非概率

非概率可靠性

从20世纪90年代初期,出现了结构可靠性的非概率度 量方法:基于凸分析的方法和基于区间分析的方法。 非概率可靠性思想是针对概率可靠性方法的若干局 限性而提出的。由于结构的非概率可靠性模型只需 知道不确定参量的界限,而不要求其具体的分布形式, 可大大降低对原始数据的要求且计算过程较为简便, 可有效降低计算工作量,具有较好的适用性。在所掌 握的原始数据较少的情况下,为结构的可靠性计算提 供了新的途径。
模糊模型



模糊可靠性度量方法就是考虑到结构应力或强度存在模糊性时使用的度量方法。大多数情 况下,得不到应力和强度的解析表达式,并且与之相关的变量不只是随机变量,同时会具有模 糊变量,如结构位移、载荷效应及结构抗力。因此结构可靠性分析时应该考虑实际存在的模 糊性。 1997年,Liu研究了影响结构性能的基本变量同时具有模糊性和随机性时结构的模糊随机可 靠性理论。定义结构的模糊极限状态方程为 M～=g(X～1,X～2,…,X～n)=B～(α) 式中:B～(α)∈F0(R),F0(R)是实数域上的所有闭区间的集合;X～i(i=1,2,…,n)是基本的模糊随 机变量。 结构状态分为: 1)M～>B～(α)时,结构可靠。 2)M～<B～(α)时,结构失效。 3)M～=B～(α)时,模糊随机极限状态。 假设结构的模糊随机失效函数M～服从模糊正态分布,A～表示“结构正常工作”,是模糊随 机事件,结构的模糊随机可靠性度量为 Re= μ～(A～)=supα∈ [0,1][α∧P(Aα)] =supα∈ [0,1]{[α∧ [a1Φ (β- (α)+a2Φ (β+(α)]} 式中:Aα={ω|ω∈Ω,M～(ω)≥B～(α)}。 上述的模糊随机可靠性度量可以看成是随机可靠性度量的推广。
区间变量
通常在役结构的参数并不是确定的,如材料的强度 弹性模量或几何参数等。 若参数在一区间内变化,其上、下界分别为Xu 、 Xl ， 则x∈Xi[Xl，Xu]称为区间变量令: x c=（xu+xl）/2 、 x r=（xu - xl）/2 称x c为均值(区间中点),xr为离差(区间半径)。则有 x l = x c - x r ， x u = x c +x r 。区间和区间变量可表 示为: XI = x c + x r Δ， x = x c + x r δ 这里Δ=[-1,1]为标准化区间变量。这种表示方法称 为区间的中心区间表示法。
区间运算中的问题
区间扩张：在计算可靠性指标过程中，许多 区间运算都是非线性的（区间乘法），这样 一来就容易造成区间的扩张。导致无法得到 计算结果或者计算结果不可信。 常见的抑制区间扩张的方法：区间组合法， 截断法，运算顺序的处理方法，自取件摄动 的处理方法。

4种非概率可靠性模型
I. II.

构造函数法

பைடு நூலகம்

取M=g(x)=g(x1,x2…,xn)为由结构失效准则确定的功能函数, 其中x1,x2…,xn表示与结构有关的基本区间变量的集合.明显 当g为xi的连续函数时,M为一区间变量,设其均值和偏差分别 为Mc,Mr。引入了二变量情况下的区间应力-区间强度干涉模 型，提出新的非概率可靠性指标，定义了具有非概率可靠度 意义的结构安全可靠度 η=Mc/Mr 为了对结构安全程度给出一个定量评估，定义结构的安全可 靠度Rs为结构区间强度R大于结构区间应力S, 的可能性： Rs=min{max[1/2(η+1),0],1} 文献中证明当 Rs=1 时，结构绝对安全; 当 Rs=1时，结构 绝对失效; 0<Rs<1时，结构可能安全也可能失效，且当 Rs 越趋近于1时，结构安全程度越高，当Rs越趋近于0时，结 构失效可能性越高，因此Rs可作为构的可靠性度量。
III.
IV.
体积法 构造函数法 容差法 最短距离法
体积法
取M=g(x)=g(x1,x2…,xn)为结构失效准则确定的功能函数. 对区间变量做 标准变换代入失效平面方程可得： M=g(x)=g(δ 1, δ 2…, δ n)=0 该平面称为标准化变量空间中的失效面。 此时可定义，非概率集合可靠度Rs为安全域体积与基本变量区域总体积 之比，非概率集合失效可能度Fs为失效域体积与基本变量区域总体积之 比: Rs=Vsafe/Vsum; Fs=Vfaliure/Vsum. 当不确定结构参量用区间描述时，从概率的意义上来讲，它们在区间内 的各个取值的可能性是相等的，即不确定结构参量是在已知区间内服从 均匀分布的随机变量.在此条件下，通过计算证明，在相同不确定性信息 条件下，分别采用非概率集合可靠性和概率可靠性两种不同可靠性模型 得到的结构可靠度是相同的，进一步验证了此非概率可靠性模型的可行 性.
最短距离法


