新人教A版 必修第二本 8.6.2《直线与平面垂直》第一节课 教案
8.6.2直线与平面垂直(1)教学设计—必修第二册
8.6.2 直线与平面垂直（第1课时）教学设计课题8.6.2直线与平面垂直（第1课时）教学目标 1.通过实例感知、操作，抽象归纳出线面垂直的定义；了解点到平面的距离概念2.通过感知、确认发现线面垂直的判定定理，能够利用判定定理证明直线与平面垂直.教材分析直线与平面垂直是直线与平面相交中一种特殊情况，它是空间直线与直线位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间垂直关系转化的核心.直线与平面垂直也是定义点到平面的距离、直线与平面所成角、直线到平面的距离与两个平行平面之间的距离等内容的基础，具有承上启下的作用.直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法.直线与平面垂直的判定定理把定义中要求的与任意一条直线转化成只要求与两条相交直线垂直，其中蕴含了由复杂向简单，无限问题向有限问题，直线与平面垂直向直线与直线垂直的转化.基于以上分析，确定本节课的教学重点：①直线与平面垂直定义的抽象②直线与平面垂直判定定理的发现与验证.教学手段借助生活中大量实物图片，直观想象，动手操作抽象概括直线与平面垂直的定义，对于直线与平面垂直的判定定理，让学生通过探究和动手实践，初步认识到当直线与平面内两条相交直线垂直时，直线与这个平面垂直.但在缺少逻辑推证的情况下，如果马上把这个猜想作为定理来对待，学生可能会怀疑解困的正确性.教学时需要引导学生通过亲身反复验证并结合直线与平面垂直的定义进行思辨来解决以上问题，也可以结合平面向量基本定理，从向量的角度让学生体会利用“两条相交直线”来判断的合理性.本节课的教学难点：发现并验证直线与平面垂直的判定定理.（一）创设情境感知，抽象出直线与平面垂直的定义问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，图片中旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那么怎么去定义直线与平面垂直呢？预设学生的可能回答。
8.6.2直线与平面垂直（第一课时）
8.6.2 直线与平面垂直（第一课时）一、内容及其解析（一）内容：直线与平面垂直的概念及判定定理.（二）解析本节课是《普通高中课程标准教科书--必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，8.6.2直线与平面垂直.教学安排两节课，本节课为第一节课时，主要学习直线与平面垂直的概念及判定定理.点到面的距离及直线与平面所成的角安排在第二课时.直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间垂直关系转化的核心，是研究空间中的直线与直线垂直关系和直线与平面垂直关系的中介.直线与平面垂直也是定义点到平面的距离、直线和平面所成的角、直线到平面的距离与两个平行平面之间的距离等内容的基础，具有承上启下的作用.本节课中，学生将按照“直观感知—操作确认—思辨论证”的认知过程展开学习，对大量图片、实例的观察感知，概括出直线与平面垂直的定义；对实例、模型的分析猜想、折纸实验，发现线面垂直的判定定理.学生将在问题的带动下，进行更主动的思维活动，经历从现实生活中抽象出几何图形和几何问题的过程，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用，发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神。
在认识直线与平面垂直的概念、直线与平面垂直的判定定理的过程中，体会立体几何中研究问题的基本思路，培养数学抽象、逻辑推理等素养.二、课程目标《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：①在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直位置关系的定义；②通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理；③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.考虑到学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生在构建直线与平面定义的基础上探究线面垂直的判定定理，并进行定理的初步运用.故而确立本节课的教学目标为：（1）理解直线与平面垂直的意义；（2）探索并了解直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题；（3）在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“以简驭繁”的转化思想.三、教学过程设计：（一）问题导入在日常生活中，如图，日晷的晷针与晷盘,旗杆与地面都呈现了什么样的位置关系呢，同学们还能举出其他例子吗？师生活动：教师展示生活中给我们以直线与平面垂直感受的实例，提出问题.引导学生将生活中的实际问题转化为数学问题.设计意图：通过观察天安门广场上的五星红旗，日晷的晷针与晷盘，培养学生的直观想象能力，同时增强学生的文化自信和民族自豪感，培养学生的爱国情怀. 发展直观想象素养.（二）探究、构建直线与平面垂直的定义【问题1】如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，影子BC的位置在不断变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？师生活动：小组讨论达成共识(活动1)、班级交流、形成共识(活动2)、其他小组补充、质疑(活动3)，教师点拨提升并对小组进行评价，教师总结分析.1.直线与平面垂直念图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得“线面垂直⇒线线垂直”，即：若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.（三）探究、发现直线与平面垂直的判定定理【问题2】根据定义可以判断一条直线与一个平面垂直，但无法验证这条直线与该平面内的所有直线都垂直.你能否通过具体实验找出可行的方法？(在实验中观察直线与平面内的直线满足什么条件时直线与平面垂直)师生活动：小组讨论达成共识(活动1)、班级展示交流、形成共识(活动2)、其他小组补充、质疑(活动3)，教师点拨提升并对小组进行评价，教师总结分析.设计意图：引导学生针对问题进行探究活动，并在探究活动中获得猜想：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与平面垂直. 发展直观想象、逻辑推理素养.实验：请同学们拿出一块三角形纸片，过三角形的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（与桌面接触）（1）折痕与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？为什么？师生活动：通过实际动手操作，验证刚刚得到的猜想“如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与平面垂直”.设计意图：引导学生有条理地进行探究.通过实践操作，提出直线和平面垂直的判定定理的猜想．在此处，可以结合实践操作举出反例，以及通过平面向量基本定理对此判定定理的正确性进行说明.2.直线与平面垂直的判定定理图语（四）典型例题分析例题1（课本151页例3）求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图：分析：要证明直线，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明证明直线垂直于平面内的两条相交直线即可.师生活动：小组讨论达成共识(活动1)、班级交流、形成共识(活动2)、其他小组补充、质疑(活动3)，教师点拨提升并对小组进行评价，教师总结分析.设计意图：通过例题，巩固直线与平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把握判定定理中“两条相交直线”这一关键.数学学习过程的梳理有助于加深学生对数学三大基本思想：抽象、推理、建模的理解，发展数学建模、逻辑推理素养.例题2：如图，在直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱中，．求证：师生活动：小组讨论达成共识(活动1)、其他小组补充、质疑(活动2)，教师点拨提升并对小组进行评价.教师总结分析,引导学生应用线面垂直的定义和判定定理.设计意图：进一步巩固直线与平面垂直的判定定理，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力，发展数学建模、逻辑推理素养.课堂小结（通过今天的学习，你有哪些收获？）师生活动：教师通过问题的形式引导学生进行回顾和总结，进行提炼升华.设计意图：通过提问学生通过今天的学习，你有哪些收获？从而在教师的引导下学生积极回顾、反思本节课的探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，得以掌握数学知识，解决以上的几个问题.师生的合作小结，体现了教学的民主性，通过学生自我评价及形成性评价，逐渐养成正确的价值观和科学的学习观，也养成良好的反思习惯 .1。
8.6.2 直线与平面垂直(第1课时)直线与平面垂直的判定 教学设计(2)人教A版高中数学必修第二册
【新教材】8、6、2 直线与平面垂直教学设计（人教A版）第1课时直线与平面垂直的判定在直线与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线垂直关系的延续和提高，也是后续研究平面与平面垂直的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
