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圆的基本性质课件

圆与直线的位置关系
判定直线与圆的位置关系：直线与圆有三种可能的位置关系，相离（直线与圆没有交点），相切（直线与圆有一个切点），相交（直线与圆有两个交点）。
圆与圆的位置关系
判定两个圆的位置关系：两个圆之间有四种可能的位置关系，相离（两个圆没有交点），外切（两个圆相切于外面的一点），相交（两个圆相交于两个不重合的交点），内切（一个圆位于另一个圆的内部且相切于内面）。
切线和弧长
切线是与圆相切且只有一个交点的直线。弧长是弧上的一段弧的长度，它与整个周长之间的关系为弧长 = 圆心角度数 / 360° × 周长。
圆的判定定理
判定两个圆是否相交：两个圆的半径之和大于它们的圆心之间的距离即可。判定一点与圆的位置关系：如果点到圆心的距离小于半径，则该点在圆的内部；如果点到圆心的距离等于半径，则该点在圆上；如果点到圆心的距离大于半径，则该点在圆的外部。
圆的基本性质
欢迎来到本次PPT课件，我们将介绍圆的基本性质。让我们一起探索圆的定义、周长和面积公式，圆心角和圆周角，切线和弧长，圆的判定定理，以及圆与直线、圆与圆的位置关系。
圆的定义和元素
圆由一组等距离于圆心的点组成，圆心为圆的中心点。元素有半径（圆心到圆上任一点的距离）和直径（通过圆心而且两端落在圆上的线段）。
圆的周长和面积公式
圆的周长是圆上的一段弧的长度，它与圆的直径之间的关系为周长 = 直径 ×半径之间的关系为面积 = 半径²× π。
圆心角和圆周角
圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。圆周角是以圆上两点和圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。

第1部分第6章第1节圆的基本性质PPT课件

圆周角定理及其推论(必考) 4．(2019 安徽，13，5 分)如图，△ABC 内接于⊙O，∠CAB＝30 °，∠CBA＝45°，CD⊥AB 于点 D.若⊙O 的半径为 2，则 CD 的长为 2．
【解析】本题考查圆周角定理和三角函数等，体现了逻辑推理和数学运算的核心素养．如图，连接 OB，OC，则∠BOC＝2∠A＝60°. 又∵OB＝OC，∴△BOC 是等边三角形，∴BC＝OB＝2.又∵∠CDB ＝90°，∠CBD＝45°，CD＝BC·sin45°＝2× 22＝ 2.
弦心距，另一条直线是弦的一半．如图，设圆的半径为 r、弦长为 a、弦心距为 d，弓形高为 h，则a22＋d2＝r2，h＝r－d，这两个等式是关于四个量 r，a，d，h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量．
(2019·保定一模)小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见的大雨，于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩．如图 1 所示的是他了解的一款遮雨罩，它的侧面如图 2 所示，其中顶部圆弧 AB 的圆心 O1 在竖直边缘 AD 上，另一条圆弧 BC 的圆心 O2 在水平边缘 DC 的延长线上，其圆心角为 90°，BE⊥AD 于点 E，则根据所标示的尺寸(单位： cm)可求出弧 AB 所在圆的半径 AO1 的长度为 61 cm.
2．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的⑳____内__对__角____，如图，∠DCE＝∠A.
利用垂径定理解决问题圆中与弦有关的计算可通过连接半径和圆心到弦中点的垂线段，把问题转化为解直角三角形的问题来解决，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常结合起来使用．一般地，求解时将已知条件集中在一个直角三角形中，这个直角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是
1．垂径定理：垂直于弦的直径⑦_平__分___这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

第22讲圆的基本性质PPT课件

2．圆的有关性质 (1)圆的对称性： ①圆是____轴__对__称__图形，其对称轴是___过__圆__心__的__任__意__一__条__直__线_． ②圆是____中__心__对__称_图形，对称中心是_____圆__心___． ③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与本来的图形重合．
圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧_____相__等__． ②半圆(或直径)所对的圆周角是___直__角____；90°的圆周角所对的弦是____直__径__． (5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： ①点P在圆上⇔_____d_＝__r__； ②点P在圆内⇔_____d_<_r___； ③点P在圆外⇔_____d_>_r___．
△APB和△ADC中， ∠∠AABPBP＝＝∠∠AACDPC，， ∴△APB≌△ADC(AAS)， AP＝AD，
∴BP＝CD，又∵PD＝AP，∴CP＝BP＋AP
(3)当点P为 A︵B 的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如
下，如图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E.过点C作CF⊥AB，垂足为
F.∵S△APB＝
【例4】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，P点在边AB上，且BP ＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( C ) A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内 C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断．
解： (1)在△AEB和△DEC中，∠A＝∠D，
AE＝ED，∠AEB＝∠DEC，∴△AEB≌△DEC(ASA)，∴EB＝

第9讲圆的基本性质复习课件(共46张PPT)

全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
垂径定理的应用例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
全效优等生
图3－9－4
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件：确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
全效优等生
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全效优等生
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
全效优等生
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m，设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2，即 r2＝322＋(r－1)2，解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.

