：(a·b)·c=a·(b·c)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c5.整式的乘法应用：展开、计算、化简等二、因式分解1.因式分解的基本概念：将一个整式分解为两个或多个因式的乘积的过程。

2.因式分解的方法：a.公因式提取法：找出整个整式和各项中的公因式，并提取出来。

b.公式法：利用已知的一些公式对整式进行因式分解。

c.分组法：将整式中各项按一定的规则分组，然后在每组内部进行因式分解。

d.辗转相除法：若整式中存在因式公共因式，可以多次使用辗转相除法进行因式分解。

3.一些常见的因式分解公式：a.二次差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)b. 平方差公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²c. 平方和公式：a² - 2ab + b² = (a-b)²d. 三次和差公式：a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)、a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)e. 四次和差公式：a⁴+b⁴ = (a²+b²)(a²-ab+b²)、a⁴-b⁴ = (a+b)(a-b)(a²+b²)4.因式分解的应用：简化计算、寻找整式的根、列立方程等。

因式分解知识点归纳

因式分解知识点归纳总结一（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

八年级因式分解的知识点

八年级因式分解知识点总结因式分解是数学中一个重要的知识点，不仅在初中阶段就开始学习，还贯穿了高中乃至大学的数学学习。

因此，掌握好八年级的因式分解知识点，对于后续数学学习的顺利进行具有重要的作用。

本文将就八年级因式分解的知识点进行总结，希望对于大家的学习有所帮助。

一、公因数与最大公因数公因数是指同时能够整除两个或多个数的因数，在因式分解中有着重要的作用。

求两个或多个数的最大公因数的方法，可以通过列举其公因数，然后筛选出最大的一个。

例如，求两个数72和96 的最大公因数。

首先列出它们的公因数，有1、2、3、4、6、8、12、24 八个数，在这个基础上，筛选能够整除72 和96 的最大整数，即24，因此，72 和96 的最大公因数为24。

二、公式在因式分解中，常用到一些公式，例如差平方公式、和平方公式等。

这些公式的掌握对于因式分解的顺利进行具有非常重要的作用。

1. 差平方公式$(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$2. 和平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$三、因式分解在因式分解中，一个重要的概念是质因数分解。

质因数分解是指将一个正整数分解成若干个质数的积的形式。

例如，24=2×2×2×3，即24的质因数分解为$2^3\cdot3$。

在因式分解中，常用到一些方法，例如提公因式、分组、取因式等。

这些方法的运用可以简化计算过程，提高计算效率。

四、例题下面列举两个例题，帮助大家更好地理解因式分解的知识点。

1. $6x^2+5x-6$的因式分解式是解：先求出这个多项式的根，即$x_1=\frac{-5+\sqrt{5^2+4\cdot6\cdot6}}{2\cdot6}=-\frac{2}{3}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{5^2+4\cdot6\cdot6}}{2\cdot6}=1$。

因此，将原式分解成$(2x+3)(3x-2)$。

因式分解的知识点总结

因式分解的知识点总结因式分解的知识点总结篇1因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

因式分解要素：①结果必需是整式②结果必需是积的形式③结果是等式因式分解与整式乘法的关系：m（a+b+c）公因式：一个多项式每项都含有的公共的`因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。

②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

提取公因式步骤：①确定公因式。

②确定商式③公因式与商式写成积的形式。

分解因式注意；①不准丢字母②不准丢常数项注意查项数③双重括号化成单括号④结果按数单字母单项式多项式次序排列⑤相同因式写成幂的形式⑥首项负号放括号外⑦括号内同类项合并。

因式分解的知识点总结篇21.因式分把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化。

2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”“公式法”“分组分解法”“十字相乘法”。

3.公因式确实定：系数的最大公约数？相同因式的最低次幂。

注意公式：a+b=b+a；a—b=—（b—a）；（a—b）2=（b—a）2；（a—b）3=—（b—a）3、4.因式分解的公式：（1）平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）；（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2—2ab+b2=（a—b）2、5.因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的.字母都具有整体性；（3）因式分解的最终结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最终结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最终结果要求加以整理；（6）因式分解的最终结果要求相同因式写成乘方的形式。

6.因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）敏捷分组；（8）提取分数系数；（9）打开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项。

