第三讲 平均数、标准差和变异系数
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(x x)2
S n 1
由于 (x x)2 (x2 2xx x2)
x2 2x x nx2
x2 2 (
x)2 n(
x)2
n
n
x2
( x)2
n
所以（ 4.9 ）式可改写为：
wk.baidu.com
S
x2
( x)2
n
n 1
（4.10）
相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。对 于有限总体而言，σ的计算公式为：
第三章 平均数、标准 差和变异系数
平均数（mean）用于反映资料的集中性，即观 测值以某一数值为中心而分布的性质。 标准差（standard deviation）与变异系数
（variation coefficient）反映资料的离散性，即 观测值分散变异的性质。
第一节 平均数
一、平均数的意义和种类 二、算术平均数的计算方法 三、算术平均数的重要特性 四、算术平均数的作用 五、总体平均数
(x )2 / N （4.11）
在统计学中，常用样本标准差S估计总体标 准差σ。
四、变异系数
标准差和观察值的单位相同，表示一个样本的变 异度。若比较两个样本的变异度，则因单位不同或均 数不同，不能用标准差进行直接比较。这时可计算样 本的标准差对均数的百分数，称为变异系数 (coefficient of variation)。
1、算术平均数
算术平均数: 一个数量资料中各个观察值的总和 除以观察值个数所得的商数，称为算术平均数 (arithmetic mean)，记作 。因其应用广泛，常简称 平均数或均数(mean)。均数的大小决定于样本的各观 察值。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
平均数 = 5
1234567
统计量 (x x)2 /(n 1) 称为均方（mean square,
缩写为MS）, 又称样本方差，记为S2，即
S2= (x x)2 /(n 1) （4.7）
相应的总体参数叫 总体方差 ，记
为σ2。对于有限总体而言，σ2的计算
公式为：
2 (x )2 / N （4.8）
标准差为方差的正平方根值，用以表示资 料的变异度,其单位与观察值的度量单位相 同。从样本资料计算标准差的公式为：
为了计算方便，可将各观测值取对数后相加
除以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G值，
即：
G
lg
1[
1 n
(lg
x1
lg
x2
lg xn )]
5、调和平均数
调和平均数:（harmonic mean）各观测 值倒数的 算术平均数 的倒数，称为调和平均 数，记为H。即
H
1
1
1
n
(
1 x1
1 x2
1 xn
i 1 k
fi xi fi
fx f
（4.2）
i 1
式中： xi -第i 组的组中值； fi -第i组的次数；k -分组数
第i组的次数 fi 是权衡第i组组中值 xi 在资料中所占 比重大小的数量，因此将 fi 称为是 xi 的“权”，加权 法也由此而得名。
【例2】 从A、B两小区分别抽取4个和5个小麦麦穗， 测得其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计 算结果。
CV S 100% x
变异系数是无量纲的量，可以用于不同单位、 不同尺度下各样本变异程度的比较。
【例7】 已知某甲品种猪平均体重为 190kg， 标准差为10.5kg，而乙品种猪平均体重为196kg， 标准差为8.5kg，试问两个品种的猪，那一个体 重变异程度大。
由于，甲品种猪体重的变异系数：
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异程度 ， 人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测
值与平均数的离差，( x)，x称为离均差。
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质 和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均差之和 为
零，即Σ( x x) = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和Σ ( x x)来 表 示 资料中所有观测值的总偏离程度。
n =10
得： x ∑x 5285 528.5(mg)
n 10
即 10只害虫的平均体重为528.5 mg。
（二）加权法
对于样本含量 n≥30 以上且已分组的资料，可以
在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算
公式为：
k
x
f1x1 f2x2 fk xk f1 f2 fk
【例3】 140行水稻产量（P38），用两种方法求其 平均数，并比较计算结果。
（1）直接法：
（2）加权法：
三、算术平均数的重要特性
1、算术平均数的计算与每一个数（值）都有 关。
2、如果 是n1个值的平均数, 是n2个值 的平均数，那么全部n1＋n2个值的算术平均数是
（加权平均数）
3、样本各观测值与平均数之差的和为零， 即离均差之和等于零。
14
平均数 = 6
2、中位数
中位数: 将资料内所有观察值从大到小排序，居中间位置的观察 值称为中数(median)，计作Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间 两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时， 中位数的代表性优于算术平均数。
