_RBC之ABC_动态宏观经济模型入门_
三期动态模型中级宏观经济学ppt课件
第三期 max u(c3 )
(4.7)
s.t. c3 k3 f (k2 )
(4.6)
这里，k2 是在第二期已经决定了的变量。这个最
ห้องสมุดไป่ตู้
优解是明显的，为：
k3 g(k2 ) 0
（4.8）
c3 f (k2 ) g(k2 ) f (k2 )
(4.9)
13
这里，方程（4.9）称为政策函数（Policy function），它 反映的是如下这样一个事，即消费者准备为第下一期预 留的资本数量实际取决于本期已有的资本数量，具体到 我们这个三期模型里来，也即消费者准备为第四期预留 的资本数量 k3 是本期资本数量 k2 的函数，即 k3 g(k2 ) 。 当然，因为在我们这个模型里，经济活动仅进行三期， 因而不会为第四期预留资本，也即也即， k3 0 。
max
c2 ,k2
u(c2
)
V3
(k2
)
(4.12)
s.t.
c2 k2 f (k1 )
(4.5)
16
因为消费者在第二期选择的 k2 将被作为第三 期的资本使用，因此，第二期选择的 k2 将会对第三 期的效用产生影响，所以，在第二期作决策时，当 然需要把这种影响考虑进去。在上面的最大化问题 中，我们借助值函数V3 来表示了这种经由 k2 而产生 的效用。
（4.14）
现在，有了这个政策函数，我们可以定义第二
期的值函数了，它是：
V2
(k1 )
u
(c
2
)
V3
(k
2
)
(4.15)
18
显然，我们的最优选择依赖于 k1 ，因而，上述值函
高级宏观总复习RBC模型笔记知识讲解
高级宏观总复习RBC模型笔记知识讲解高级宏观总复习R B C模型笔记一、引言1、波动理论分为两脉：一脉着眼于对真实经济产生的冲击，即瓦尔拉斯波动理论；另一脉着眼于名义变量的冲击。
即非瓦尔拉斯波动理论。
真实的经济体是非瓦尔拉斯特征的。
2、宏观经济的增长问题，从这里拉开了新的篇章。
从第一章到第三章，整个宏观经济学考虑的是在均衡的道路上实现经济的持续稳定的增长。
考虑的是均衡的长期化和动态化。
但是从这一章开始，宏观经济理论开始考虑波动的问题了。
3、判断学说的好坏，主要是看其解释特征事实的能力。
Prescott ，最优政策具有时间不一致性，即在制定政策时最优的政策，在真正实施时就不一定是最优的了。
二、一个基本的宏观经济学模型：1、假定A 生产函数是道格兰斯生产函数。
1()t t T T Y K A L αα-=此时设定总投资=净投资+折旧1t T T T I K K K δ+=-+其中t T T T I Y C G =--带入得：1T T T T T T K K Y C G K δ+=+---此时假定李嘉图等价成立劳动和资本的报酬都是其边际产品/(1)()t t t t T T t w y l K A L A ααα-=??=-11/()t t T t T t r y K K A L ααδαδ--=??-=-RBC的模型建构思路是从家庭的最优化行为开始的，对于一个家庭而言，其决策的变量不过只是劳闲暇时间和消费而已，这一点在其效用函数中充分反映了出来。
本书中对家庭的最优化决策是分以下几个步骤一步一步推进的。
1、确定条件，只活一期，此时家庭的决策变量是劳动供给（其反面就是闲暇啦）和消费。
从这里就可以推导出决定劳动供给的重要方程式。
必须指出的是，劳动供给是在当期进行选择。
也就是说，在当期的消费和闲暇之间进行权衡取舍。
所以第一个关于当期劳动力供给和消费之间的均衡方程，在最简单的情形下就可以推导而出了。
2、确定性条件下，劳动力供给的跨期平衡方程，在这个方程中，我们可以清晰的看到利率和相对工资对于劳动力跨期配置的影响。
RBC模型及应用教材教学课件
目 录
• RBC模型概述 • RBC模型应用场景 • RBC模型在教材中的应用 • RBC模型教学课件制作 • RBC模型教学课件使用建议
01 RBC模型概述
RBC模型定义
总结词
RBC模型即随机波动率模型，是一种用于描述金融市场波动 性的模型。
详细描述
RBC模型是一种基于随机波动率（Stochastic Volatility）的模 型，用于描述金融市场中的波动性。该模型假设资产价格和波 动率都是随机过程，并且波动率具有随时间变化的特点。
RBC模型发展历程
总结词
RBC模型的发展经历了从早期的基础模型到现代的扩展和改进模型。
