数据库图

对于无向图，其中任意两顶点都是连通的，则称 该无向图是连通图。无向图中的极大连通子图称为连 通分量。
V0
V2
V0
V4
V2
V4
V3
V5
V1
V3
V1
V5
无向图G3及连通分量
9
在有向图中，若任意两个顶点vi和vj都连通，则称该有向 图为强连通图。有向图的极大强连通子图称为强连通分量。
V0
V1
V1
V0
V2
图的定义和相关术语 图的存储 图的遍历 最小生成树 拓扑排序 最短路径 关键路径
2
7.1 图的基本概念 1．图的定义
图G (Graph)是由非空的顶点集合V（G）和描述顶点 之间关系的边集合E（G）构成，其形式定义为：G ＝(V(G)，E(G))。简写为G＝(V，E)。 G表示一个图，V是图G中非空顶点的集合，E是图G 中边的集合。
2．图的邻接矩阵的建立
图的邻接矩阵存储方法用一个二维数组存储顶点之间 的相邻关系，再用一个一维数组存储顶点信息，另外 还需要存储图的顶点数和边(弧)数。
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typedef char Vextype；
typedef struct {
Vextype vexs[VEX_NUM];
int adj[MAXSIZE][MAXSIZE]; /*邻接矩阵*/
有向图：在一个图中，如果两个顶点构成的<vi, vj>∈E是序偶，则称这样的边是有向边，简称弧。用 <vi, vj>来表示。如果某图全部是由有向边构成，则称 该图为有向图。
4
无向完全图：在一个无向图中，设V是包含n个结
点的集合，且对于任意两个不相同的顶点之间都有
一条边将它们连接，则称该图为无向完全图。
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for (i=0;i<G->n;i++) scanf("%c",&(G->vexs[i])); for (i=0;i<G->n;i++)
for (j=0;j<G->n;j++) G->adj[i][j]=0; /*初始化邻接矩阵*/
printf("输入每条边对应的两个顶点的序号:\n"); for (k=0;k<G->e;k++)
子图：设G(V,E)，G’(V’,E’)是两个图，假设 V’⊆V且E’⊆E，称G’为G的子图。当满足V’=V 且E’⊆E，称G’为G的生成子图。
V0
V1 V1
V3 V0
V1 V1
V3
V2
无向图 G1
V0
V2
有向图G2
V3
V2 V0
V2
图G1和G2的子图
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连通、强连通 若从顶点vi到顶点vj（i≠j）之间有路径 存在，则称该两个顶点是连通的。
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假设无向图中有n 个顶点、e条边， 则它的邻接表需n个头结点和2e个边 结点。显然，在边数很少(e<<n(n1)/2)的情况下，用邻接表表示图比 邻接矩阵节省存储空间。
图的逆邻接表
V1
V3
V0
V2
有向图G2
0 V0 ∧ 1 V1 2 V2 3 V3 ∧
0 1∧
(a) 邻接表
3∧
0 V0
1 V1 2 V2 ∧ 3 V3
V3
有向图G4
V2
V3
G4的强连通分量
生成树：连通图G的生成树，是G中包含其全部n个顶点的一 个极小连通子图。即由n个顶点，n-1条边构成的连通图。 生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可得到一个极小 连通子图，即一棵生成树。这些连通分量的生成树就组成了一 个非连通图的生成森林。
10
7.2 图的存储表示——邻接矩阵、邻接表等
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用邻接表表示的形式描述如下：
typedef struct node
/*边结点*/
{ int adjvex;
/*邻接点域*/
struct node * next; /*指向下一个边结点的指针域*/
}EdgeNode; typedef struct vnode
adjvex next
{ Vextype vertex;
23
1∧ 2∧
1∧
(b) 逆邻接表
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7.3 图的遍历——从图中的某个顶点出发，对图中所 有顶点访问且只访问一次的过程。有深度优先遍历和 广度优先遍历两种方式。
7.3.1 深度优先遍历(DFS)
从图中某个顶点v出发，找一个与v相邻接且没有
被访问过的顶点w访问，然后从w开始进行深度优先
