[K12学习]2018高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节面向量基本

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2018届高考数学第1轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3.1平面向量的数量积课件理

因为|a－b|＝2 5，
所以 a2－2a·b＋b2＝20，
所以 5－2×5＋b2＝20，
所以 b2＝25，所以|b|＝5。故选 C。
(2) 解法一：由于 a·(a ＋ 2b) ＝ a2 ＋ 2a·b ＝ |a|2 ＋ 2|a||b|cos60°＝ 4 ＋
2×2×12＝6，|a＋2b|＝ a＋2b2＝ a2＋4a·b＋4b2＝ 4＋4＋4＝2 3，所
以 cos〈a，a＋2b〉＝|aa·|·a|a＋＋22bb|＝2×62
＝ 3
23，所以〈a，a＋2b〉＝30°。
故选 D。
解法二：∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12， ∴|a＋2b|＝2 3， ∴a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ ＝2×2 3cosθ＝4 3cosθ。又 a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6， ∴4 3cosθ＝6，cosθ＝ 23，θ∈[0°，180°]， ∴θ＝30°。故选 D。【答案】 (1)C (2)D
b____反__向__共_；线若θ＝90°，则a与b____垂__直。
• (2)平面向量的数量积
• ①定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量 _______|_a_||b_|c_o_sθ_叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 a·b＝___|a_||b_|c_o_sθ______，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0。
微知识小题练
教材回扣基础自测
• 自|主|排|查
• 1．平面向量的数量积
• (1)向量的夹角 • ①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则__∠__A_O_B__就是向量
a与b的夹角。

2018届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积(1)课件文

1．|a||b|cosθ |a||b|cosθ 2．|a|cosθ 3.|b|cosθ
答案
1．判断正误
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的
运算结果是向量．( )
(3)两个向量的夹角的范围是0，π2.(
)
2．本例题(2)中，当 E 是 AB 的中点时，试求D→E在D→C上的投影．
解：
方法 1：如图，过点 E 作 EF⊥DC，垂足为 F，由投影的定义知，D→E在D→C上的投影是12.
方法 2：如图，向量D→E与D→C的夹角是∠EDC，
所以D→E在D→C上的投影是来自|D→E|cos∠EDC＝
1＋14×
使得 DE＝2EF，则A→F·B→C的值为( )
A．－58
1 B.8
1 C.4
11 D. 8
(2)(2017·蚌埠模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB
边上的动点，D→E·D→C的最大值为________．
【解析】 (1)如图，设A→C＝m，A→B＝n，根据已知得，D→F＝34m，所以A→F＝A→D＋D→F＝34m＋12n，B→C＝m－n，A→F·B→C＝(34m＋12n)·(m－ n)＝34m2－12n2－14m·n＝34－12－18＝18.
1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
4．明确两个结论： (1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角为 0 时不成立)； (2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立(因为夹角为 π 时不成立)．

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标24平面向量的概念及其线性运算理

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标24 平面向量的概念及其线性运算理[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( A ) A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a －12b D ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A ．2．(2017·河北石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( D )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb解析：因为a ，b ，是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则a 与b 共线同向，故D 正确．3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 一定共线解析：∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，∴OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴AM →＝λAB →.∵λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上．4．如图所示，在△ABC 中，若BC →＝3DC →，则AD →＝( C )A ．23AB →＋13AC →B ．23AB →－13AC →C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC → 解析：AD →＝CD →－CA →＝13CB →－CA →＝13(AB →－AC →)＋AC →＝13AB →＋23AC →，故选C ．5．(2017·甘肃兰州模拟)已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在边DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( C )A ．15 B ．25 C ．35 D ．45解析：由5AM →＝AB →＋3AC →得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，则2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.6．(2017·云南大理模拟)已知O 是△ABC 所在平面外一点且满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ为实数，则动点P 的轨迹必须经过△ABC 的( B ) A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心解析：如图，设AB→|AB →|＝AF →，AC →|AC →|＝AE →，已知AF →，AE →均为单位向量．故□AEDF 为菱形，所以AD 平分∠BAC ，由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|得AP →＝λAD →，又AP →与AD →有公共点A ，故A ，D ，P 三点共线，所以P 点在∠BAC 的平分线上，故P 的轨迹经过△ABC 的内心．二、填空题7．(2017·吉林长春模拟)已知m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，|m －n|＝17，则|m ＋n|＝3.解析：由平行四边形的对角线与边的关系及|m －n|与|m ＋n|为以m ，n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m －n|2＋|m ＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26，又|m －n|＝17，故|m ＋n|2＝26－17＝9，故|m ＋n|＝3.8．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝3.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3.9．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为－1.解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.三、解答题10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，CD →＝13CA →＋λCB →，求实数λ的值．解析：如图，D 是AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F ，连接CD ，则CD →＝CE →＋CF →.因为CD →＝13CA →＋λCB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝λCB →.由△ADE ∽△ABC ，得DE BC ＝AE AC ＝23，所以ED →＝CF →＝23CB →，故λ＝23.11．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解析：由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.12．如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，求1m ＋1n的值．解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA→＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.。

2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教师用书文

其中假命题的序号为________．
①②③④⑤⑥[①不正确．|a|＝|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；
②不正确．因为＝，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
(2)因为D是BC的中点，则＋＝2.
由＋＋＝0，得＝.
又＝λ，
所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝＋＝2＝－2，所以λ＝－2.]
共线向量定理的应用
设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
－[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，
∴得]
平面向量的有关概念
给出下列六个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②若＝，则ABCD为平行四边形；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；
⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
0[因为＋＝2，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故＋＝0.]
4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．
b－a－a－b[如图，＝＝－＝b－a，
＝－＝－－＝－a－b.]
5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.