详细描述
RBC模型最初由Rubinstein和Epstein于1981年提出，用于描述股票价格的波动性。随着研究的深入，该模型逐 渐发展并扩展到其他金融市场和资产类别。现代的RBC模型已经考虑了更多的因素，如市场微观结构、交易成本 等，以更准确地描述市场行为。
教材中RBC模型的实践操作
总结词：操作指南
详细描述：教材提供RBC模型的实践操作指南，包括数据收集、模型设定、参数估计、模型检验等步 骤。通过实际操作，学生可以更好地掌握RBC模型的应用技巧，提高解决实际问题的能力。
04 RBC模型教学课件制作
教学课件制作原则
内容准确
结构清晰
确保课件内容准确无误， 与RBC模型及应用教材
使用对象
适用于金融学、经济学、会计学 等专业的学生以及从事金融行业 的专业人士。
使用目标
帮助学生和从业人员掌握RBC模 型的基本原理、方法和应用，提 高其在金融领域中的分析能力和 决策水平。
使用方法与技巧
教学方法
宏观经济学(第十版)课件：一个经济波动的动态模型
15.1
模型的要素
在考察动态AD—AS模型的成分之前,我们需要引入一个符号:在本章,变量
的下标t代表时间。例如,正如本书到目前为止通篇所采用的,Y用于表示总产
出和国民收入。但是,现在它的形式是Yt,它代表时期t的国民收入。类似地,Yt1代表时期t-1的国民收入,Yt+1代表时期t+1的国民收入。这一新的符号使得我
到方程中的四个外生变量以及前一时期的通货膨胀率的影响。滞后的通货
膨胀率πt-1叫做前定变量(predetermined variable)。也就是说,它是一
个以过去值为内生的变量;由于它在我们到达时期t之前已经固定,对于找到
现期均衡这一目的来说,它在本质上是外生的。
我们几乎已经做好准备要将这些部分放在一起,分析各种对经济的冲击如
同样的假设适用于每个时期。因此,当观察到t-1期的通货膨胀时,人们预期该比
率会持续。这意味着
Et-1πt=πt-1。
2024/4/27
五、名义利率:货币政策规则
本模型的最后一个部分是货币政策方程。我们假设中央银行采用下面的规
则基于通货膨胀和产出来确定名义利率目标:
it=πt+ρ+θπ − ∗ +θY −
可以为负。这个变量刻画了除通货膨胀预期(由第一项Et-1πt刻画)和短期经济
条件[由第二项ϕ − 刻画]以外的所有影响通货膨胀的因素。
2024/4/27
四、预期的通货膨胀:适应性预期
正如我们已经看到的,预期通货膨胀在通货膨胀的菲利普斯曲线和联系名义与实
际利率的费雪方程中起着关键作用。为了使动态AD—AS模型变得简单,我们假设人
标,那么,通货膨胀率、预期的通货膨胀率和名义利率都增加相等的数量。实
RBC模型
,→ The ∆c = 0 locus: k =e
∗ z
µ
α 1/β + 1 − δ
1 ¶ 1−α
ct
∆c=0
S2
A S1 ∆k=0 kt
k1*
k2*
2.Impact of Technology Shock
• Impact in labour market ,→ increases the marginal product of labour, shifting demand curve out ,→ raises current consumption, shifting labour supply curve in
1 - labor share
12
10
-2
Table 1. Decomposition of Sources of Variation in Output Growth, 1948-2002
New Classical Theory
• New Classical school view: (1) business cycles are largely caused by real, supply–side shocks
α yt = e(1−α)z kt ,
,→ Equations of motion:
α ∆kt = e(1−α)z kt − δkt − ct
i1 ∆ct h (1−α)z α−1 θ = β(1 − δ + αe kt ) − 1. ct−1 ,→ The ∆k = 0 locus:
α ct = e(1−α)z kt − δkt,
1
48
52
60
