微积分方法建模药物在体内的分布与排除数学建模案例分析
数学建模之体内药物浓度的分布模型
ln 2 k
环境 机体
只输出不 输入房室
x(t)
x(0) D
dx dt 出
情况2 恒速静脉点滴
药物似恒速点滴方式进入体内，即: dx
则体内药物总量满足：
dx dt
kx
K0
dt
（x(0)=0）
K0
（3.13）
这是一个一阶常系数线性方程，其解为：
易见：lim C(t) K0
t
Vk
（第一次） C(t) K0 (1 ekt )
Vk 0≤t≤T1
C(t) K0 (1 ekT1 )ek (tT1)
Vk
T1≤t≤T1 +T2
环境
dx dt
K0
机体
x(t)
x(0) 0
恒定速率 输入房室
dx
dt
出
情况3 口服药或肌注
口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物
D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地
满足微分方程：
dx kx 0 dt
（3.12）
其解为：
x(0) D x(t) Dekt
负增长率的Malthus模型
药物的浓度： c(t) D ekt
V
与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的
时间称为药物的血浆半衰期：
t1
dx dt
出
kx
假设药物均匀分布
环境
药物的输入规律与给药的方式有 关。下面，我们来研究一下在几种常 dx
机体
见的给药方式下体内药体的变化规律。
dt
入
x(t)
dx
பைடு நூலகம்dt
出
数学建模最优给药方案问题
2.问题的分析
本文主要研究 治疗支原体肺炎用药最优化方案的问题：现有一医药集团有限公司 新研制抗生素药，可以有效治疗肺炎支原体肺炎。通过药理试验，此抗生素新药对胃酸 稳定，口服生物利用度为 75％，以成人（60 kg ）为例，每日用药 0.5g，口服生物利 用度为 75％，以成人（60 kg ）为例，每日用药 0.5g，单剂口服后，达峰时间为 2 h ， 血药峰浓度 ( max C ) 为 0.43 g/ml 。平 均 血 浆 最 小 中 毒 浓 度 为 3.81± 1.7g / ml，平 均 血 浆 最 小 有 效 浓 度 为 0.19 ±0.13 g/ml ，清除率（Clt） 为 9.98min/ml/kg ， 表观分布体积 （V ） 为 32.1 / L kg ，血半衰期（ 2 1t ）为 39 50 : h 。需要从用药到产生药效的主要经历过程（即药剂学过程 、 药代动力学过程及药效 动力学过程）出发，通过机理分析方法建立数学模型，就下述几种情况，分别对成人选 择最优化的治疗方案，即疗程内合理安排用药次数，使药物在人体内达到有效的血药浓 度保持最长的疗效，确保治疗的效果。
2.2 问题 2 的分析
对于该问题，采用室分析方法, 将机体近似看成单个同质单元体，采用恒速静脉滴注用 药方式，假定治疗支原体肺炎的疗程为 2 周，同时每日用药 0.5g 的情况下，滴注时间 是 2 小时，一个疗程静脉滴注抗生素新药为 3.5g，同时平均血浆最小中毒浓度为 3.81 μg / ml，建立一室药物动力学模型。求解出第一次单剂静脉滴注给要量后一天内的 血药浓度，从而推导出第 n 次恒速静脉滴注用药后一天内体内的血药浓度的大小，利用 图表直观的反映出该治疗方案。在确保不超过平均血浆最小中毒浓度（不中毒）的情况 下， 合理安排用药次数, 使药物在人体内达到有效的血药浓度, 保持最长的疗效, 确保 治疗的效果。
药物在体内地分布与排除地一室建模与分析报告
药物在体内的分布与排除的一室建模与分析摘要本文为了解决给药方案设计问题，通过分析药物在体内的动态流程与药理反响的定量关系，运用微分方程的思想，建立了一室模型；运用了归纳法、分类讨论等数学方法，以与MATLAB、几何画板等数学软件，求解了模型。
本文建立的模型可以应用于新药研发和剂量确定，可以推广到二室模型甚至多室模型，藉此设计出更加完善的给药方案。
针对问题1，建立了一室模型〔只有中心室〕，分别分析了在快速静脉注射、恒速静脉滴注〔持续时间为 〕和口服或肌肉注射3种给药方式下，模型满足的初始条件。
将该条件代入用符号表示的血药浓度方程中，求解出了三种给药方式下中心室的血药浓度方程，并利用MATLAB画出了血药浓度曲线的图形。
针对问题2，基于问题1中求解出的快速静脉注射血药浓度方程，求出了从0时刻开始每相隔时间T中心室的血药浓度，在初始条件不断变化的情况下，递推求解出了不同时间段的血药浓度方程并用MATLAB进展编程画出了曲线图；在稳态条件下，结合整个给药过程和血药浓度的控制X围，确定了屡次重复给药的时间间隔和固定剂量。