2018高考数学(文)第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四章⎪⎪⎪平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念三角形法平行四边三角向量a (a≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa ．1．下列四个命题中，正确的命题是() A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若|a |＝|b |，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a |＝|b |答案：D2．(教材习题改编)化简：(1)( AB ―→＋MB ―→)＋BO ―→＋OM ―→＝________． (2) NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝________．答案：(1)AB ―→(2)03．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________．答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________．解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2．答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q ．若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p ． ∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要考点一平面向量的有关概念基础送分型考点——自主练透1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0．假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．2．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→．③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②．答案：①②向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0．(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第2题易混淆有关概念．考点二向量的线性运算基础送分型考点——自主练透1．(2017·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→．2．(2017·唐山统考)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A ．12AB ―→＋12AD ―→ B ．34AB ―→＋12AD ―→C ．34AB ―→＋14AD ―→ D ．12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→．又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→．3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12．答案：121．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用重点保分型考点——师生共研设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→． ∴AB ―→，BD ―→共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即ka ＋b ＝λa ＋λkb ．∴(k －λ)a ＝(λk －1)b ． ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ>0，∴k ＝1．共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB―→＝a ，AC ―→＝b ．(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB ―→＋AD ―→＝λAO ―→，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选B 根据向量加法的运算法则可知，AB ―→＋AD ―→＝AC ―→＝2AO ―→，故λ＝2． 2．在△ABC 中，AD ―→＝2DC ―→，BA ―→＝a ，BD ―→＝b ，BC ―→＝c ，则下列等式成立的是( ) A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝32a －12bD ．c ＝32b －12a解析：选D 依题意得BD ―→－BA ―→＝2(BC ―→－BD ―→)，即BC ―→＝32BD ―→－12BA ―→＝32b －12a ．3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→．又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2017·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13．答案：135．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b ．答案：b －a －a －b二保高考，全练题型做到高考达标1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b, 则BE ―→等于( )A ．12b －a B ．12a －b C ．－12a ＋bD ．12b ＋a 解析：选C BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋12DC ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C ．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋λ－b ．整理得λa ＋b ＝ka ＋(2λk －k )b ．由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12．又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12．3．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝0，其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CB ―→＋BC ―→＝0，③正确；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．4．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ―→＝2BD ―→，CE ―→＝2EA ―→，AF ―→＝2FB ―→，则AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→，BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝BA ―→＋13AC ―→，CF ―→＝CB ―→＋BF ―→＝CB ―→＋13BA ―→，因此AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝CB ―→＋13(BC ―→＋AC ―→－AB ―→)＝CB ―→＋23BC ―→＝－13BC ―→，故AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→反向平行．5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，又OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，∴OD ―→＝－OC ―→，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4． 6．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ―→＝3NC ―→，得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b ．答案：－14a ＋14b7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________．解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2．答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0．其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错；BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确；CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．∴正确命题为②③④．答案：39．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→，AG ―→．解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b ．AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→) ＝13AB ―→＋13AC ―→ ＝13a ＋13b ． 10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2． (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→．又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→(λ∈R)，即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→． ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2．∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12．即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 2．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1．证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→ ＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)，即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线．又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→．故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→，即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0． ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21． (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12．3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m )，若a ∥b ，则m 的值为______．答案：－32．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________．答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b ．解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b ．因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2．由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0．1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________．答案：02．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3．答案：－3考点一平面向量基本定理及其应用基础送分型考点——自主练透若AB ―→＝a ，1．如图，在三角形ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，AC ―→＝b ，则AO ―→＝( )A ．12a ＋12b B ．12a ＋13b C ．14a ＋12b D ．12a ＋14b 解析：选D ∵在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，∴AE ―→＝12AC ―→．∵O 是BE 边的中点，∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋14b ．2．(易错题)如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→．解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b ．∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b ．综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b ．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．考点二平面向量的坐标运算基础送分型考点——自主练透1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝12(－6,8)＝(－3,4)，故选A ．2．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ―→＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ―→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN ―→＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点三平面向量共线的坐标表示重点保分型考点——师生共研已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12．(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32．向量共线的充要条件(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( ) A ．－23 B ．43 C ．12 D ．13解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→共线， ∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23．2．(2017·贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0．答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选 B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→， ∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1．故选A ．3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP ―→＝2PA ―→，则( ) A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB ―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13． 4．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝12，所以cos θ＝±22，又∵θ为锐角，∴θ＝π4．答案：π45．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若 PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则BC ―→＝________．解析：AQ ―→―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)， ∴AC ―→＝2AQ ―→＝(－6,4)． PC ―→＝PA ―→＋AC ―→＝(－2,7)， ∴BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)．答案：(－6,21)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．2．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D 由题意可得c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，解得k ＝－1．c＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．3．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D ∵a －12b ＝(3,1)，∴a －(3,1)＝12b ，则b ＝(－4,2)．∴2a ＋b ＝(－2,6)．又(2a ＋b )∥c ，∴－6＝6x ，x ＝－1．故选D ．4．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为( )A ．23B ．－23C ．32D ．－32解析：选B 设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5．又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23．故选B ．5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A ．14a ＋12bB ．12a ＋14bC ．23a ＋13b D ．13a ＋23b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b ．∵E 是OD 的中点， ∴|DE ||EB |＝13，∴|DF |＝13|AB |．∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12BD ―→－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC ―→ ＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ， ∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C ．6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量ka ＋b 共线，则实数k ＝________．解析：ka ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量ka ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1．答案：－17．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1．答案：k ≠18．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________．解析：以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO ―→＝(－1,1)，b ＝OB ―→＝(6,2)，c ＝BC ―→＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4．