中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。对于未分组资料， 先将各观测值由小到大依次排列，找到中间的1个数（n为奇数）或2个 数（ n为偶数），之后求平均即可。
试验资料
上章内容回顾
计数资料（非连续）
数量性状资料
计量资料（连续变量）
质量性状资料（数量化处理）
试验资料搜集常用的方法：调查和试验
试验资料的整理：检查和核对；制作次数分布表 和分布图（柱形图、折线图、条形图，饼图）
试验资料均具有集中性和离散性两种基本特征，平均数 是反映集中性的特征数，变异数是反映离散型的特征数
同样，样本标准差是总体标准差的估计 值。总体标准差用表示：
三、标准差
由于 样本方差 带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一 个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与 平均数配合使用，这 时应 将平方单位还原，即应求出样本方 差的平方根。统计学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本标准 差，记为S，即：
则样本平均数可通过下式计算：
n
x
x1 x2
xn
xi
i 1
n
n
（4.1）
简写：
x x
n
【例1】 某植保站测得10只某类害虫的体重分别为500、 520、535、560、585、600、480、510、505、490 （mg），求其平均数。
由于 Σx = 500 + 520 + 535 + 560 + 585 + 600 + 480 + 510 + 505 + 490 = 5285，
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
众数 = 9
没有众数
4、几何平均数
几何平均数: 如有n个观察值，其相乘积开n次方 ，即为几何平均数(geometric mean)，用G代表。 其计算公式如下：
1
G n x1 x2 x3 xn (x1 x2 x3 xn )n
n
(xi x) 0
i1
或简写成
(x x) 0
4、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小， 即离均差平方和为最小。
（常数
）
或简写为：
5、若A为任意常数，
6、平均数是有单位的数值，与原资料单位相同。
x 注意：必须性状同质时， 才有代表性。
山地 丘陵 平地
Σ
x
S AY S·AY
100 100 10000
为了解决离均差有正 、有负，离均差之和为零的 问 题，可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝 对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数n 求 得 平 均 绝 对 离差， 即Σ|x – x |/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观 测值的变异程度 ，但由于平均绝对离差包含绝对值符 号 ，使用很不方便，在统计学中未被采用。
C V 10.5 100% 5.53% 190
乙品种猪体重的变异系数：
C V 8.5 100% 4.34% 196
所以，甲品种猪体重的变异程度大于乙品 种猪。
注意：变异系数的大小，同时受平均数和标准差 两个统计量的影响，因而在利用变异系数表 示资料的变异程度时，最好将平均数和标准 差也列出。
方和 除 以 样 本 大 小， 即 (x x)2 / n ，求出离
均差平方和的平均数 ；
为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏 估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均 数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1，
于是，我们 采 用统计量(x x)2 /(n 1) 表示资料的
变异程度。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
中位数= 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
中位数= 5
3、众数
众数: 资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称
为众数(mode)，记为M0。如棉花纤维检验时所用的主体长度即 为众数。
众数可能不存在 可能有多个众数 多用于属性数据
)
1 n
1 x
（4.6）
对于同一资料： 算术平均数>几何平均数>调和平均数
上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
二、算术平均数的计算方法
算术平均数可根据样本大小及分组情况而 采用直接法或加权法计算。
(一)直接法 主要用于未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
一、平均数的意义和种类
平均数(average)是数据的代表值，表示资料中 观察值的中心位置，并且可作为资料的代表而与 另一组资料相比较，借以明确二者之间相差的情 况。
平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均 数主要包括有： 1. 算术平均数（arithmetic mean） 2. 中位数（median） 3. 众数（mode） 4. 几何平均数（geometric mean） 5. 调和平均数（harmonic mean）
