直线和圆PPT优质课件
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2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)
2
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
《直线和圆的方程》课件
参数$D,E,F$必须满足一定的条 件才能构成一个有效的圆。
圆的参数方程
圆的参数方程
01
$x=a+rcostheta, y=b+rsintheta$，其中$(a,b)$是圆心，$r$
是半径，$theta$是参数。
参数方程的应用
02
参数方程常用于圆的极坐标表示，方便计算圆的轨迹和运动。
参数方程与直角坐标系的关系
圆的一般方程
圆的一般方程
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$， 其中$D,E,F$是常数。
圆心坐标
圆心的坐标为$(-frac{D}{2}, frac{E}{2})$，通过圆心可以确 定圆的位置。
半径
半径的平方为 $frac{D^2+E^2-4F}{4}$，通 过半径可以确定圆的大小。
参数$D,E,F$
02
圆的方程的介绍
圆的标准方程
圆的标准方程
圆心坐标
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是 圆心，$r$是半径。
圆心的坐标为$(a,b)$，通过圆心可以确定 圆的位置。
半径
圆上任一点坐标
半径是圆上任一点到圆心的距离，用$r$表 示。
根据圆的标准方程，圆上任一点的坐标可 以表示为$(a+rcostheta, b+rsintheta)$， 其中$theta$是参数。
《直线和圆的方程》 ppt课件
目 录
• 直线方程的介绍 • 圆的方程的介绍 • 直线与圆的位置关系 • 直线与圆的实际应用
01
直线方程的介绍
直线的斜率与截距式
总结词
斜率截距式是直线方程的基本形式，它描述了直线在直角坐标系中的位置关系 。
圆的参数方程
圆的参数方程
01
$x=a+rcostheta, y=b+rsintheta$，其中$(a,b)$是圆心，$r$
是半径，$theta$是参数。
参数方程的应用
02
参数方程常用于圆的极坐标表示，方便计算圆的轨迹和运动。
参数方程与直角坐标系的关系
圆的一般方程
圆的一般方程
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$， 其中$D,E,F$是常数。
圆心坐标
圆心的坐标为$(-frac{D}{2}, frac{E}{2})$，通过圆心可以确 定圆的位置。
半径
半径的平方为 $frac{D^2+E^2-4F}{4}$，通 过半径可以确定圆的大小。
参数$D,E,F$
02
圆的方程的介绍
圆的标准方程
圆的标准方程
圆心坐标
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是 圆心，$r$是半径。
圆心的坐标为$(a,b)$，通过圆心可以确定 圆的位置。
半径
圆上任一点坐标
半径是圆上任一点到圆心的距离，用$r$表 示。
根据圆的标准方程，圆上任一点的坐标可 以表示为$(a+rcostheta, b+rsintheta)$， 其中$theta$是参数。
《直线和圆的方程》 ppt课件
目 录
• 直线方程的介绍 • 圆的方程的介绍 • 直线与圆的位置关系 • 直线与圆的实际应用
01
直线方程的介绍
直线的斜率与截距式
总结词
斜率截距式是直线方程的基本形式，它描述了直线在直角坐标系中的位置关系 。
直线与圆的位置关系优质课PPT课件
O
它们的坐标分别是A(2,0),B(1,3).
A x
7
第7页/共34页
判断下列直线与圆的位置关系
(1).圆x2 y2 13与直线x y 1 0;
相交
(2).圆x2 y2 8x 2 y 8 0, 直线4x 3y 6 0;
相切
(3).圆( x 2)2 y2 1, 直线2x y 5 0.
例 2:已知圆 C:X2+y2=1和过点 P( -1 ,2) 的直线L.
(1)试判断点P的位置. (2)若直线L与圆C相切 ,求直线L的方程.
(3)若直线L与圆相交于A 、B两点,求直线 L 的斜率范围.
(4)当直线L的斜率为-1时,试判断它们的 位置关系. (5)若直线L与圆相交于A 、B两点 ,且满足 OA⊥OB, 求直线L的方程.
当 d>r 时，直线与圆的位置关系是相离 当 d=r 时，直线与圆的位置关系是相切 当 d<r 时，直线与圆的位置关系是相交
第3页/共34页
直线与圆的位置关系的判定方法
直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r d=r d<r
x2 y2 6x 5 0
(x 3)2 y2 4
圆心（3，0） 直线x-my+3=0
r=2
d 6 m2 1
比 相交
d<r
较
d 相切
d=r
与
相离
d>r
r
6 2,得m 2 2或m 2 2 m2 1
6 2,得m 2 2 m2 1
6 2,得 2 2 m 2 2 m2 1
直线与圆的位置关系ppt课件
新知讲解
想一想：自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外,则过此点可以作几条切线? 若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线. (2)若点在圆上,则过此点只能作几条切线? 若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点. (3)若点在圆内,则过此点能作几条切线? 若点在圆内,则过此点不能作圆的切线，即可以作0条. 问题：如何刻画直线与圆相切？ 公共点的个数只有1个; 圆心到直线的距离等于半径.