答案：49．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ．解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613． 10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→．解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b ．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．设OP ―→＝x OA ―→，OQ ―→＝y OB ―→，则1x ＋1y＝________．解析：∵点P ，G ，Q 在一条直线上，∴PG ―→＝λPQ ―→． ∴OG ―→＝OP ―→＋PG ―→＝OP ―→＋λPQ ―→＝OP ―→＋λ(OQ ―→－OP ―→) ＝(1－λ)OP ―→＋λOQ ―→＝(1－λ)x OA ―→＋λy OB ―→，① 又∵G 是△OAB 的重心， ∴OG ―→＝23OM ―→＝23×12(OA ―→＋OB ―→)＝13OA ―→＋13OB ―→．② 而OA ―→，OB ―→不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＝13，λy ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y＝3．答案：32．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0．(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA ―→＝BC ―→，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.故a ＝2，b ＝2．(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )，由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→，所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ，因为a >0，b >0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0．因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8．当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角(1)a·b ＝b·a ．(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ． 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ．|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 221．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6答案：D2．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则a ·b ＝_____．答案：－103．(2016·山东高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(ta ＋b )，则实数t 的值为________．解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)， ∴ta ＋b ＝(t ＋6，－t －4)．又a ⊥(ta ＋b )，则a ·(ta ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5．答案：－51．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b ． 4．在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方．1．给出下列说法：①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；②若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a ·b )c ＝a (b ·c )；④若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0．其中正确的说法有________个．答案：02．(2016·北京高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．解析：由题意得|a |＝1＋3＝2，|b |＝3＋1＝2，a·b ＝1×3＋3×1＝23．设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝32．∵θ∈，∴θ＝π6．答案：π6考点一平面向量的数量积的运算基础送分型考点——自主练透1．(易错题)设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11解析：选C ∵a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3．2．已知AB ―→＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为( ) A ．－322B ．－3 5C ．322D ．3 5解析：选C 因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ―→＝(5,5)，又AB ―→＝(2,1)，所以向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为|AB ―→|cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→|CD ―→|＝1552＝322．3．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝－2＋－2＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10．答案：10则AB ―→·AD―→4．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的中点，＝________．解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB ―→·AD ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CD ―→) ＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CD ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 45°＋|AB ―→|·|CD ―→|cos 45° ＝22×2×22＋22×1×22＝6．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)，D (－1,0)，∴AB ―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， AD ―→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴AB ―→·AD ―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6．答案：6向量数量积的2种运算方法考点二平面向量数量积的性质题点多变型考点——多角探明平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直．角度一：平面向量的模1．已知e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12．若向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________．解析：∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°．又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°．答案：233角度二：平面向量的夹角2．(2017·山西四校联考)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2a ，b ＝0，∴a ，b ＝22，∴a ，b ＝π4．3．(2017·江西八校联考)在△ABC 中，AB ―→＝(2，3)，AC ―→＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．解析：由题意得，(|AB ―→|· |AC ―→|)2＝(|AB ―→|·|AC ―→|·cos〈AB ―→，AC ―→〉)2＋(|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉)2，即(|AB ―→|·|AC ―→|)2＝(AB ―→·AC ―→)2＋(|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉)2， ∴|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝2－3， ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝1－32．答案：1－32角度三：平面向量的垂直4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析：选B ∵n⊥(t m ＋n )，∴n·(t m ＋n )＝0，即t m·n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n|2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ．平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈．(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ． ②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2．③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |．1．(2017·合肥质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a －2b )，则|b |＝( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由a ⊥(a －2b )得，a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0，则|a －b |＝a －b2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|b |＝2，故选B ．2．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8．∵|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×1×1×13＝9，∴|a |＝3．∵|b |2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝8，∴|b |＝22， ∴cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223．答案：2233．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2．若AP ―→＝λ AB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：BC ―→＝AC ―→－AB ―→，由于AP ―→⊥BC ―→，所以AP ―→·BC ―→＝0，即(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→) ＝－λAB ―→2＋AC ―→2＋(λ－1)AB ―→·AC ―→＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝0，解得λ＝712．答案：712考点三平面向量与三角函数的综合重点保分型考点——师生共研已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R ． (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解：(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1．又π3<2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3．∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7．① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②，可得b ＝3，c ＝2．平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．(2017·临沂模拟)已知向量m ＝(sin α－2，－cos α)，n ＝(－sin α，cos α)，其中α∈R ． (1)若m ⊥n ，求角α；(2)若|m －n |＝2，求cos 2α的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0，即为－sin α(sin α－2)－cos 2α＝0，即sin α＝12，可得α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z ．(2)若|m －n |＝2，即有(m －n )2＝2，即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，即为4sin 2α＋4－8sin α＋4cos 2α＝2，即有8－8sin α＝2，可得sin α＝34，即有cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×916＝－18．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( ) A ．－6 B ．10 C ． 5D ．10解析：选D ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D ．2．(2017·河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A ． 3B ．2 3C ．3D ．4解析：选D 因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2－|a ||b a ，b ＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4．3．已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B (a ＋2b )·(a －3b )＝－18， ∴a 2－6b 2－a ·b ＝－18，∵|a |＝3，|b |＝2，∴9－24－a ·b ＝－18， ∴a ·b ＝3，∴a ，b ＝a ·b |a ||b |＝36＝12，∴a ，b ＝60°．4．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则m 的值是________．解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2．答案：－25．△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→·BC ―→＝________．解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)．∴AD ―→·BC ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝13(AC ―→2＋AC ―→·AB ―→－2AB ―→2) ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×22＝－83．答案：－83二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4解析：选C 由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3，所以|a |＝1＋x 2＝4＝2．2．(2017·贵州适应性考试)若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝( )C ．12D ．32解析：选A 由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12，故选A ．3．平面四边形ABCD 中，AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形D ．梯形解析：选C 因为AB ―→＋CD ―→＝0，所以AB ―→＝－CD ―→＝DC ―→，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝DB ―→·AC ―→＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．4．(2016·重庆适应性测试)设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a 方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3C ． 3D ．332解析：选A 依题意得e 1·e 2＝1×1×cos 2π3＝－12，|a |＝e 1＋2e 22＝e 21＋4e 22＋4e 1·e 2＝3，a·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝－923＝－332，故选A ． 5．(2017·成都模拟)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→，λ∈R ，若BD ―→·CP―→＝－3，则λ的值为( )A ．12B ．－12C ．13D ．－13解析：选A 法一：由题意可得BA ―→·BC ―→＝2×2cos π3＝2，BD ―→·CP ―→＝(BA ―→＋BC ―→) ·(BP ―→－BC ―→)＝(BA ―→＋BC ―→)· ＝(BA ―→＋BC ―→)·＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→·BC ―→＋(1－λ)BA ―→·BC ―→－BC ―→2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A ．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ―→·CP ―→＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1． ∵AP ―→＝λAB ―→，∴λ＝12．故选A ．6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________．解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋－2＝82．答案：8 27．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则向量m ，n 的夹角的余弦值为________．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，所以由(m ＋n )⊥(m －n )得(m ＋n )·(m －n )＝0，即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，则m ＝(－2,1)，n ＝(－1,2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝45．答案：458．如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB―→－OA ―→)＝________．解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，。