500 400 200000
400 500 200000
1000
410000
410000/1000=410
S AY S·AY
900 160 144000
600 500 300000
500 600 300000
2000
744000
744000/2000=372
四、算术平均数的作用
算术平均数是描述观测资料的重要特征数， 它的作用主要有以下两点：
统计学中常用样本平均数（ x ）作为总体平均数（μ）的估
计量，并已证明样本平均数是总体平均数μ的无偏估计量。
第二节 变异数
平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样 本资料中各观测值变异程度的影响。每个样本有 一批观察值，除以平均数作为样本的集中性表现 外，还应该考虑样本内各个观察值的变异情况， 才能通过样本的观察数据更好地描述样本，乃至 描述样本所代表的总体，为此必须有度量变异的 统计数。常用的描述变异程度指标有： 1、极差（range） 2、方差（variance） 3、标准差（standard deviation） 4、变异系数（variation coefficient）
我们还可以采用将离均差平方的办法来解决 离均差有正、有负，且离均差之和为零的问题。
先将各 个离 均差平方，即 ( x x )2 ，再求
离均差平方和 ， 即 (x x)2 ，简称平方和，记
为SS； 由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变 ，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响 ， 用平
1. 指出数据资料的中心位置，标志着资料所 代表性状的数量水平和质量水平。
2. 可以作为样本或资料的代表数据与其他资 料进行比较。
五、总体平均数
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平均
数为：
N
xi N i 1
（4.3）
式中，N 表示总体所包含的个体数。 当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此 统计量为该总体参数的无偏估计量。
一、极差
极差(range)，又称全距，记作R，是资料中 最大观察值与最小观察值的差数。
极差虽可以对资料的变异有所说明，但它 只是两个极端数据决定的，没有充分利用 资料的全部信息，而且易于受到资料中不 正常的极端值的影响。所以用它来代表整 个样本的变异度是有缺陷的。
二、方差
为了正确反映资料的变异度，较合理的方 法是根据样本全部观察值来度量资料的变 异度。这时要选定一个数值作为共同比较 的标准。平均数既作为样本的代表值，则 以平均数作为比较的标准较为合理，但同 时应该考虑各样本观察值偏离平均数的情 况，为此这里给出一个各观察值偏离平均 数的度量方法。
课后作业，教材23页： 习题2.2；习题2.3；习题2.4；习题2.9
S n 1
由于 (x x)2 (x2 2xx x2)
x2 2x x nx2
x2 2 (
x)2 n(
x)2
n
n
x2
( x)2
n
所以（ 4.9 ）式可改写为：
wk.baidu.com
S
x2
( x)2
n
n 1
（4.10）
相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。对 于有限总体而言，σ的计算公式为：
第三章 平均数、标准 差和变异系数
平均数（mean）用于反映资料的集中性，即观 测值以某一数值为中心而分布的性质。 标准差（standard deviation）与变异系数
（variation coefficient）反映资料的离散性，即 观测值分散变异的性质。
第一节 平均数
一、平均数的意义和种类 二、算术平均数的计算方法 三、算术平均数的重要特性 四、算术平均数的作用 五、总体平均数
(x )2 / N （4.11）
在统计学中，常用样本标准差S估计总体标 准差σ。
四、变异系数
标准差和观察值的单位相同，表示一个样本的变 异度。若比较两个样本的变异度，则因单位不同或均 数不同，不能用标准差进行直接比较。这时可计算样 本的标准差对均数的百分数，称为变异系数 (coefficient of variation)。
1、算术平均数
算术平均数: 一个数量资料中各个观察值的总和 除以观察值个数所得的商数，称为算术平均数 (arithmetic mean)，记作 。因其应用广泛，常简称 平均数或均数(mean)。均数的大小决定于样本的各观 察值。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
平均数 = 5
1234567
统计量 (x x)2 /(n 1) 称为均方（mean square,
缩写为MS）, 又称样本方差，记为S2，即
S2= (x x)2 /(n 1) （4.7）
相应的总体参数叫 总体方差 ，记
为σ2。对于有限总体而言，σ2的计算
公式为：
2 (x )2 / N （4.8）
标准差为方差的正平方根值，用以表示资 料的变异度,其单位与观察值的度量单位相 同。从样本资料计算标准差的公式为：
为了计算方便，可将各观测值取对数后相加
除以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G值，
即：
G
lg
1[
1 n
(lg
x1
lg
x2
lg xn )]
5、调和平均数
调和平均数:（harmonic mean）各观测 值倒数的 算术平均数 的倒数，称为调和平均 数，记为H。即
H
1
1
1
n
(
1 x1
1 x2
1 xn
i 1 k
fi xi fi
fx f
（4.2）
i 1
式中： xi -第i 组的组中值； fi -第i组的次数；k -分组数
