第八章 行波法与平均值法 - ☆波动光学专题学习网站☆

第八章 行波法与平均值法用行波法求解波动方程的基本思想：
先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。

评述：这一思想与常微分方程的解法是一样的。

关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。

8.1无界弦的自由振动
一、无界弦的自由振动
(1) 无界弦的涵义： 不是无限长的弦，是所关心的那一段弦远 离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来不及传到这段弦 上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦的两端提出边界条 件。

定解问题 初值问题
(2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的 方程齐次
定解问题：
20tt xx u a u −=
(,0)()u x x ϕ= x −∞<<∞ x −∞<<∞
：初位移；
：初速度 ⇒⇒)(x ϕ)(x ψ)()0,(x x u t ψ=
(2) 驻波的形成：两列反向行进的同频率的波的叠加。

1212cos()cos()
2cos 2cos 2u A t kt u A t kt u u u A t kx ωωω=−=+=+=←时间变量与空间变量分离
驻波的一般表示： 把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分 方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就可以保证尝试 解的正确性。

(3) 分离变量法的特点：
a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；
b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。

(4) 分离变量法的适用范围：
波动问题、输运问题、稳定场问题等(比行波法适用的范围要广)
)
()(),(t T x X t x u =
设常数为λ−，得到两个常微分方程
()()0x x λ′′Χ+Χ= (5) 2()()0T t a T t λ′′+= (6)
说明：在分离变量过程中引入的参数的取值要由边界条件来确定。

将(4)代入边界条件——边界条件分离变量
(0,)0
(,)0u t u l t == ⇒ (0)()0()()0T t l T t Χ=Χ=
这有两种可能
(1) T (t )=0则u (x ,t )=0——弦保持静止 u (x ,t )=0是平庸解，略去
(2) ，则得到X (x )的边界条件
()0
()0x l Χ=Χ= (7)
0)(≠t T
区别：本题讨论是有界弦的振动， 和 只定义在区
间[0,l ]上， t 充分大时， 就会超出这个区间。

将 和
分别延拓为周期为2l 的初位移、初速度。

延拓问题：见吴崇试《数学物理方法》（P298）分离变量法的解题步骤：P126表
)(x ϕ)(x ψat x ±)
(x ϕ)(x ψ
二．非齐次方程及齐次边界条件的定解问题
前面讨论的波动问题：除了在端点以外弦不受外力的作用，振动纯粹是由位移和初速度引起的。

现在研究：有外力作用的情况
为了把外力作用引起的振动和初值引起的振动区别开，考虑纯强迫振动，即初值为零的情况。

这样方程是非齐次的，边界条件和初始条件是齐次的。

例:求两端固定弦的受迫振动的规律
),(2t x f u a u xx tt =− 0<x <l , t >0 (1) 0),(,0),0(==t l u t u (2) 0)0,(,0)0,(==x u x u t (3)
2. 求解v(x,t)的定解问题
)
0,()()0,(),0,()()0,(0
),(,0),0(),(22x w x x v x w x x v t l v t v w a w t x f v a v t t xx
tt xx tt −=−===+−=−ψϕ 此类问题已解决。

说明：(1)由于w(x,t)的选取有一定的任意性,故用以上方法得到的解
将随w(x,t)的不同而不同。

但可证明对定解问题(1)-(3)的解是唯一的；
(2)这里涉及的实际上是第一类边值问题。

对第二类、第三类边值问题也可齐次化。

四、高维的定解问题—以一个长方体中的热传导问题
的定解问题为例
例:求边长分别为a,b,c的长方体中的温度分布。

设物体表面温度保持零度，初始温度分布为
z
y
x
uϕ
=
y
x
,
,
)
,
(
,
)0,
(z
解:定解问题
,0)(=++−zz yy xx t u u u k u
0,0,0,0><<<<<<t c z b y a x (1)
0),,,(),,,0(==t z y a u t z y u (2)
0),,,(),,0,(==t z b x u t z x u (3)
0),,,(),0,,(==t c y x u t y x u (4)
(5)
1. 时空变量的分离
令 )(),,(),,,(t T z y x v t z y x u = (6) 代入(1): (7) 02
=+++v v v v zz yy xx
λ (8) 2. 空间变量的分离
令 v (x ,y ,z )=X (x )w (y ,z ) (9)
),,()0,,,(z y x z y x u ϕ=0)()('2=
+t kT t T λ
代入(8)及(2)
X (x )的常微分方程及边界条件，构成本征值问题: 0)()()(22''=−+x X x X μλ (10)
0)(,0)0(==a X X (11)
同理: 02
=++w w w zz yy μ (12) 再令 )()(),(z Z y Y z y w = (13) 代入(12)及(4)、(5)，可得到另外两个本征值问题 0)(,0)0(0
)()()(22''===−+b Y Y y Y v y Y μ
0)(,0)0(0
)()(2''===+c Z Z z Z v z Z
⇒
8.2 柱坐标系中的分离变量法
（复习：正交曲线坐标系中的梯度，散度，旋度度和拉普拉斯算符） 补充：坐标系的选择
(1) 通过弦的振动问题，说明了在直角坐标系下分离变量法的基本步骤
了解到不仅对于方程本身，而且对于边界条件都要进行变量的分离。

(2) 能否用分离变量法，除了与方程的形式有关外，还与用什么坐标系有关，而坐标系的选择则是根据边界的形状或者对称性决定的。

例：柱形区域——柱坐标。

用直角坐标不能将边界条件中的变量分离。

(3) 各种类型的数理方程都含有拉普拉斯算符 。

在不同的坐标系中形式不同。

2∇2∇
令 ()()()t T z y x u t z y x w ,,,,,= 代入(5)式得
02'=+T a T β (6) 02
=+∇u u β (7)
(iii) 稳定场的方程
02
=∇u (8)
(亥姆霍兹方程中 的特例)
结论：对三个典型方程的进一步分离变量，都涉及到亥姆霍兹
方程的分离变量。

0=β
方程(6)根据u −β的正负又可分为
(i)
()()0'''02
2222=−++⇒=−≥−R R νρλρρλμβμβ (7) (ii)
()()0'''022222=+−+⇒−=−≤−R R νρλρρλμβμβ (8) 进一步令)()(,ρλρR x y x ==
(7)
0)(22'''2=−++⇒y x xy y x ν ——贝塞尔方程 (9) (8)
0)(22'''2=+−+⇒y x xy y x ν ——虚宗量贝塞尔方程(10) 亥姆霍兹方程可分离为三个常微分方程
()
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−±++=Φ+Φ=+0'''00
22222''''R R Z Z νρλρρνμ 说明: 在分离变量的过程中引入的参数 等要由边界条件来
确定
2,νμ。