另外，采取加大首次剂量给药的方式,设计出了给药方案。
针对问题3，采用问题2的求解思路，分别递推求解出了恒速静脉滴注和口服(或肌肉注射)的屡次重复给药方式下中心室的血药浓度方程，并运用MATLAB 进展编程画出了曲线图。
解决了稳态条件下给药时间间隔和每次给予固定剂量的问题。
关键词一室模型；血药浓度；给药方式；稳态一、问题重述药物动力学(pharmacokinetics)是一门研究药物在体内的药量随时间变化规律的科学。
作为近20年来才获得迅速开展的药物新领域，它采用数学分析的手段来呈现药物在体内的动态过程。
因此，这门学科有利于研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程与药理反响的定量关系，对于新药研发、剂量确定、给药方案设计等药理学和临床医学的研究和开展都具有重要的指导意义和实用价值。
现在考虑按固定时间间隔，每次给予固定剂量的屡次重复给药方式，来研究上述的动态过程。
数学建模,数值分析实验,给药方案的设计
给药方案的设计摘要一种新药用于临床之前，必须设计给药方案。
要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。
众所周知，快速静脉注射后，血药浓度立即上升；然后迅速下降。
当血药浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当血药浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强。
临床上，每种药物有一个最小有效浓度和一个最大有效浓度。
设计给药方案时，要使血药浓度保持在最小有效浓度和最大有效浓度之间。
在本文中先根据时刻与血药浓度的关系，建立时刻与血药浓度之间的数学模型，然后分别用线性最小二乘拟合和非线性最小二乘拟合两种方法通过MATLB软件对给出的时刻及血药浓度相应数值进行曲线拟合，得到模型中各参数的值，从而确定函数方程，然后设计给药方案，根据已知的最小有效浓度和最大有效浓度计算初次剂量和每次注射剂量的大小，以及间隔时间的长短，从而确定给药方案。
另外在非线性最小二乘进行曲线拟合时，分别使用isqcurvefit函数和isqnonlin函数进行拟合，发现拟合效果一致。
关键词：线性最小二乘拟合、非线性最小二乘拟合、isqcurvefit函数、isqnonlin函数问题重述临床上，每种药物有一个最小有效浓度c1和一个最大有效浓度c2。
设计给药方案时，要使血药浓度保持在c1~c2之间。
本题设c1=10，c2=25(ug/ml).要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。
从实验和理论两方面着手：在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得血药浓度c(ug/ml)如下表:问题分析要想设计出给药方案，就要得知时刻与血药浓度的关系，根据题目中给出的时刻及血药浓度相应数值数据，可以用两种方法，一是线性最小二乘拟合，二是非线性最小二乘拟合，通过利用MATLB软件进行曲线拟合，找到时刻与血药浓度的函数方程，从而确定给药方案。
模型假设1、假设机体是一个房室，室内血药浓度均匀（即一室模型）。
酒精在人体内分布和排除的数学模型
f0k1 C(t) = ×(e−k2t − e−k1t ) V (k1 − k2 )
(3)
根据资料显示一位体重约 根据资料显示一位体重约75kg 的驾车者在短时 体重约 间内喝下2瓶啤酒后 瓶啤酒后， 间内喝下 瓶啤酒后，隔一定时间他体液中的酒 精浓度(毫克 百毫升)，得到数据如下： 毫克/百毫升 精浓度 毫克 百毫升 ，得到数据如下：
一般人的体液占人的体重的 左右， 一般人的体液占人的体重的70%左右，体液的 人的体液占人的体重的 左右 密度为1.054克/毫升。可得一位体重约 毫升。 密度为 克 毫升 可得一位体重约75kg 的驾车者体液的体积 V=75*70%*1000/1.054=49810毫升 毫升 =498百毫升 百毫升 毫克和v=498百毫升代入 百毫升代入(3)式， 将 毫克和 百毫升代入 式 可得驾车者在短时间内喝下2瓶啤酒后 时刻体 瓶啤酒后， 可得驾车者在短时间内喝下 瓶啤酒后，t时刻体 液中的酒精浓度与时间的关系式为： 液中的酒精浓度与时间的关系式为：
