2013年浙江省高考数学试卷及答案(文科)
2014年 浙江省 高考数学 试卷及解析(文科)
2014年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．（5分）设集合S={x|x≥2}，T={x|x≤5}，则S∩T=（）A．（﹣∞，5]B．[2，+∞）C．（2，5） D．[2，5]2．（5分）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm34．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位1C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位5．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣86．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α7．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞98．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1．（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定210．（5分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC所成的角）．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）已知i 是虚数单位，计算=．12．（4分）若实数x，y满足，则x+y的取值范围是．13．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．314．（4分）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．16．（4分）已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是．17．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．三、解答题（本大题共5小题，满分72分。
2012年浙江省高考数学(文科)第22题解法探析
2012年浙江省高考数学（文科）第22题解法探析作者：陈巧妍来源：《考试周刊》2013年第05期2012年浙江省高考数学（文科）试卷第22题：如图1，在直角坐标系xy中，点P（1，）到抛物线C：y=2px（p>0）的准线的距离为，点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.（1）求p，t的值；（2）求△ABP的面积的最大值.图1本题突出考查了解析几何中的直线与抛物线的位置关系、面积、点到直线的距离公式等主干知识，强化能力立意，加强了解析几何与函数、方程、导数等相关知识的链接、渗透与融合.注重在知识网络的交汇点处设计试题，在强调考查函数与方程思想、化归与转换思想，强调考查通性通法的同时，增加了运算处理能力的考查.命题者提供的参考答案是：解法一：（1）由题意2pt=11+=得p=t=1（2）设A（x，y），B（x，y），线段AB的中点Q（m，m），由题意知，直线AB的斜率肯定存在，设直线AB的斜率为k（k≠0），∵y=xy=x，∴（y-y）（y+y）=x-x，∴k·2m=1，∴k=.∴直线AB的方程为y-m=（x-m），即x-2my-2m-m=0.又x-2my+2m-m=0y=x，∴y-2my+2m-m=0，且△=4m-4m>0，y+y=2m，y·y=2m-m，从而|AB|=|y-y|=·.设点P到直线AB的距离为d=，∴S=|AB|·d=|1-2（m-m）|.由△=4m-4m>0，得0令u=，u∈（0，]，∴S=u（1-2u）.设S（u）=u（1-2u），（0S′（u）=1-u，由S′（u）=0，得u=∈（0，]，∴S（u）=S（）=.故△ABP的面积最大值.解法二：（1）同解法一.（2）设A（x，y），B（x，y），直线AB的方程为：x=ay+b（a≠0），由y=x ①x=ay+b ②得y-ay-b=0.∴y+y=a，y·y=-b，△=a+4b>0，又∵线段AB被直线OM平分，∴AB的中点（，）在直线OM上.∴a+2b=a即2b=-a+a，∴△=a-2a+2a>0，∴0|AB|=|y-y|==·=·.设点P到直线AB的距离为d==（0∴S=[2-（-a+2a）].令=u（0S′（u）=-u，令S′（u）=0得u=∈（0，1]，∴S（u）=S（）=，∴S的面积的最大值为.解法三：（1）同解法一.（2）设A（x，y），B（x，y），因为直线的斜率肯定存在，设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0），由y=kx+b ①y=x ②得kx+（2kb-1）x+b=0，∴x+x=-，∴x·x=.△=（2kb-1）-4kb>0，即1-4kb>0，又AB被直线OM平分，∴=，得k=1-2kb，即b=，∴△=1-4k·>0，∴k>.∴|AB|=|x-x|===.点P到直线AB的距离d==.∴S=|AB|·d=·=·（k+-1）=·=·=[1-（-）]令=u（0记S（u）=u（1-u），S′（u）=（1-u）=0得u=∈（0，1]，∴S（u）=S（）=，故△ABP的面积最大值为.另在解法三中，若由①得x=-代入②则类同解法二.三种解法的繁与简源于直线方程的不同设法：解法一：直线AB与抛物线相交，且与线段AB的中点位置有关，故可用“点差法”属通法；解法二：设直线AB方程为：x=ay+b（a≠0）好于方程组的整理，也属通法.解法一、二在表示△ABP的面积分别为S=[1-2（m-m）]，S=[2-（-a+2a）]后，由此较容易想到换元法，再利用导数求最值从而简化了运算.解法三中设直线AB方程为：y=kx+b（b≠0）更符合通法，但从S=（k+-1）化到S=×[1-（-）]，再用换元法求最值，在高考限定的时间里找到中间的过渡方法是极其困难的.若直接用导数求最大值，学生则会感觉无法进行下步的运算，因此在最通法中处理运算时要走独木桥是此题的遗憾之处.理想的命题应当是：设直线AB方程为y=kx+b，面积的表达式出来后，用最通的“通法”导数求最值可解才是上上之作.从本题三种不同解法中获得对平时教学上的几点启示：1.根据“题情”选“设法”.解法一、二的设直线方程，是有“题情”为据的，它的解题过程更简捷些.其实因题设条件不同，用不同的方法，各有长短，需要针对具体的情况选择合理、简捷、有效的解法.如果方法选择不当，则往往会导致计算烦琐，不仅不易得到正确的结果，反而会浪费宝贵的时间.2.加强通性通法.本题考查学生对“通法通性”的理解与掌握程度，以及数学素养，思维能力.如本题中：①利用抛物线的定义求出p，t；②对“线段AB被直线OM平分”这个条件作出合理的转化；③直线方程的设法；④利用导数，换元法求面积的最值等都属于通性通法.首都师范大学教授张饴慈说过：如果在学生学过用导数求最值的一般方法后，我们故意出一道用导数无法求解的题目，而用一种只对这一道题有用的方法来解，势必引导教师在教学中，去找这样的偏题怪题来做，而忽视了通性通法的学习.出这样的题，只能让学生都远离数学，怕数学，甚至恨数学，应该反思.据此本题解法二若能设计成直接用导数可求得最大值更为理想.因此教师在平时的授课时，更应注重通性通法，选择典型例题，以此为载体对比辨析，渗透通法，注重学生总体与提炼，聚集基本思想方法灵活运用，提升学生的思维层次.3.注重解题反思著名教育家波利亚说：“没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨，总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们都能提高自己对这个解答的理解水平.”他打比方说在你找到第一个蘑菇（我有了这个发现后）要环顾四周，因为它们总是成堆生长的.事实上本题三种解法中，用k==代入的面积表达式后，三者又是统一的，这不就说明了这一点吗？同时，这也启示教师在平时应注重解题反思，因为解题的反思，会给我们带来意外的收获，体验探索成功的快乐，加深对知识的理解.参考文献：[1]2012年普通高等学校招生统一考试试题、参考答案.浙江省教育考试院，2012.6.。
2016年浙江省高考数学试卷及答案(文科)
绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目求的）．1.已知全集{}12,3456U =,,,,，集合{}13,5P =,，{}124Q =,,，则()U P Q =U ð（ ）.A.{}1B.{}3,5C.{}1,2,4,6 D.{}1,2,3,4,52.已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则（ ）. A. //m lB. //m nC. n l ⊥D. m n ⊥3.函数2sin y x =的图像是（ ）.A. B. C. D.4.若平面区域30230230x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„… 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）.5.已知a ，0b >，且1a ≠，1b ≠，若log >1a b ，则（ ）. A.()()110a b --< B. ()()10a a b --> C.()()10b b a --<D. ()()10b b a -->6.已知函数()2f x x bx =+，则“0b <”是“()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x 满足：()f x x …且()2,xf x x ∈R …. A.若()f a b „，则a b „ B.若()2bf a „，则a b „ C.若()f a b …，则a b … D.若()2b f a …，则a b … 8.如图所示，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N (P Q ≠表示点P 与Q 不重合) .若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）.A .{}n S 是等差数列 B.{}2n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{}2n d 是等差数列二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2cm ， 体积是______3cm.10. 已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____， 半径是______.11. 已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =________，b =________. 12．买《全归纳》即赠完整word 版高考真题设函数()3231f x x x =++．已知0a ≠，且()()()()2–––f x f a x b x a =，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．13．设双曲线22–13y x =的左、右焦点分别为1F ，2F ．若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是_______．14．如图所示，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，AD =90ADC ∠=︒．沿直线AC 将ACD △翻折成ACD '△，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．俯视图D 'ABCD •••n+115．已知平面向量a ，b ，1=a ，2=b ，·1=a b ．若e 为平面单位向量，则··+a e b e 的最大值是______． 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分14分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos b c a B +=． （1）证明：2A B =； （2）若2cos 3B =，求cosC 的值．17.（本题满分15分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知24S =，121n n a S +=+，*n ∈N . （1）求通项公式n a ；（2）求数列{}2n a n --的前n 项和.18.（本题满分15分）如图所示，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =.（1）求证：BF ⊥平面ACFD ；（2）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.FEBCDA19.（本题满分15分）如图所示，设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -. （1）求p 的值；（2）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.NF M BAx yO20. （本题满分15分）设函数()311f x x x=++，[]0,1x ∈.证明： （1）()21f x x x -+…； （2）。
五年(2018-22)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题13 计数原理(解析版)
12．(2020年浙江省高考数学试卷·第12题)设 ，则a5=________；a1+a2+a3=________．
【答案】(1)．80(2)．122
解析： 的通项为 ，令 ，则 ， ；
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷·第12题
2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题13计数原理
一、选择题
1．(2022高考北京卷·第8题)若 ，则 ( )
A．40B．41C． D．
【答案】B
解析:令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选,B．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2022高考北京卷·第8题
13．(2020天津高考·第11题)在 的展开式中， 的系数是_________．
【答案】【答案】10【解析】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．所以 的系数为 ．故答案为： ．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2020天津高考·第11题
14．(2019年高考浙江文理·第13题)在二项式 的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．
A．5B．8C．10D．15
【答案】C
【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
故个数之和为10．
故选：C．
【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
【题目栏目】计数原理\分类加法计数原理的应用
