论文123

学科分类号0701

本科生毕业论文(设计)

题目（中文）：未定型极限的求法

（英文）：The Methods of the Limit of

Indeterminate Form

学生姓名：张国武

学号：0809401022

系别：数学与应用数学

专业：数学与应用数学

指导教师：游淑军讲师

起止日期：2011.11—2012.05

2012年 5 月 8 日

怀化学院本科毕业论文(设计)诚信声明

作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议。除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明。本声明的法律结果由作者承担。

本科毕业论文（设计）作者签名：

年月日

目录

摘要 (3)

Abstract (3)

Key words (3)

1前言 (4)

2 未定型极限的计算方法 (5)

2.1 两个重要的极限 (5)

2.2等价无穷小替换法 (6)

2.3 泰勒公式求未定型极限 (9)

2.4 洛必达法则 (11)

2.5用拉格朗日中值定理求未定型极限 (20)

3结论 (21)

参考文献 (21)

致谢 (24)

摘要

极限是整个微积分的理论基础，熟练把握一些解题技巧是十分必要的.本文对未定型极限的求法进行了归类，并给出基本解题方法.主要研究了用等价无穷小量求未定型极限，泰勒公式求未定型极限，洛必达法则求未定型极限，以及用拉格朗日中值定理求未定型极限等方法，并举例说明了每种求解方法的具体应用.

未定型极限的求法

关键字

极限；未定型；洛比达法则；等价无穷小量；泰勒公式

Abstract

Limit is the theoretical basis of the calculus, grasp some skills to solve the limit problems is very necessary. This paper induces the indefinite form classified, and gives the basic problem solving method. Mainly used to study the infinite small amount for not equivalent to finalize the design the limit, Taylor formula for the indefinite form limit,the L’Hospital rule to solve the indefinite form limit, and the use the Lagrange's to solve the indefinite form limit and also give some examples to show each of the specific application of the problems.

Key words

the limit ；the indefinite form ；the L’Hospital rule；Equivalent infinite small；Taylor's formula

1前言

极限是数学分析中的基本概念之一，本文主要讨论未定型极限，那什么是未定型极限呢？本文将形式如∞

∞

∞0,,00等定义为未定型极限.

这些基本形式没有定型就给我们对它的求法带来了一些难题，因此关于极限的理论与计算是高等数学的重要内容之一.极限的计算方法是多样灵活的，也很有技巧性，其中对于未定型的计算式个常常遇见的难题.一些文献只对未定型极限没有进行完全的方法归类.本文将未定型极限的求法以及大部分类型进行归类与总结.方法之一，两个重要的基本极限.方法之二，无穷小量替换法，等价无穷小量主要是用来替代.那么在什么情况下可以替代呢？还有对复合函数的内函数，以及求未定型个位置上的无穷小量等情况，求其极限时能否用无穷小量代换？除此之外，还有哪些问题可以进行等价无穷小替换呢？方法之三，是洛必达法则，则洛必达是主要用求导公式，然而在什么情况下可以用洛必达法则进行求导呢？其中含变限积分的未定型极限用洛必达法则是重要方法，若变限被积分函数除含积分变量外，还含有求导变量，则用变量代替法将其化为仅依赖积分变量的函数，然后用洛必达法则.以及一些不常见的未定型极限求法的总结.方法之四，合理的应用泰勒公式是求未定型极限的重要方法，本文通过对泰勒公式的推论及麦克劳林公式的几种基本类型来解决未定型极限.泰勒公式主要是用来将基本函数用多项式的形式进行替换，将函数化简使得求未定型的极限求法变得更加简单.方法之五，用拉格朗日中值定理求未定型极限是我们解决在计算过程中不易处理的未定型极限的重要

方法，因为中值定理把函数在一个区间上的变量变成这个区间内某点倒数与自变量的乘积，这种由差向积的转化可以大大简化计算.本文拟对此些问题做进一步的探析，并试图对未定型极限的求法进行归类与总结.

2 未定型极限的计算方法 2.1 两个重要的极限 1 证明1sin lim

=→x

x x

证明 x x x tan sin

<<)20(π

<

得到,cos 1

sin 1sin

x

x

x x <

<

1

sin cos <<

x

x x 它对于一切满足

不等式2

||0π<

=→x x 及函数极限的收敛性，即

得1sin lim

=→x

x x

例1 x

x

x -→ππ

sin lim

解 令x

t -=π，则

)sin(sin t x -=π，

当.0,→→t x π

所以有1sin lim

sin lim

==-→→t

t x

x

t x ππ

2 证明e x x

x =+→)1(lim 0

证明 先利用数列极限e n

n

n =+

∞

→)11(lim

来证明原等式成立.

为此，作定义在),1[+∞上的两个阶梯函数如下

...2,1,1,)1

11()(=+<≤++

=n n x n n x f n