由药物动力学参数及计算常用的残数法 (method of residual)的基本指导思想，经 的基本指导思想， 的基本指导思想 过一段时间后，酒精从中心室向周边室的转移速 过一段时间后， 率比周边室向体外排除的速率要快得多， 率比周边室向体外排除的速率要快得多，必然有 因此， 足够大时 足够大时， ，因此，当t足够大时，首先 ， 其体液中的酒精浓度的变化可视作只受消除的影 即进入消除相。此时式(4)可写作： 可写作： 响，即进入消除相。此时式 可写作
根据表1给出的数据可以看出，经过 小时后 小时后， 根据表 给出的数据可以看出，经过2小时后， 给出的数据可以看出 驾车者体液中的酒精浓度开始降低， 驾车者体液中的酒精浓度开始降低，可看作进入 了消除相。 了消除相。 根据两小时后驾车者体液中酒精浓度的数据， 根据两小时后驾车者体液中酒精浓度的数据，利 数学软件进行数据拟合， 用Mathematica数学软件进行数据拟合，可得 数学软件进行数据拟合 式(5)中的参数 中的参数 的值为
全国大学生数学建模竞赛2004优秀论文：C、D题()
cc11101..0274
20.1490 20.0122
20 20
通过验证，证明观测值基本接近实际值。
k01 ——为胃室（吸收室）进入中心室的转移速率系数（由人体机能确定的 常数）；
x0 (t) ——是 t 时刻胃室的酒精；其微分方程为：
x0
t
x0
k
0
01 x0 D0
t
（１）
x1(t) ——是 t 时刻进入中心室的酒精，其微分方程为：
x1t
k10 x1t x1t Vc1t
f
0
t
（2）
酒精进入中心室的速率为： f0 k01x0 (t)
（3）
将方程（1）的解代入（3）得：
f0 t
D k e k01t 0 01
（4）
房室模型Ⅱ（在较长一段时间内喝酒） 假设在较长的一段时间内喝下的酒是匀速进入胃室，则简化如下图：
f in 常数
胃室
x0 (t)
f0 k01x（0 t）
中心室
x1 (t)
f out k10 x1 (t)
排除
建模过程： fin ——为酒精进入胃的速率：
房室模型Ⅰ（在短时间内喝下酒精量为 D0 ） 在短时间内喝下酒精量为 D0 ，酒精进入胃，人体吸收酒精，然后排除出体外。吸收酒
精的过程相当于酒精进入体液（中心室）的过程，全过程可以简化为下图：
胃室
x0 (t)
f0 k01x（0 t）
中心室
x1 (t)
f out k10 x1 (t) 排除体外
建模过程： D0 ——短时间内进入胃的酒精；
C 题之一（全国一等奖）
酒精在人体内的分布与排除优化模型
桂林工学院，袁孟强，王哲，张莉 指导教师：数模辅导组
数量微分方程描述药物代谢动力学模型解析
数量微分方程描述药物代谢动力学模型解析药物代谢动力学模型是研究药物在人体内消失的过程的数学模型。
数量微分方程是描述这种动力学过程的一种重要工具。
本文将介绍数量微分方程如何描述药物代谢动力学模型以及如何解析这些模型。
首先，我们需要了解药物代谢的基本概念。
药物代谢是指药物在人体内经过一系列化学反应转化为代谢产物或被排泄的过程。
常见的药物代谢反应包括氧化、还原、水解和乙酰化等。
药物代谢动力学模型的目的是预测药物在人体内的浓度变化及其消失的速度。
药物代谢动力学模型通常基于以下假设：1. 药物在体内的消失速度是由其浓度决定的；2. 药物在体内的消失速度与其在体内的浓度成正比；3. 药物在体内的浓度变化服从一定的微分方程。
根据上述假设，可以用数量微分方程来描述药物代谢动力学模型。
最常见的药物代谢动力学模型是一阶动力学模型和双室模型。
一阶动力学模型中，药物在体内的消失速度与其在体内的浓度成正比。
该模型可以用以下数量微分方程表示：\(\frac{{dC}}{{dt}} = -kC\)其中，C表示药物在体内的浓度，t为时间，k为一阶消失速率常数。
这个微分方程可以通过求解来获得药物在不同时间点的浓度。
双室模型是一种更复杂的药物代谢动力学模型，它将体内的药物分为中心室和周边室两部分。
中心室代表药物在循环系统中的浓度，周边室代表药物在组织间隙中的浓度。
双室模型可以用以下数量微分方程表示：\(\frac{{dC_c}}{{dt}} = -k_1C_c + k_2C_p\)\(\frac{{dC_p}}{{dt}} = k_1C_c - k_2C_p\)其中，C_c和C_p分别表示中心室和周边室中的药物浓度，k_1和k_2分别代表药物从中心室到周边室和周边室到中心室的速率常数。
通过求解这个微分方程组，可以获得药物在中心室和周边室中的浓度随时间的变化。
解析药物代谢动力学模型的关键是求解数量微分方程。