课程目标1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题、2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．数学学科素养1．逻辑推理:探究归纳直线和平面垂直的判定定理，找垂直关系;2．数学运算:求直线与平面所成角;3．直观想象:题中几何体的点、线、面的位置关系、重点:①直线和平面垂直的判定定理及其应用;②求直线与平面所成角、难点:直线与平面垂直的判定定理的应用，找垂直关系、教学方法:以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具:多媒体。
一、情景导入问题1、在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如:“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗?问题2、易知旗杆与它在地面上的射影是垂直关系，那么一条直线与一个平面垂直的意义是什么?要求:让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察、研探、二、预习课本，引入新课阅读课本149-152页，思考并完成以下问题1、直线与平面垂直的意义是什么?2、直线与平面垂直的判定定理是什么?用符号语言怎样表示?3、什么是直线与平面所成角?要求:学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、直线与平面垂直的概念如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做垂足、2、直线与平面垂直的判定定理3、直线与平面所成的角( 1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角、( 2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是直角;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是0°的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°、四、典例分析、举一反三题型一线面垂直的概念与定理的理解例1 下列说法中正确的个数是( )①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α、A、1B、2C、3D、4【答案】B【解析】由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B、解题技巧（判定定理理解的注意事项）线面垂直的判定定理中,直线垂直于平面内的两条相交直线,“相交”两字必不可少,否则,就是换成无数条直线,这条直线也不一定与平面垂直、跟踪训练一1、下列命题中,正确命题的序号是、①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,那么l⊥α;②如果直线l与平面α内的两条直线垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;⑤若a∥α,b⊥α,则a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,则b⊥α、【答案】④⑤⑥、【解析】根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时,l⊥α,如果α内的无数条直线互相平行,l与α不一定垂直,故①不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面α内的两条直线不相交时,l与α不一定垂直,故②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故③不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直、故④正确;⑤,⑥显然正确、题型二直线与平面垂直的判定例2 在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证: PH⊥平面ABC、【答案】证明见解析【解析】如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH⊂平面AHP,所以PH⊥BC、同理可证PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC、解题技巧( 应用判定定理的注意事项)利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线,证明它们都和这条直线垂直、跟踪训练二1、如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC、点D为斜边AC的中点、( 1)求证:SD⊥平面ABC;( 2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC、【答案】证明见解析【解析】:( 1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,在Rt △ABC 中,D,E 分别为AC,AB 的中点,所以DE ∥BC,且DE ⊥AB 、 在△SAB 中,因为SA=SB,所以SE ⊥AB 、又SE∩DE=E,所以AB ⊥平面SDE 、 因为SD ⊂平面SDE,所以AB ⊥SD 、在△SAC 中,因为SA=SC,D 为AC 的中点,所以SD ⊥AC 、 因为SD ⊥AC,SD ⊥AB,AC∩AB=A,所以SD ⊥平面ABC 、 ( 2)因为AB=BC,D 为斜边AC 的中点, 所以BD ⊥AC 、由( 1)可知,SD ⊥平面ABC 、 而BD ⊂平面ABC,所以SD ⊥BD 、 因为SD ⊥BD,BD ⊥AC,SD∩AC=D, 所以BD ⊥平面SAC 、 题型三 直线与平面所成角例3 在正方体1111ABCD A BC D -中，求直线1BA 与平面11A B CD 所成的角? 【答案】30°（或6π） 【解析】 连接1BC ，交1BC 于点O ，再连接1AO ，因为是在正方体1111ABCD A BC D -中，所以BO ⊥平面11A B CD ， 所以1BAO ∠是直线1A B 与平面11A B CD 所成的角． 设正方体1111ABCD A BC D -的边长为1，所以在△A 1BO 中，1A B =，2OB =， 所以11sin 2BAO ∠=，所以直线1A B 与平面11A B CD 所成的角的大小等于30°． 解题技巧( 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤)( 1)确定斜线与平面的交点( 斜足);( 2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线,连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影,则斜线和射影所成的锐角即为所求的角;( 3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形、跟踪训练三1、已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为、【解析】因为S-ABC为正三棱锥,所以点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O,连接SO,AO,则∠SAO为SA与底面ABC所成的角,设正三棱锥的棱长为a,在Rt△SOA中,AO=23·asin 60°a,SA=a,所以cos∠SAO=AOSA五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本152页练习，162页习题8、6的1、2、4、5题、本节课，学生基本掌握判定定理和线面角，但是在应用中，书写证明过程不太规范，需提高学生的逻辑思维能力、另一方面，求线面角时，找线面角有一定的困难，需给学生强调找垂线的方法、。
8.6.2直线与平面垂直说课稿(第1课时)高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
《8.6.2直线与平面垂直》说课稿大家好！今天我说课的课题是《直线与平面垂直（第一课时）》。
下面我将从以下几个方面对本课题进行阐述：一、说教材《直线与平面垂直》是人教A版必修二教材第8章第6.2节的课题，属于空间与图形邻域的知识。
在此之前，学生们已经学习了直线与平面位置关系，直线与直线垂直的定义与判定，这为过渡到本课题的学习起到了铺垫的作用。
其中，直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备。
因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容。
线面垂直是空间垂直关系间转化的重心，它在整个教材中起着承上启下的作用。
本课中，重点是直线与平面垂直的判定定理，难点是理解线面垂直及其相关概念、判定定理的猜想与归纳和定理的发现，关键点是理解任意的含义，无限到有限的转化以及两条直线相交垂直的判定。
二、说学情本节课主要学习线面垂直的定义、判定定理及其初步运用。
学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象。
同时，学生已经学习了空间点、直线、平面之间的位置关系、直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构，这为学习者学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。
