万有引力定律及引力常量的测定

1687年，牛顿发表了万有引力定律，只提出引力与两个物 体质量和两者之间距离有关，却没能给出准确的引力常数， 如何准确测量引力常数成为物理界普遍关心的重大课题。 其实，引力常量是很小很小的，平时见到的物体的质量又 不大，引力比较微小。例如两个质量各为50kg的同学，相 距0.5m时，他们之间的万有引力只有几百粒尘埃重。正因
卡文迪许
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称量地球的质量
1.月球实际轨道是什么形状？为了解决问题的方便，
我们通常可以认为月球做什么运动？
思考
通常可以认为月球绕地球做匀速圆周运动 2.月球做圆周运动的向心力是由什么力来
提供的？
月球做圆周运动的向心力是由地球对月球 的万有引力来提供的
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月球做圆周运动的向心力是由地球对月球的万有引力来 提供的
F引 Fn
r F
M
Mm F引 G 2 r
Fn m2 r
m
月球公转角速度 不能 直接测出,但我们知道月球 公转的周期 T .
Mm G 2 m2 r r
2 r 3 M G
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r F m
T M

2 T
2 r 3 M G
v
42 r 3 M GT 2
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月球绕地球运行的周期T=27.3天，
A、所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B、行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C、离太阳越近的行星运动周期越长 D、所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方
的比值都相等
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练习1：行星绕恒星的运动轨道如果是圆形，那么运 行周期T的平方与轨道半径r的三次方的比为常数，设 T2/r3=
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5. 一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重 力加速度为 g 0 ，行星的质量 M 与卫星的质量 m 之比 M/m=81 ， 行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫星 之间的距离 r 与行星的半径 R0 之比r/R0 ＝60。设卫星表面
的重力加速度为g，则卫星表面的重力加速度和行星表面
答案： 2 2 :1
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万有引力定律
牛顿在前人研究成果的基础
上，凭借他超凡的数学能力
发现了万有引力定律，比较 完美的给出了天体的运动规 律。
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定律内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟
这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次 方成反比 m1m2 r2 其中：m1、m2是两个物体的质量 r是两个物体间的距离：
太阳
“日心说”模型
哥白尼
哥白尼
11
太阳系模型
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开普勒三大定律
开普勒(1571-1630)是德国近代 著名的天文学家、数学家、物理 学家和哲学家
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开普勒第一定律：
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在 所有椭圆的一个焦点上。
行星 太阳
F
F
椭圆有两个焦点
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开普勒第二定律：
太阳和任何一个行星的连线在相等的时间内扫过的面积
相等。
S1
S2
S1 = S2
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开普勒第三定律：
所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方
的比值都相等。
行星
太阳
r k 2 T
O F R r：半长轴 T：公转周期
3
F
k三定律也适用于其他环绕星系，包括地---卫系统， k值只与中心天体质量有关 16
例1：关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是（ D ）
Mm 4 2 G 2 m 2 R R T
M 3 答案： 2 V GT
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课 堂 练 习
1.根据观察，在土星外层有一个环，为了判断是土星的
连续物还是小卫星群，可测出环中各层的线速度v与该层
到土星中心的距离R之间的关系.下列判断正确的是( AD )
A.若v与R成正比，则环是连续物
B.若v2与R成正比，则环是小卫星群
C.若v与R成反比，则环是连续物
D.若v2与R成反比，则环是小卫星群
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2.利用下列哪组数据可以计算出地球的质量（ ABCD ） A.已知地球的半径r和地球表面的重力加速度g B.已知卫星围绕地球运动的轨道半径r和周期T C.已知卫星围绕地球运动的轨道半径r和角速度 D.已知卫星围绕地球运动的线速度v和周期T
5
“勘测者”月球探测器
美国发射的月球轨道器
“阿波罗”11号的登月舱690720
6
左起:阿姆斯特朗、科林斯、奥尔德林
7
“阿波罗”11号宇航员阿尔德林迈出登月舱 宇航员阿尔德林在美国国旗旁留影