一阶动力学模型的解为：\(C(t) = C_0e^{-kt}\)其中，C_0是初始浓度。
药物扩散模型之欧阳史创编
药物在体内分布与排除的单室模型分析摘要本文讨论了在单室模型中，药物进入或排除中心室时，血药浓度随时间、给药量和给药方式的变化关系问题。
为了考察药物在单室内的含量变化情况，根据药物进入和排除中心室的变化率，建立微分方程模型，得出快速静脉注射、恒速静脉滴注和口服或肌肉注射三种给药方式下的血药浓度变化情况，并利用Matlab画出表示血药浓度变化规律的曲线；在此基础上通过采用多次重复给药的方式，确定给药的固定时间间隔和固定剂量，使得血药浓度控制在合适的范围内，进而使药物在机体内发挥最佳疗效，达到治愈效果。
对于问题一，根据药物的分解和排泄速率与当前的浓度成正比的关系，建立快速静脉注射方式下药物变化速率满足的微分方程，求解血药浓度，分析变化规律并画出相应的血药浓度随时间变化的简图；根据药物被吸收速率残留药物数量成正比的关系，同理求解恒速静脉滴注和口服（或肌肉注射）方式的血药浓度，并画出简图；对于问题二，借助问题一所建立的微分方程模型，在快速静脉注射的多次重复给药方式下，由于血药浓度需要控制在一定范围内，为了简化模型，加大首次给药剂量使血药浓度达到一定范围内的最大值，当血药浓度随时间推移减至一定范围内的最小值时，进行下一次给药使血药浓度再次达到最大值，即可确定固定时间间隔和固定给药剂量；对于问题三，在恒速静脉滴注和口服或肌肉注射的多次重复给药方式下，类比问题二，发生变化的是药物进入中心室需要一定时间，则药物进入速率发生改变，同理利用微分方程模型和控制的浓度范围确定时间间隔和给药固定剂量。
考虑到还存在与其他房室之间的转化速率，将模型进一步推广，得到的将是更贴近实际生活的数据。
关键词血药浓度；药物进入速率；药物排除速率；微分方程一、问题重述药物进入机体后，通过血液运输到各个器官和组织，并不断的被吸收，分布和代谢，最终排出体外。
血药浓度时指单位体积血液（毫升）中的药物含量（毫克），而血药浓度的大小直接影响药物治疗的效果，浓度太高时会对机体产生副作用甚至出现中毒现象，太低则不能达到治愈效果。
一室模型9.
药物在体内分布与排除的一室建模与分析摘要本文通过建立一室模型和微分方程模型，研究在药物动力学领域，三种不同的给药方式下，药物在体内的吸收、分布和排泄消除过程中血药浓度随时间变化情况。
针对问题一，根据一级药物动力学中的原理，血药浓度与消除速率成正比，建立三种不同给药方式下的微分方程模型并求解，运用MATLAB软件拟合得出该模型的相关系数，并画出曲线血药浓度随时间变化的曲线图。
图(1)曲线呈现出快速递减的趋势,图(2)、(3)、(4)中曲线分别先递增后趋于平稳、先递增再趋于平稳最后递减、先递增后递减的趋势,图(5)中曲线呈现出先递增后递减的趋势。
针对问题二，运用问题一中快速静脉注射一次给药方式下的结论，通过“叠加法”计算在相同给药方式的多次重复给药条件下，血药浓度与时间的关系表达式，运用MATLAB软件绘制其曲线变化图。
通过观察，当多剂量静脉注射的药物浓度积累到一定程度时，存在一个稳态血药浓度，根据平均血药浓度来确定给药时间间隔、固定给药剂量，从而设计给药方案。
针对问题三，延续问题二的做法，根据问题一中的结论，在恒速静脉注射和口服（或肌肉注射）的多次重复给药条件下，通过“叠加法”得到血药浓度与时间的函数关系，分别运用MATLAB软件绘制两种方式下血药浓度随时间变化的曲线图，通过定性和定量分析得出给药时间间隔、固定给药剂量与稳态血药浓度之间的关系，由此讨论得到最佳给药方案。
关键词血药浓度；微分方程模型；一室模型；叠加法一、问题重述药物动力学(pharmacokinetics)([1])是研究各种途径给药后生物体内的药量或药物浓度随时间变化而变化的规律，也即应用动力学的原理，采用数学处理的方法定量地研究药物在体内的吸收(absorption)、分布(distribution)、生物转化或代谢(biotransformation or metabolism)和排泄(excretion)诸过程动态变化规律的一门科学。
数学建模案例药物在大脑中的分布
模型摘要：本模型用二阶抛物型偏微分方程来描述药物浓度的分布情况，并用FourieFourier r 变化法进行精确求解。
在估计注射源坐标时，我们采用了概率分布模拟法，以及应用matlab 数学软件进行的二维平面回归分析法。
本模型的关键和难点是利用有限的实验数据来进行准确的参数估计。
在这里我们将采用扩散等效法和最小二乘法进行多变量数据拟合来有效规避复杂积分，减少计算误差，从而简化求解各个方向上的扩散系数；采用最优化理论以及maple 数学软件来求解药物注射量和药物衰减系数，从而有效解决了参数估计困难的问题，与实验数据吻合较好。