并且，在前面学习立体几何的基本内容后，已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础。
三、说目标《数学课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．。
考虑到学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生在构建线面垂直定义的基础上探究线面垂直的判定定理，并进行定理的初步运用。
故而确立以下教学目标：1.理解直线与平面垂直的定义及其相关概念，以及判定定理。
2021新教材高中数学第八章8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定教学用书教案新人教A版必修第二册
8.6.2 直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定素养目标·定方向素养目标学法指导1．掌握线面垂直的定义、判定定理.(直观想象)2．会证明线面垂直，能利用线面垂直得到线线垂直关系.(逻辑推理)充分利用所在空间(如教室及其中物品)认识线面垂直的定义、判定定理及其模型特征.必备知识·探新知知识点1直线与平面垂直的定义与判定定理1．直线与平面垂直的定义定义一般地，如果直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法__l⊥α__有关概念直线l叫做平面α的__垂线__，平面α叫做直线l的__垂面__，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做__垂足__画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边__垂直__图示性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条垂线段与点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与__垂足__间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的__长度__叫做这个点到该平面的距离文字语言如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，__a∩b__＝P⇒l⊥α图形语言知识点2直线与平面所成的角直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线l与平面α__相交__，但不与这个平面__垂直__，这条直线叫做这个平面的斜线斜足斜线和平面的__交点__叫做斜足射影过斜线上斜足以外的一点P向平面α引__垂线__PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的__射影__所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是__90°__；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是__0°__.直线与平面所成的角θ的取值范围是__0°≤θ≤90°__(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语.(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形.(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.这是判断两条直线垂直的一种重要方法.2．理解直线与平面垂直的判定定理不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”.实际上，由基本事实4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线平行.3．判定定理所体现的数学思想直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直.4．直线与平面所成的角的理解和判断(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角.(2)判断方法首先，判断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解.关键能力·攻重难题型探究题型一直线与平面垂直的定义及判定定理的理解典例1下列说法正确的有__②__(填序号).①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直.[解析]因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确.由线面垂直的定义可得，②正确.因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确.如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确.[归纳提升](1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.【对点练习】❶(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(C) A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(B)A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m[解析](1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB⊂平面OBC，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.(2)根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确.题型二线面垂直的判定典例2如图，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE ⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面P AB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用.如看到P A⊥平面ABC，可想到P A⊥AB、P A⊥BC、P A⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是P A⊥BC，联系已知，问题得证.[解析](1)∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩P A＝A，∴BC⊥平面P AB.(2)∵BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.[归纳提升]线面垂直的判定方法：(1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义.②线面垂直的判定定理.③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论.(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法.【对点练习】❷如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[解析](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型三直线与平面所成的角典例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.[分析](1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线.(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求.[解析](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，垂足为O . ∴∠A 1BO 为直线A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角， 在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°.即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°. [归纳提升] 求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等.【对点练习】❸ 如图所示，在Rt △BMC 中，斜边BM ＝5，它在平面ABC 上的射影AB 长为4，∠MBC ＝60°，求MC 与平面CAB 所成角的正弦值.[解析] 由题意知A 是M 在平面ABC 上的射影， ∴MA ⊥平面ABC ，∴MC 在平面CAB 上的射影为AC .∴∠MCA 即为直线MC 与平面CAB 所成的角. 又∵在Rt △MBC 中，BM ＝5，∠MBC ＝60°， ∴MC ＝BM sin ∠MBC ＝5sin60°＝5×32＝532. 在Rt △MAB 中，MA ＝MB 2－AB 2＝52－42＝3． 在Rt △MAC 中，sin ∠MCA ＝MA MC ＝3532＝235.即MC 与平面CAB 所成角的正弦值为235.易错警示逻辑推理不严密致误典例4 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，D 是AB的中点，连接CD .求证：CD ⊥平面ABB 1A 1．[错解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1．又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1．[错因分析]错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件.[正解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1．又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1．[误区警示]用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的.【对点练习】❹直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(D) A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定[解析]如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D．。