第i组的次数 fi 是权衡第i组组中值 xi 在资料中所占 比重大小的数量，因此将 fi 称为是 xi 的“权”，加权 法也由此而得名。
【例2】 从A、B两小区分别抽取4个和5个小麦麦穗， 测得其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计 算结果。
CV S 100% x
变异系数是无量纲的量，可以用于不同单位、 不同尺度下各样本变异程度的比较。
【例7】 已知某甲品种猪平均体重为 190kg， 标准差为10.5kg，而乙品种猪平均体重为196kg， 标准差为8.5kg，试问两个品种的猪，那一个体 重变异程度大。
由于，甲品种猪体重的变异系数：
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异程度 ， 人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测
值与平均数的离差，( x)，x称为离均差。
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质 和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均差之和 为
零，即Σ( x x) = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和Σ ( x x)来 表 示 资料中所有观测值的总偏离程度。
n =10
得： x ∑x 5285 528.5(mg)
n 10
即 10只害虫的平均体重为528.5 mg。
（二）加权法
对于样本含量 n≥30 以上且已分组的资料，可以
在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算
公式为：
k
x
f1x1 f2x2 fk xk f1 f2 fk
【例3】 140行水稻产量（P38），用两种方法求其 平均数，并比较计算结果。
（1）直接法：
（2）加权法：
三、算术平均数的重要特性
1、算术平均数的计算与每一个数（值）都有 关。
2、如果 是n1个值的平均数, 是n2个值 的平均数，那么全部n1＋n2个值的算术平均数是
（加权平均数）
3、样本各观测值与平均数之差的和为零， 即离均差之和等于零。
14
平均数 = 6
2、中位数
中位数: 将资料内所有观察值从大到小排序，居中间位置的观察 值称为中数(median)，计作Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间 两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时， 中位数的代表性优于算术平均数。
中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。对于未分组资料， 先将各观测值由小到大依次排列，找到中间的1个数（n为奇数）或2个 数（ n为偶数），之后求平均即可。
试验资料
上章内容回顾
计数资料（非连续）
数量性状资料
计量资料（连续变量）
质量性状资料（数量化处理）
试验资料搜集常用的方法：调查和试验
试验资料的整理：检查和核对；制作次数分布表 和分布图（柱形图、折线图、条形图，饼图）
试验资料均具有集中性和离散性两种基本特征，平均数 是反映集中性的特征数，变异数是反映离散型的特征数
同样，样本标准差是总体标准差的估计 值。总体标准差用表示：
三、标准差
由于 样本方差 带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一 个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与 平均数配合使用，这 时应 将平方单位还原，即应求出样本方 差的平方根。统计学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本标准 差，记为S，即：
则样本平均数可通过下式计算：
n
x
x1 x2
xn
xi
i 1
n
n
（4.1）
简写：
x x
n
【例1】 某植保站测得10只某类害虫的体重分别为500、 520、535、560、585、600、480、510、505、490 （mg），求其平均数。
由于 Σx = 500 + 520 + 535 + 560 + 585 + 600 + 480 + 510 + 505 + 490 = 5285，
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
众数 = 9
没有众数
4、几何平均数
几何平均数: 如有n个观察值，其相乘积开n次方 ，即为几何平均数(geometric mean)，用G代表。 其计算公式如下：
1
G n x1 x2 x3 xn (x1 x2 x3 xn )n
n
(xi x) 0
i1
或简写成
(x x) 0
4、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小， 即离均差平方和为最小。
（常数
）
或简写为：
5、若A为任意常数，
6、平均数是有单位的数值，与原资料单位相同。
x 注意：必须性状同质时， 才有代表性。
山地 丘陵 平地
Σ
x
S AY S·AY
100 100 10000
为了解决离均差有正 、有负，离均差之和为零的 问 题，可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝 对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数n 求 得 平 均 绝 对 离差， 即Σ|x – x |/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观 测值的变异程度 ，但由于平均绝对离差包含绝对值符 号 ，使用很不方便，在统计学中未被采用。