最后，我们应用正态性检测法对模型作了检验，并根据本模型的不足，提出了改进方案。
问题背景和重述：随着社会的不断发展以及老龄社会的到来，心脑血管疾病已经受到越来越多的关注。
尤其是脑部疾病，由于一般药物无法透过血脑屏障，只能通过在脑部注射，因而给药效的鉴定带来了一定的困难。
例如为了估计治疗帕金森症的多巴胺脑部注射效果，我们必须建立适当的模型来估计药物的影响范围，也即我们需估计出注射药物后药物在空间的分布形状及其尺寸。
已知药物实验中获得的50个圆柱体组织样本中的药物含量（见《数学建模》p290）其中，每个圆柱体高0.76mm ，底面直径0.66mm ，相互平行的圆柱体的中心位于1mm*0.76mm*1mm 的网格点上，即各柱体底面彼此相连，而侧面互不接触。
且注射点位于最高计数值的圆柱体中心附近。
但药物也同时存在于各圆柱体之间以及50个样本之外的地方。
建模目标：1.根据题意，得到描述各个空间位点在不同时刻的药物浓度的方程。
2.根据实验所给数据，求出药物的扩散系数，以及药物的衰减系数。
3.将模型一般化，适用于类似的数学问题。
模型假设：1.忽略样本组织中多巴胺的原始含量（即实验所测得的药物含量均由注射引起）。
2.假设大脑性状稳定，所取样本结构相同，样本组织远离边界，无边界效应。
3.注射与取样均在瞬间完成。
数学建模第二题
B 题 药物代谢问题现有一体重60千克的人在t =T 1= 0时, 第一次口服某药(含剂量X =0.1(克))，经3次检测得到数据如下: t =3(小时)时血药浓度为763.9(纳克/毫升)(血药浓度()()y t C t V = (纳克/毫升), V 表示未知血液容积(毫升). t = 18(小时)时血药浓度为76.39纳克/毫升，t = 20(小时)时血药浓度为53.4(纳克/毫升).一．需解决的问题设相同体重的人的药物代谢的情况相同.（1）问一体重60千克的人第一次服药X =X 1=0.1克剂量后的最高血药浓度Cmax(纳克/毫升);（2） 为保证药效, 在血药浓度降低到437.15纳克/毫升时应再次口服药物, 其剂量应使最高浓度等于Cmax(纳克/毫升). 求第二次口服的时间与第一次口服的时间的间隔T 2(小时)和剂量X 2(克).（3）画出符合2的二次服药情况下在24小时之内的血药浓度曲线(将所要求的三个量Cmax, T 2，X 2的数值的最后结果皆舍入到4位数字, 且要保证4位数字都是有效数字).二.合理假设1.假设题目给出数据是可信的；2.相同体重的人的药物代谢的情况相同；三．符号说明()y t 表示t 时刻体内药量，在t = 0时口服含X (克)剂量的药物后血内药物剂量 y (纳克) (1纳克=910-克)与时间t (小时)的关系为d exp( ) d a a yK F X K t K y t =--， 其中a K 为未知的吸收速度常数，F 为未知的吸收比例常数，K 为未知的消除速度常数.四．问题的分析为探究服药后，体内血药浓度与时间的关系，首先由题干给出的药物剂量与时间的微分方程d exp( ) d a a yK F X K t K y t =--建立模型，求微分，得出药物剂量与时间的函数表达式。
血药浓度()()y t C t V =代入四组实验数据，得到体内血药浓度与时间的函数表达式。
数学建模例题
数学建模参考题——zzuxyh
量; (2) 尽可能充分利用各设备工时,但不希望加班; (3) 尽可能达到并超过计划利润指标 300 元. 试建立目标规划模型. 16.(洗衣机问题) 我国淡水资源有限,节约用水人人有责.洗衣在家庭用水中占有相当大的 份额.目前洗衣机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机 的运行过程为:加水——漂洗——脱水——加水——漂洗——脱水——……——加水——漂 洗——脱水（简称“加水——漂洗——脱水”为运行一轮） 。请为洗衣机设计一种程序（包 括运行多少轮，每轮加水量等） ，使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用 合理的数据进行计算。 解:设第 k 轮洗涤后衣物上含污物量为 x k ,初始含污物量为 x 0 ,则有 其中 p k 为已溶入水中的污物量, q k 为未溶入水中的污物量. 假定
pk xk uk L H L
xk pk qk ,
,0
1,