2
因此所求切线l的方程为y=-2x或y= 1 x.
2
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
解法2：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆
心C(1,3)到直线l的距离为1≠ 5 ，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0,
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
思路1 直线与圆相切
直线的方程，
圆的方程
0
直线方程
思路2
d r
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
当堂检测
1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为__相__切____ (2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为___相__离___ (3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为__相__交____
《直线和圆方程》课件
《直线和圆方程》 ppt课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
2.5.1直线与圆的位置关系 课件【可编辑图片版】【共40张PPT】
题型三 有关圆的弦长问题 例 2 求直线 l：3x＋y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 截得 的弦长．
分析：弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形求解．
解析：法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为x2＋(y－1)2＝5， 其圆心坐标为(0,1)，半径r＝ 5. 点(0,1)到直线l的距离为d＝|3×03＋2＋11－2 6|＝ 210， l＝2 r2－d2＝ 10，所以截得的弦长为 10. 法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为
|0＋0－8| 2
－
1＝(4 2－1) km.
即DE的最短距离为(4 2－1) km.
[方法技巧] 求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
1．认真审题，明确题意． 2．建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际 问题中建立直线与圆的方程． 3．利用直线与圆的方程的有关知识求解问题． 4．把代数结果还原为实际问题的解释．
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝ 51， ∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 51(m)．
答案：(1)B (2)2 51
易错辨析 忽略了圆的一个隐含条件 例 4 已知圆的方程为 x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点 A(1,2)， 要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两条，则 a 的取值范围为________．
5，则弦长＝2
r2－d2＝4
5.
答案：4 5
题型一 直线与圆位置关系的判断
1．直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝
直线与圆的位置关系ppt课件
x 2 y 2 Dx Ey F 0
( D 2 +E 2 4 F 0)
代数方法
几何
图形性质究过程，如何通过代数方法，
研究直线与圆的位置关系？
联立两直线方程
两直线的位置关系
方程组解的情况
直线与圆的位置关系
联立直线与圆方程
方程组解的情况
求直线被圆截得的弦长.
(法1) 圆心为C (1, 2), 半径为r 2,
圆心C到直线l的距离d
| 2 2+2 |
2 5 2 8 5
2 2 5
2
弦长为2 (2) (
)
.
=
2
5
5
5
5
22 12
x2 y 2 2x 4 y 1 0
(法2)解 : 联立
2.5.1直线与圆的位置关系
春
来
江
水
绿
如
蓝
日
出
江
花
红
胜
火
问题1：把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，那么在日出的过程中，
体现了直线和圆的哪些位置关系？
相交
相切
相离
探究交流
问题2：如何判断直线与圆的位置关系？
d
d
d
r
r
r
地平线
直线与圆相切
直线与圆相交
1.通过直线与圆的公共点个数判断
直线与圆有两个公共点
2.弦心距：圆心到弦所在直线的距离；
弦心距
A
O
l
C
O
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。
4.求弦长：
①两点距离：联立直线与圆的方程求两交点A,B的坐标
2.5.1 直线与圆的位置关系(共27张PPT)
(1)求直线l的方程;
(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2
2
,求圆C的标准方程.
解:(1)由已知得:
2x-y-3 = 0,
x = 2,
解得
y = 1,
4x-3y-5 = 0,
∴两直线交点为(2,1).
设直线l的斜率为k1,∵l与x+y-2=0垂直,
∴k1=1,
∵l过点(2,1),∴l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;
|2-1--1|
心(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 d=
当
当
当
1+2
=
|-2|
1+2
.
4
d<2,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
3
4
d=2,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
4
d>2,即- <m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
轴,建立直角坐标系,设圆心为 C,水面所在弦的端点为 A、
B,则由已知得 A(6,-2).
设圆的半径为 r,则 C(0,-r),即圆的方程为
x2+(y+r)2=r2.①
将点 A 的坐标为(6,-2)代入方程①,解得 r=10.
∴ 圆的方程为 x2+(y+10)2=100.②
当水面下降 1 米后,可设点 A′的坐标为(x0,-3)(x0＞3),
当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点?