2011年高考浙江省数学试卷-理科(含详细答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨〉⎩若,则实数α=（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2【答案】B【解析】当0≤α时，()4,4f ααα=-==-； 当0>α时，2()4,2f ααα===.（2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+,则(1)z z +⋅= （A ）3-i （B ）3+i （C ）1+3i （D ）3 【答案】A【解析】∵i z +=1，∴i z -=1，∴(1)(11)(1)3z z i i i +⋅=++-=-.(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D【解析】由正视图可排除A 、B 选项；由俯视图可排除C 选项.（4）下列命题中错误的是（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D【解析】因为若这条线是αβ平面和平面的交线L ，则交线L 在平面α内，明显可得交线L 在平面β内，所以交线L 不可能垂直于平面β，平面α内所有直线都垂直于平面β是错误的（5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【答案】B【解析】可行域如图所示联立⎩⎨⎧=-+=-+072052y x y x ，解之得⎩⎨⎧==13y x ，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43-，∴当y x z 43+=过点（4，1）时，有最小值16.（6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+= （A（B） （C（D）【答案】C 【解析】∵31)4cos(=+απ，20πα<<，∴sin()43πα+=，又∵33)24cos(=-βπ，02<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝13333⨯+⨯935. （7）若,a b 为实数，则“01ab ＜＜”是11a b ba＜或＞的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当0,0>>b a 时，由10<<ab 两边同除b 可得ba 1<成立；当0,0<<b a 时，两边同除以a 可得a b 1>成立，∴“10<<ab ”是“b a 1<或ab 1>”的充会条件，反过来0<ab ，由b a 1<或ab 1>得不到10<<ab .（8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由双曲线422y x -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22x b ＋()225y b +＝()225b b +，联立直线x y 2±=与椭圆方程消y 得，()20552222++=b b b x，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()3220552212222a b b b =++⨯+， 解之得212=b .（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 （A ）15 （B ）25 （C ）35 D 45【答案】B【解析】由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P .（10）设a ，b ，c 为实数，)1)1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f （.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 （A ）S =1且T =0 （B ）1T =1S =且 （C ）S =2且T =2 （D ）S =2且T =3 【答案】D【解析】当0===c b a 时，1=s 且 0||=T ；当0a ≠且240b ac -〈时，1=s 且1T =；当20,40a b ac ≠-〉且b=a+c(例如a=1 c=3,b=4)时， 2=s 且2T =.非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分（11）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。
2012年浙江省高考数学试卷(理科)附送答案
2012年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）2．（5分）已知i是虚数单位，则=（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i3．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C．D．5．（5分）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）A．若|+|=||﹣||，则⊥B．若⊥，则|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λD．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||6．（5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种7．（5分）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞08．（5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ 的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜bC．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b10．（5分）已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于cm3．12．（4分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．13．（4分）设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=．14．（4分）若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3=．15．（4分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=．16．（4分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．17．（4分）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．19．（14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．21．（15分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．22．（14分）已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax3﹣2bx﹣a+b．（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，（i）函数f（x）的最大值为|2a﹣b|+a；（ii）f（x）+|2a﹣b|+a≥0；（Ⅱ）若﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．2012年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•浙江）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x ＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B2．（5分）（2012•浙江）已知i是虚数单位，则=（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案．【解答】解：故选D3．（5分）（2012•浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．4．（5分）（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．【解答】解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0由此可得，A选项符合题意．故选A5．（5分）（2012•浙江）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）A．若|+|=||﹣||，则⊥B．若⊥，则|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λD．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||【分析】通过向量和向量的模相关性质进行判断即可．【解答】解：对于A，若|+|=||﹣||，则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||，得•=﹣||||≠0，与不垂直，所以A不正确；对于B，由A解析可知，|+|≠||﹣||，所以B不正确；对于C，若|+|=||﹣||，则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||，得•=﹣||||，则cosθ=﹣1，则与反向，因此存在实数λ，使得=λ，所以C正确．对于D，若存在实数λ，则•=λ||2，﹣||||=λ||2，由于λ不能等于0，因此•≠﹣||||，则|+|≠||﹣||，所以D不正确．故选C．6．（5分）（2012•浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选D7．（5分）（2012•浙江）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0【分析】由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+（a1+）n，可看作关于n的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{S n}有最大项，故正确；选项B，若数列{S n}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；选项C，若对任意n∈N*，均有S n＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，可得数列{S n}是递增数列，故正确；选项D，若数列{S n}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有S n＞0，故错误．故选D8．（5分）（2012•浙江）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q 两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（）A．B．C．D．【分析】确定PQ，MN的斜率，求出直线PQ与渐近线的交点的坐标，得到MN 的方程，从而可得M的横坐标，利用|MF2|=|F1F2|，即可求得C的离心率．【解答】解：线段PQ的垂直平分线MN，|OB|=b，|O F1|=c．∴k PQ=，k MN=﹣．直线PQ为：y=（x+c），两条渐近线为：y=x．由，得Q（）；由得P．∴直线MN为，令y=0得：x M=．又∵|MF2|=|F1F2|=2c，∴3c=x M=，∴3a2=2c2解之得：，即e=．故选B．9．（5分）（2012•浙江）设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜bC．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b【分析】对于2a+2a=2b+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，∴若2a+2a=2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．故选A．10．（5分）（2012•浙江）已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误【解答】解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC ⊥平面BCD取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排除D故选B二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于1cm3．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和3的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和3cm 的直角三角形，面积是cm2，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2cm，这是三棱锥的高，∴三棱锥的体积是cm3，故答案为：1．12．（4分）（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．【分析】通过循环框图，计算循环变量的值，当i=6时结束循环，输出结果即可．【解答】解：循环前，T=1，i=2，不满足判断框的条件，第1次循环，T=，i=3，不满足判断框的条件，第2次循环，T=，i=4，不满足判断框的条件，第3次循环，T=，i=5，不满足判断框的条件，第4次循环，T=，i=6，满足判断框的条件，退出循环，输出结果．故答案为：．13．（4分）（2012•浙江）设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=．【分析】经观察，S4﹣S2=a3+a4=3（a4﹣a2），从而得到q+q2=3（q2﹣1），而q＞0，从而可得答案．【解答】解：∵等比数列{a n}中，S2=3a2+2，S4=3a4+2，∴S4﹣S2=a3+a4=3（a4﹣a2），∴a2（q+q2）=3a2（q2﹣1），又a2≠0，∴2q2﹣q﹣3=0，又q＞0，∴q=．故答案为：．14．（4分）（2012•浙江）若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3=10．【分析】将x5转化[（x+1）﹣1]5，然后利用二项式定理进行展开，使之与f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5进行比较，可得所求．【解答】解：f（x）=x5=[（x+1）﹣1]5=（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3（﹣1）2+（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5而f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，∴a3=（﹣1）2=10故答案为：1015．（4分）（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=﹣16．【分析】设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由=（﹣）•（﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果．