其中 u k 为第 k 轮加水量,H、L 分别为用水量的上下限. 当脱水后衣物中残留污水量为 c 时,c 中含污物量为 p k c ,故有
uk
xk 1 qk
xk xk
pk c uk
u L uk L c + xk k H L uk H L
i 1 j 1
x
i 1
4
3
ij
b j ( j 1, 2, 3, 4)
ai ( i 1, 2, 3)
x
j 1
ij
xij 0, i 1, 2, 3; j 1, 2, 3,4
5.(动态投资)某地区在今后三年内有四种投资机会: (1) 在三年内每年年初投资,年底可获利 20%,并可将本金收回; (2) 在第一年年初投资,第二年年底可获利 50%,并可将本金收回,但该项投资不得超过 2 万 元; (3) 在第二年年初投资,第三年年底收回本金,并可获利 60%,但该项投资不得超过 1.5 万元; (4) 在第三年年初投资,于该年年底收回本金,且可获利 40%,但该项投资不得超过 1 万元. 现在该地区准备拿出 3 万元资金,问如何制订投资计划,可使到第三年年底本利和最大? 6.(风险组合投资)市场上有 n 种资产(如股票,债券等) si (i=1,2,…n),某公司有数额为 M 的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资 . 设购买 si 的平均收益率为 ri , 风险损失率为
数学建模实例——药物在脑中的分布
试估计受到药物影响的区域中药物的分布。
后方垂直截面 164 442 1320 414 480 7022 14411 5158 2091 23027 28353 13138 789 21260 20921 11731 213 1303 3765 1715 188 352 681 727 453 163 324 712 4055 2137 15531 444 11431 294 2061 前方垂直截面 432 243 6098 1048 19742 4785 14960 3182 1036 258 166 232 330 301 188
数值求积方法
给定数据：圆柱取样上的计数单位表示出 模型预测值：多巴胺的浓度值， 即因变量C在每 个圆柱体上的积分值 模型预测值和给定数据进行直接比较，确定各个 参数。
模型预测值
我们采用三维矩形积分公式。第 i 个柱体上的多巴 胺克分子质量为 m i=
C ( x, y, z )dV Cij j
基于样本网络内的数据点作一个二元二次回归方程 C(x,z)=ax +bz +cxz+dx+ez+f 其中 C 表示在 x，z 处的多巴胺浓度的回归值，而 a，b，c， d，e 和 f 都是常数值。 我们求使 C 达到最大值的 x，z 坐标为 xs 和 zs ，即解
2 2
C C 0, 0. x z
后方垂直截面 164 442 1320 414 480 7022 14411 5158 2091 23027 28353 13138 789 21260 20921 11731 213 1303 3765 1715 前方垂直截面 432 243 6098 1048 19742 4785 14960 3182 1036 258
【优文档】药物在体内的分布与排除PPT
药物在体内的分布与排除
• 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学
• 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移
设,t充分大
c1(t)d V 1 ((k21 ))et Aet
由较大的 t i , c1 ( t i ) 用最小二乘法定A,
c ~ 1 ( t) c 1 ( t) A t e B t e
由较小的 t i , c1 ( t i ) 用最小二乘法定B,
1 21 1 31
2 12
i 1,2
x 2(t) k 1x 2 1 k2x 1 2 f ~给药速率
模型建立 xi(t) V ici(t)i, 1 ,2
cc12((tt))V V(12kk1212c1k13k)c211c2 V V12
k21c2
f (t) V1
线性常系数 非齐次方程
对应齐次 方程通解
f (t) V1
c1(t)
A1et
B1et
k
k13V1
,
0t T
c2(t)
A2et
B2et
k12k k21k13V2
,
0t T
A2
V1(k12 k13 k21V2
)
A1,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B2
V1(k12 k13 k21V2
)
B1
