数列相关概念与方法总结

数列相关概念与方法总结
二、数列通项的求法
（一）若已知数列为等差数列或等比数列，则直接利用等差数列或等比数列公式求解。

（二）常用递推关系求通项
1.累加法：形如)(1n f a a n n =-+（注意：如果)(n f 是常数，就直接用等差数列通项公式了，不用累加） 例：.),11ln(,211n n n a n
a a a 求++==+
2.累乘法：形如
)(1
n f a a n
n =+（注意：如果)(n f 是常数，就直接用等比数列通项公式了，不用累乘） 例：.,2,211n n n
n a a a a 求==+
3.构造法：
（1）形如)1,,(*
1≠∈+=+p q p N n q pa a n n 为常数，且
解题思路：构造公比为p 的等比数列{}λ+n a 。

设)(1λλ+=++n n a p a ，则λ)1(1-+=+p pa a n n ，利用待定系数法，得.1
,)1(-=
=-p q
q p λλ即则数列⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-+1p q a n 是首项为11-+
p q a ，公比为p 的等比数列，再求通项。

例：.,32,111n n n a a a a 求+==+
（2）形如))(,1,)((*
1为任意函数为常数，且
n f p p N n n f pa a n n ≠∈+=+ 解题通法：
11111)()(++++++=+=n n n n n n n p n f p pa p a n f pa a ，得由，即111)(++++=n n n n n p n f p a p a ，则1
11)
(+++=-n n n n n p n f p a p a ，从而转化成前面用“累加法”所求解的模型。

特殊地，当)(n f 为一次函数模型或指数函数模型时，还有其他解法如下：
①形如),,(*
1为常数d k N n d kn pa a n n ∈++=+（)(n f 为一次函数模型）
解题思路：构造公比为p 的等比数列{}B An a n ++。

设)()1(1B An a p B n A a n n ++=++++，则A B p An p pa a n n --+-+=+)1()1(1，利用待定系数法，得
⎩⎨
⎧=--=-d
A B p k
A p )1()1(，解出A 、
B ，则数列{}B An a n ++是首项为B A a ++1，公比为p 的等比数列，再求通项。

例：.,32,111n n n a n a a a 求++==+
②形如)1,,(*
1≠∈+=+p q p N n q pa a n n n 为常数，且
（)(n f 为指数函数模型） （i ）若q p =，则只能用通法求解。

解题思路：11111++++++=+=n n
n n n n n
n n p
q p pa p a q pa a ，得由，即p p a p a n n n n 111+=++，则p p a p a n n n n 111=-++，从而转
化为等差数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n p a 求n a .
（ii ）若q p ≠，则可以用通法或构造等比数列方法，但利用构造等比数列{}
n
n Aq a +的方法求解更方便。

解题思路：设)(1
1n n n n Aq a p Aq a +=+++，得n
n n q q p A pa a )(1-+=+，利用待定系数法，得1)(=-q p A ，
解得q
p A -=1.则数列{}
n
n Aq a +是首项为Aq a +1，公比为p 的等比数列，再求通项。

4.倒数法：形如1(,,)n
n n pa a p q d qa d
+=
+为常数
（i ）若p d =，则1,n n n n n pa pa a qa d qa p +=
=++111,n n n n qa p q a pa p a ++==+所以111,n n q
a a p
+-=所以从而可
转化为等差数列：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以11a 为首项，q
p 为公差的等差数列。

（ii ）若p d ≠，则111,n n n n qa d q d a pa p p a ++==+所以
即111n n d q
a p a p
+=+，此时转化成形如1()n n a pa f n +=+的结构，再用构造法求解.
例：已知数列{a n }中a 1＝1且a n ＋1＝
a n
a n ＋1
，求数列的通项公式．
例：已知数列{a n }中a 1＝1且a n ＋1＝
a n
a n ＋1
，求数列的通项公式．
5.利用n a 与n S 的关系：
121n n n S a a a a -=++++，1121n n S a a a --=+++
12n n n n a S S -∴≥=-当时，；111n a S ==当时，.
11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧∴=⎨-≥⎩
题型一：已知n S ，直接利用以上关系求n a . 例：已知{}n a 的前n 项和为32n
n S =+，求.n a
题型二：已知n S 与n a 的关系，将n S 转成n a . 例：已知{}n a 的前n 项和为2n
n n S a =+，求.n a
题型三：已知n S 与n a 的关系，将n a 转成n S .
例：已知{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111
20(2),..2
n n n n a S S n a a -+=≥=求
三、特殊数列求和法
（一）分组求和法
适用：数列中每一项可拆成几项，重新分组，转化为等差、等比或常数列的求和问题。

例：若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n
＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为________．
（二）倒序相加法
适用：与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用正着写与倒着写的两个和式相加。

即：已知 =+=+=+--23121n n n a a a a a a
121n n n S a a a a -=++++① 121n n n S a a a a -=++
++②
①+②，得12112()()()n n n n S a a a a a a -=++++
++
12111()()()
()
2
2
n n n n n a a a a a a n a a S -++++
+++∴=
=
（三）错位相减法
适用：已知数列{}n a ，n n n a b c =（其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列），求{}n a 的前n 项和.
推广：错位相减法所得到的结论必定能化成()n
n S An B q B =+-这种形式，由12
2
()(2)S A B q B S A B q B =+-⎧⎨=+-⎩可解出A 、B ，所以，做大题时，可用此结论检验结果正确性，做小题时，可直接利用此方法求.n S
例：求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
n 2n 的前
n 项和．
（四）裂项相消法常见裂项：
（1）
1111
()
()
n n k k n n k
=-
++（2）
1111
()
(21)(21)22121
n n n n
=-
-+-+
（3）
1111
[]
(1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n
=-
+++++（4
1
k
=
例求和：
①S n＝
1
1×2
＋
1
2×3
＋…＋
1
n（n＋1）
；
②S n＝
1
1×3
＋
1
2×4
＋…＋
1
n（n＋2）
；
③S n＝
1
1×3
＋
1
3×5
＋…＋
1
（2n－1）·（2n＋1）
.。