8.6.2+直线与平面垂直(第一课时)教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
教学设计课程基本信息学科数学年级高一年级学期春季课题8.6.2直线与平面垂直（第一课时）教科书书名：人教A版（2019）数学必修第二册出版社：人民教育出版社教学目标1.理解直线与平面垂直的定义及其相关概念，以及判定定理。
2.掌握线线垂直与线面垂直之间的相互转化关系，从而体会降维化归的思想。
3.会用自然语言、图形语言、符号语言来表示定义和判定定理。
4.能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。
教学内容教学重点：1. 直线与平面垂直的定义。
2. 直线与平面垂直的判定定理。
教学难点：1.“任意”的含义——进行线面垂直判定与部分性质的关键。
2.无限到有限的转化——推导线面垂直判定方法的关键。
3.两条直线相交垂直——突破直线与平面垂直判定定理难点的关键。
教学设想人教A版教材基于重视几何直观，适当引入公理化思想体系以及合情推理与逻辑推理并重的考量，从现实情境中的旗杆与地面垂直引入线面垂直的概念，给出了折纸的实验，然后直接给出线面垂直的判定定理，没有进行严格证明（设置了思考题让学生从向量的角度探索证明思路，但是学生还未学习空间向量，无法严谨证明）。
这种“直观感知、操作确认、归纳总结”的方式虽然能够减轻学生的课业负担，有助于培养学生的直观想象能力，但是会让学生将信将疑，不利于培养的学生逻辑推理能力。
其实，历史上数学家曾先后给出过多种线面垂直判定定理的证明。
这些证明可以让学生体会数学严谨求实、不断创新的精神，对于培养学生的逻辑推理能力有一定的价值。
因此，我在本节课中引入了数学史，带领同学们领略数学家的风采，在数学史中体会数学文化的魅力，鼓励他们给出线面垂直判定定理的严谨证明。
教学过程一、知识回顾——直线与平面的位置关系问题1：直线和平面的位置关系有哪些？（引出今天的课题）二、情景引入——生活中的线面垂直实例问题2：直线与平面垂直的定义是什么？能否用确切的数学语言刻画直线与平面垂直？（引出定义）三、情景探究——以旗杆和地面为例探究问题3：在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？（引出线面垂直的定义）问题4：那对于地面上不过点B的任意一条直线B1C1与旗杆AB所在的直线的位置关系如何？四、探究新知（一）线面垂直的定义1. 直线与平面垂直的定义（三种语言的表达：文字语言、符号语言、图形语言）2. 关于定义的数学史：历史上的线面垂直概念的变化3. 定义剖析：对“任意”的含义的理解（“任意”与“所有”，“任意”与“无数”）4. 垂线与垂面的唯一性问题5：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？（过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，体现类比的数学思想）推广：在空间中，过一点有无数条直线与已知直线垂直，这无数条直线共面，且该平面与已知直线垂直。
高一下学期数学人教A版 必修第二册8.6.2直线与平面垂直(第一课时)教学设计册
8.6.2直线与平面垂直（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标1.理解直线与平面垂直的意义，理解点到平面的距离、直线与平面成角的概念；2.探索直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题，能求简单的直线与平面所成的角；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“化繁为简”的转化思想.二、教学重难点重点：1.对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解难点：1.概括线面垂直的定义和判定定理时如何将“线面垂直”转化为“线线垂直”2.求直线和平面所成角时，直线的射影的寻找学生初接触会有点难度.三、教学过程1.复习引入回顾直线和平面的位置关系如下图1：图1【设计意图】由复习旧知可以知道，直线与平面垂直是直线与平面相交关系中的一种，为后续特别是线面角作铺垫.2.观察归纳，形成概念122.1创设情境，引发思考问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，图中旗杆与地面的垂直关系，还有书脊与桌面的垂直关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那么什么叫做直线与平面垂直呢？【设计意图】列举生活中的例子，使学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，化抽象为具体.然后再应到学生概括出定义.2.2归纳概括，得出定义问题2：能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直思考：（1）书脊AB 与桌面上经过B 点的直线有什么关系？（2）书脊AB 与桌面上不过B 点的直线有什么关系？（3）书脊AB 与桌面上的任意直线有什么关系？追问1：怎么理解“任意”？结论：直线AB 垂直于平面内的任意一条直线,那么它就垂直于这个平面．追问2：可以用“无数”代替“任意”吗？直线与平面垂直的定义：如果一条直线l 垂直于平面α 内的任意一条直线，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直.记作： 【设计意图】这里是对直线垂直于平面定义的形成过程，结合几何直观感知，就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义，并让学生体会到定义的本质是直线与直线垂直；强调直线要与平面内的任意直线都垂直，不等于无数.并规范表达，感受数学思维的严密.α⊥l 图22.3知识拓展:点到平面距离的定义：过点P作直线PO垂直于平面α，垂足为O，垂线段PO长度就是点P到平面α的距离.图3【活动预设】教师提出问题，师生共同探讨，直观感知和操作确认“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，进而提出点到平面的距离的概念，为求棱锥体积做铺垫.【设计意图】类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质；呼应前面棱锥的高的概念.3 实验探究，得出定理3.1 简单探究，得到猜想问题:3：如果直线l与平面α内的一条（两条，无数条）直线垂直，则直线和平面α互相垂直?【活动预设】师生共同探讨以下问题：（1）一条直线（2）无数条直线图4（3）两条平行直线（4）两条相交直线【设计意图】结合图例，让学生感受直线与平面垂直需要两条相交直线，得到猜想，找到一种替代定义去证明线面垂直的办法.3.2 动手操作，验证猜想问题4：为什么两条相交直线可以？怎么去验证这件事情？【活动预设】教师提出问题，并引导学生动手操作；如图准备一块三角形纸片ABC，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，并请学生思考;34(1) 折痕AD 与桌面垂直吗？(2) 如何翻折才能得到使折痕AD 与桌面垂直？为什么？这样就初步验证了刚才的猜想：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，这条直线就和这个平面垂直.追问（1）：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，这条直线就和这个平面垂直？可能的回答：两条相交直线可以确定一个平面？追问（2）：两条平行直线也可以确定一个平面，为什么两条平行直线都垂直于一条直线的时候，直线和平面就不垂直呢？【设计意图】通过实践操作，让学生有直观感受，初步判断刚才的猜想是正确的；不断追问，引导学生进一步的思考，两条相交直线可以确定一个平面，但是更主要的是他们可以表示这个平面内的所以直线，这里可以用平面向量基本定理来给出解释，从而进一步对于判定定理的正确性给出说明，让学生体会直线与平面垂直向直线与直线垂直转化，体会感知化无限为为有限，以及归纳猜想、思辨论证这一研究问题的思维过程.问题5：试分别用文字语言、图形语言、符号语言来表述直线与平面的判定定理.【设计意图】实现图形语言、文字语言、符号语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要.4 巩固练习，典例剖析例1（课本例3）求证：如果两条平行线中的一条直线垂直与一个平面，那么另一条直线也垂直与这个平面.追问（1）：你能根据条件与结论画出示意图，写出已知、求证吗？追问（2）：结合所画图形，你认为该如何证明此问题？