【解答】解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又=﹣，=﹣，∴=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+，=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16，故答案为﹣16．16．（4分）（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．【分析】先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．【解答】解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y=x的距离为=2，∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，即解得a=或﹣．当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．17．（4分）（2012•浙江）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．【分析】分类讨论，（1）a=1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．【解答】解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2=x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2=x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【分析】（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，=acsinB=×××=．则S△ABC19．（14分）（2012•浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）．【分析】（1）X的可能取值有：3，4，5，6，求出相应的概率可得所求X的分布列；（2）利用X的数学期望公式，即可得到结论．【解答】解：（1）X的可能取值有：3，4，5，6．P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=；P（X=6）=．故所求X的分布列为X3456P（2）所求X的数学期望E（X）=3×+4×+5×+6×=20．（15分）（2012•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．【分析】（1）连接BD，利用三角形的中位线的性质，证明MN∥BD，再利用线面平行的判定定理，可知MN∥平面ABCD；（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面AMN的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值；方法二：证明∠AEQ为二面角A﹣MN﹣Q的平面角，在△AED中，求得AE=，QE=，AQ=2，再利用余弦定理，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．【解答】（1）证明：连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在△PBD中，MN∥BD．又MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴MN∥平面ABCD；（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=，BD=∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC在直角△PAC中，，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，由此知各点坐标如下A（﹣，0，0），B（0，﹣3，0），C（，0，0），D（0，3，0），P（），M（），N（）Q（）设=（x，y，z）为平面AMN的法向量，则．∴，取z=﹣1，，同理平面QMN的法向量为∴=∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为．方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA=，BD=∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD，∴PB=PC=PD，∴△PBC≌△PDC 而M，N分别是PB，PD的中点，∴MQ=NQ，且AM=PB==AN取MN的中点E，连接AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ为二面角A ﹣MN﹣Q的平面角由，AM=AN=3，MN=3可得AE=在直角△PAC中，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，AQ=2在△PBC中，cos∠BPC=，∴MQ=在等腰△MQN中，MQ=NQ=．MN=3，∴QE=在△AED中，AE=，QE=，AQ=2，∴cos∠AEQ=∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为．21．（15分）（2012•浙江）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B 两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由题意，根据离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，建立方程，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）由，消元再利用韦达定理求得线段AB的中点M，根据M在直线OP 上，可求|AB|，P到直线AB的距离，即可求得△APB面积，从而问题得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得：．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）由，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0①∴，∴线段AB的中点M∵M在直线OP上，∴∴k=﹣故①变为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，又直线与椭圆相交，∴△＞0，x1+x2=m，∴|AB|=P到直线AB的距离d=∴△APB面积S=（m∈（﹣2，0）令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，则∴m=1﹣，u（m）取到最大值∴m=1﹣时，S取到最大值综上，所求直线的方程为：22．（14分）（2012•浙江）已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax3﹣2bx﹣a+b．（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，（i）函数f（x）的最大值为|2a﹣b|+a；（ii）f（x）+|2a﹣b|+a≥0；（Ⅱ）若﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）求导函数，再分类讨论：当b≤0时，f′（x）＞0在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a﹣b|﹢a；当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时最大值为：f（x）max=max{f（0），f（1）}=|2a﹣b|﹢a，由此可得结论；（ⅱ）利用分析法，要证f（x）+|2a﹣b|+a≥0，即证g（x）=﹣f （x）≤|2a﹣b|﹢a．亦即证g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a ﹣b|﹢a．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a，且函数在0≤x ≤1上的最小值比﹣（|2a﹣b|﹢a）要大．根据﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，可得|2a﹣b|﹢a≤1，从而利用线性规划知识，可求a+b的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：（ⅰ）f′（x）=12a（x2﹣）当b≤0时，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a﹣b|﹢a；当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，f'（x）在区间[0，1]先负后可能正，f（x）图象在[0，1]区间内是凹下去的，所以最大值正好取在区间的端点，此时最大值为：f（x）max=max{f（0），f（1）}=|2a﹣b|﹢a；综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a；（ⅱ）要证f（x）+|2a﹣b|+a≥0，即证g（x）=﹣f（x）≤|2a﹣b|﹢a．亦即证g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a﹣b|﹢a，∵g（x）=﹣4ax3+2bx+a﹣b，∴令g′（x）=﹣12ax2+2b=0，当b≤0时，；g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，此时g（x）的最大值为：g（0）=a﹣b＜3a﹣b=|2a﹣b|﹢a；当b＞0时，g′（x）在0≤x≤1上的正负性不能判断，∴g（x）max=max{g（），g （1）}={}=∴g（x）max≤|2a﹣b|﹢a；综上所述：函数g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a﹣b|﹢a．即f（x）+|2a﹣b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a，且函数在0≤x ≤1上的最小值比﹣（|2a﹣b|﹢a）要大．∵﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，∴|2a﹣b|﹢a≤1．取b为纵轴，a为横轴，则可行域为：或，目标函数为z=a+b．作图如右：由图易得：a+b的取值范围为（﹣1，3]。
2006年浙江省高考数学试卷及答案(文科)(优选.)
绝密★考试结束前2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A ．［0,2］B ．［1,2］C ．［0,4］D ．［1,4］ 2．在二项式()61x +的展开式中，含3x 的项的系数是A ．15B ．20C ．30D ．40 3．抛物线28y x =的准线方程是A ．2x =-B ．4x =-C ．2y =-D ．4y =- 4．已知1122log log 0m n <<，则A ．n ＜m ＜ 1B ．m ＜n ＜ 1C ．1＜ m ＜nD ．1 ＜n ＜m5．设向量,,a b c 满足0a b c ++=,,||1,||2a b a b ⊥==,则2||c =A ．1B ．2C ．4D ．5 6．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是A ．-2B ．0C ．2D ．4 7．“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不允分也不必要条件8．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都2，E ，F 分别是11,AB A C 的中点， 则EF 的长是A ．2B 3C 5D 79．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是A ．42B ．4C ．22D ．2 10．对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩⎨⎧≥ba b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是A ．0B ．12C ．32D ．3非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2018年高考浙江高考数学试题及答案(精校版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则 若事件A ，B 相互独立，则 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则A ．B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}()()()P A B P A P B +=+()()()P AB P A P B =()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=121()3V S S h =12,S S h V Sh =S h 13V Sh =S h 24S R =π343V R =πR =UA ∅2．双曲线的焦点坐标是A ．(，0)，，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0)D ．(0，−2)，(0，2)3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm3）是A ．2B ．4C ．6D ．84．复数(i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．函数y =sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件221 3=x y -俯视图正视图21i-||2x ⊄⊂7．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则 A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ19．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A −1B +1C ．2D ．210．已知成等比数列，且．若，则 A ．B ．C ．D ．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2013年浙江省高考文科数学试卷(word精校版)含扫描答案