2018高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入课

课时分层训练(二十六) 数系的扩充与复数的引入A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·南昌一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i 对应的点位于( )【导学号：66482219】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [复数(1＋3i)i ＝－3＋i 在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.]2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3A [(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.] 3．(2016·山东高考)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i B [∵z ＝21－i＝＋－＋＝＋2＝1＋i ，∴z －＝1－i.]4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是 ( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．]6．若i 为虚数单位，图443中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )【导学号：66482220】图443A ．EB ．FC ．GD ．HD [由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i＝＋－＋－＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i 的点为H .]7．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0D [z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 019＝－z 2 0201－z＝1－i 2 0201－i ＝1－i4×5051－i＝0.] 二、填空题8．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i 为实数，则a ＝________.－12 [1＋a i 2－i ＝＋a＋－＋＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i.∵1＋a i 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________.【导学号：66482221】3 [∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝31＝ 3.] B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( )A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2| C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数C [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.]2．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )【导学号：66482222】A ．1B ．2C ．3D ．无数个C [f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．]3．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．3或6 [∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3.]4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________.【导学号：66482223】12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.]。

2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练理

2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入模拟演练理[A 级基础达标](时间：40分钟)1．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3C ． 2D ．1答案 B解析解法一：由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|1－a i|＝2.∴1＋a2＝2.∵a >0，∴a ＝ 3. 解法二：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝|a ＋i|＝a2＋1＝2，∴a ＝ 3.2．[2016·北京高考]复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i答案 A 解析1＋2i2－i＝＋＋－＋＝2＋i ＋4i ＋2i24－i2＝5i5＝i ，故选A.3．[2016·全国卷Ⅲ]若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 C解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4i z z －1＝4i4＝i ，故选C.4．[2015·湖南高考]已知－z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D 解析由－z＝1＋i ，得z ＝－1＋i＝－2i 1＋i ＝－－＋－＝－1－i.5．[2017·安徽模拟]设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.6．[2016·天津高考]i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析 ∵z ＝21＋i＝1－i ，∴z 的实部为1.7．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－＝ 5.8．[2014·湖南高考]满足z ＋iz ＝i(i 为虚数单位)的复数是________．答案 12－i 2解析由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ，即z ＝－i1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－i2. 9．[2017·金华模拟]已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i.解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝bi －21＋i＝－－＋－＝－＋＋2＝b －22＋b ＋22i.。