t >T时, c1(t)和 c2(t)按指数规律衰减趋于零
3.口服或肌肉注射 相当于药物( 剂量d)先进入吸收室，吸收后再进入中心室
数学建模第二章微积分方法建模210药物在体内的分布与排除
k
，记
A
V
k1D
k1
k
，于是当t
充分大时（4）
近似为
ct Aekt
或
ln ct ln A kt
对于适当大的 ti 和测得的相应 cti ，用最小二 乘法估计出 k 和 ln A ，从而再由
A
V
k1 D
k1
k
就可以估计出
k1
AVk AV D
模型分析 当要求精度较高时,可采用二室甚至多室模型,
•
x0
t
k1
x0
x00 D
x0 t D ek1t
于是 f0t k1D ek1t ，初始条件c0 0，（1）的解为
ct
V
k1D
k1
k
ek t
ek1 t
，k1 k
（4）
ct
0
t
二、各种给药方式下参数估计
1、快速静脉注射下估计 k
在t 0时刻快速注射剂量为D 的药物后，在一系
这时的机理分析和参数估计都比一室模型难度更大。 需要建立微分方程组来进行分析。
例如:二室模型图示如下。
f0 t
给药
中心室
k 12
c1t, x1t
V1
k 21
k 13
排除
周边室
c2 t, x2 t
V2
模型假设 1、药物进入机体后，全部进入中心室（血液较丰富 的心、肺、肾等器官和组织），中心室的容积在给药 过程中保持不变； 2、药物从中心室排出体外，与排除的数量相比，药 物的吸收可以忽略； 3、药物排除的速率与中心室的血药浓度成正比。
模型建立
记 f0 t ―给药速率
ct ―中心室血药浓度
数学建模6.2药物在体内的分布与排除
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s(t ) i(t ) r (t ) 1
需建立
t >T时, c1(t)和 c2(t)按指数规律衰减趋于零
3.口服或肌肉注射 相当于药物( 剂量d)先进入吸收室，吸收后再进入中心室
吸收室
x0 (t )
中心室
f k01 x0
吸收室药量x0(t)
0 ( t ) k01 x0 x x0 (0) d
V2 f (t ) c ( t ) ( k k ) c k c 12 13 1 21 2 1 V V1 1 V c 2 ( t ) 1 k12 c1 k21c2 V2
时间
h
0.05
0.08
0.17
0.5
1
3
6
12
24
浓度 g / m l 2053.8
1712.2
1064.7
200.9
49.9
34.5
27.1
16.7
6.4
d 40mg
c1 ( t )
d [( k21 )e t ( k21 )e t ] V1 ( )
• ADME过程依一级速率变化，即速度与源室血
药浓度成正比
模型建立
xi (t ) ~ 药量 ci (t ) ~ 浓度 Vi ~ 容积 i 1,2
f (t )
中心室
c1 (t ), x1 (t ) V1
药物动力学模型 数学建模
药物动力学模型一般说来，一种药物要发挥其治疗疾病的作用，必须进入血液，随着血流到达作用部位。
药物从给药部位进入血液循环的过程称为药物的吸收，而借助于血液循环往体内各脏器组织转运的过程称为药物的分布。
药物进入体内以后，有的以厡型发挥作用，并以厡型经肾脏排出体外；有的则发生化学结构的改变--称为药物的代谢。
代谢产物可能具有药理活性，可能没有药理活性。
不论是厡型药物或其代谢产物，最终都是经过一定的途径(如肾脏、胆道、呼吸器官、唾液腺、汗腺等)离开机体，这一过程称为药物的排泄。
有时，把代谢和排泄统称为消除。
药物动力学(Pharmacokinetics)就是研究药物、毒物及其代谢物在体内的吸收、分布、代谢及排除过程的定量规律的科学。
它是介于数学与药理学之间的一门新兴的边缘学科。
自从20世纪30年代Teorell 为药物动力学奠定基础以来，由于药物分析技术的进步和电子计算机的使用，药物动力学在理论和应用两方面都获得迅速的发展。
至今，药物动力学仍在不断地向深度和广度发展。
药物动力学的研究方法一般有房室分析；矩分析；非线性药物动力学模型；生理药物动力学模型；药物药效学模型。
下面我们仅就房室分析作一简单介绍。
为了揭示药物在体内吸收、分布、代谢及排泄过程的定量规律，通常从给药后的一系列时间(t) 采取血样，测定血(常为血浆，有时为血清或全血)中的药物浓度( C )；然后对血药浓度——时间数据数据(C ——t 数据)进行分析。
一 一室模型最简单的房室模型是一室模型。
采用一室模型，意味着可以近似地把机体看成一个动力学单元，它适用于给药后，药物瞬间分布到血液、其它体液及各器官、组织中，并达成动态平衡的情况。