【活动预设】教师要求学生写出已知求证，并与学生共同分析证明思路：根据直线与平面垂直的判定定理，只需证明另一条直线垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中，需要构造两条相交直线，既需要做辅助线.可以请一名同学板书，教师反馈，完成证明.追问（3）：你还有不同证明方法吗?可能的答案：尝试用定义证明.【设计意图】通过例题，巩固直线和平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把握判定定理中“两条相交直线”这一关键.通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明时，提高学生思维的灵活性，让学生认识到证明线面垂直的不同方法，从而感受判定定理证明的优越性.5 直线与平面所成的角及其应用问题6：直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.当它们不垂直时，如图，可以发现，不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢？【活动预设】教师提出问题，给出斜线的概念.引导学生发现，斜线与平面相交位置的不同在于他们相对于平面的“倾斜程度不同”，进而给出直线与平面所成角的概念，并用它来刻画斜线和平面的位置关系.【设计意图】引出直线与平面所成角的概念，同时建立平面的一条斜线在平面上的射影的概念.例2（课本例4）：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B与平面A1DCB1所成的角.追问：有直线与平面成角的概念知，应该先找到A1B在平面A1DCB1内的射影，怎样找到呢？【活动预设】教师引导学生对题目进行分析，从要解决的问题出发，要求直线和平面的成角，要先找到这条直线在平面上的射影；进而要找到这个平面的垂线，再利用直线与平面垂直的判定定理，问题图65可以解决.然后书写证明过程，规范解题.【设计意图】通过例题教学，巩固直线和平面所成角的概念，以及直线与平面垂直的判定定理.结合分析题目，培养学生养成回归定义思考问题的意识，并引导学生形成解决问题的一般思路,规范书写.6 归纳小结，布置作业问题：本节课你学到了什么？【活动预设】教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，主要从下列2点进行总结：（1）知识内容（2）数学思想方法【设计意图】通过小结，梳理本节所学的知识点，并回顾在学习的过程中所采用的思想方法，培养学生对学习内容的反思意识和习惯，建立知识系统，可以用于后续知识问题的解决.布置作业：教材152页练习.6。
人教A版必修第二册《8.6.2直线与平面垂直》教案
人教A版必修第二册§8.6.2 直线与平面垂直教案一、教学内容分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修必修第二册第八章《立体几何初步》第六节《空间直线、平面的垂直》，主要为直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理，是一节新授课。
直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间垂直关系转化的核心，是研究空间中的直线与直线垂直关系和直线与平面垂直关系的中介。
直线与平面垂直也是定义点到平面的距离、直线和平面所成的角、直线到平面的距离与平行平面之间的距离等内容的基础，具有承上启下的作用。
直线与平面垂直的判定定理把定义中要求的与任意一条直线垂直转化为只要求与两条相交直线垂直，其中蕴含了由复杂向简单，无限问题向有限问题，直线与平面垂直向直线与直线垂直的转化，体现了以简驭繁的策略。
同时，本节课中，几何直观、空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养。
二、学情分析经过前面的学习，学生有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，能较准确地使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系；已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及直线与直线“垂直关系”的性质和判定方法；已基本掌握解决空间问题的一般方法—平面化，具备学习本节课所需的知识。
然而，学生的能力发展正处于由形象思维向抽象思维转折的阶段，但更注重形象思维，对两个平面的垂直关系还停留在感性的认识阶段，没有上升到理论。
学生还没有形成完整的空间知识结构体系，内在的知识网络还有待进一步清晰化，所以在学生学习的过程中教师要适时的引导，关注学生的思维及学习过程。
四、教学重难点1.教学重点：通过直观感知、操作确认概括直线与平面垂直的定义和判定定理。
2.教学难点：从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线和平面垂直的定义；探究、归纳、理解直线与平面垂直判定定理，突破“无限”与“有限”的转化。
8.6.2 直线与平面垂直 教案 人教A高中数学必修第二册
8.6.2《直线与平面垂直》教学教案教材：人教A版《普通高中教科书必修第二册数学》【教学目标】（一）知识目标：1、直线与平面垂直的定义2、直线与平面垂直的判定定理（二）能力目标:1、转化思想：空间问题转化为平面问题是处理立体几何问题的重要思想空间中线线位置关系与线面位置关系的互相转化;2、类比思想：研究线面平行时研究了定义，判定定理和性质定理，类比研究线面垂直3、培养数学思维过程【教学重点】直线与平面垂直的定义、判定定理及其简单应用.【教学难点】1、判定定理的探索与归纳；2、判定定理和定义在解决垂直问题中的交互与转化.【教学方式】启发探究式【教学手段】自制课件、实物模型【教学过程】一、直观感知直线与平面垂直的位置关系问题1：请同学们观看视频和图片，说出运载火箭抽象成一条直线与地面、旗杆与地面的位置关系．问题2：你还能举出生活中直线与平面垂直的例子吗？设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的．二、抽象概括直线与平面垂直的定义思考：如何定义一条直线与一个平面垂直呢？问题3：观察旗杆与它的影子的关系，结合对下列问题的思考，试着给出直线与平面垂直的定义．(1)旗杆AB与它在平面内的影子的位置关系是什么？(2) 旗杆AB与其他地面上的直线的位置关系呢？依据是什么？（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）辨析：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.（对辨析可引导学生给出符号语言表述：若，则)三、探究直线与平面垂直的判定定理思考：如何验证学校广场上的旗杆是否与地面垂直？为解决上述问题,引导学生探究下面问题:(1)如果一条直线与平面内的一条直线垂直，这条直线与这个平面垂直吗?(2) 如果一条直线与平面内的两条直线垂直，这条直线与这个平面垂直吗?无数条呢?师生活动：（折纸试验:请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验.）1. 过三角形的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD （如图1）.问题5：怎么折、怎么展、怎么放才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ （组织学生动手操作、探究、确认）根据上述实验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化） 定理应用：两位工人师傅的做法：假设旗杆高8米，先从旗杆的顶点A 挂两条长10米长的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上B 、C 两点（和旗杆脚D 不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，则旗杆与地面垂直，你知道这是为什么吗？设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，应用定理．α AC B D8 1010 6 6问题6：与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想.思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理判断旗杆是否与地面垂直的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？设计意图：初步应用判定定理解决实际问题及让学生体会利用判定定理判定直线与平面垂直的关键是与平面内的两条相交直线垂直.四、直线与平面垂直判定定理的初步应用例1 如图，在三棱锥V -ABC 中 ，VA ＝VC ,AB ＝BC ,K 是AC 的中点．求证：AC ⊥平面VKB .设计意图：例题重在对直线与平面垂直判定定理的应用，寻找定理的条件，强调书写的规范．B KC A V设计意图：合作探究在例题的基础上进一步巩固直线与平面垂直的判定定理,让学生领略线面垂直的判定定理和定义在解决垂直问题中的交互与转化，体会线线垂直和线面垂直互相转化的数学思想在解决实际问题中的应用.五、课后小结本节课你收获了什么知识,掌握了什么方法,体会了什么思想?六、作业布置必做题：课本P152 第2.3题选做题：查阅线面垂直判定定理的证明方法.探究题：在学校旗杆旁再竖一根旗杆挂联合国国旗，该怎么做？。
数学新教材高一下人教A版必修第二册8.6.2直线与平面垂直第一课时 直线与平面垂直的判定
课堂小结
1.利用线面垂直的判定定理判定一条已知直线和一个平面垂直，关键是在这个 平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直.