[配套K12]2018高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入重点强化课2 平面向量教师用书文

重点强化课(二) 平面向量[复习导读] 从近五年全国卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有“形”与“数”两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．重点1 平面向量的线性运算(1) (2017·深圳二次调研)如图1，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( )A.43 B ．53 C.158D ．2图1(2)在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD →＝b,3AN →＝NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)(1)B (2)－34a －14b [(1)因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.(2)如图所示，MN →＝MC →＋CN →＝12AD →＋34CA → ＝12AD →＋34(CB →＋CD →) ＝12AD →＋34(DA →＋BA →) ＝12b －34a －34b ＝－34a －14b .] [规律方法] 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．3．O 在AB 外，A ，B ，C 三点共线，且OA →＝λOB →＋μOC →，则有λ＋μ＝1.[对点训练1] 设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )【导学号：66482224】A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，所以OD →＝－OC →，所以O 为CD 的中点．又因为D 为AB 的中点，所以S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS AOC＝4.]重点2 平面向量数量积的综合应用(2016·杭州模拟)已知两定点M (4,0)，N (1,0)，动点P 满足|PM →|＝2|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点G (a,0)是轨迹C 内部一点，过点G 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，令f (a )＝GA →·GB →，求f (a )的取值范围．[解] (1)设P 的坐标为(x ，y )，则PM →＝(4－x ，－y )，PN →＝(1－x ，－y )． ∵动点P 满足|PM →|＝2|PN →|， ∴－x2＋y 2＝2－x2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝4. 4分(2)(a)当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝a ，不妨设A 在B 的上方，直线方程与x 2＋y 2＝4联立，可得A (a ，4－a 2)，B (a ，－4－a 2)，∴f (a )＝GA →·GB →＝(0，4－a 2)·(0，－4－a 2)＝a 2－4；6分 (b)当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －a )，代入x 2＋y 2＝4，整理可得(1＋k 2)x 2－2ak 2x ＋(k 2a 2－4)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2ak 21＋k 2，x 1x 2＝k 2a 2－41＋k2，∴f (a )＝GA →·GB →＝(x 1－a ，y 1)·(x 2－a ，y 2)＝x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋k 2(x 1－a )(x 2－a )＝a 2－4.由(a)(b)得f (a )＝a 2－4. 10分 ∵点G (a,0)是轨迹C 内部一点， ∴－2<a <2，∴0≤a 2<4，∴－4≤a 2－4<0，∴f (a )的取值范围是[－4,0). 12分[规律方法] 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．[对点训练2] (1)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1 B ． 2 C.2＋1D ．2＋2(2)(2016·四川成都模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( )【导学号：66482225】A.12 B ．－12C.13D ．－13(1)C (2)A [(1)∵a ，b 是单位向量，且a ·b ＝0， ∴|a |＝|b |＝1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2， ∴|a ＋b |＝ 2.又|c －a －b |＝1， ∴|c |－|a ＋b |≤|c －a －b |＝1.从而|c |≤|a ＋b |＋1＝2＋1，∴|c |的最大值为2＋1. (2)法一：由题意可得BA →·BC →＝2×2cos60°＝2， BD →·CP →＝(BA →＋BC →)·(BP →－BC →) ＝(BA →＋BC →)·[(AP →－AB →)－BC →] ＝(BA →＋BC →)·[(λ－1)·AB →－BC →]＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3，得x ＝1.∵AP →＝λAB →，∴λ＝12.故选A.]重点3 平面向量与三角函数的综合应用(2017·合肥二次质检)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x,1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调增区间．[解] (1)由m ∥n 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，3分展开变形可得sin x ＝3cos x ，即tan x ＝ 3. 5分 (2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，7分由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 10分又因为x ∈[0，π]，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 12分 [规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[对点训练3] 已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( ) 【导学号：66482226】A ．－43B ．－45C.45D ．34A [由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，4 3，故选A.]则tanα<0，解得tanα＝－。

2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1

答案：D
第十九页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
考向二平面向量的线性运算[自主练透型] [例 2] (2017·武汉市武昌区调研)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( ) A.O→M B．2O→M C．3O→M D．4O→M
＋kb)，即 ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b 是不共线的两个非零向量，
k－λ＝0， λk－1＝0，
解得λk＝＝11，
或kλ＝＝－－11，，
又∵λ>0，∴k＝1.
第二十八页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
第二十九页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
所以A→M＝12(A→B＋A→C)＝12(A→B＋A→D＋D→C)＝12(A→B＋A→D＋12A→B)＝34 A→B＋12A→D.
答案：B
第二十二页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
考向三共线向量定理及其应用[互动讲练型] [例 3] 如图，在△ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点， A→E＝23A→D，A→B＝a，A→C＝b.
第十四页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
第十五页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
[授课提示：对应学生用书第 068 页] 考向一平面向量的有关概念[自主练透型] [例 1] 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A、B、C、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标24 平面向量的概念及