Growth of working-age population Growth of labor-force participation rate Growth of employment rate, 1 unemployment rate Growth of hours per worker
macro- model(宏观经济学中的经济模型解说)
1 Y f( ) P
P Y
AS—AD模型
• 均衡产出（Y）和价格水平（P）是内生变量， 政府支出，名义货币供应量、劳动力人数是外 生变量。当产品市场、货币市场和劳动力市场 同时达到均衡时（两个方程联立求解），即可 得到两个内生变量Y与P解。
Y P P (1 u) F (1 , z ) L
e
W : 名义工资 u：失业率 P P
z：the catchallvar iable
AD关系由IS-LM模型推导而来
Y C (Y T ) I (Y , i) G
M YL(i) P
解析国民收入决定模型
• 宏观经济模型围绕着国民收入的决定展开， 即把国民收入作为内生变量，研究它由哪 些可调控的外生变量决定的。 • 为了降低复杂性，初等的宏观经济模型中 的变量之间的关系都以线性形式出现。
产品市场均衡（IS模型）
• 首先，从产品市场入手，把政府支出和 投资作为外生变量，形成IS模型，即收 入——支出模型 。该模型由三个方程组 成，包含三个内生变量（Y，C，M）和 三个外生变量。
• 经济学研究的基本前提是指所有的经济 学研究得以进行的必要条件。前提和假 设在这一点上有共同之处。但前提是所 有研究者明确或隐含接受和认可的，而 假设则未必。在相同的前提下，可以有 不同的假设。不同的经济理论可以有共 同的前提，但一定有不同的假设。经济 学研究的基本前提，是经济学得以存在 的理由和意义所在。
AS-AD模型
• 将政府支出、货币供应量、劳动力人口 作为外生变量，将价格水平、产出、消 费、进口、投资、利率、货币需求、失 业率、名义工资作为内生变量，将产品 市场、货币市场、劳动力市场结合在一 起，建立起三个市场同时达到均衡时的 AS-AD模型。
高级宏观经济学-第四讲 三期动态模型ppt课件
2021/6/23
第四讲 三期动态模型
25
并且，通过仔细观察（4.15）、（4.20）式，我们 可以发现，实际上，对于任意一个多期的最优化问题 来说，我们可以一般化地写出时期 t 的值函数：
v(kt ) u(ct ) v(kt1) （4.21）
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第四讲 三期动态模型
26
三、一个例子： 吃蛋糕问题
么，消费者能获得的最大的效用水平。上述值函数对 k2
求导，可得：
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V3 k2
(k2
)
u
f
(k2
) f
(k2 )
第四讲 三期动态模型
(4.11)
16
现在，我们再回到第二期。在第二期得初始时，k1 是 给定的，因为它是在第一期就被决定的。在第二期，
消费者通过选择一个合适的（ c2、k2 ）组合来最大
以最恰当的方式在未来被使用，从而给消费者带来最大的
效用。这一信息像前面一样被浓缩在值函数V2 里。同样，
代约束条件进目标函数，我们可以得到如下的一阶条件：
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第四讲 三期动态模型
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u(c1 )
V2 k1
(k1 )
u(c1) u(c2 ) f (k1)
(4.18)
同样的，这个一阶条件就是欧拉方程，它实际上
然需要把这种影响考虑进去。在上面的最大化问题
中，我们借助值函数V3 来表示了这种经由 k2 而产生 的效用。
代约束条件进目标函数，并对 k2 求导数，我们
可以得到相应于这个最优化问题的一阶条件：
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第四讲 三期动态模型
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u(c2
)
V3 k 2
RBC模型1
max E bt [Ct(1 Lt )]1
t0
1
s.t.At Kt1 (Lt Xt ) Ct Kt1 (1 )Kt
