固体物理试题(B)附答案

宝鸡文理学院试题
课程名称 固体物理 适 用 时 间 2010年1月12日 试卷类别 B 适用专业、年级、班06级物理教育1-3班
一、简要回答以下问题：(每小题6分，共30分)
2、试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。

5、金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？
3、什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？
1、试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。

4、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，
q 的取值将会怎样？
二、（20分）
利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为
（1）简单立方π / 6；（2 / 6；
（3 / 6（4 / 6；（5 / 16。

三、（10分）
已知由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为
2122)(2)(--=
ωωπωρm N 式中m ω是格波的最高频率。

求证它的振动模总数恰好等于N 。

四、（20分）
试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

五、计算题 （每小题10分，2×10＝20分）
用钯靶K α X 射线投射到NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl
晶胞中Na ＋与Cl －的距离为2.82×10-10m ，晶体密度为2.16g/cm 3。

求： (1)、X 射线的波长；
(2)、阿伏加德罗常数。

宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准
课程名称 固体物理学 适 用 时 间 2010年1月 12日 试卷类别 B 适用专业、年级、班 06物理教育1、2、3班
注意事项
一、简要回答以下问题（每小题6分，5×6＝30分）
1.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。

解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与 成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O ，F ，N 等）相结合形成的。

该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol 。

2. 金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？
解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。

根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

3. 什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？
解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为 的声子平均数为11
)()/()(-=T k q w j B j e q n η
对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。

4.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。

解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。

非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。

准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。

另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。

5. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大， 的取值将会怎样？
解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。

考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。

其具体含义是设想在一长为 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第 个原子和第 个原子的运动情况一样，其中 ＝1，2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢 只能取一些分立的不同值。

如果晶体是无限大，波矢 的取值将趋于连续。

二、利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为（20分）
（1）简单立方6
π；（2）体心立方83π；（3）面心立方62π（4）六角密积62π；（5）金刚石163π。

解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：
6)
2(3413
413333πππα=⋅=⋅=R R a R （4分） （2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数3/4R a =，则体心立方的致密度为：
83)3/4(3423
423
3
33πππα=⋅=⋅=R R a R （4分） （3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 22=，则面心立方的致密度为：
6
2)22(3423
4433
33πππα=⋅=⋅=R R a R （4分） （4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，R a c )3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为：
62)3/64(4
)2(3634643634623
23πππα=⋅⋅=⋅⋅=R R R c a R （4分） （5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a )3/8(=，则金刚石的
致密度为：
163)3/8(3483
48333
33πππα=⋅=⋅=R
R a R （4分）
三、已知由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为（10分）
2122)(2)(--=ωωπ
ωρm N 。

式中m ω是格波的最高频率。

求证它的振动模总数恰好等于N 。

解：由题意可知该晶格的振动模总数为
()m
N d ωρωω=
⎰ (3分) 122202()m m N d ωωωωπ--=⎰（2分）
N N N m m =-==)02
(2arcsin 20ππωωπω （5分） 四、试证题 （20分）
证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

解：我们知体心立方格子的基矢为：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=)(2)(2)
(2321k j i a k j i a k j i a a a a （8分） 根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+=Ω⨯=+=Ω⨯=+=Ω⨯=)(2][2)(2][2)(2][2213132321j i a a b k i a a b k j a a b a a a ππππππ (10分) 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。

同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

（2分）
五、计算题
用钯靶αK X 射线投射到NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl 晶胞中Na ＋与
Cl －
的距离为2.82×10-10m ，晶体密度为2.16g/cm 3。

求：
（1）X 射线的波长；（2）阿伏加德罗常数。

（20分） 解：（1）由题意可知NaCl 晶胞的晶胞参数10
101064.510
82.22--⨯=⨯⨯=a m ，又应为NaCl 晶胞为面心立方结构，根据面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶面族的面指数为（111），而又易求得此晶面族的面间距为 10102221111026.331064.5111--⨯=⨯=++=
a d m （5分）
又根据布拉格定律可知： 91011110702.69.5sin 1026.32sin 2--⨯=⨯⨯==οθλd m （5分）
（2）由题意有以下式子成立
NaCl A M a N =⋅ρ4
3
（5分） ∴ 23310364458.5 6.03810(5.6410) 2.1610
NaCl A M N a ρ-⨯===⨯⨯⨯⨯ （5分）。