初二数学知识点归纳：因式分解

初二数学知识点归纳：因式分解初二数学知识点归纳：因式分解(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法()提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式(8)运用公式法：如果把乘法公式反过，就可以用把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，(指的系数是完全平方数)②字母指数要成双，(指的指数是偶数)③两项符号相反(指的两项一正号一负号)(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2(13)完全平方公式的特点：①它是一个三项式②其中有两项是某两数的平方和③第三项是这两数积的正二倍或负二倍④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)(1)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式(16)具备什么条的多项式可以用分组分解法进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法分解因式(17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键一、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

因式分解知识点归纳总结一

因式分解知识点归纳总结一（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

初二数学因式分解知识点经典总结

整式乘除与因式分解概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

整式展开与因式分解知识点总结

整式展开与因式分解知识点总结整式展开与因式分解是数学中的重要概念与技巧，主要在代数运算中应用。

在本文中，将对整式展开与因式分解的知识点进行总结，并介绍其应用和解题方法。

一、整式展开整式展开是将括号中的各项按照指定的规律进行运算，得到一个多项式的过程。

在进行整式展开时，需要注意以下几个知识点：1.1 二项式展开二项式展开是整式展开的基础，它描述了两个数相乘的结果。

二项式展开公式如下所示：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2其中，a和b为任意实数。

此外，还有更高次的二项式展开公式，如(a + b)^3、(a - b)^3以及(a + b)^4等。

它们的展开结果可以通过适当的运算规律获得，例如使用二项式定理或二项式系数。

1.2 多项式展开多项式展开是指将多个项相乘或者扩展后，得到一个多项式的过程。

在进行多项式展开时，可采用分配律和结合律等运算规律来化简计算步骤。

例如，将一个三项式展开为多项式的计算过程如下：(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 3ac^2 +3b^2c + 3bc^2 + 6abc需要特别注意的是，多项式展开时要仔细处理各项的符号和指数，保持计算的准确性。

二、因式分解因式分解是将一个多项式表示为几个较简单的乘积的形式，它是整式展开的逆过程。

因式分解的目的是为了简化计算，寻找数学问题的更简单的解法。

2.1 公式法因式分解公式法因式分解是根据已知的因式分解公式将多项式进行分解的方法。

常见的公式法因式分解有：差平方公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2其中，a和b为任意实数。

《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳

因式分解—待定系数法、换元法、添项拆项法引言因式分解是初中数学中的一个重要知识点，也是解决代数式化简、解方程等问题的基础方法。

在因式分解中，待定系数法、换元法和添项拆项法是常用的三种方法。

本文将分别介绍这三种方法的基本思想、操作步骤和应用场景。

一、待定系数法1. 基本思想待定系数法是一种通过猜测待定系数的方法来进行因式分解的技巧。

在待定系数法中，我们假设因式分解的结果中存在未知系数，并通过代数运算和方程求解的方法确定这些未知系数的值，从而完成因式分解过程。

2. 操作步骤待定系数法的操作步骤如下：1.根据给定的代数式，猜测待定系数的形式，通常选择简单的常数作为待定系数；2.将猜测出的待定系数带入原代数式中，得到待定系数的方程组；3.解方程组，确定待定系数的值；4.将确定的待定系数带入原代数式中进行验证；5.若验证正确，将原代数式分解为因式的乘积，其中包含待定系数。

3. 应用场景待定系数法常用于分解小数项的平方差式、三项立方差式等情况。

通过猜测待定系数的形式，可以简化复杂的因式分解过程，并在解题过程中培养学生的逻辑思维和方程求解能力。

二、换元法1. 基本思想换元法是一种通过引入新的变量来进行因式分解的方法。

通过适当选择新的变量，可以将原代数式转化为较简单的形式，从而便于因式分解。

2. 操作步骤换元法的操作步骤如下：1.分析原代数式的结构和特点，选取适当的新变量；2.对原代数式进行变量替换，将原代数式转化为新变量的代数式；3.对新的代数式进行因式分解；4.将因式分解的结果转化回原变量，得到最终的因式分解形式。