qt Qt / Xt ,Q Y , K ,C
战后美国年度技 术进步率1.6%,季 度为0.4%;
折旧率10%,季度 2.5%;
出乎意料的成功校验
Prescott,1986：“理论的与实际的时间序 列很匹配，虽然远非完美”。
Plosser (1989)总结对基本模型的模拟： “没有政府，没有任何市场失灵，没有调 整成本，有理性预期，如此简单的模型能 够这样好地模拟现实的实际经历。这一整 体思想是极为令人惊奇的。”
对RBC理论的好评
Y/L
0.75/1.020.54/0.56 0.76/0.74 0.98/0.55
小时实际工资W 0.75/0.680.54/0.38 0.76/0.66 0.98/0.12
实际利率R
0.05/0.3 0.04/0.16 0.71/0.6 0.95/-0.3
全要素生产率A 0.94/0.980.68/0.54 0.72/0.74 1/0.78
技术冲击解释波动的75%(Prescott,1986); 70%(Kydland & Prescott, 1991) 。
1,b 0.984, 3.48, 1, 1.004,
King & Rebelo,19990,.采667用,的 0模.02型5,与 参0.数979, 0.0072
2应了解经济主体对政策变化的实际反应给出描述经济体系真实情况的基本方程基于经济主体的基本效用函数和生产函数来建模
Real Business Cycles 实际经济周期理论
宏观经济学教学课件-2019macro 89页PPT文档
1 0 00100 00100 00300 0 0 0
13
MEC=r
如果资本物品在几年中使用完，且有残值，则资 本边际效率公式为：
R ( Rr 1 1)1 ( Rr 2 1)2 ( Rr 3 1)3 ( Rr n 1)n ( J r 1)n
其中R为资本供给价格 R1、R、Rn等为不同年份的预期收益，J为残值。 如果已知R、J，以及各年的现金流量Ri，即收益，
增加。
19
4.2 IS曲线
4.2.1 IS曲线的形成 4.2.2 影响IS曲线移动的主要因素
20
4.2.1 IS曲线的形成
IS曲线的含义 IS 曲线推导（两部门） IS曲线推导（四部门） IS曲线推导图 IS曲线的几何含义和经济意义
21
IS曲线的含义
i= e-d r
投资用I表示，利率用r表示，则：
I＝I（r）
投资是利率的减函数，即投资与利率反方向变动, 因此I=I（r）呈反方向
例如：I=1250-250 r
8
线性投资函数： i= e-d r
e：自发性投资---即使r=0时也会有的投资量，d ： 利率 对投资需求的影响系数，表示利率变化一个百分点， 投资会变化的数量。
第九讲 国际经济的基本知识
第十讲 国际经济部门的作用
第十一讲 经济增长和经济周期理论
第十二讲 宏观经济学在目前的争论和共识
1
第四讲 产品市场和货币市场的 一般均衡（IS-LM模型）
上一章只关注商品市场，而不管货币市场。本章将 两个市场同时加以考虑的基础上来分析国民收入的 决定。主要是用著名的IS-LM模型来解释的。I指投 资，S指储蓄，L指货币需求，M指货币供给。 切入点：上一章我们假定投资为常数，本章认为投 资是利息率的函数，利息率又是货币供求关系确定 的，从而引入货币市场。
第四章简单宏观经济模型精品PPT课件
支出决定收入
B
供<求
供>求
A
0
100
Y
图3-3
13
第二节 凯恩斯的消费函数
一、消费函数 二、储蓄函数 三、消费理论的发展
14
一、消费函数
The Consumption Function
影响消费行为的因素
❖收入水平 ❖商品价格水平 ❖利率水平 ❖收入分配状况 ❖消费者偏好
消费信贷状况
15
1.凯恩斯消费函数
9
四、均衡的收支分析
在国民收入核算时，有恒等式：
该式可以从几个方面理解： （1）总产出被定义为C、I、G、NX之和，该式无条件成立。 （2）可以把该式看作一个函数关系式，
左边：Y：GDP，是个因变量； 右边：自变量，总需求4个组成部分中的每一项变动，都会引 起国民总产值Y的变化，这便是国民收入决定的收入——支出模 型的含义所在。
0.99
0.75
D 12000 11600
0.97
0.64
E 13000 12240
0.94
0.59
F 14000 12830
0.92
0.53
G 15000 13360
0.89
