高考数学“放缩法”全解析

高考数学“放缩法”全解析

例如：

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例1、已知*

21().n n a n N =-∈求证：

*12

231

1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111

.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k

k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q

1222311111111

...(...)(1),2322223223

n n n n a a a n n n a a a +∴

+++≥-+++=-->-

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的

值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简.

2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）=

x

x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +

)(2

1

21*1

N n n ∈-+. 证明：由f (n )=

n

n 414+=1-

11

11422n n

>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n

2

2112

2112

2112

1

⋅-

++⋅-

+⋅-Λ

)(21

2

1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ.

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、放大或缩小“因式”；

例3、已知数列{}n a 满足2

111

,0,2n n

a a a +=<≤求证：121

1().32n

k k k k a a a ++=-<∑ 证明 22112131110,,,.2416n n a a a a a a +<≤

=∴=≤≤Q L 2311,0,16k k a a +∴≥<≤≤当时 12

1111

1111()()().161632

n

n k k k k k n k k a a a a a a a ++++==∴-≤-=-<∑∑ 本题通过对因式2k a +放大，而得到一个容易求和的式子11

()n

k

k k a

a +=-∑，最终得出证明.

技巧：

4、逐项放大或缩小

例4、设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n Λ求证：2)1(2)1(2

+<<+n a n n n 证明：∵ n n n n =>+2

)1( 2

12)21()1(2+=+<+n n n n

∴ 2

1

2)1(+<+

∴ 2

)

12(31321++++<<++++n a n n ΛΛ， ∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n

本题利用21

2

n n +<<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的

数列，达到化简的目的。

5、固定一部分项，放缩另外的项； 例5、求证：2222111171234

n ++++

<=---Q

2222211111111151171()().1232231424

n n n n ∴

++++<++-++-=+-<-L L 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

1 求证：.

2b a )2b a (222+≤+

证明：因为4b ab 2a )2b a (222++=+（因为2

2b a ab 2+≤）4b b a a 2

222+++≤（放大）.2b a 22+=所以.

2b a )2b a (2

22+≤+

2 求证：)

N n )(n 1n (2n 1

∈-+>

证明：因为n 1n 2n n 2n

1++>

+=（分母有理化）),n 1n (2-+=所以原不等式成立。

3 （1999年湖南省理16）求证：)

N n (1n 212n 11n 121∈<+++++≤Λ

证明：因为,

21

n n n n n 1n n 1n n 1n n 12

n 11n 1=+=+++++≥++++++ΛΛ又,1n n n 1n 1n 1n n 12n 11n 1==+++<++++++ΛΛ所以原不等式成立。

4 求证：.2n 321132112111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+ΛΛ

证明：因为左边

+

+-+-+-+=-++⨯+⨯+≤ΛΛ)4

131()3121()211(1n )1n (13212111,2n 12)n 11n 1(

<-=--证毕。

5 求证)

N n (1!n 1

!41!31!21∈<++++Λ

证明：因为,

2122211k 3211!k 11k -=⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯=ΛΛ所以左边

Λ+++=

32212121.1)21

(1211n 1n <-=+--

注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若,D C ,C B ,B A >>>则D A >。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。