3. 应用场景换元法常用于分解含有平方根、分数等特殊形式的代数式。

通过适当的变量替换，可以将原代数式转化为一次方程、二次方程等常见形式，从而简化因式分解的过程。

三、添项拆项法1. 基本思想添项拆项法是一种通过添加、拆分代数式中的项来进行因式分解的方法。

通过适当添加一些项，并进行合并和拆分，可以将原代数式转化为更简单的形式，从而便于因式分解。

整式的乘除与因式分解知识点归纳

整式的乘除与因式分解知识点归纳整式是由常数、变量及它们的积和和差经过有限次加、减、乘运算得到的式子。

整式有不同的运算法则，包括乘法、除法和因式分解。

以下是整式的乘除与因式分解的知识点归纳：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。

在整式相乘时，需注意以下几点：-两个或多个常数相乘，结果仍是常数；-两个或多个同类项相乘，结果是它们的系数相乘，指数相加的同类项；-不同类项相乘时，按照乘法交换律和乘法结合律可以调整次序、合并同类项；-乘法运算中可以运用分配率，将一个整式乘以一个括号内的整式，再将结果分别与括号内的各项相乘，最后合并同类项得出结果。

2．整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。

在整式相除时，需要注意以下几点：-除法的定义：对于两个整式f(x)和g(x)，若存在整式q(x)和r(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)+r(x)，且r(x)是0或次数低于g(x)的整式，则称g(x)是f(x)的除式，q(x)是商式，r(x)是余式；-除法的步骤：进行长除法运算，从被除式中选择一个最高次项与除式的最高次项相除，得到商式的最高次项；-对除式乘以商式后减去得到的结果，继续进行除法计算，重复以上步骤；-最后得到的商式即为整式的商，最后得到的余式即为整式的余式。

3.整式的因式分解：因式分解是指将一个整式拆分成多个整式的乘积。

在进行因式分解时，需要注意以下几点：-提取公因式：当一个整式的各个项都有相同的因子时，可以提取出该因子作为公因式；-分解差的平方：对于形如a^2-b^2的差的平方，可以分解成(a+b)(a-b)的乘积；-分解一些特殊形式的整式，如完全平方差、完全立方和差、完全立方和等；-假设原式可分解成两个较简单的整式，然后根据求解思路进行分解。

整式的乘除运算和因式分解是数学中重要的操作，有广泛的应用。

在代数方程求解、多项式计算、消元法等多个数学领域中，都需要运用到整式的乘除与因式分解的知识。

《因式分解-提公因式法》知识点归纳

因式分解-提公因式法知识点归纳1. 什么是因式分解-提公因式法？因式分解是将一个多项式写成两个或多个不可再因式分解的多项式相乘的形式。

提公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多项式中的公因式来简化多项式的表示。

2. 如何进行因式分解-提公因式法？步骤1：提取公因式首先，观察多项式中是否存在公因式，即是否有因子可以整除多项式的每一项。

如果存在公因式，将其提取出来。

例如：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)步骤2：判断多项式的可进一步因式分解性质提取公因式后，判断剩余的部分是否还可以进行进一步因式分解。

常见的因式分解性质包括二次平方差公式、差平方公式等。

例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 因式分解-提公因式法的应用因式分解-提公因式法在解决各种数学问题时广泛应用，包括但不限于以下几个方面：3.1. 简化多项式因式分解-提公因式法可以将复杂的多项式简化为更简洁的形式，从而使问题的求解更加方便。

例如：3x^2 + 6x = 3x(x + 2)3.2. 解方程在解方程时，因式分解-提公因式法可以帮助我们找到方程的根。

例如：x^2 - 4 = 0通过因式分解得到：(x + 2)(x - 2) = 0解得x的值为2和-2。

3.3. 求导数在微积分中，因式分解-提公因式法常常用于求函数的导数。

例如：f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1可以通过因式分解-提公因式法得到导数：f'(x) = 3x^2 + 6x + 33.4. 求极限在求极限的过程中，因式分解-提公因式法可以帮助我们简化复杂的表达式，使得求解更加便利。

例如：lim(x->0) (x^2 - 4x) / x通过因式分解-提公因式法，可以将上述表达式化简为：lim(x->0) x(x - 4) / x = lim(x->0) (x - 4) = -44. 因式分解-提公因式法的重要性因式分解-提公因式法是数学中的基础操作之一，对于深入理解和解决复杂的数学问题至关重要。