遍历。此过程依此类推，直到所有顶点全部被访问为
边结点
EdgeNode *firstedge; }VertexNode;
vertex firstedge
typedef struct
表头结点
{ VertexNode adjlist[MAXSIZE];
int n,e;
} ALGraph;
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V0
V2
V1
3
V3
0 V0
1 V1
1∧
0
2
2 V2
1
3∧
3 V3
printf("%c",G.adjlist[i].vertex); visited[i]=1; p=G.adjlist[i].firstedge; while(p!=NULL) {if(visited[p->adjvex]==0) DFSTraverseAL(G,p->adjvex); p=p->next; } }
1
2∧
【算法7.2】建立有向图的邻接表存储 void CreateALGraph(ALGraph *G) { /*建立有向图的邻接表存储*/
int i,j,k; EdgeNode * s;
3∧
17
printf(“请输入顶点数和边数：\n”); scanf(“%d,%d”,&(G->n),&(G->e)); printf(“请输入顶点信息：\n”); for (i=0;i<G->n;i++) { scanf(“%c”,&(G->adjlist[i].vertex)); G->adjlist[i].firstedge=NULL; } printf("请输入边的信息：\n"); for (k=0;k<G->e;k++) /*建立边表*/
的边的数目，通常记为D (v)。
在有向图中，将从该顶点出发的弧的数目称为该
顶点的出度，用OD(v)表示；对应的，将以该顶点结
束的弧的数目称为该顶点的入度，用ID(v)表示；有
向图顶点的度为出度和入度之和： V0
V1
D (v)=ID (v)＋OD(v)。
结论：对于具有n个顶点、e条边
的图，顶点vi的度D (vi)与边的数
int n,e;
/*顶点数和边数*/
}Mgragh;
【算法7.1】图邻接矩阵的存储实现
void CreateMGraph(Mgragh *G)
int i,j,k,w; char ch; printf("请输入顶点数和边数:\n"); scanf("%d,%d",&(G->n),&(G->e)); /*输入*/ printf("请输入顶点信息:\n");
V3
V2
目满足如下关系：
V1
V3
n
2e=（ ∑ i=1
D(vi))
V0
V2
6
网络：若图的每条边(弧)都被赋予了具体含义，
这种与图的边(弧) 相关的数据称为权，称这样的图为
加权图或网络。
路径：在无向图中，若存在一个顶点序列
vi,vi1,vi2,…,vim,vj，使得（vi,vi1），(vi1,vi2)，…，
{scanf("%d,%d",&i,&j); /*输入e条边*/ G->adj[i][j]=1; } /*若加入G->adj[j][i]=1;则 为无向图的邻接矩阵存储建立*/ }/*CreateMGraph*/
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7.2.2 邻接表
邻接表是图的顺序与链式相结合的存储方法.
邻接表的存储思路：对图中的每个顶点建立一个单链表，第
止。
V0
以无向图为例，深度优先
V2
V1
遍历过程如下：
(1) 从顶点v0出发进行遍历， V3 V4 V5 V6
在访问了顶点v0之后，选择 其邻接点之一v1访问。
V7 无向图
20
(2) 从v1出发进行遍历。可选 择点有v6和v0，由于v0已经被 访问过，因此选择v6。 (3) 从v6出发进行遍历。可选 择点有v1和v5，由于v1已被访 问过，选择v5。
{ scanf("%d,%d",&i,&j); s=(EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode)); s->adjvex=j; s->next=G->adjlist[i].firstedge; G->adjlist[i].firstedge=s; } }/*CreateALGraph*/
Hale Waihona Puke DFSTraverseM(G,j); /*vj未访问，从vj开始DFS搜索*/ }/*DFSTraveseM*/
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【算法7.4】采用邻接表存储的图的深度优先遍历 int visited[VEX_NUM]={0}; void DFSTraverseAL(ALGraph G,int i) {EdgeNode *p;