思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线
直线和圆课件
一般式方程表示法
圆可以使用一般式方程来表示， 例如x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0。
直线和圆的交点
1 直线和圆的交点数量
2 直线和圆的交点位置
直线和圆可以有0、1或2个交点，具体取决于 直线与圆的相对可能在圆上、圆内或圆外。
例题解析
直线和圆的例题解析
通过解析一些实际问题的例题，帮助你更好地理解直线和圆的相关概念和性质。
直线和圆ppt课件
一份精美的ppt课件，旨在帮助你了解直线和圆的基本概念和性质，以及它们 在平面直角坐标系中的表示方法和交点等重要知识。
什么是直线？
1 直线的定义
直线是由无限多个点组成的，它有相同的方向和长度。
2 直线的符号
用一条横线和两个箭头表示直线，例如AB。
3 直线的性质
直线上的任意两点可以直接相连，直线没有弯曲或拐角。
直线的表示方法
平面直角坐标系中的 表示方法
直线可以使用斜率和截距的形 式来表示，例如y = mx + b。
参数方程式表示法
直线可以使用参数方程来表示， 例如x = a + t, y = b + mt。
一般式方程表示法
直线可以使用一般式方程来表 示，例如Ax + By + C = 0。
什么是圆？
1 圆的定义
圆是由一条曲线组成的，它的每个点到圆心的距离相等。
2 圆的性质
圆上的任意两点与圆心的距离相等，圆没有角度和边界。
圆的表示方法
平面直角坐标系中的 表示方法
圆可以使用圆心和半径的形式 来表示，例如(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
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运用：
看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（1）
（2）
（3）
l
·O
·O
l
l
·O
相离
相交
相切
2020/12/10
6
(4)
·O3 O·2
l与⊙01相交
l
l与⊙O2相切
O1·
B
A
l与⊙O3相离
(6) (5)
·O
？·O
相交
l
2020/12/10
l
7
放大
（5）
·O
l
同学们知道，点和圆的位置关系是转化到 点到圆心的距离 和半径的大小关系来判断的
.A
.O
.B
C.
1、点到圆心的距离_大__于半径时，点在圆外。 2、点到圆心的距离_等__于半径时，点在圆上。 3、点到圆心的距离_小__于半径时，点在圆内。
2020/12/10
8
2020/12/10
9
返回
那么，我们能不能用直线上的任
意一点到圆心的距离和半径的大 小关系来判断直线和圆的位置关 系呢？
半径长应为
。
2、以边长为2cm的等边三角形的顶点为圆心， cm 为半径的圆一定与第三边相切。
选做：
1、在△ABC中，AC=BC=2cm， ⊙C半径为1 cm，当
∠ACB= 时，直线AB与⊙C相切；当∠ACB满足 时，
直线AB与⊙C相交；当∠ACB满足 时，直线AB与⊙C相
离。
2、已知∠AOB= 30°，在OB边上有一点P，OP=5cm，若
2020/12/10
10
观察并思考： 观察图形，圆心到直线l上哪一点的距离最短？
·O
·O
d
d
l
·O
d
l
l 2020/12/10
11
用圆心到直线的距离d和圆半径r的数量关系，来揭 示直线和圆的位置关系。
r o
d
l
r o
dl
（1）直线l 和⊙O相离 即 d>r （2）直线l 和⊙O相切 即 d=r （3）直线l 和⊙O相交 即 d<r
2020/12/10
1
阅读课本第116页，找出这三种位置关系的名称及相关直线的名 称。
公共点个数
名称
直线的名称
0个
相离
2个
相交
2020/12/10
1个 （切点） 相切
切线
2
用数学的眼光看生活
2020/12/10
3
用数学的眼光看生活
2020/12/104 Nhomakorabea数学的眼光看生活
2020/12/10
5
以P为圆心，R为半径作圆，与射线OA相交于M、N两点，
2020/1求2/1R0 取值范围。
16
感谢你的阅览
Thank you for reading
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
r od
l
2020/12/10
12
已知点O和直线l1、l2、l3的距离 分别是3cm、4cm、5cm、如果 以O为圆心的圆和l2相切，则l1、 l为3与相⊙交O的位相置离关.系分别
2020/12/10
13
挑战自我
如图，已知∠AOB=30°，M为OB 上一点，且OM=5㎝，以M为圆心、以r 为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？ 为什么？
（1）r = 2㎝ (2) r =4 ㎝ (3) r =2.5 ㎝
A
C
O 30°
M
2020/12/10
B
14
2020/12/10
15
作业：
1、Rt △ABC中，斜边AB=6cm，AC=3cm，以C为圆心，
2cm为半径的圆与AB的位置关系
，以4cm为半径的
⊙C与AB的位置关系是
，若直线AB和圆相切，则