2.求直线与平面所成的角步骤为一作、二证、三求、四答，其中作角是关键， 而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口.
3.证明线面垂直主要方法：(1)线面垂直定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)借 助两个结论：①若a∥b，a⊥α则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 线面垂直概念的理解
【例1】 下列命题中，正确的序号是___④__⑤___. ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
解析 当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所 以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以 ②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③ 不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确. 故填④⑤.
思维升华
1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上， “任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直 于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不 垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直. 2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小.
解 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO .
8.6.2直线与平面垂直的判定教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版2019必修二
《直线与平面垂直》教学设计一、教材内容分析本节课是由人民教育出版社出版的《普通高中教科书·数学·必修（第二册）》（2019年版A版）第八章“立体几何初步”的第六节“空间直线、平面的垂直”的第2小节第1课时，是继直线与直线垂直之后，对空间中垂直关系的进一步探索。
垂直关系是几何关系中的一种重要位置关系，主要以线线垂直、线面垂直和面面垂直三种方式呈现在高中数学立体几何的学习过程中。
从内容上来看，线面垂直是连接线线垂直与面面垂直的桥梁，起着承上启下的作用。
用线面垂直的定义解释线面垂直的判定定理的过程以及线面垂直的判定定理本身，都是线面垂直前承线线垂直的重要体现；而面面垂直的判定定理，又是线面垂直后启面面垂直的重要体现。
从数学核心素养来看，本节内容注重从现实生活情境中抽象出线面垂直的模型，然后通过直观想象逐步得出线面垂直的定义，接着回到情境中用定义没办法直接解决的问题，去探索更便捷的判定定理，并用它来解决情境提出的问题，最后求解线面角突出了线面垂直的应用。
这一系列的过程对学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养的提升有着重要的帮助。
二、学情分析1.面向对象为高一年级的学生，已经学习过空间中点、线、面之间的位置关系，知道垂直关系是空间中一种特殊的位置关系；已经学习了空间中直线、平面的平行关系，对“降维”思想有了初步的认识和体会；还学习了空间中直线与直线的垂直，对空间中的垂直关系有了更进一步的理解。
2.学生虽已了解到线面垂直是线面相交的一种特殊情况，但对线面垂直的概念还很模糊，也不清楚如何去判定线面垂直。
3.学生已经具备了一定的观察、抽象、概括和语言转换能力，渴望通过自己的探索实现由直观感知到准确定义和表达的跨越。
三、教学目标1.从生活实例中抽象出线面垂直的概念，掌握线面垂直的定义，提高数学抽象的核心素养。
2. 掌握线面垂直的判定定理，能应用其进行简单的证明，提高逻辑推理的核心素养。
8.6.2 直线与平面垂直(第一课时)(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
三、直线与平面所成的角· 小试牛刀
【练习】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值．
【解】取 AA1 的中点 M，连接 EM，BM. 因为 E 是 DD1 的中点，四边形 ADD1A1 为正方形，所以 EM∥AD. 又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD⊥平面 ABB1A1， 所以 EM⊥平面 ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 内的射影， ∠EBM 即为直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角． 设正方体的棱长为 2， 则 EM＝AD＝2，BE＝ 22＋22＋12＝3. 于是在 Rt△BEM 中，sin∠EBM＝EBME ＝23， 即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为23.
A
B
D
C
二、直线与平面垂直的定义判定· 动手实践 感知定理
容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直(如下图)的充要条件是折痕AD 是BC边上的高.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内 的两条相交直线BD、DC都垂直.
A
A
B
D
C
B C
D
事实上，由基本事实的推论2,平面α可以看成是由两条相交直线BD、DC所唯一 确定的，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与α内所有 直线都垂直.
二、直线与平面垂直的定义判定· 概括抽象 得出定理
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此
平面垂直.
l
定理体现了“直线与平
面垂直”和“直线与直
ห้องสมุดไป่ตู้
线垂直”的互相转化.
8.6.2直线与平面垂直第1课时课件数学人教A版(2019)必修第二册
因为AF⊥PC,AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,
所以PC⊥平面AEF.
