数列通项公式的方法总结

数列通项公式的方法总结

专题一：求解通项公式

（1）观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716

4,1093,542,211

（3） ,5

2

,21,32

,1（4） ,5

4

,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n

a

（2）;1

2

2

++=n n n a n （3）;12

+=

n a n

（4）1

)1(1+⋅

-=+n n

a n n

.点评：关键是找出各项与项数n 的关系。

（2） 定义法

：①等差数列通项公式；②等比数列通

项公式。

例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，

∴2213)2(q

q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －

1

（3） 公式法

：已知n

S （即12

()

n a a a f n ++

+=）求n

a ，用作

差法：{1

1

,(1)

,(2)

n

n n S n a S S n -==-≥。 例:3：(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{n

a }

的前n 项和为n

S 满足1

S ＞1且6n

S =

(1)(2)

n n a a ++ n ∈N *

求{n

a }的通项公式。

解：由1

1

a S ==111(1)(2)6

a a ++解得1a =1或1

a =2，由已知

11

a S =＞1，因此1

a =2又由

11n n n

a S S ++=-=11

11

(1)(2)(1)(2)6

6

n n n n a

a a a ++++-++得

11()(3)

n n n n a a a a +-+--=0 ∵n

a ＞0 ∴1

3

n n a

a --=

从而{n

a }是首项为2，公差为3的等差数列，故{n

a }的通项为n

a =2+3(n-1)=3n-1.

小扩展：已知1

2()

n a

a a f n =求n

a ，用作商法：

(1),(1)(),(2)

(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩

（3）迭加法：

若

1

()

n n

a a f n +-=求

n

a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+

+-1a +(2)

n ≥。

例4：已知数列{}n

a 满足2

11

=a ，n

n a a

n n ++

=+21

1

，求n

a 。

解：由条件知：1

1

1)1(1121+-

=+=+=

-+n n n n n n a a

n n

分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)

()()()(1342312

--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

)

111()4131()3121()211(n

n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=

所以n

a a

n

1

11-

=-

2

11=

a ，n

n a

n

1231121-=-+=

∴

得1

1

11n

n a a +=

+

∴1{}n

a 是首项为

1

-，d=

1

-的等差数列故

1

1(1)(1)n

n n a =-+--=-∴1n

a n

=-

。

（6）构造等比数列法:

）

（1）递推公式为q

pa a

n n +=+1

（其中p ，q 均为常数，

)

0)1((≠-p pq ）。

解法：把原递推公式转化为：)

(1

t a p t a

n n -=-+，其中

p

q

t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

（2）递推公式为n

n n q pa a

+=+1

（其中p ，q 均为常数，

)

0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1

n

n n a

pa rq +=+,其中p ，q, r

均为常数）

解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要

先在原递推公式两边同除以1

+n q ，得：q

q a q p q

a n n n n 11

1+•=

++

引入辅助数列{}n

b （其中n

n

n

q a b

=

），得：q

b q p b

n n 1

1

+=

+再

应用类型3的方法解决。

（3）递推公式为n

n n qa pa a +=++12

（其中p ，q 均为常

数）

解法：先把原递推公式转化为)

(112

n n n n sa a t sa a

-=-+++