2018届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3.2 平面向量的应用课件理

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例
第二课时平面向量的应用
微考点大课堂微考场新提升
微考点大课堂
考点例析对点微练
考一点【典例平1】面已向知量向量在a，函b 满数足|a、|＝2不，|b等|＝1式，且中对一的切实应数用x，|a
＋xb|≥|a＋b|恒成立，则 a，b 的夹角的大小为________。
(2)因为 A，B，C 三点共线，所以(a－1)×(－2)＝1×b，所以 2a＋b ＝2。因为 a>0，b>0，所以1a＋2b＝2a＋ 2 b ·1a＋2b＝2＋2ba＋2ba≥2＋2
2ba·2ba＝4(当且仅当2ba＝2ba，即 a＝12，b＝1 时取等号)。故选 B。【答案】 (1)C (2)B
A．周期为 4 的奇函数 B．周期为 4 的偶函数 C．周期为 2π 的奇函数 D．周期为 2π 的偶函数
【解析】由题图可得A2πω， 43ωπ22－3＝0，又ω>0，∴ω＝π2，

3
，B
23ωπ ，－

3
，由
O→A
·O→B
＝0得

∴f(x)＝ 3sinπ2x，
∴f(x＋1)＝ 3sinπ2(x＋1)＝ 3cos2πx，它是周期为4的偶函数。故选 B。
根据平行四边形法则，知A→B＋A→C是△ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)
所对应向量A→D的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心。故选 C。
【答案】 C
【母题变式】在本典例中，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ|AA→ →BB|＋|AA→ →CC|， λ∈(0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________。

2018年高考数学一轮温习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标27数系的扩充与复数的引入理

3．i是虚数单位，假设＝a＋bi(a，b∈R)，那么lg(a＋b)的值是( C )
A．－2B．－1C．0D．
解析：∵ ＝＝－ i＝a＋bi，
∴ ∴lg(a＋b)＝lg 1＝0，应选C．
4．(2017·甘肃兰州模拟)已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，那么a＝( C )
A．0B．1C．－1D．±1
解析：由题意得解得a＝－1.
5．知足＝i(i为虚数单位)的复数z＝( B )
A．＋ iB．－ i
C．－＋ iD．－－ i
解析：去掉分母，得z＋i＝zi，因此(1－i)z＝－i，解得z＝＝－ i，选B．
6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋ i，那么a＝( B )
2018年高考数学一轮温习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标27 数系的扩充与复数的引入理
[解密考纲]复数的计算以选择题或填空题的形式显现，要紧考查复数的概念和复数代数形式的四那么运算．
一、选择题
1．(2017·河北三市二联)假设复数z＝＋a在复平面上对应的点在第二象限，那么实数a能够是( A )
A．2B．－2C．±2D．－
解析：由题意可得＝－＋ i，即＝＝－＋ i，∴ ＝－，＝，∴a＝－2，应选B．
二、填空题
7．(2017·山东日照模拟)假设复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，那么z2＋ 2＝0.
解析：因为z＝1＋i，因此＝1－i，
则z2＋ 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
12．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设 1＋z2是实数，求实数a的值．
解析： 1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第27讲数系的扩充与复数的引入理

【例 1】 (1)(2015·广东卷)若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( A )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
(2)(2016·江苏卷)复数 z＝(1＋2i)(3－i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是___5___.
(3)(2015·江苏卷)设复数 z 满足 z2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则 z 的模为___5___.
解析：因为 z＝3＋i i－i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝ 17.
•一复数的有关概念
• (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
• (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a， b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
＝( A )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
(2)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( B )
A．A
B．B
C．C
D．D
(3)已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为 A，B，C，
O 为坐标原点，若O→C＝xO→A＋yO→B，则 x＋y 的值是__5____.
• 解析：(1)错误．若a＝i，则a2＝－1<0, 因而 (1)错．
• (2)错误．若两个复数为虚数，或一个为实数，一个为虚数，则它们不能比较大小．
• (3)错误．当虚部也为0时，则此复数为实数0.
• (4)正确．由复数的几何意义可知该结论正确．
• 2．已知a∈R，i为虚数单位，若(1－2i)(a＋i)为纯虚数，则a的值为( )