“阿波罗”11号宇航员阿尔德林在月球表面
“阿波罗”15号的月球车
8
嫦娥一号成功进入月球轨道071024
9
41
40
地球表面，不考虑（忽略）地球自转的影响，物体 Mm 的重力近似等于万有引力 mg G 2 R 2 地球质量 M gR G 围绕天体做圆周运动的向心力为中心天体对围绕天体的 万有引力，通过围绕天体的运动半径和周期求中心天体 的质量。
2 3 4 r 中心天体质量 M GT 2
Mm 2 2 2 G 2 m r m（ ） r r T
地心说
托勒密于公元二世纪，提出了自己
的宇宙结构学说，即“地心说”. 地心说认为地球是宇宙的中心，是 静止不动的，太阳、月亮及其他的 行星都绕地球运动． 地心说直到16世纪才被哥白尼推翻. 代表人物：
“地心说”模型
亚里士多德；托勒密
托勒密
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日心说
哥白尼在16世纪提出了日心说． 日心说认为太阳是静止不动的，地 球和其他行星都绕太阳运动． 1543年哥白尼的《天体运行论》出 版，书中详细描述了日心说理论. 代表人物：
月----地检验
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引力常量的测定及其意义
引力常量的测量——扭秤实验
实验原理： 科学方法——放大法
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英国物理学家卡文迪许运用正确实验方
法和思路，巧妙利用力矩平衡条件和微 量放大法设计出扭称，终于精确测出两 个铅球之间微小的引力，从而证明万有 引力定律的正确性，由此得到当时精确
度很高的引力常数G=6.75×1011 3 m /(kg.s2)。
42 r 3 M GT 2
特点：须知道待求天体（M）的某一环行天体的运行规律，
且与环行天体的质量（m）无关.
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例3：如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀 速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少? 解析：设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速
4 2 R 3 圆周运动，则有 ，所以， M GT 2 M 3 而恒星的体积 V 4 R 3 ，所以恒星的密度 V GT 2 3
月球与地球的平均距离r=3.84×108m
Mm 2 2 G 2 m( ) r r T
思考
4 r M GT 2
2 3
M=5.98×1024kg 该表达式与月球（环行天体）质量m有没 有关系？
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总结推广
中心天体M
求解思路：
环行天体m
环行天体的向心力由中心天体对其万有引力独家提供
mM 2 2 G m( ) r 具体方法： 2 r T
3.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的
比值相等，R3/T2＝k
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万有引力定律内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟 这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次 方成反比
表达式
F=G
m1 m2
r2 其中：m1、m2是两个物体的质量 r是两个物体间的距离： 适用于相距很远可看做质点的物体，r指质点间的距 离
表达式
F=G
适用于可看做质点的物体，r指质点间的距离。
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例2.下面我们粗略地来计算一下两个质量为50kg，相距
0.5m的人之间的引力。
m1m 2 50 50 11 7 FG 6.67 10 N 6.67 10 N 2 r 0.25
答案：6.67 107 N
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3.太阳系中地球围绕太阳运行的线速度v=30km/s，地球 公转半径是R=1.5×108km，求太阳的质量等于多少？ 答案：2×1030kg
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4.已知在月球表面以10m/s的初速度竖直上抛一物体，物体 能上升的最大高度是30m，又已知月球的半径为1740km，试 计算月球的质量。 答案：7.6×1022kg
一位进入太空的人。在人类探索宇宙空
间的道路上，留下了许多光辉的足迹， 积累了大量丰富的资源。
加加林
4
月球是距离地球最近的天体(约 38万公里)，是人类进行太空探险的 第一站。前苏联1959年发射的月球2 号探测器在月球着陆，这是人类的航
天器第一次到达地球以外的天体。同
年10月，月球3号飞越月球，发回第 一批月球背面的照片。
R M g0
行星表面 ( R 0 )2 m g 即
GM g0 2 R0
g =0.16g0。
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课 堂 小 结
一、开普勒行星运动定律： 1.所用行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦 点上。 2.对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相 等的面积。 所以近日点的速度大，远日点的速度小。
1 , k
则常数k的大小( A )
A.只与恒星的质量有关
B.与恒星的质量及行星的质量有关 C.只与行星的质量有关 D.与恒星的质量及行星的速度有关
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练习2：太阳系中的八大行星均在各自的椭圆轨道上绕太
阳运动，设他们的轨道为圆形，若两颗行星的轨道半径
之比为R1:R2＝2:1，他们的质量之比为M1:M2＝4:1，则他 们绕太阳运动的周期之比为多少？