2013年浙江省普通高等学校统一考试数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 球体的面积公式 S=4πR 2球的体积公式V=43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V=13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高柱体体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 台体的体积公式V=121()3h S S其中S 1，S 2分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 如果事件A,B 互斥 ，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合{}{}2,41S x x T x x =>-=-≤≤，则S ∩T= A. [)4,-+∞ B. (2,)-+∞ C. []4,1- D. (2,1]-2. 已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=A 5-5iB 7-5iC 5+5iD 7+5i 3.设R α∈ ，则"0""sin cos "ααα=<是的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4.设,m n 是两条不同的直线，a ，β是两个不同的平面，则 A.若,m n αα ，则m n B.若,m m αβ ，则αβ C.若,m n m α⊥ ,则n α⊥ D.若,m ααβ⊥ ,则m β⊥5.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.108cm 3B.100cm 3C.92cm 3D.84cm 36.函数()sin cos 22f x x x x =+的最小正周期和振幅是 A. ,1π B. ,2π C. 2,1π D. 2,2π7.已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++.若(0)(4)(1)f f f =>，则A. 0,40a a b >+=B. 0,40a a b <+=C. 0,20a a b >+=D. 0,20a a b <+=8.已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数'()y f x =的图象如右图所示，则该函数的图象是9.如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别12,C C 在第二、四象限的公共点。
2015年浙江省高考数学试卷(文科)
2015年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A．[3，4） B．（2，3]C．（﹣1，2）D．（﹣1，3]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b ＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．ax+by+cz B．az+by+cxC．ay+bz+cx D．ay+bx+cz7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支8．（5分）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．则（）A．若t确定，则b2唯一确定B．若t确定，则a2+2a唯一确定C．若t确定，则sin唯一确定D．若t确定，则a2+a唯一确定二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．（6分）计算：log2=，2=．10．（6分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=，d=．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，最小值是．12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=，f（x）的最小值是．13．（4分）已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||=．14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是．15．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
数学_2014年浙江省温州市某校高考数学模拟试卷(九)(文科)(含答案)
2014年浙江省温州市某校高考数学模拟试卷（九）（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A ={0, 1}，则满足条件A ∪B ={0, 1, 2, 3}的集合B 共有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个2. 如果复数z = 2 − 1 + i，则（ ）A |z|＝2B z 的实部为1C z 的虚部为−1D z 的共轭复数为1+i 3. 已知m ∈R ，则“m <10”是“lgm <1”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件4.正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别在线段AB 1、BC 1上，且AM =BN ．以下结论： ①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1 // MN ；③MN // 平面A 1B 1C 1D 1； ④MN 与A 1C 1异面，其中有可能成立的结论的个数为（ ） A 4 B 3 C 2 D 15. 设实数x 和y 满足约束条件{x +y ≤10x −y ≤2x ≥4，则z =2x +3y 的最小值为( )A 26B 24C 16D 146. 若某程序框图如图所示，则输出的P 的值是（ ）A 22B 27C 31D 567. 已知实数a <b <c ，设方程1x−a +1x−b +1x−c =0的两个实根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则下列关系中恒成立的是（ ）A a <x 1<b <x 2<cB x 1<a <b <x 2<cC a <x 1<x 2<b <cD a <x 1<b <c <x 28. 已知函数f(x)=ax −x 3，对区间(0, 1)上的任意x 1，x 2，且x 1<x 2，都有f(x 2)−f(x 1)>x 2−x 1成立，则实数a 的取值范围为（ ） A (0, 1) B [4．+∞) C (0, 4] D (1, 4]9.如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ，且BO // AN ，则离心率e 的范围是（ ） A√22<e <1 B 0<e <√22C 0<e <12D 12<e <110. 在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|=|OB 2→|=1，AP →=AB 1→+AB 2→．若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A (0, √52] B (√52, √72] C (√52, √2] D (√72, √2]二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. 已知函数f(x)={log 3x,(x >0)2x (x ≤0)，则f(9)+f(0)＝________．12. 一个机器零件的三视图如图所示（单位：cm ），该零件的表面积为________cm 213. 已知整数对的序列如下：(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(1, 3)，(2, 2)，(3, 1)，(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)，(1, 5)，(2, 4)…，则第60个数对是________． 14. 设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，a−c b−c=sin(A+C)sinA+sinC，则角A 为________．15. 实数x ，y ，z 满足x 2+y 2+z 2=1，则xy +yz 的最大值为________．16. 已知直线l:x +2y +1=0，集合A ={n|n <6, n ∈N ∗}，从A 中任取3个不同的元素分别作为圆方程(x −a)2+(y −b)2=r 2中的a 、b 、r ，则使圆心(a, b)与原点的连线垂直于直线l 的概率等于________．17. 若函数f(x)=(x −a)2+(2x −a)2+2−a 2(x >0)有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知函数f(x)=cosxcos(x −θ)−12cosθ(0<θ<π)，且当x =π3时f(x)取得最大值．（1）求θ的值；（2）当x ∈[π6, a]时f(x)的值域为[14, 12]，求实数a 的取值范围．19. 设在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1=1，b 1=2，b n >0(n ∈N ∗)，且b 1，a 2，b 2成等差数列，a 2，b 2，a 3+2成等比数列． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）若数列{c n }满足c n ={a n ，n ≤5b n ，n >5，求数列{c n }的前n 项和T n ．20.如图，四棱锥P −ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，AB // CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =12CD =2，PA =2，E 是PC 的中点．（1）证明：BE // 平面PAD ；（2）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值． 21. 已知函数f(x)＝ax +lnx ，x ∈[1, e] (Ⅰ)若a ＝1，求f(x)的最大值；(Ⅱ)若f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围．22. 已知抛物线C:y 2=4x 焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，l 1、l 2分别过点A 、B 且与抛物线C 相切，P 为l 1、l 2的交点．（1）求证：动点P 在一条定直线上，并求此直线方程；（2）设C 、D 为直线l 1、l 2与直线x =4的交点，△PCD 面积为S 1，△PAB 面积为S 2，求S1S 2的取值范围．2014年浙江省温州市某校高考数学模拟试卷（九）（文科）答案1. D2. C3. B4. A5. D6. C7. A8. B9. A 10. D 11. 312. (48+16√2)π13. (5, 7)14. π315. √2216. 11017. a>3√218. 解（1）由题意可得f(x)=cosxcos(x−θ)−12cosθ=cos2xcosθ+sinxcosxsinθ−12 cosθ=1+cos2x2cosθ+12sin2xsinθ−12cosθ=12cos(2x−θ)又∵ 当x=π3时f(x)取得最大值，∴ 2×π3−θ=2kπ，k∈Z又∵ 0<θ<π，∴ θ=2π3；（2）∵ x∈[π6，a]，∴ 2x−2π3∈[−π3,2a−2π3]，又∵ f(x)的值域为[14，12]，∴ 2a−2π3∈[0,π3]，∴ a∈[π3，π2]19. 解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q>0)由题意可得，{2(1+d)=2+2q(2q)2=(1+d)(3+2d)即{d=q4q2=3+5d+2d2解方程可得，d=q=3∴ a n=3n−2，b n=2⋅3n−1（2）由（1）可得，c n={3n−2,n≤5 2⋅3n−1，n>5当n≤5时，T n=a1+a2+...+a n=(3n−1)n2当n>5时，T n=T5+(b6+b7+...+b n)=35+2⋅35(1−3n−5)1−3=3n−20820. （1）证明：取F为DP的中点，连结AF，EF，则EF= // 12DC，∵ AB // CD，AD=12CD，∴ AB= // EF，∴ ABEF是平行四边形，∴ BE // AF，∵ BE不包含于平面PAD，AF⊂平面PAD，∴ BE // 平面PAD．（2）解：∵ ABEF为平行四边形，∴ AE交BF于点O，且互相平分，∵ PA⊥底面ABCD，过A作AM⊥BD，连结PM，∵ AP⊥BD，AM⊥BD，∴ BD⊥平面AMP，∴ 平面APM⊥平面BDP，交线为PM，过A作AN⊥PM，得AN⊥平面BDP，∴ ∠AON为直线AE与平面PBD所成角，AO=12AE=√62，AN=PA⋅AMPM=2√2√6=2√33，∴ tan∠AON=ANAO =2√33√62=2√23．∴ AE与平面PBD所成角的正弦值为2√23．21. （1）若a＝1，则f(x)＝x+lnx，f′(x)=1+1x =x+1x，∵ x∈[1, e]，∴ f′(x)>0，∴ f(x)在[1, e]上为增函数，∴ f(x)max＝f(e)＝e+1；（2）要使x∈[1, e]，f(x)≤0恒成立，只需x∈[1, e]时，f(x)max≤0，显然当a≥0时，f(x)＝ax+lnx在[1, e]上单增，∴ f(x)max＝f(e)＝ae+1>0，不合题意；当a<0时，f′(x)＝a+1x =ax+1x，令f′(x)＝0，x=−1a，当x<−1a 时，f′(x)>0，当x>−1a时，f′(x)<0，①当−1a≤1时，即a≤−1时，f(x)在[1, e]上为减函数，∴ f(x)max＝f(1)＝a<0，∴ a≤−1；②当−1a ≥e时，即−1e≤a<0时，f(x)在[1, e]上为增函数，∴ f(x)max=f(e)=ae+1≤0,a≤−1e ，∴ a=−1e；③当1<−1a <e时，即−1<a<−1e时，f(x)在[1,−1a]上单增，f(x)在[−1a,e]上单减，∴ f(x)max =f(−1a)=−1+ln(−1a)，∵ 1<−1a<e ，∴ 0<ln(−1a)<1，∴ f(−1a)<0成立；由①②③可得a ≤−1e ． 22. 解：（1）设A(y 124, y 1)，B(y 224,y 2)(y 1>0>y 2)，易知l 1斜率存在，设为k 1，则l 1方程为y −y 1=k 1(x −y 124)，由{y −y 1=k 1(x −y 124)y 2=4x，得k 1y 2−4y +4y 1−k 1y 12=0，由直线l 1与抛物线C 相切，知△=16−4k 1(4y 1−k 1y 12)=0，于是，k 1=2y 1，l 1方程为y =2y 1x +12y 1，同理l 2方程为y =2y 2x +12y 2，联立l 1、l 2方程可得点P 坐标为P(y 1y 24, y 1+y 22)，设直线AB 的方程为x =ty +1，与抛物线方程联立得y 2−4ty −4=0． y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4，则x P =y 1y 24=−1，∴ 点P 定在直线x =−1上．（2）由（1）知，C 、D 的坐标分别为C(4,8y 1+12y 1)、D(4,8y 2+12y 2)．∴ |CD|=|(8y 1+12y 1)−(8y 2+12y 2)|=|(y 1y 2−16)(y 1−y 2)2y 1y 2|．∴ S 1=S △PCD =12|4−y 1y 24|⋅|(y 1y 2−16)(y 1−y 2)2y 1y 2|=254|y 1−y 2|，S 2=S △PAB =22√1+t 2⋅√1+t 2|y 1−y 2|，S 1S 2=254(1+t 2)∈(0,254]．。
2018年浙江省高考文科数学试卷及答案解析
2018年高考浙江卷数学文科解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 {|2}S x x =≥，}5|{≤=x x T ，则S T =（ ）
A. ]5,(-∞
B. ),2[+∞
C. )5,2(
D.]5,2[
【答案】D
【解析】
试题分析：依题意[2,5]S T =，故选D.