[推荐学习]2018年高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标25平面向量基本定

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标25 平面向量基本定理及坐标表示理[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．若向量AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →＝( B ) A ．(1,1) B ．(－1，－1)C ．(3,7)D ．(－3，－7)解析：因为AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，所以BC →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故选B ．2．已知向量m ＝(a ，－2)，n ＝(1,1－a )，且m∥n ，则实数a ＝( B ) A ．－1 B ．2或－1 C ．2D ．－2解析：因为m∥n ，所以a (1－a )＝－2，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2，故选B ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0,0)，A (0,1)，B (1，－2)，C (m,0)．若OB →∥AC →，则实数m 的值为( C )A ．－2B ．－12C ．12D ．2解析：在平面直角坐标系xOy 中，点O (0,0)，A (0,1)，B (1，－2)，C (m,0)，所以OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12，故选C ．4．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( A )A ．23B ．33C ．23 D ．13解析：设M 为AC 的中点，则AO →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋2yAM →.因为x ＋2y ＝1，所以O ，B ，M 三点共线．又因为O 是△ABC 的外接圆圆心，所以BM ⊥AC ，从而cos ∠BAC ＝23，故选A ．5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，O P →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2P A →，则( A )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，所以O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，所以x ＝23，y ＝13.6．如图所示，在△ABC 中，点M ，N 分别在AB ，AC 上，且AM →＝2MB →，AN →＝35AC →，线段CM与BN 相交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，则AP →用a 和b 表示为( A )A ．AP →＝49a ＋13bB ．AP →＝49a ＋23bC ．AP →＝29a ＋43bD ．AP →＝47a ＋37b解析：由于AM →＝23a ，MB →＝a 3，AN →＝35b ，NC →＝25b ，则MC →＝AC →－AM →＝b －23a ，BN →＝AN →－AB →＝35b－a .设MP →＝λMC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －23a ，BP →＝μBN →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫35b －a ，由MP →－BP →＝MB →，得λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －23a －μ⎝ ⎛⎭⎪⎫35b －a ＝13a ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35μ，－23λ＋μ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，μ＝59，因此AP →＝AB →＋BP →＝a ＋59⎝ ⎛⎭⎪⎫35b －a ＝49a ＋13b .二、填空题7．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝5.解析：∵a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，∴a －c ＝(3－k ，－6)．∵(a －c )∥b ，∴1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5.8．已知向量OA →＝(3,4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是m ≠－710.解析：因为AB →＝OB →－OA →＝(3，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，－7－m )，点A ，B ，C 能构成三角形，所以点A ，B ，C 不共线，即AB →与AC →不共线，所以3×(－7－m )－(－7)×(2－m )≠0，解得m ≠－710，故实数m 应满足m ≠－710.9．在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点．若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为94.解析：由题意知AD →＝12(AB →＋AC →)，AE →＝12AD →.∵M ，E ，N 三点共线，∴AE →＝λAM →＋(1－λ)AN→(其中0<λ<1)．又∵AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，∴14(AB →＋AC →)＝λxAB →＋(1－λ)yAC →.因此有⎩⎪⎨⎪⎧4λx ＝1，－λy ＝1，解得x ＝14λ，y ＝1－λ.令1λ＝t ，则t >1，则4x ＋y ＝1λ＋1－λ＝t ＋tt －＝(t －1)＋1t －＋54≥94，当且仅当t ＝32，即λ＝23时取得等号．三、解答题10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解析：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴a ＋3b ＝(7,3)，故|a ＋3b|＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，∵k a －b 与a ＋3b 平行， ∴3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．11．在△OAB 的边OA ，OB 上分别取M ，N ，使|OM |∶|OA |＝1∶3，|ON |∶|OB |＝1∶4，设线段AN 与BM 的交点为P ，OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示OP →.解析：∵A ，P ，N 三点共线，∴OP →＝λOA →＋(1－λ)ON →＝λa ＋14(1－λ)b ；又∵M ，P ，B 三点共线，∴OP →＝μOM →＋(1－μ)OB →＝13μa ＋(1－μ)b .∴⎩⎪⎨⎪⎧13μ＝λ，14－λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝311，μ＝911，∴OP →＝311a ＋211b .12．已知平面上三个点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使得A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形．解析：设D (x ，y )，由ABCD 为平行四边形得AB →＝DC →，即(1,2)＝(3－x ，4－y )，可解得D (2,2)；由ABDC 为平行四边形得AB →＝CD →，即(1,2)＝(x －3，y －4)，可解得D (4,6)；由ADBC为平行四边形得AD →＝CB →，即(x ＋2，y －1)＝(－4，－1)，可解得D (－6,0)．因此A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形的D 点坐标是(2,2)或(4,6)或(－6,0)．。

配套K122018年高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第25讲平面向量基本定理及坐

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第25讲平面向量基本定理及坐标表示实战演练理1．(2015·湖南卷)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ．若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( B )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由圆角定理及AB ⊥BC ，知AC 为圆的直径．故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)(O 为坐标原点)．设B (cos α，sin α)，∴PB →＝(cos α－2，sin α)，∴PA →＋PB →＋PC →＝(cos α－6，sin α)，|PA →＋PB →＋PC →|＝α－2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7，当且仅当cos α＝－1时取等号，此时B (－1,0)，故|PA→＋PB →＋PC →|的最大值为7，故选B ．2．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝12. 解析：由于a ，b 不平行，所以可以以a ，b 作为一组基底，于是λa ＋b 与a ＋2b 平行等价于λ1＝12，即λ＝12. 3．(2015·北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝12，y ＝－16. 解析：由AM →＝2MC →知M 为AC 上靠近C 的三等分点，由BN →＝NC →知N 为BC 的中点，作出草图如下：则有AN →＝12(AB →＋AC →)，所以MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →，又MN →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16. 4．(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为－3.解析：由a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，可得m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝5，从而m －n ＝－3.。

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算实战

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算实战演练理1．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( A )A ．AD →＝－13AB →＋43AC → B ．AD →＝13AB →－43AC → C ．AD →＝43AB →＋13AC → D ．AD →＝43AB →－13AC → 解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A ． 2．△ABC 中，AB 边的高为CD ．若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( D )A ．13a －13bB ．23a －23bC ．35a －35bD ．45a －45b 解析：解Rt △ABC 得AB ＝5，可求得AD ＝455，即AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45a －45b ，故选D ． 3．(2014·福建卷)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝( D )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D ．4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝12. 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，由于a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝12.。