取M=g(x)=g(x1,x2…,xn)为由结构失效准则确定的功能函数, 其中x1,x2…,xn表示与结构有关的基本区间变量的集合.明显 当g为xi的连续函数时,M为一区间变量,设其均值和偏差分别 为Mc,Mr。令 η=Mc/Mr。 根据一般的结构可靠性理论，超曲面M=g(x)=g(x1,x2…,xn)=0 称为失效面.它将结构的基本参量空间分为失效域和安全域两 部分M<0 和M>0 分别表示结构失效和安全状态.显然,当η>1 时,结构安全可靠.当η<-1时，结构必然失效.当-1<η<1时，结 构可能安全也可能不安全. 同时η的值越大，结构安全程度越 高，因此可用作为结构安全可靠程度的度量.
凸分析和区间分析的结果比较


两种方法下的非概率可靠性指标具有一致性，即区 问法非概率可靠性指标认为可靠，基于凸方法的非 概率可靠性指标必然认为可靠；凸方法的非概率可 靠性指标认为可靠，基于区间法的非概率可靠性指 标未必认为可靠． 基于区间法非概率可靠性指标对可靠性的判断比基 于凸方法的非概率可靠性指标对可靠性的判断偏保 守，而基于凸方法的非概率指标是一种更为经济、 合理的指标．
处理不确定性的基本方法

主要有3种： 1、随机模型，以此为基础建立了比较完善的随机 有限元理论，主要用来解决具有随机性的问题，目 前已广泛应用于结构的概率可靠性设计中。 2、模糊模型，它是在模糊集合的基础上发展起来 的，利用模糊统计来研究不确定性，主要用来解决 工程分析中的模糊性信息,目前此模型研究发展速度 较快。 3、集合模型，基于凸分析的方法和基于区间分析 的方法来度量结构可靠性。
评估模型分类

概率模型：随机模型和模糊模型。 非概率模型：集合模型。
随机模型
结构不能完成预定功能的概率称为失效概率，结构 的失效概率可以下列公式表达: Pf=P[g(X1,X2,…,Xn)<0] 结构的可靠度(即可靠概率)Ps与失效概率乃有以下 关系: Ps=1-Pf 结构可靠指标β与失效概率Pf有以下关系： β=-φ-1(pf) 式中φ-1(pf)——标准正态分布的反函数。
随机模型和模糊模型的小结
1. 2.
3. 4.
5.
结构可靠性度量的随机方法、模糊方法及灰色方法,都用到变量的概率分 布函数,称之为概率体系下的结构可靠性度量方法。 结构随机可靠性度量方法是基于二态(安全和失效)和概率假设的,而工程 结构分析过程中模糊现象是客观存在的,随机可靠性对安全与失效之间的 中间过渡状态和模糊事件无法处理,因而出现了结构模糊可靠性度量方法。 灰色可靠性度量方法是针对贫信息情况下可以使用的一种方法。 模糊事件概率可以看成是经典事件概率的推广,模糊可靠性度量可以通过 取λ截集转化为随机可靠性度量问题。 概率体系下的结构可靠性度量方法存在以下缺陷:①对参数很敏感,概率数 据的小误差可能导致结构可靠性计算出现较大误差;②计算分布密度函数 要较多的数据;③计算量较大;④在没有足够的信息描述概率模型时,在主 观的假设下,概率体系下的可靠性计算结果往往是不可靠的;⑤实际上在很 多情况下,不易得到不确定参量的精确概率信息(如载荷等)。 概率体系下的度量方法,都可以从结构状态的定性描述出发,如安全(或模 糊安全),通过复杂的计算得到可靠性的一个具体数值度量。
桥梁可靠性


