高三数学-二项式定理(知识点和例题)培训资料

三数学-二项式定理
知识点和例题)

二项式定理 1．知识精讲： （1）二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110（Nn） 其通项是1rTrrnrnbaC （r=0,1,2,……,n），知4求1，如：555156baCTTnn 亦可写成：1rTrnrnabaC)( nnnnrrnrnrnnnnnbCbaCbaCaCba11110（Nn） 特别地：nnnrnrnnnnnxCxCxCxCx101（Nn） 其中，rnC——二项式系数。而系数是字母前的常数。 例1．nnnnnnCCCC1321393等于 （ ） A．n4 B。n43 C。134n D.314n 解：设nnnnnnnCCCCS1321393，于是： nnnnnnnCCCCS3333333221=133********nnnnnnnCCCCC 故选D 例2．（1）求7(12)x的展开式的第四项的系数； （2）求91()xx的展开式中3x的系数及二项式系数 解：（1）7(12)x的展开式的第四项是333317(2)280TCxx， ∴7(12)x的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()xx的展开式的通项是9921991()(1)rrrrrrrTCxCxx， ∴923r，3r， ∴3x的系数339(1)84C，3x的二项式系数3984C．

（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即,,,,22110knnknnnnnnnnnnCCCCCCCC ②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：122maxnnnrnTCC；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即1211212121maxnnnnnnrnTTCCC。 ③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于n2即nnnnnCCC210； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即131202nnnnnCCCC 例3．已知7270127(12)xaaxaxaxL，求： （1）127aaaL； （2）1357aaaa； （3）017||||||aaaL. 解：（1）当1x时，77(12)(12)1x，展开式右边为 0127aaaaL ∴0127aaaaL1， 当0x时，01a，∴127112aaaL， （2）令1x， 0127aaaaL1 ① 令1x，7012345673aaaaaaaa ② ①② 得：713572()13aaaa，∴ 1357aaaa7132. （3）由展开式知：1357,,,aaaa均为负，0248,,,aaaa均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13aaaa，

∴ 70246132aaaa， ∴017||||||aaaL01234567aaaaaaaa 702461357()()3aaaaaaaa 例4．（1）如果在nxx421 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 （2）求321xx的展开式的常数项。 解：（1）展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(nn， 由题意得：2×2n=1+8)1(nn得n=8。 设第r+1项为有理项，43168121rrrrxcT，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。 有理项为295412561,835,xTxTxT。 【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。 （2）321xx61xx，其展开式的通项为2266111rrrrrxxCT22661rrrrxC，令02r26—r得3r 所以，常数项为204T 【思维点拨】 密切注意通项公式的使用。 （3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：Nnnnn,

322取nn112的展开式中的四项即可。

例5、 若n为奇数，则777712211nnnnnnnCCC被9除得的余数是 （ ） A．0 B。2 C。7 D.8 解：777712211nnnnnnnCCC11918nn =1191991111nnnnnnnCC 因为n为奇数，所以原式=2]9199[1111nnnnnnCC 所以，其余数 为9 – 2 = 7，选C 例6：当Nn且n>1，求证3)11(2nn 证明: 2111111)11(1221nCnCnCnCnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnn12321!1!321!212112 2112112122121212!1!31!212112nnn .32131n 从而3)11(2nn 【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。 2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。 3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。 4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，rrnrnbaC是第r+1项。 ②通项是1rTrrnrnbaC （r=0,1,2,……,n）中含有rnbaTr,,,,1五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。 ③注意二项式系数与某一项系数的异同。 ④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求nx)1(的近似值。