课堂探究·素养培育
新知导学·素养启迪
课堂探究·素养培育
由线面垂直的定义,知直线与平面内的任一直线垂直,应
用时,应根据后续需证的结论,找到平面内一条合适的直
线与之垂直,如(1)由PA⊥平面ABC,可得PA与AB,AC,BC都
√
解析:因为AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,A1D,A1B1⊂平面A1DB1,
所以AD1⊥平面A1DB1.故选D.
1
2
3
4
5
新知导学·素养启迪
课堂探究·素养培育
3.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB
与平面α所成的角是(
A.60°
√
C.30°
)
B.45°
D.120°
解析:由题意,∠ABO 即是斜线 AB 与平面α所成的角,
在 Rt△AOB 中,AB=2BO,
所以 cos ∠ABO= ,即∠ABO=60°.故选 A.
1
4.下列说法中正确的是(
2
3
4
5
新知导学·素养启迪
课堂探究·素养培育
)
①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直;②过直线外一
平面 ABCD 所成的角.
新知导学·素养启迪
课堂探究·素养培育
解:取 AD 的中点 E,连接 PE,BE,BD.因为底面四边形 ABCD 为菱形,
∠DAB=,
所以△BAD 为等边三角形,
又△PAD 是等边三角形,E 为 AD 中点,
所以 PE⊥AD,
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8.6.2《直线与平面垂直》教案一、教学目标1.理解直线与平面垂直的定义。
2.理解直线与平面垂直的判定定理。
3.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。
4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。
5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、教学重难点1.教学重点直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。
2.教学难点直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。
黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！三、教学准备1.《直线与平面垂直》PPT2.每人发一张三角形纸片四、教学过程黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！【提问】有同学认识它吗?（手指着日晷）（学生：认识）（学生：不认识）可能有同学不认识，它叫日晷。
【PPT演示】日晷日晷是中国古代用来测定时间的仪器，日晷通常由晷针指到和晷盘组成（手指着部位）。
如果我们把晷针看成一条直线，晷面看成一个平面,这里就体现了直线与平面的一种非常特殊的位置关系。
同学们知道是什么位置关吗?（学生：垂直）对，直线与平面重直,这就是我们今天所要学习的内容——《直线与平面垂直》【PPT演示图片】课题《8.6.2直线与平面垂直》【板书】8.6.2直线与平面垂直在我们的实际生活中,有许多场景都能给我们以直线与平面重直的直观形象。
同学们你能举出几个例子吗?(让学生多举几个）如：①把老师我看成一条直线,把讲台看成一个平面；②教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系【PPT演示图片】③旗杆所在直线与地面的位置关系④港珠澳大桥雄伟壮观，桥墩所在直线与海面所在平面的位置关系⑤美丽的上海东方明珠塔，如果把塔身看成一条直线，海面看成一个平面。
这些都能给我们以直线与平面重直的形象。
⑥意大利萨斜塔,它能体现直线与平面垂直的形象吗?（学生：不能）对，不能，塔身所在直线与地面所在平面是不重直的。
【互动】同学们，我们刚才直观感受了直线与平面重直，现在我们把桌面当晷面,把手中的笔当做是晷针，摆出一个你认为正确的直线与平面重直的位置关系。
下去转一转，看一看，夸：同学们真棒！真不错！大家摆得都不错，现在请你们再拿出一支笔当做在太阳照射下晷针的影子，放在桌面上，然后观察一下你摆出的晷针和它的影子所在的直线是怎样的位置关系？只带了一支笔的同学可以同桌相互协作。
（学生：垂直）夸：同学们真棒！真不错！我们知随着太阳位置的变化，晷针影子的位置也在不断发生变化。
晷针与它各个方向的影子所在的直线都垂直吗?同学们可以多个方向,多摆几个位置观察下。
（学生：都垂直）【PPT演示】太阳旋转，照射晷针成影子的动画是的，我们很容易发现,晷针与其影子所在的直线都垂直并且相交。
那么在晷面内与晷针不相交的直线也和晷针垂直吗?请同学们再用笔摆几个位置观察一下。
（学生：也是垂直的）想想为什么垂直？【PPT演示】晷针平移的动画不难发现,对于晷面内任意一条不过B点的直线，总可以过B点做出它的平行直线，根据异面直线垂直的定义，就能证明它们也是垂直的。
通过刚刚的小实验，我们发现晷针和晷面内任意一条直线都垂直（学生回答）这就是直线与平面垂直的定义【PPT演示】定义一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α相互垂直,记作l⊥α.请同学们在学案3-1上补充好直线与平面垂直的定义（配合板书的时间）【板书】一、直线与平面垂直的定义大家觉得，定义中，哪个词最重要？（学生：任意一条）【板书】1、定义的关键词：任意一条“平面内任意一条直线”也就是“平面内所有的直线”【PPT演示】任意一条↔所有的当直线l与平面α垂直时，我们把【PPT演示】随讲述分别演示垂线、垂面、垂足①直线l叫做平面α的垂线,②平面α叫做直线l的垂面. ③直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.请同学们在学案上3-3【板书】2、子概念：垂线、垂面、垂足画直线与平面垂直的图像的时候，还是有要求的【PPT演示】线面垂直的画法这样才美观，请同学们在学案3-2上和我一起画【板书】画图同学们画好了吗？（下去转一转）（学生：画好了）你们画了几条垂线？（学生：1条）你能画出几条垂线？（学生：无数条）过空间中的一个点，你能画几条垂线？（可以在板书图像上杵一点，略停顿）为什么?【PPT演示】思考1 在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么?（学生：一条）（学生：无数条）我听到有的同学说是一条，都是一条吗？有的同学说是无数条。