通常的结构分析模型是建立在确定性物理意义上的，即把分 析过程中各种因素作为确定性物理量来进行处理。但是，实 际工程结构分析中存在着各种各样的不确定性，如果硬将这 些不确定性因素作为确定性信息来处理，有时会得出矛盾的 或很不合理的结果,这就使得在工程结构分析过程中不得不考 虑这些不确定性因素。 不确定性因素特征按照表现形式分为： (1)随机性。 (2)模糊性。 (3)灰色性。
凸分析和区间分析


从几何意义上讲,闭区间是实数域上的凸集合,因而凸方法和区间方法并不 是完全独立的:在凸模型中,除了基于凸集理论进行结构可靠性的凸分析外, 还可以将结构参量的凸区域取值范围在空间坐标上投影得到其区间取值 范围,从而采用区间度量方法度量和分析结构可靠性。因而区间度量方法 可以看成是凸度量方法的特例;在区间模型中,可直接基于区间算法和区间 分析理论,进行结构可靠性的区间度量。根据需要可以将结构参量的区间 域进一步扩大,得到相应的凸域,进行结构可靠性的凸分析,因此基于凸模 型的度量方法可看成是区间度量的推广。 凸方法的结构鲁棒可靠性是通过响应域与失效域间的距离和变量的不确 定性程度作比较来度量的;区间可靠性度量中,3种等价的结构可靠性准则 是分别基于区间偏序关系、区间可靠度指标、将区间作为集合时进行集 合交运算的3种不同的可靠性度量方法。上述度量都可以看成是经过定 量分析得出结构可靠性的定性描述:可靠或不可靠。




随机方法将结构的状态分为: (1)R>S,安全状态。 (2)R<S时,失效状态。 (3)R=S时,极限状态。 失效面g(X)=0将结构的基本参量空间分为失效域 Ωf={(x1,x2,…,xn)|g(x1,x2,…,xn)<0}和安全域Ωs={(x1,x2,…,xn)| g(x1,x2,…,xn)>0}两部分。结构的可靠度Re定义为结构处于安全状态 的概率,即 Re=P(M≥0)=∫∫ g(x1,x2,…,xn)dx1dx2…dxn=∫gR(r)dr ∫ gs(s)ds(2) 式中:gR(r)和gs(s)分别是强度和应力的分布密度函数。 当应力、强度都服从正态分布且相互独立时,可以得到结构可靠度为 Re= Φ (β) (3) 式中:β为可靠度指标,β=μM/σM,μM=μR-μS，σM=σ2R+σ2S，μM,μR,μS和 σM,σR,σS分别是相应于M,R,S的均值和标准差。 通常由于影响结构应力的因素很多又比较复杂,结构功能方程通常是 关于基本随机变量的非线性函数,对此采用一次二阶矩法或改进的一 次二阶矩法计算结构可靠度。而当应力和强度随机变量分别服从不同 的概率分布时,计算结构可靠度的计算量会很大,有时也难以得到解析 解。



(1)随机性。事件发生的条件无法控制,因果律不成立的;事 物本身的性态和类属是确定的,概念的外延明确,内涵不确 定;从信息的观点看,它只涉及到信息的量;如结构承受的 载荷,结构材料参数,材料强度等。 (2)模糊性。事物本身的性态和类属上的不确定性,排中律 不成立,概念的内涵确定、外延模糊,如工程结构中“耐久 与不耐久”,“结构安全”,“应力比较大和比较小”;从信息 观点看,它关系到信息的意义。 (3)灰色性。又称事物知识的不完备性,是人类认识上的局 限性造成的,一般认为事物或其特性的“部分信息已知,部 分信息未知”。这种不完备性主要包括客观信息的不完 善性和人类主观知识的不完备性,客观信息不完善性是由 客观条件限制而造成的统计资料、信息不足,从而导致判 断结论的不确定性,而人类主观知识的不完备性,则是指人 类对一些问题认识不充分。
概率可靠性指标的求解例子

以应力-强度干涉模型为例。结构功能方程描述为 M=R -S=g(X)=g(X1,X2,…,Xn) 式中:R是结构的广义强度;S是结构承受的广义应 力;Xi(i=1,2,…,n)为影响结构性能的基本随机变量(如 载荷的大小和方向、作用位置、时间、几何形状和 尺寸、材料的性质和工作条件等)。