下面的图(一)表示几种常见的给药途径下的一室模型，其中C 代表在给药后时间t 的血药浓度，V 代表房室的容积，常称为药物的表观分布容积，K 代表药物的一级消除速率常数，故消除速率与体内药量成正比，D 代表所给刘剂量。
图(a)表示快速静脉注射一个剂量D ，由于是快速，且药物直接从静脉输入，故吸收过程可略而不计；图(b)表示以恒定的速率K ，静脉滴注一个剂量D ；若滴注所需时间为丅，则K=D/丅。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§10 药物在体内的分布与排除
药物进入机体后，在随血液输送到各器官和组织的过程中，不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外.药物在血液中的浓度()mv g μ称血药浓度.血药浓度的大小直接影响到药物的疗效，浓度太低不能达到预期的治疗效果，浓度太高又可能导致中毒、副作用太强或造成浪费.因此研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程，对于新药研制时剂量的确定、给药方案设计等药理学和临床医学的发展具有重要的指导意义和实用价值.
为了研究目的，将一个机体划分成若干个房室，每个房室是机体的一部分，比如中心室和周边室.在一个房室内药物呈均匀分布，而在不同的房室之间按一定规律进行转移.如果要求的精度不是太高的情况下，可以只考虑一室模型.
模型假设 1.药物进入机体后，全部进入中心室（血液较丰富的心、肺、肾等器官和组织），
中心室的容积在给药过程中保持不变.
2.药物从中心室排出体外，与排除的数量相比，药物的吸收可以忽略.
3.药物排除的速率与中心室的血药浓度成正比.
模型构成与求解
记()t f 0 给药速率
()t c 中心室血药浓度 ()t x 中心室药量
V 中心室容积 k 排除速率系数
一、求解各种给药方式下血药浓度变化情况 上述各量间有关系 ()kx t f x -=∙
0 即 ()t f kx x 0=+∙
又 ()()t Vc t x = 得方程 ()()()
V
t f t kc t c 0=+∙
（1） 1、 快速静脉注射
设给药量D ,则初始条件()V
D
c =0，()00=t f （1）的解为 ()t
k e V
D t c -= （2）
2、恒速静脉注射
设持续时间为τ，注射速率为0k ，则有
()00k t f =，初始条件()00=c ，()τ≤≤t 0
(t c
()00=t f ，()()ττk e Vk
k c --=
10
，()τ>t （1）的解为 ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=----ττττt e e Vk
k t e Vk
k t c t k k t
k 1010
0 （3） τ
3、口服或肌肉注射
在药物输入中心室之前先有一个将药物吸收入血液的过程，可以看作为有一个吸收室，药物由吸收室进入中心室，药物由吸收室进入中心室的转移速率系数记成1k ，给药量D ，吸收室药量()t x 0，则
()()⎪⎩⎪⎨
⎧=-=∙
D
x
k t x 000于是()t
k e
D k t f 1
10-=，初始条件()00=c ，（1）的解为
()()
()
t
k t k e e k k V D
k t c 111----=
，()k k >1 （4）二、各种给药方式下参数估计
1、快速静脉注射下估计k
在0=t 时刻快速注射剂量为D 的药物后，在一系列时刻i t ()n i ,,2,1 =
从中心室取血样获得血药浓度()i t c .由（2）式反解出几个()i t k ，取算术平均值就得到k 的估计值：
()∑==n
i i t k n k 1
1
2、恒速静脉滴注下估计k
方法与1类似，i t 取在()τ,0内，用（3）中第一式反解()i i t k
3、口服或肌肉注射下估计k 和1k 因为k k >1，记()
k k V D
k A -=
11，于是当t 充分大时（4）近似为
()t k Ae t c -=
或 ()kt A t c -=ln ln
t c
对于适当大的i t 和测得的相应()i t c ，用最小二乘法估计出k 和A ln ，从而再由
()k
k V D
k A -=
11
就可以估计出
D
AV AVk
k -=
1
模型分析 当要求精度较高时,可采用二室甚至多室模型,例如二室模型图示如下，这时的机理分析和参数估计都比一室模型难度更大,需要建立微分方程组来进行分析.。