问：MPC、APC的关系如何？它们的变化由何规律？ 18
MPC、APC的特点
1）由于消费增量只是收入增量的一部分，因此：
2） APC可能﹥、﹦、﹤1
----全部收入中用于消费的数量
APC C Y
17
某家庭消费表
资料来源：尹伯成《西方经济学简明教程》（第三版），第299页
（1） 收入
（2） 消费
（3）
（4）
边际消费倾向（MPC） 平均消费倾向（APC）
云南省考研经济学专业宏观经济学重要模型梳理
云南省考研经济学专业宏观经济学重要模型梳理宏观经济学是经济学的一个重要分支，它主要研究整体经济运行规律和宏观经济政策。
在云南省考研经济学专业中，对于宏观经济学的重要模型的掌握是非常关键的。
本文将梳理云南省考研经济学专业宏观经济学的重要模型，帮助考生更好地备考。
一、凯恩斯总需求函数凯恩斯总需求函数是宏观经济学中的核心模型之一，它描述了国家总需求与总产出之间的关系。
凯恩斯总需求函数的形式为：Y = C + I + G + (X - M)，其中Y表示总产出，C表示消费支出，I表示投资支出，G表示政府支出，X表示出口，M表示进口。
二、C - I 关系模型C - I 关系模型是凯恩斯宏观经济学的重要模型之一，它探讨了消费和投资之间的关系。
该模型认为，消费支出和投资支出是互相关联的，当消费增加时，投资也会增加，从而刺激经济增长。
三、AS - AD 模型AS - AD 模型是宏观经济学中的基本模型之一，它描述了总供给和总需求之间的平衡。
AS代表总供给曲线，AD代表总需求曲线。
当AS 曲线和 AD 曲线相交于某一点时，表示经济处于平衡状态，该点对应的产出水平为经济的实际产出水平。
四、投资-储蓄关系模型投资-储蓄关系模型是宏观经济学中研究投资和储蓄之间关系的重要模型。
根据该模型，投资和储蓄之间的关系可以通过国民储蓄率和投资率来衡量。
五、菲利普斯曲线菲利普斯曲线是宏观经济学中研究通货膨胀和失业之间关系的重要模型。
菲利普斯曲线认为，通货膨胀率和失业率之间存在着一种负相关关系，即通货膨胀率越低，失业率越高；通货膨胀率越高，失业率越低。
六、孟德尔森模型孟德尔森模型是宏观经济学中研究经济增长的重要模型。
该模型认为，经济增长主要由技术进步和资本积累所驱动。
孟德尔森模型将技术进步和资本积累分别作为研究经济增长的两个关键变量，通过研究它们之间的相互作用来分析经济增长的动力机制。
七、货币供给模型货币供给模型是宏观经济学中研究货币供给对经济的影响的重要模型。
宏观经济模型大学微观经济学课件内容
宏观经济模型（二、三、四等总共需平衡式）章前导读现代宏观经济理论的基本命题是: 一个经济社会国民收入的大小和就业水平的高低，取决于有效需求的大小。
而有效需求原理的支柱又是边际消费倾向递减、资本边际效率递减以及心理上的流动偏好这三个心理规律的作用。
这三个心理规律涉及四个变量:边际消费倾向、资本边际效率、货币需求和货币供给。
通过利率把实物经济和货币经济联系起来，货币市场的利率影响收入和投资，而产品市场的均衡收入又会影响货币需求和供给。
IS-LM模型把四个变量放在一起构成一个产品市场和货币市场之间相互作用如何共同决定国民收入与利率的理论框架。
这节我们介绍简单的凯恩斯模型，即抽象的总供求平衡理论。
凯恩斯认为，宏观经济学太复杂了，涉及的问题很多，他做了一个简单的数学模型，把复杂的宏观经济进行抽象，让人们对宏观经济可以一目了然。
下面，我们就来介绍简单的凯恩斯模型。
两部门门的平衡◆ 一国宏观经济中主要有两个经济的部门，一是家庭，二是厂商。
◆ 家庭部门是由千千万万个居民户组成的。
家庭的经济作用在于，一方面向厂商提供生产要素(劳动)，形成供给;另一方面从厂商购买生活消费品，形成需求。
◆ 厂商部门也是由千千万万个生产单位组成的。
它不仅包括提供物质产品的工厂、农场、矿山、建筑公司等单位，还包括提供服务(劳务)的商店、旅馆、运输公司、邮电所、学校、医院、影剧院等单位。
厂商一方面向居民提供产品，形成供给，另一方面向家庭购买劳动，形成需求。
◆ 两部门的经济要想正常运转的条件是，家庭挣的钱全花了，厂商生产的产品全卖了，这样宏观经济就能够正常运行了。
◆ 在凯恩斯的宏观经济模型中，两个部门经济要想正常进行，平衡的条件是储蓄一定要等于投资。
◆ C+S=C+I三部门门的平衡◆ 凯恩斯在家庭、厂商两个部门之外，加上政府部门。