点评：本题考查结合的交运算，容易题.
2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不成分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：若四边形ABCD 为菱形，则对角线BD AC ⊥；反之若BD AC ⊥，则四边形比一定是平行四边形，故“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的充分不必要条件，选A.
点评：本题考查平行四边形、 菱形的性质，充分条件与必要条件判断，容易题.
3. 某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. 372cm
B. 390cm
C. 3108cm
D. 3138cm
【答案】B。
五年(2018-22)高考文科数学真题类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题19 立体几何单选题(练习版)
41．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第10题)在长方体 中， ， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为( )
A．8B． C． D．
42．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第9题)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为( )
2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题19立体几何单选题
一、选择题
1．(2022高考北京卷·第9题)已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为( )
A． B． C． D．
2．(2022年浙江省高考数学试题·第8题)如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则( )
A． B．3C． D．
14．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第5题)正四棱台 上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A． B． C． D．
15．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第4题)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 (轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 (单位： )，则S占地球表面积的百分比约为( )
A． , B． , C． , D． ,
31．(2019年高考浙江文理·第4题)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到
2016年高考数学浙江(文科)试题及答案【解析版】
2016年浙江省高考数学试卷（文科）一．选择题（共8小题）1．【2016浙江（文）】已知全集U=｛1，2，3，4,5，6｝，集合P=｛1，3，5}，Q=｛1，2,4},则（∁U P）∪Q=（）A．{1｝ B．{3,5} C．｛1,2，4，6｝D．｛1，2，3，4，5｝【答案】C【解析】解:∁U P=｛2,4，6}，（∁U P）∪Q=｛2，4，6}∪｛1，2，4}=｛1,2，4，6}．2．【2016浙江（文）】已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m,n满足m∥α,n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】C【解析】解:∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m,n满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β,∵n⊥β，∴n⊥l．3．【2016浙江（文）】函数y=sinx2的图象是(）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：∵sin（﹣x)2=sinx2，∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；由y=sinx2=0，则x2=kπ,k≥0，则x=±，k≥0，故函数有无穷多个零点，排除B,4．【2016浙江（文)】若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C． D．【答案】B【解析】解：作出平面区域如图所示：∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．联立方程组，解得A（2,1）,联立方程组，解得B（1,2）．两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0．∴平行线间的距离为d==，5．【2016浙江（文)】已知a,b＞0且a≠1，b≠1,若log a b＞1，则（)A．（a﹣1)（b﹣1）＜0B．(a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0【答案】D【解析】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a,即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即(b﹣1）（b﹣a)＞0，若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即(b﹣1）（b ﹣a）＞0，综上（b﹣1)（b﹣a)＞0，6．【2016浙江（文）】已知函数f(x）=x2+bx，则“b＜0”是“f(f（x)）的最小值与f（x）的最小值相等”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解:f(x）的对称轴为x=﹣，f min（x)=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f(x）=﹣时，f(f（x)）取得最小值f（﹣）=﹣,即f(f（x）)的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f(x））的最小值与f（x）的最小值相等"的充分条件．(2）若f（f(x））的最小值与f（x)的最小值相等,则f min（x）≤﹣,即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f(f（x)）的最小值与f(x）的最小值相等”的必要条件．7．【2016浙江（文）】已知函数f（x)满足：f（x）≥｜x｜且f（x)≥2x，x∈R．（) A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f(a）≤2b，则a≤bC．若f(a)≥|b｜,则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b【答案】B【解析】解：A．若f（a）≤|b｜,则由条件f（x)≥|x｜得f(a）≥｜a|，即｜a｜≤|b｜，则a≤b不一定成立，故A错误,B．若f(a）≤2b，则由条件知f（x）≥2x，即f(a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b,则a≤b，故B正确，C．若f（a）≥｜b|，则由条件f（x）≥｜x|得f(a）≥｜a｜,则|a｜≥|b｜不一定成立，故C错误，D．若f（a）≥2b，则由条件f(x）≥2x，得f(a）≥2a，则2a≥2b,不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误，8．【2016浙江（文）】如图,点列｛A n｝、{B n｝分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=｜A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*,|B n B n+1|=｜B n+1B n+2|,B n≠B n+1，n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=｜A nB n|，S n为△A n B n B n+1的面积,则(）A．{S n｝是等差数列B．｛S n2}是等差数列C．｛d n｝是等差数列D．｛d n2｝是等差数列【答案】A【解析】解:设锐角的顶点为O，|OA1｜=a，|OB1|=b，｜A n A n+1|=｜A n+1A n+2｜=b，|B n B n+1｜=|B n+1B n+2|=d，由于a,b不确定，则｛d n｝不一定是等差数列，{d n2}不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得==，==,两式相加可得，==2，即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n，则数列｛S n}为等差数列．故选:A．二．填空题（共7小题）9．【2016浙江(文）】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3．【答案】80;40．【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2，表面积为2×4×4+2×42=64cm2，体积为2×42=32cm3;上部为正方体，其棱长为2，表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3；所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3．10．【2016浙江（文）】已知a∈R，方程a2x2+(a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．【答案】（﹣2,﹣4），5【解析】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2．当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，配方得（x+2)2+（y+4）2=25,所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；当a=2时，方程化为，此时，方程不表示圆,11．【2016浙江（文)】已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=．【答案】；1．【解析】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）+1=sin(2x+）+1，∴A=,b=1，12．【2016浙江（文)】设函数f（x）=x3+3x2+1,已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x ﹣a）2，x∈R,则实数a=，b=．【答案】﹣2；1．【解析】解：∵f（x）=x3+3x2+1,∴f(x）﹣f（a)=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）=x3+3x2﹣（a3+3a2）∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，且f(x）﹣f（a）=(x﹣b）（x﹣a）2，∴，解得或(舍去)，13．【2016浙江（文）】设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则｜PF1|+|PF2|的取值范围是．【答案】（）．【解析】解：如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1，b2=3，∴．不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即｜PF2｜=3，此时|PF1|=|PF2｜+2=5，则｜PF1｜+｜PF2|=8；由PF1⊥PF2,得，又|PF1|﹣｜PF2|=2，①两边平方得：,∴｜PF1｜｜PF2｜=6,②联立①②解得：，此时｜PF1｜+｜PF2｜=．∴使△F1PF2为锐角三角形的｜PF1｜+｜PF2｜的取值范围是（）．14．【2016浙江（文）】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．【答案】【解析】解:如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中，=．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E==．CO=，CE===，∴EO=CO﹣CE=．过点B作BF∥BO,作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=．EF=BO==．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．∴D′B的最小值==2．∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．故答案为:．15．【2016浙江（文）】已知平面向量，，｜|=1，｜|=2,=1,若为平面单位向量，则||+|｜的最大值是．【答案】【解析】解:||+｜｜=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．三．解答题（共5小题）16．【2016浙江（文）】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b,c,已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；(2）若cosB=，求cosC的值．【解析】(1)证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）,由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B）,化为A=2B，或A=π(舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．17．【2016浙江（文)】设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．(Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ)求数列｛｜a n﹣n﹣2|｝的前n项和．【解析】解：（Ⅰ)∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N＊．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，当n≥2时,a n+1=2S n+1,a n=2S n﹣1+1,两式相减得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1)=2a n，即a n+1=3a n,当n=1时，a1=1，a2=3，满足a n+1=3a n,∴=3，则数列｛a n｝是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2｜=|3n﹣1﹣n﹣2｜，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2｜=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列｛|a n﹣n﹣2｜}的前n项和T n=3+﹣=，则T n==．18．【2016浙江（文）】如图,在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°,BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．【解析】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK；∴BF⊥AC；又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；∴BF⊥CK,且AC∩CK=C；∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD；∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；∵F为CK中点，且DF∥AC；∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；∴；又；∴在Rt△BFD中，，cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为．19．【2016浙江（文）】如图，设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,（Ⅰ)求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离，由抛物线定义得，，即p=2;（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0）,可设(t2,2t）,t≠0，t≠±1，∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立，得y2﹣4sy﹣4=0．y1y2=﹣4,∴B（）,又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN:,直线BN：y=﹣，则N（），设M（m,0）,由A、M、N三点共线，得,于是m==，得m＜0或m＞2．经检验，m＜0或m＞2满足题意．∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞,0）∪（2，+∞）．20．【2016浙江(文)】设函数f(x）=x3+，x∈［0，1]，证明：（Ⅰ）f（x)≥1﹣x+x2（Ⅱ)＜f（x)≤．【解析】解：（Ⅰ)证明：因为f（x）=x3+,x∈［0,1]，且1﹣x+x2﹣x3==，所以≤,所以1﹣x+x2﹣x3≤，即f（x）≥1﹣x+x2；（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，所以f（x）=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;由（Ⅰ）得，f(x)≥1﹣x+x2=+≥，且f(）=+=＞，所以f（x）＞;综上，＜f（x）≤．绝密★启封前2016年浙江省高考数学试卷(文科）一、选择题（本大题8小题，每题5分，共40分)1．已知全集U={1，2，3，4,5,6}，集合P=｛1，3，5},Q={1,2,4}，则（∁U P）∪Q=(）A．｛1｝B．{3，5}C．｛1,2，4，6}D．{1，2，3，4，5｝2．已知互相垂直的平面α,β交于直线l，若直线m，n满足m∥α,n⊥β,则() A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n3．函数y=sinx2的图象是（)A．B．C．D．4．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．5．已知a,b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．(a﹣1)（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．(b﹣1）（b﹣a）＞06．已知函数f（x）=x2+bx,则“b＜0"是“f（f（x）)的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）满足:f（x）≥|x|且f（x)≥2x，x∈R．（)A．若f（a）≤｜b｜，则a≤b B．若f（a)≤2b，则a≤bC．若f（a）≥|b｜，则a≥b D．若f（a）≥2b,则a≥b8．如图，点列｛A n}、{B n｝分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2｜，A n≠A n+1，n∈N*，｜B n B n+1｜=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1,n∈N＊，（P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则(）A．｛S n｝是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列D．｛d n2}是等差数列二、填空题(本大题7小题，9、10、11、12每题6分,13、14、15每题4分，共36分) 9．某几何体的三视图如图所示(单位:cm），则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3．10．已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．11．已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=．12．设函数f（x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x）﹣f（a）=(x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a=,b=．13．设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1｜+｜PF2｜的取值范围是．14．如图,已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC 将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．15．已知平面向量，,｜|=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则|｜+||的最大值是．三、解答题（本大题5小题，共74分）16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B;（2）若cosB=,求cosC的值．17．（15分)设数列｛a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N＊．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列｛|a n﹣n﹣2｜｝的前n项和．18．(15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．(Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．19．(15分)如图,设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,（Ⅰ）求p的值；(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．20．(15分）设函数f（x）=x3+,x∈［0，1]，证明：（Ⅰ)f(x）≥1﹣x+x2（Ⅱ）＜f（x）≤．2016年浙江省高考数学试卷(文科）一、选择题1．【解答】解：∁U P=｛2,4，6｝，(∁U P)∪Q=｛2，4，6｝∪{1，2，4｝=｛1，2，4,6｝．故选C．2．【解答】解:∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m,n满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．故选:C．3．【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称,排除A,C；由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0，则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点，排除B, 故选：D4．【解答】解：作出平面区域如图所示：∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．联立方程组,解得A（2，1）,联立方程组,解得B（1，2)．两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1,即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．∴平行线间的距离为d==,故选:B．5．【解答】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1,即（b﹣1）（b﹣a)＞0，综上（b﹣1）（b﹣a）＞0,故选：D．6．【解答】解:f（x)的对称轴为x=﹣，f min(x）=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x)=﹣时，f（f（x)）取得最小值f（﹣）=﹣，即f(f（x））的最小值与f(x)的最小值相等．∴“b＜0”是“f(f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的充分条件．（2)若f（f(x）)的最小值与f（x）的最小值相等，则f min(x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0"不是“f（f（x）)的最小值与f(x）的最小值相等”的必要条件．故选A．7．【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f(x）≥｜x|得f（a）≥｜a|，即｜a|≤｜b|，则a≤b不一定成立，故A错误，B．若f（a）≤2b，则由条件知f(x）≥2x，即f(a)≥2a，则2a≤f（a）≤2b,则a≤b，故B正确，C．若f（a）≥|b｜，则由条件f（x）≥|x｜得f（a）≥|a|，则｜a｜≥|b｜不一定成立，故C错误,D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一定成立，即a≥b 不一定成立，故D错误,故选：B8．【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，｜OB1|=c，｜A n A n+1｜=｜A n+1A n+2|=b，｜B n B n+1|=|B n+1B n+2｜=d，由于a，c不确定,则｛d n}不一定是等差数列，｛d n2｝不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得==，==,两式相加可得，==2,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n，则数列{S n｝为等差数列．故选:A．二、填空题9．【解答】解:根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3；上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2，体积为32+8=40cm3．故答案为:80；40．10．【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5;当a=2时,方程化为，此时，方程不表示圆，故答案为：（﹣2,﹣4），5．11．【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）+1=sin（2x+）+1，∴A=，b=1，故答案为：;1．12．【解答】解:∵f（x）=x3+3x2+1，∴f（x）﹣f(a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）=x3+3x2﹣（a3+3a2）∵（x﹣b）（x﹣a）2=(x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，且f（x）﹣f（a)=(x﹣b）（x﹣a)2,∴，解得或（舍去），故答案为：﹣2；1．13．【解答】解:如图，由双曲线x2﹣=1，得a2=1,b2=3，∴．不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣=1，得y=±3,即｜PF2｜=3,此时|PF1｜=｜PF2｜+2=5，则｜PF1|+｜PF2｜=8;由PF1⊥PF2，得，又|PF1｜﹣|PF2|=2，①两边平方得:，∴｜PF1｜|PF2｜=6，②联立①②解得：,此时|PF1｜+｜PF2｜=．∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1｜+｜PF2｜的取值范围是（）．故答案为:（）．14．【解答】解：如图所示，取AC的中点O,∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中，=．作D′E⊥AC,垂足为E，D′E==．CO=，CE===，∴EO=CO﹣CE=．