C V 10.5 100% 5.53% 190
乙品种猪体重的变异系数：
C V 8.5 100% 4.34% 196
所以，甲品种猪体重的变异程度大于乙品 种猪。
注意：变异系数的大小，同时受平均数和标准差 两个统计量的影响，因而在利用变异系数表 示资料的变异程度时，最好将平均数和标准 差也列出。
方和 除 以 样 本 大 小， 即 (x x)2 / n ，求出离
均差平方和的平均数 ；
为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏 估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均 数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1，
于是，我们 采 用统计量(x x)2 /(n 1) 表示资料的
变异程度。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
中位数= 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
中位数= 5
3、众数
众数: 资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称
为众数(mode)，记为M0。如棉花纤维检验时所用的主体长度即 为众数。
众数可能不存在 可能有多个众数 多用于属性数据
)
1 n
1 x
（4.6）
对于同一资料： 算术平均数>几何平均数>调和平均数
上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
二、算术平均数的计算方法
算术平均数可根据样本大小及分组情况而 采用直接法或加权法计算。
(一)直接法 主要用于未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
一、平均数的意义和种类
平均数(average)是数据的代表值，表示资料中 观察值的中心位置，并且可作为资料的代表而与 另一组资料相比较，借以明确二者之间相差的情 况。
平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均 数主要包括有： 1. 算术平均数（arithmetic mean） 2. 中位数（median） 3. 众数（mode） 4. 几何平均数（geometric mean） 5. 调和平均数（harmonic mean）
500 400 200000
400 500 200000
1000
410000
410000/1000=410
S AY S·AY
900 160 144000
600 500 300000
500 600 300000
2000
744000
744000/2000=372
四、算术平均数的作用
算术平均数是描述观测资料的重要特征数， 它的作用主要有以下两点：
统计学中常用样本平均数（ x ）作为总体平均数（μ）的估
计量，并已证明样本平均数是总体平均数μ的无偏估计量。
第二节 变异数
平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样 本资料中各观测值变异程度的影响。每个样本有 一批观察值，除以平均数作为样本的集中性表现 外，还应该考虑样本内各个观察值的变异情况， 才能通过样本的观察数据更好地描述样本，乃至 描述样本所代表的总体，为此必须有度量变异的 统计数。常用的描述变异程度指标有： 1、极差（range） 2、方差（variance） 3、标准差（standard deviation） 4、变异系数（variation coefficient）
我们还可以采用将离均差平方的办法来解决 离均差有正、有负，且离均差之和为零的问题。
先将各 个离 均差平方，即 ( x x )2 ，再求
离均差平方和 ， 即 (x x)2 ，简称平方和，记
为SS； 由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变 ，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响 ， 用平
1. 指出数据资料的中心位置，标志着资料所 代表性状的数量水平和质量水平。
2. 可以作为样本或资料的代表数据与其他资 料进行比较。
五、总体平均数
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平均
数为：
N
xi N i 1
（4.3）
式中，N 表示总体所包含的个体数。 当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此 统计量为该总体参数的无偏估计量。
一、极差
极差(range)，又称全距，记作R，是资料中 最大观察值与最小观察值的差数。
极差虽可以对资料的变异有所说明，但它 只是两个极端数据决定的，没有充分利用 资料的全部信息，而且易于受到资料中不 正常的极端值的影响。所以用它来代表整 个样本的变异度是有缺陷的。
二、方差
为了正确反映资料的变异度，较合理的方 法是根据样本全部观察值来度量资料的变 异度。这时要选定一个数值作为共同比较 的标准。平均数既作为样本的代表值，则 以平均数作为比较的标准较为合理，但同 时应该考虑各样本观察值偏离平均数的情 况，为此这里给出一个各观察值偏离平均 数的度量方法。
课后作业，教材23页： 习题2.2；习题2.3；习题2.4；习题2.9