◆ 政府对宏观经济的影响表现在两个方面: 一方面，政府通过税收将一部分国民收入征为国有，形成政府收入(T)。
税收是从流通中抽取货币，形成漏出效应。
《RBC模型及应用》PPT课件
Yt Ct It
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h
四、中国经济周期的RBC解释
aKK 0.987 aYK 0.5 aCK 0.459 aLK 0.05
aKA 0.641 aYA 1 aCA 1.08 aLA 2.51
（二）争议 1.波动根源 2.传导机制 3.货币中性 4.GDP持久性分量的来源 5.反向的技术冲击
h
三、真实经济周期理论的突破及其争议
1. 波动根源－技术冲击
单因素冲击理论
If there were many independent sectorial shocks and labor were mobile between sectors, then the law of large numbers would guarantee that these shocks and their effect on the aggregate economy would average out to zero.
h
二、真实经济周期理论和凯恩斯主义经济周期理论的比较
表3.1 凯恩斯主义经济周期理论和真实经济周期理论的区别
区别
经济周期的性质
经济周期的原因
应对经济周期的政府政策
凯恩斯主义经济周期理论
有经济增长理论与经济周 期理论之分，前者研究长 期问题，后者研究短期问 题。
1.内生论，经济周期应该 用经济的内在因素解释 2.需求面冲击。 3.市场调节机制不完善或 者市场失灵是冲击来临后 造成经济周期的原因。
生产函数、劳动规模、政府购买的数量等等。
宏观经济学分析方法系列：变分法、欧拉方程、极值路径与动态经济模型分析
附录：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化08、09、10、11硕已讲，精细订正版)一、动态最优化在静态最优化问题中，我门寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数 y = y(x)，最优点x 的一阶条件是y(X)=0.在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线x (t).这个最大化的积分定义为独立变量t、函数x(t)及它的导数dx/ dt的函数F下的面积。
简言之，假投时间区域从t o"到t-T，且用&表示dx/dt，我们寻找最大化或最小化；F[t,x(t), &()]dt 20・1) 这里假定F对t、x(t)、x&t)是连续的，且具有对x和&的连续偏导数.将形如(20 . 1)，对每一个函数x(t)对应着一个数值的积分称为“泛函”.一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为极值曲线”.极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类x(t).(讲！例1 一家公司当希望获得从时间t = 0到t = T的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格p，而且也依赖于价格关于时间的变化率如dp/dt。
假设成本是固定的，并且每个p和dp/dt是时间的函数， &代表dp/dt，公司的目标可以作如下数学表示Max L [t, p(t), p&(t)] dt另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平x(t)和生产的变化率 dx/dt二&.假设这个公司希望最小化成本，且X和&是时间t的函数，公司的目标可以写成min tl C[t,x(t),x&(t)]dtt o满足X(t o)=X o,且X(t i) = X i这些初始和终值约束称为端点条件.