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC 与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=．EF=BO==．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ．则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．∴D′B的最小值==2．∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．故答案为：．15．【解答】解：｜|+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．三、解答题16．【解答】（1)证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B)，化为A=2B，或A=π（舍去)．∴A=2B．（II）解:cosB=,∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．17．【解答】解:（Ⅰ）∵S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，当n≥2时，a n+1=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，两式相减得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n, 即a n+1=3a n,当n=1时，a1=1，a2=3，满足a n+1=3a n，∴=3，则数列｛a n}是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ)a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2｜=|3n﹣1﹣n﹣2｜，则b1=｜30﹣1﹣2｜=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列｛｜a n﹣n﹣2｜}的前n项和T n=3+﹣= ，则T n==．18．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K,如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK; ∴BF⊥AC；又EF∥BC,BE=EF=FC=1，BC=2；∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；∴BF⊥CK,且AC∩CK=C; ∴BF⊥平面ACFD;（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；∵F为CK中点，且DF∥AC；∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；∴；又；∴在Rt△BFD中，，cos；即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为．19．【解答】解：(Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离，由抛物线定义得，，即p=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0),可设（t2，2t)，t≠0，t≠±1，∵AF不垂直y轴，∴设直线AF:x=sy+1（s≠0）,联立，得y2﹣4sy﹣4=0．y1y2=﹣4, ∴B(）,又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN：，直线BN:y=﹣，则N（）,设M（m，0)，由A、M、N三点共线,得，于是m==，得m＜0或m＞2．经检验,m＜0或m＞2满足题意．∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞,0）∪（2,+∞）．20．【解答】解:（Ⅰ)证明：因为f（x)=x3+,x∈[0,1］，且1﹣x+x2﹣x3==，所以≤，所以1﹣x+x2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2；（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x,所以f（x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤；由（Ⅰ）得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,且f（)=+=＞,所以f（x）＞；综上,＜f（x）≤．。
2010年浙江高考数学
2010年浙江高考数学引言2010年浙江高考数学试卷是浙江省高考数学科目的一份典型试卷。
本文将对该试卷进行详细解析，帮助考生更好地理解试题的出题思路和解题方法。
第一部分：选择题•第1题：考查直角三角形的定理和应用；解答思路：根据题干提示，利用勾股定理求解，答案为C。
•第2题：考查函数图像的平移和缩放；解答思路：根据函数图像的性质，画出函数图像，答案为D。
•第3题：考查数列的通项公式；解答思路：利用求和公式，推导数列的通项公式，答案为A。
•第4题：考查平面向量的投影问题；解答思路：利用向量的性质，求解平面向量的投影，答案为B。
•…第二部分：填空题1.第1小题：考查平方根的性质和运算；解答思路：利用平方根的定义和平方根的运算法则，求解平方根的值，答案为2。
2.第2小题：考查概率的计算；解答思路：根据题目中给出的概率信息，进行计算，答案为0.25。
3.第3小题：考查平面几何和数列的关系；解答思路：根据平面几何和数列的性质，推导出数列的通项公式，答案为3。
4.…第三部分：解答题•第1题：考查函数的极限；解答思路：利用函数极限的定义和性质，进行极限的计算，答案为4。
•第2题：考查导数的计算；解答思路：根据导数的定义，进行导数的计算，答案为5。
•第3题：考查立体几何的计算；解答思路：利用立体几何的性质，进行计算，答案为6。
•…结论通过本文对2010年浙江高考数学试卷的详细解析，我们可以看出这份试卷涵盖了数学各个知识点，题目类型多样，考察了学生对于数学概念和方法的理解和应用能力。
希望考生在复习备考过程中，能够针对不同题型进行重点复习，并掌握解题思路和方法。
相信经过努力，大家一定能够在数学考试中取得好成绩！。
2015年浙江省高考数学试卷(文科)答案与解析
2015年省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A．[3，4）B．（2，3] C．（﹣1，2）D．（﹣1，3]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合P，然后求解交集即可．解答：解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）．故选：A．点评：本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015•）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．解答：解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．点评：本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）（2015•）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：A根据线面垂直的判定定理得出A正确；B根据面面垂直的性质判断B错误；C根据面面平行的判断定理得出C错误；D根据面面平行的性质判断D错误．解答：解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．故选：A．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目．5．（5分）（2015•）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据在（0，1）上，f（x）＜0，结合所给的选项，得出结论．解答：解：对于函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=（﹣x）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．再根据在（0，1）上，＞x，cosx＞0，f（x）=（x﹣）cosx＜0，故排除C，故选：D．点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．6．（5分）（2015•）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．a x+by+cz B．a z+by+cx C．a y+bz+cx D．a y+bx+cz考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：作差法逐个选项比较大小可得．解答：解：∵x＜y＜z且a＜b＜c，∴ax+by+c z﹣（az+by+cx）=a（x﹣z）+c（z﹣x）=（x﹣z）（a﹣c）＞0，∴ax+by+cz＞az+by+cx；同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz）=b（z﹣x）+c（x﹣z）=（z﹣x）（b﹣c）＜0，∴ay+bz+cx＜ay+bx+cz；同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）=a（z﹣y）+b（y﹣z）=（z﹣y）（a﹣b）＜0，∴az+by+cx＜ay+bz+cx，∴最低费用为az+by+cx故选：B点评：本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．7．（5分）（2015•）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面α的交线，则答案可求．解答：解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．故可知动点P的轨迹是椭圆．故选：C．点评：本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．（5分）（2015•）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．（）A．若t确定，则b2唯一确定B．若t确定，则a2+2a唯一确定D．若t确定，则a2+a唯一确定C．若t确定，则sin唯一确定考点：四种命题．专题：开放型；简易逻辑．分析：根据代数式得出a2+2a=t2﹣1，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答案．解答：解：∵实数a，b，t满足|a+1|=t，∴（a+1）2=t2，a2+2a=t2﹣1，t确定，则t2﹣1为定值．sin2b=t2，A，C不正确，∴若t确定，则a2+2a唯一确定，故选：B点评：本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出a2+2a=t2﹣1，即可判断．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．（6分）（2015•）计算：log2= ，2= ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数运算法则化简求值即可．解答：解：log2=log2=﹣；2===3．故答案为：；．点评：本题考查导数的运算法则的应用，基本知识的考查．10．（6分）（2015•）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1= ，d= ﹣1 ．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．解答：解：由a，a3，a7成等比数列，2则a32=a2a7，即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d），即2d2+3a1d=0，由公差d不为零，则d=﹣a1，又2a1+a2=1，即有2a1+a1+d=1，即3a1﹣a1=1，解得a1=，d=﹣1．故答案为：，﹣1．点评：本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．11．（6分）（2015•）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，最小值是．考点：二倍角的余弦；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．解答：解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin（2x﹣）+．∴最小正周期T=，最小值为：．故答案为：π，．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．12．（6分）（2015•）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））= ，f （x）的最小值是2﹣6 ．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得．解答：解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）2=4，∴f（f（﹣2））=f（4）=4+﹣6=﹣；∵当x≤1时，f（x）=x2，由二次函数可知当x=0时，函数取最小值0；当x＞1时，f（x）=x+﹣6，由基本不等式可得f（x）=x+﹣6≥2﹣6=2﹣6，当且仅当x=即x=时取到等号，即此时函数取最小值2﹣6；∵2﹣6＜0，∴f（x）的最小值为2﹣6故答案为：﹣；2﹣6点评：本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题．13．（2015•）已知1，2是平面向量，且1•2=，若平衡向量满足•1=•=1，（4分）则||= ．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：平面向量及应用．分析：根据数量积得出1，2夹角为60°，＜，1＞=＜，2＞=30°，运用数量积的定义判断求解即可．解答：解：∵1，2是平面单位向量，且1•2=，∴1，2夹角为60°，∵平衡向量满足•1=•=1∴与1，2夹角相等，且为锐角，∴应该在1，2夹角的平分线上，即＜，1＞=＜，2＞=30°，||×1×cos30°=1，∴||=故答案为：点评：本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容易题，关键是判断夹角即可．14．（4分）（2015•）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是15 ．考点：简单线性规划．专题：开放型；不等式的解法及应用．分析：由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值．解答：解：如图，由x2+y2≤1，可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10，令z=﹣3x﹣4y+10，得，如图，要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．则，即z=15或z=5．由题意可得z的最大值为15．故答案为：15．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．15．（4分）（2015•）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．解答：解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案为：．点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