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第26讲平面向量的数量积与平

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例实战演练理1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，所以∠ABC ＝30°.2．(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( B )A ．－58B ．18C ．14D ．118解析：建立如图所示的平面直角坐标系．则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以BC →＝(1,0)．易知DE ＝12AC ，∠FEC ＝∠ACE ＝60°，则EF ＝14AC ＝14，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538，所以AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538·(1,0)＝18.故选B ．3．(2016·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( B )A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析：因为n ⊥(t m ＋n )，所以t m ·n ＋n 2＝0，所以m ·n ＝－n 2t，又4|m |＝3|n |，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝4m ·n 3|n |2＝－43t ＝13，所以t ＝－4，故选B ． 4．(2016·浙江卷)已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a·b ＝1.若e 为平面单位向2量，则|a·e|＋|b·e|解析：借助向量数量积及柯西不等式求解．∵a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1×2×cos〈a ，b 〉＝1， ∴cos 〈a ，b 〉＝12，∴〈a ，b 〉＝60°.以a 的起点为原点，所在直线为x 轴建立直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(1，3)．设e ＝(cos θ，sin θ)，则|a ·e |＋|b·e |＝|cos θ|＋|cos θ＋3sin θ|≤|cos θ|＋|cosθ|＋|3sin θ|＝2|cos θ|＋3|sinθ|≤θ|2＋|sin θ|22＋＝7.。

配套K12全国通用2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数

第四节数系的扩充与复数的引入———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图441所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.图4411．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材改编)如图442，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图442A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(2016·四川高考)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．0 B ．2 C ．2iD ．2＋2iC [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.]4．(2016·北京高考)复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i A [法一：1＋2i2－i ＝＋＋－＋＝5i5＝i. 法二：1＋2i 2－i＝＋－＝＋2i ＋1＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________．－1 [i(1＋i)＝－1＋i ，所以实部为－1.](1)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1B ．－1C.45＋35i D.45－35i (2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.【导学号：31222156】(1)D (2)－2 [(1)∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. (2)由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.][规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1] (1)(2017·合肥二次质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝i2＋i的虚部为( )A ．－15B ．－25C.15D.25(2)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D ．2 (1)D (2)B [(1)复数z ＝i 2＋i＝－＋－＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25，故选D.(2)z ＝11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.])A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．(1)C (2)2 [(1)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C.(2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴a b＝2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i(n ∈N)．[变式训练2] (1)已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________.(1)D (2)1＋i [(1)由－2z＝1＋i ，得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－＋－＝－1－i ，故选D.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )【导学号：31222157】A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i(1)A (2)A [(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.][规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝0的复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限A [由题意得z ×1－2(1＋i)＝0，则z ＝2＋2i 在复平面内对应的点为(2,2)，位于第一象限，故选A.][思想与方法]1．复数分类的关键是抓住z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的虚部：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，且b ≠0时，z 为纯虚数．2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数． 3．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．[易错与防范]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．两个虚数不能比较大小．3．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，应注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．课时分层训练(二十七) 数系的扩充与复数的引入A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·南昌一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i 对应的点位于( )【导学号：31222158】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [复数(1＋3i)i ＝－3＋i 在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.]2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3A [(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.] 3．(2016·山东高考)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i B [∵z ＝21－i＝＋－＋＝＋2＝1＋i ，∴z －＝1－i.]4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A．1 B. 2C. 3 D．2B [∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 ( )A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22D [对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋3i，则|z1|＝|z2|，但z21＝4，z22＝－2＋23i，是假命题．]6．若i为虚数单位，图443中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是( ) 【导学号：31222159】图443A．E B．FC．G D．HD [由题图知复数z＝3＋i，∴z1＋i＝3＋i1＋i＝＋－＋－＝4－2i2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H.]7．已知复数z＝1＋2i1－i，则1＋z＋z2＋…＋z2019＝( )【导学号：31222160】A．1＋i B．1－i C．i D．0D [z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2019＝－z20201－z＝1－i 20201－i＝1－i 4×5051－i＝0.]二、填空题8．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i2－i 为实数，则a ＝________.－12 [1＋a i 2－i ＝＋a＋－＋＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i.∵1＋a i 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________.【导学号：31222161】3 [∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.] B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( )【导学号：31222162】A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2| C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数C [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.]2．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个C [f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．]3．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．3或6 [∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3.]4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋s in 45°i，则z 1·z 2＝________.12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.]。

[K12学习]2018高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节 面向量基本

2018届高考数学第1轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3.1平面向量的数量积课件理

2018届高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积(1)课件 文

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标24平面向量的概念及其线性运算理

2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教师用书文

2018高考数学(文)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

2018高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4节 数系的扩充与复数的引入课

2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练理

[配套K12]2018高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 重点强化课2 平面向量教师用书 文

2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1

2018年高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时达标24 平面向量的概念及

2018届高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3.2 平面向量的应用课件 理