我们不妨假设过空间中的一点，垂直于已知平面的直线有两条。
【PPT演示】随讲述演示由直线与平面垂直的定义，直线垂直平面内任意一条直线，在△APQ中出现两个直角，这可能吗？（学生：不可能）对，不可能。
与三角形内角和定理矛盾。
这是点A在平面外的情况下，如果点A在平面内呢？【PPT演示】随讲述演示假没过平面内α点A也有两条直线于平面α,由于直线a和直线b相交于点A,过直线a和b可以确定一个平面β,设α与β相交于直线c。
由直线与平面垂直的定义，直线a和直线b都与直线c垂直，显然在一个平面β内也是不可能。
过空间中一点垂直于已知平面的直线不会是两条，那么三条、四条……就更不可能了（学生回答）。
【PPT演示】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.请同学们完成学案上3-4的内容【板书】3、过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.【PPT演示】垂线段，点到面的距离.正因为它是唯一的，我们把点A与垂足点P之间的线段，叫做点A到平面α的垂线段.垂线段的长度叫做点A到平面α的距离.垂线段是唯一的，点A到平面α的距离也是唯一确定的。
请同学们完成学案上3-5的内容【板书】4、子概念：垂线段，点到面的距离.现在我们已经掌握了线面垂直的有关概念，请问如何证明直线与平面垂直呢？【PPT演示】思考2：怎么证明直线与平面垂直？用直线与平面垂直的定义？.用直线与平面垂直的定义？如果用定义证明直平面直垂直需要证明直线垂直于平面内任意一条线你觉得可行吗?什么?（学生：不行）对,不可行，我们无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，那么我们带着这样一个疑问,我们来做一个小实验。
【PPT演示】探究：我为同学准备了一张三角形纸片,为了方便观察，同学们先用笔把ABC三点标记好（展示），过△ABC的顶点A翻折纸片（演示），得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，注意让BD,DC与桌面接触。
（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？（等一会儿，下去观察他们折叠的情况，也注意前两排谁的垂直，谁的不垂直）折好了吗? 为了方便观察，折好后再用笔把折痕画出来,然后将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，让BD,DC与桌面接触。
观察一下，摆摆看，同们可以多折几次，观察下有什么不同?你得到的折痕桌面垂直吗?有没有同学的折不垂直,能否给我们展示一下？（选同学展示，用文件夹帮她托着）为什么你的折痕不与桌面垂直呢?能说说原因吗？（学生：……）（学生，答得好就表扬，让学生帮忙拿着文件夹，再解释一遍；答得不好就“补充”他的话，解释一遍）我们先把纸片展开,观察一下，折叠前AD与BD垂直吗？AD与DC垂直吗？（指着位置）（学生：不垂直）【PPT演示】AD对，就像图中（指着PPT），显然∠ADB不是直角。
那折叠后AD与BD垂直吗？AD与DC垂直吗（手上折叠演示）？（学生：不垂直）对，折叠后∠ADB依然不是直角，根据直线与平面垂直的定义：直线如果与平面垂直,直线就要垂直于平面内任意一条直线，现在我们在桌面内找到了一条直线BD与折痕AD不垂直，所以折痕AD与桌面不垂直。
【PPT演示】翻折后的不垂直图像谢谢这位同学的分享，掌声送给他。
（鼓掌）有没有同学的折痕是与桌面垂直的,能否给我们展示一下？（选同学展示，用文件夹帮她托着）你能为我们解释一下,你的折痕为什么垂直于桌面吗?（学生：AD与BD和CD都垂直）（学生：折叠后AD与BD和CD两条相交线垂直）……根据直线与平面垂直的定义，我们需要直线垂直于平面内所有直线，现在折痕AD垂直于折叠后的BD和CD，怎么来说明它也垂直于平面内所有直线呢？（请同学帮忙用文件夹托着）大家请看，我绕着折痕AD旋转两个直角三角形，直线BD和CD扫过的痕迹就可以包括平面内所有过点D的直线，这像不像我们前面刚学过的晷针和它的影子？【PPT演示】翻折后的垂直的动画（学生：像）所以折痕AD也像之前的晷针一样，会垂直于桌面上过点D和不过点D的所有直线，也就是说折痕AD一定会垂直于桌面。
通过刚刚的实验，我们就找到了一个判断直线与平面垂直的简便方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.这就是我们的直线与平面垂直的判定定理。
【PPT演示】判定定理请同学们补充一下学案上5-1的直线与平面垂直的判定定理【板书】直线与平面垂直的判定定理大家觉得定理中，哪个词最重要？（学生：相交）对，线不在多，相交就行！【PPT演示】线不在多，相交就行【板书】判定定理关键词：相交下面，我们来画出判定定理的图形语言，【PPT演示】图形语言请大家也画在学案上5-1上【板书】画图大家再想一想，它的符号语言该怎么描述？（学生：……应该会答，可以抽问）（学生答得好就表扬；答得不好就补充，再表扬）【PPT演示】符号语言请大家也把符号语言填在在学案上5-1上【板书】判定定理的符号语言（可以抽问，学生边回答边写。
强调有五个条件）大家想没想过这样个问题，刚才我们的实验中，折痕AD垂直于BC，再折叠就会垂直于BD和CD两条相交直线，就会垂直于桌面。
如果我们不折叠呢？也就是说，如果直线AD只垂直于直线BC这一条直线，AD也能垂直于桌面吗？（演示纸片）【PPT演示】思考3很显然，红色直线与紫色直线是垂直的，但书本可以像图中一样倾斜，这条红色直线和这桌面不一定垂直。
如果把“一条”改成“两条”呢? 直线和这个平面垂直吗?【PPT演示】思考4我们在桌面上放一只和书的底边平行的笔，红色直线与这两条平行线都是垂直的，但显然红色直线与也不一定与桌面垂直。
如果把“一条”改成“无数条”呢? 直线和这个平面垂直吗?【PPT演示】思考5我们在桌面上放一本有很多平行线条的作业本，让这些平行线条和书的底边平行，但显然红色直线还是不一定与桌面垂直。
【PPT演示】思考3、4、5这更说明了那个字：线不在多，相交就行！【PPT演示】线不在多，相交就行！请大家快速完成学案上5-2垂直关系的证明，和平行一样，经常需要线线垂直、线面垂直、面面垂直相互转换。
下面我们来回顾一下，目前能用于垂直证明的结论。
【PPT演示】目前能用垂直关证明的结论。