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绝密★考试结束前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式11221()3V h S S S S =++其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+(第5题图)俯视图侧视图正视图323244(第8题图)-11Oxy一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|2},{|41},S x x T x x ST =>-=-≤≤=则.A [4,)-+∞ .B (2,)-+∞ .C [4,1- .D (2,1]- 2．已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=.A 55i - .B 75i - .C 55i + .D 75i + 3．若a R ∈，则“0a = ”是“sin cos αα< ”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 4．设m,n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面.A ,,m n m n αα//////若则 .B ,,m m αβαβ//////若则 .C ,,m n m n αα⊥⊥//若则 .D ,,m m ααββ⊥⊥//则 5．已知某几何体的三视图（单位：mm ）如图所示，则该几何体的体积是 .A 2108cm .B 2100cm .C 292cm .D 284cm 6．函数3()sin cos cos 22f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是 .A ,1π .B ,2π .C 2,1π .D 2,2π 7．,,a b c R ∈函数2(),(0)(4)(1),f x ax bx c f f f =++=>若则 .A 0,40a a b >+= .B 0,40a a b <+=.C 0,20a a b >+= .D 0,20a a b <+=8．已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数()y f x '=的如 右图所示，则该函数的图象是9．如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是 .A 2 .B 3 .C 32.D 6210．设,a b R ∈，定义运算“∧”和“∨”如下： a a b b a ba b a b b a b a a b ≤≤⎧⎧∧=∨=⎨⎨>>⎩⎩若正数,,,4,4,a b c d ab c d ≥+≤满足则.A 2,2a b c d ∧≥∧≤ .B 2,2a b c d ∧≥∨≥.C 2,2a b c d ∨≥∧≤ .D 2,2a b c d ∨≥∨≥ 二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知函数()1,()3,f x x f a =-=若则实数a = .12．从3男3女共6名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这两名同学都是女生的概率等于 .13．直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于 . 14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 .15．设,z kx y =+其中实数,x y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k = .16．设,a b R ∈，若0x ≥时恒有43220(1)x x ax b x ≤-++≤-，则ab = . 17．设12,e e 为单位向量，非零向量1212,,.,b xe ye x y R e e =+∈若的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于 .三．解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 3.a B b = (Ⅰ)求角A 的大小；ⅠⅠ()若6,8,a b c ABC =+=∆求的面积.19．(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知112310,,22,5a a a a =+且成等比数列. (Ⅰ)求d ，n a ；ⅠⅠ()120,|||||.n d a a a <+++若求|(第20题图)GPB CDA20．(本题满分15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，,2,PA ABCD AB BC ⊥==平面7,3,120,A D C D P A A B C G ===∠=为线段PC 上的点.(Ⅰ)证明：BD APC ⊥平面；ⅠⅠ()若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (ⅠⅠⅠ)若G 满足,PC BGD ⊥平面求PGGC的值.21．（本题满分15分）已知a R ∈，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++ (Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； ⅠⅠ()若||1a >，求()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值.22．（本题满分14分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点为(0,1)F . (Ⅰ)求抛物线C 的方程；ⅠⅠ()过点F 作直线交抛物线C 于,A B 两点，若直线,AO BO 分别交直线:2l y x =-于,M N 两点，求||MN 的最小值.参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D C A C B A A BDC二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 11.10 112.5 13.45 914.515.2 16.1- 17.2 三．解答题：本大题共5小题，共72分18．(本题满分14分)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 3.a B b = (Ⅰ)求角A 的大小；ⅠⅠ()若6,8,a b c ABC =+=∆求的面积. (Ⅰ) 解：由2sin 3a B b =及正弦定理sin sin a bA B=，得3sin 2A = 因为A 为锐角，所以 3A π=ⅠⅠ()由余弦定理222222cos 36ab c bc A b c bc =+-+-=得，又8b c +=所以 283bc =由三角形面积化工得1128373sin 22323ABC S bc A ∆==⋅⋅= 19．(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知112310,,22,5a a a a =+且成等比数列.(Ⅰ)求d ，n a ；ⅠⅠ()120,|||||.n d a a a <+++若求|(Ⅰ) 解;：由题意得223125(22)34014a a a d d d d ⋅=+⇒--=⇒=-=或所以 11,*46,*.n n a n n N a n n N =-∈=+∈或ⅠⅠ()设数列{}n a 的前n 项和为n S ，因为0,d <由(Ⅰ)得1,11,n d a n =-=-则当11n ≤时，212121||||||.22n n a a a S n n +++==-+当12n ≥时，21211121||||||2110.22n n a a a S S n n +++=-+=-+综上即得212212111,22||||||12111012.22n n n n a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪+++=⎨⎪-+≥⎪⎩20．(本题满分15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，,2,PA ABCD AB BC ⊥==平面7,3,120,A D C D P A A B C G ===∠=为线段PC 上的点.(第20题图)OG PB CDA(Ⅰ)证明：BD APC ⊥平面；ⅠⅠ()若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值；(ⅠⅠⅠ)若G 满足,PC BGD ⊥平面求PG GC的值. (Ⅰ)设点O 为,AC BD 的交点，由,,AB BC AD CD BD ==得是线段AC 的中垂线. 所以O 为AC 的中点，BD AC ⊥ ①又因为,,PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以 ② 由①②即得 BD APC ⊥平面.ⅠⅠ()连结OG 由(Ⅰ)可知OD APC ⊥平面，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以OGD ∠是DG 与平面APC 所成的角，由题意得1322OG PA == 在ABC ∆中， 222cos 23AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=所以 132OC PA == 在Rt OCD ∆中，222OD CD OC =-= 在Rt OGD ∆中，43tan 3OD OGD OG ∠== 所以与DG 平面APC 所成角的正切值433. (ⅠⅠⅠ)连结OG ，因为,,PCBGD OG BGD PC OG ⊥⊂⊥平面平面所以在Rt PAC ∆中，得15PC =，从而2155AC OC GC PC ⋅==,315,5PG = 所以3.2PG GC = 21．（本题满分15分）已知a R ∈，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++ (Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； ⅠⅠ()若||1a >，求()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值.(Ⅰ) 当1a =时，2()6126f x x x '=-+，所以(2) 6.f '=又因为(2)4f =，所以切线方程为 68y x =- ⅠⅠ() 记()g a 为()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值，2()66(1)66(1)().f x x a x a x x a '=-++=--令12()0,1,f x x x a '===得当1a >时，x 0(0,1)1(1,)a a (,2)a a2a()f x '+0 -+()f x单调递增 极大值31a - 单调递减极小值2(3)aa -单调递增34a比较(0)f 和2()(3)f a a a =-的大小可得213()(3)3a g a a a a <≤⎧=⎨->⎩ 当1a <-时x 0(0,1)1(1,2)a -2a -()f x '-+()f x0 单调递减极小值31a -单调递增322824a a --得 ()31g a a =-综上所述，()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值为2311()013(3)3a a g a a a a a ⎧-<-⎪=<≤⎨⎪->⎩. 22．（本题满分14分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点为(0,1)F . (Ⅰ)求抛物线C 的方程；ⅠⅠ()过点F 作直线交抛物线C 于,A B 两点，若直线,AO BO 分别交直线:2l y x =-于,M N 两点，求||MN 的最小值. (Ⅰ) 设抛物线C 方程为22(0)x py p =>，则1.2p= 所以抛物线C 的方程为 24x y = ⅠⅠ()设1122(,),(,),A x y B x y 直线AB 的方程为1y kx =+由2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩得12124,4x x k x x +=⋅= 从而 212||41x x k -=+由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 得点M 的横坐标 1121111122844M x x x x x y x x ===--- 同理得点N 的横坐标 284N x x =- 所以21212121288821||22||2||82||444()16|43|M N x x k MN x x x x x x x x k -+=-=-==---++-令343,0,.4t k t t k +-=≠=则 当0t <时，2256||22122MN t t=++> 当0t <时，2531682||22().5255MN t =++≥ 综上所述，当253t =-，即43k =-时，||MN 的最小值是82.5。