例2 Ramseys济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式U二U(c)出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“ Ramsey^l 题”一找出一条消费路径c(t)，使家庭终生效用函数U = U (c)最大化：max B 严e_gt)]1■&dtc 01—9(n g)t_R(t)二、欧拉方程：动态最优化的必要条件(三种形式)定理(泛函极值曲线即最优化)的必要条件)：对于一个泛函t ito F[t,x(t), &()]dt连接点(如X0)和(t1, X1)的曲线X = x (t)是一个极值曲线(即最优化)的必要条件是(20. 2a) 称之为欧拉方程.尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程.用下标表示偏导数，并列出其自变量”它们本身也可能是函数.(20. 2a)的欧拉方程表示为F x(t,x, & =2[F&(t,x, &)] (20. 2b)dt然后，用链式法则求F&关于t的导数，并且省略自变量”得F x = F& +F&x(& + F&&(X) (20. 2c)这里，& =d2x/dt2F面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明图20-2证明：(重点！09 10、11硕，已井)设x = x (t)是图20-2中连接点(t o, x o)和(t i,xj的曲线，并且它使F面泛函取得最大值t lt°F[t,x(t), &t)]dt(20. 3)即X” =x”(t)为极值曲线，欧拉方程(20. 2a)是X = x(t)为极值曲线的一个必要条件.取釆二x(t) mh(t)是x' x (t)的相邻曲线，这里m是任意常数，h(t)是一个任意函数.为了使曲线X也通过点(t o, x o)和(t i, x i)，则X也?满足端点条件:h(t o)=O h(t i)=O (20. 4)一旦取定x (t)和h(t)之后，因x (t)和h(t)固定，则积分值tF[t, x(t), &t)]dt仅为m的函数，不妨改写成tog(m)二ti F[t,x (t) mh(t), x& (t) mh&(t)]dtt o由于x*(t)使(20.3)中的泛函J t F[t,x(t), x&(t)]dt实现最优化，所以o(20. 5)中的函数g(m)仅当m = 0时因为m = 0时的g(m) - j tl F[t, x (t) mh(t), x& (t) mh&(t)]dt 才能还原为t1F[t,x(t), x&(t)]dt)实现to to最优化，即有dg dm对(20. 5)即 g(m) = J t t F[t, x^t)+mh(t) ,x&*(t)+ mh&(t)]dt 用链式法则求o.:F / ；:m .由于F是x和&的函数，依次又是m的函数，代入(20. 7)得dg 二叫迟：:(x mh) ：：F 渝& mh&)dm to| x；:m ■&(20. 5)(20. 6)由于垫上亟」且 阿朋=&，用条件20. 6)即 竺|m 』= o ，有dm cm dm 1，㈣说訂1匡h(t) +氐卸)dt = 0(20.8)dm 订 t^ ：x方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分, 注:u = h(t)所以,du =血 dt 二 h&t) dtdt分部积分公式即［t Tdu = vu a bc-t0dvu = u(t), v = v(t)dC^ dt 嗚总dtdg s 工 h(t)dt由(20. 4)知，h(t o ) = h(t i ) =0，从而&t o ) = &t”=0，于是上式中第二项去 掉，合并其余两项，有由于h(t)是不必为零的任意函数，因此推出，对于极值曲线的必要条 件为方括号中式子为零，d^P 「F 十 d :F.五冠“或一五疑x：x这就是欧拉方程.定理证毕dg dmt i t o■JX_20 9)三、求候选极值曲线在动态最优化问题中，求满足固定端点条件的、使一个给定积分最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成：1、设被积函数为F ,即F = F(t, X, &).2、求 F 对 x 和 X& 的偏导数，记二F x, :F/；:&= F &•3、代入欧拉方程(20. 2a)或(20. 2b).4、求F X&关于t的导数.由于F&是t , x和&的函数，且x和兹又是t的函数，因此，需要用链式法则.5、如果没有导数项(&和x&)，立即解出x；如果有&c和&项，直到作出所有导数的积分，然后求出x。