初中数学因式分解与分式知识点梳理

初中数学因式分解与分式知识点梳理因式分解和分式是初中数学中重要的知识点，它们在解题过程中发挥着重要的作用。

因此，掌握因式分解与分式的知识对于学好数学非常重要。

本文将对初中数学中的因式分解和分式进行知识点梳理，帮助大家更好地理解这些概念与应用。

一、因式分解因式分解是指将一个多项式分解成若干个乘积的形式，其中每个乘积因子称为因式。

它在解题过程中经常出现，因此了解常见的因式分解形式是非常有帮助的。

1. 提公因式法提公因式法是一种常见的因式分解方法，它适用于多项式的每一项都含有相同因式的情况。

具体步骤如下：（1）找出多项式中的公因式。

（2）将多项式中的每一项除以公因式，得到新的多项式。

（3）将新的多项式进行合并。

2. 公式法公式法适用于特定的因式分解形式，如平方差、立方差等。

在应用公式法时，我们需要记住相关的公式，以便快速解题。

3. 分解式法分解式法是将一个多项式分解成两个或多个因式相乘的形式。

它要求我们对多项式的结构进行深入理解，寻找多项式的特点以及可能分解的因式。

二、分式分式是数学中的一种表示方法，它由分子和分母组成，分子表示被分为若干份的数，分母表示分成的份数。

分式运算在数学中有广泛的应用，了解相关的概念与计算方法对于数学学习至关重要。

1. 分数的基本概念分数是整除关系的一种表达方式，分子代表整数被分成的份数，分母代表分成的份数。

分数可从几何上理解为某个单位分成几份的一部分。

2. 分数的运算法则分数的运算包括加、减、乘、除等操作。

常见的分数运算法则包括：（1）分数的相加减：- 确保分母相同，相加或相减分子的数值。

（2）分数的乘法：- 两个分数相乘，将分子相乘作为新分数的分子，分母相乘作为新分数的分母。

（3）分数的除法：- 两个分数相除，将第一个分数的分子乘以第二个分数的倒数，作为新分数的分子；分母同样如此。

3. 分数与整数的转化分数与整数可以相互转化。

当给定一个带分数时，可以将其转化为分数形式，将整数部分的值乘上分母，再加上分子的值作为新分数的分子，分母保持不变。

因式分解知识点总结及典型试题

因式分解知识点总结及典型试题因式分解知识点总结及典型试题因式分解的总体思路如下：1.定项（以加减号为准，区分三项以下的和三项以上的两种因式分解）2.三项以下的要观察是否有公因式，有公因式先公因式提再分解。

3.三项以上的要分组，分组后再用公式法分解。

4.用公式法分解（如果是两项用平方差；三项用完全平方或十字相乘法）公因式的确定方法如下：各项中系数取最大公因数，相同字母取最低次幂，乘起来作为公因式。

下面是一些典型试题：1.分解因式m-ma2的结果是：A。

m(1+a)(1-a) B。

m(1+a)2 C。

m(1-a)2 D。

(1-a)(1+a)2.计算-(-2)2015的结果是：A。

B。

C。

- D。

3x3.把代数式ax2-4ax+4a分解因式，正确的结果是：A。

a(x-2)2 B。

a(x+2)2 C。

a(x-4)2 D。

a(x+2)(x-2)4.把代数式3x3-12x2+12x分解因式，正确的结果是：A。

3x(x-2)2 B。

3x(x-4)2 C。

3x(x+2)(x-2) D。

3x(x-2)5.多项式an-a3n+an+2分解因式的结果是：A。

an(1-a3+a2) B。

an(-a2n+a2) C。

an(1-a2n+a2) D。

an(-a3+an)6.代数式3(x+y)3-27(x+y)因式分解的结果正确的是：A。

3(x+y)(x+y+3)(x+y-3) B。

3(x+y)[(x+y)2-9] C。

3(x+y)(x+y+3)2 D。

3(x+y)(x+y-3)27.多项式x2-1与多项式x2-2x+1的公因式是：A。

x-1 B。

x+1 C。

x2-1 D。

(x-1)28.若ab=-3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是：A。

-15 B。

15 C。

2 D。

-89.+3xy2-9x2y的公因式是：A。

-3x B。

3xz C。

3yz D。

-3xy10.下面是两个代数式，它们的因式分解都需要用到公式法：(1) m(a-2)+n(2-a) (2) (y-x)2+2x-2y。

因式分解知识点归纳总结一

因式分解知识点归纳总结一（一）使用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

假如把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2假如把乘法公式反过来，就能够用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做使用公式法。

（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1．因式分解时，各项假如有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须实行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就能够得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项为哪一项这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也能够表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就能够了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．假如我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这个步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，所以还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子能够看出，假如把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就能够用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在使用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，能够用设辅助元的方法把它转化为单项式，也能够把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式实行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 使用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)实行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式实行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.假如分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．假如分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意准确使用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式来说，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式来说，而通分是针对多个分式来说；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质实行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。