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所性在质的A弧：OA直=圆DB线＝O是都弧=轴CB是O对C=它=D称弧O的A图，对C形称，轴任。B何一条A直径
＝弧BD。
C
D
O
观察右图，有什么等量关垂系直？于B
弦的直A
AO=BO=CO=DO，弧
径
AD＝弧BD，弧AC＝ C
O
ED
弧BC, AE＝BE 。演示课件
B
垂径定理垂直于弦的直径平
分这条弦，并且平分弦所对
D
∠F是什么关系？反演示课件
C
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相思1、等考“：。同圆或等圆”的条件能否去掉？
2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个
AC
O
D
变式2：AC＝BD依然成
B
立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=__F_D__。 A C E O F D B
AC
DB
O
变式4：_O_A_=_O_B_
AC=BD.
变式5：_O_C_=_O_D_
AC=BD. A C
DB
O
演示课件
• 如图，P为⊙O的弦BA延长线上
一点，PA＝AB＝2，PO＝5，
的两条弧。
A
C
O
ED
B
演示课件
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C
DC
DC
A
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
O
E DC
D
A
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！
演示课件
若圆心到弦的距离用d 表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
A
r2 d 2 a 2 2
演示课件
O
E
B
变式1：AC、BD有什么关系？
圆的基本性质
演示课件
圆的确定
1. 圆
圆心确定位置半径确定大小
2.不在同一直线上的三个点确定一个圆。
演示课件
点与圆的位置关系
• 你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 点在圆外 d>r
演示课件
点与圆的位置确定
演示课件
C
如∠A图D同，B弧周、比所角∠较A相对∠EA等的BC的圆B大、小
D A
E O
B
E
A O
F 如等图，弧如所果对弧A的B圆＝弧周C角D，相那等么；在 ∠E同和圆∠F中是什，么相关等系？的反圆过周来角呢？所对
B
D
的弧也相等
C
E
如图，⊙O1和⊙O2
是等等圆圆，也如果成弧立AB
O1
A O2
F
＝弧CD，那么∠E和
E
C
O
D
演示课件
B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
EF⊥CD，你能得到什么结论？ E
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
演示课件
B F
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
演示课件
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
• 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
Ｐ
点Ｐ在圆外
ＰＤＤ
Ｐ
O
∠BPC<∠BAC A 点Ｐ在圆内
∠BPC>∠BAC
B
C 点Ｐ在圆上
∠演示课件BPC=∠BAC
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外心外接，三圆角，形外叫接圆做的圆的圆心内叫接三做角三C形角CC 。形的
问圆题？如1：何如找何三作角三形角的形A外AA 的心外？接OOO C
B B B
O B A'
C'
演示课件
B'
题设
结论
()
前提
在同（圆条或件等）圆中
圆心角
圆心角所对的弧相等，心角所对的弦相等，圆角所对弦的弦心距相等。
相
等推论在同圆或等圆中，
如果两个圆心角、两条弧、
两条弦或两条弦的弦心距中有
一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等。
演示课件
把顶点在圆心的周角等分成360份时，
想结换①③一论，③ ④想中情：的况如会5个果怎条② ④ ⑤将样① ② ⑤件题？适设②③当③⑤和互
①① ④② ⑤④
①④④ ⑤
② ③ ⑤① ② ③
② ④
①
C
③
⑤
演示课件
A
E
O
D
B
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧A 。
每一份的圆心角是1°的角。1°的圆心
角所对的弧叫做1°的弧。
n°弧
C
一般地，n°的圆
D
心角对着n°的弧。
n°圆心角
圆心角的度数
O
A
1°圆心角 B
1°弧和它所对的弧的度数相等。
演示课件
圆周角
演示课件
C
C
O
O
B
A B
B A
A
C
O
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
圆心角: 顶点在圆心的角. 演示课件
• 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。
演示课件
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`，
OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。
定理在同圆或等圆中，
A
相等的圆心角所对的
C
弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
O
B
D
A
演示课件
A
C
• 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
• 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
推论
• 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？
• 什么时候圆周角是直角？反过来呢？
• 直角三角形斜边中线有什么性质？反过
来呢？
求关⊙于O弦的的问半题径，常。
B
M
A
常需要过圆心作弦
P
的垂线段，这是一
O
条非常重要的辅助
线。
圆心到弦的距离、
半径、弦长构成直
角三角形，便将问
题转化为直角三角演示课件
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论
题设
①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB
结论
③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
问题2：三角形的外心一定在三角形内吗？▲▲AABAB∠CCC是是＝钝锐9角0角°三三O角角形形 B
演示课件
垂直于弦的直径
及其推论
演示课件
圆的对称性圆是轴对称图形，每一条直径所在的都直是线它的对称轴.
圆是中心对称图形, 圆还具有旋转不变性.
演示课件
A
两想侧一半A弧＝想O圆弧A：=D会BB将＝DO有。弧=一C什BO个C么=，圆D关O弧沿，系A着C？任C一条直O 径对D 折，
一条弧所对的圆周角等于它
所对的圆心角的一半
C
C
C
O
化
归
B
A
化
O
归
A
O A
分类讨论 B
完全归纳法 B
圆周角定理
演示课件
C
1、已知∠AOB＝75°，求：
C
∠ACB
O
O
2、已知∠AOB＝120°，
A 求： ∠ACB
B
A
B
3、已知∠ACD＝30°，求： ∠AOB
C
4、已知∠AOB＝110°，求：
O
B ∠ACB