12动量矩定理wy分析

第十二章：动量矩定理
§ 12-1 动量矩 § 12-2 动量矩定理 § 12-3 转动惯量 § 12-4 刚体绕定轴转动的微分方程
动量定理揭示了质点和质点系动量变化与外力主矢的关 系；质心运动定理揭示了质心运动与外力主矢的关系。但 它们无法描述质点系机械运动的全貌。
均质轮受外力作用而绕其质心O作定轴转 动，它有角速度和角加速度，但对于轮 的动量为：
mz
(F
i i
)
(1)
(i=1,2,….n)
将n个方程求和：
x
n
i 1
dmz (mivi ) dt
n i 1
mz
(Fie )
n i 1
mz
(F
i i
)
m1
mi Fei
y
mn m2
mi vi mj fij fji Fii
d
dt
mz (mivi )
mz (Fie )
dLz
dt
mz (Fie )
方向：垂直于r、mv所在的平面， 指向由右手螺旋法则判定。
(2)质点对固定轴的动量矩
M x (mv) [r mv]x y mv z z mv y M y (mv) [r mv] y z mv x x mv z M z (mv) [r mv]z x mv y y mv x
= ( -yi i +xi j )
y
mi
C ri
x
Lcr = ri mivri
= (xi i +yi j)mi( -yi i +xi j ) = k mi (xi2+yi2 ) = JC k = Lc
Lcz = JC
例题11-1. 边长为a 质量为m的正方体沿平直轨道滑动如 图所示。已知质心C的速度为v。求: (1) 正方体对轨道上 固定点O的动量矩; (2) 正方体的绝对运动对质心 C的动量 矩; (3) 正方体的相对运动对质心C的动量矩。
(3) 质点系的动量矩
质点系中所有质点的动量对于固定轴的矩的代数和， 称为质点系对固定轴的动量矩。
LZ = LZi = MZ（mivi)
=
xi
mivyi
yi
mivxi
(4) 定轴转动刚体对转轴的动量矩
M
z
mivi
mivi ri mi ri2
Lz M z mivi Miri2
LCr
1 2
mr
22
vC = vB + vCB= r1 + r2
A
rc
C B
2
rC OA AB BC rC P 2mr 2 (1 2 )
vC
LOC mr 2 (21 2.52 )
LOO 2.5mr 2 (1 2 )
§ 12-2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
MO(mv)=r mv
O
A
O 可绕通过点 O 的水平轴转动。 1
一绳绕在圆柱O上, 绳的另一端
绕在圆柱 C上。求圆柱下落其角
速度分别为 1和2时系统对O点 的动量矩。
C B
2
解: 圆柱体O作定轴转动
O
1
圆柱体C作平面运动B为瞬心(相对).
LO = LOO + LOC
LOO
1 2
mr 21
LOC = rc P + Lcr
dM z (mv)
dt
M z (F)
二、质点系对固定轴的动量矩定理
第i个质点：质量为mi 动量为mivi：
z
力 外力 Fei 内力 Fii
m1 mi
Fei
mn
m2
mi vi mj
Fii
y
x
根据质点对固定轴的动量矩定理:
第i个质点：
dmz (mivi ) dt
mz (Fi )
z
mz
(Fie
)
将上式两端对时间求一阶导数，得：
dM o (mv)
dt
d dt
(r
mv)
dr dt
mv
r
d (mv) dt
v mv r F
MO (F)
质点对固定点的动量矩定理：
d
M
o (mv)
dt
M
o
(
F
)
(1)
将（1）式两端投影到固定的轴上，可得到
质点对固定轴的动量矩定理：
d M o (mv)z
dt
[Mo(F)]z
P mvC mvO 0
不能用动量定理来描述轮绕其质心的定轴转动。
§ 12-1 动 量 矩
(1) 质点的动量矩
mv
质量为m的质点A ,t 时刻动量 为mv, O为空间任一固定点,
MO(mv)
d
A
则mv 对O点的矩定义为质
O
r
点的动量矩:
MO(mv)=r mv
动量矩是一个矢量.
大小： MO (mv) r mv r mv sin mv d
Miri2
令
miri2 JZ
LZ=Jz •ω
其中： JZ称为刚体对转轴的转动惯量。 ω为刚体转动的角速度。
例题11-3. 有对称面的刚体在 平行于对称面的平面内作平面 运动,角速度为。求:刚体对过 质心且垂直于对称面的轴的动 量矩。
C
解: 取坐标如图
vri = ri =k(xi i +yi j)
质点系对固定轴的动量矩定理：
dLz
dt
mz (Fie )
三、动量矩守恒定律
若
Mz (Fie) 0 , 则Lz = C(恒量)
例11-5
图示卷扬机鼓轮质量为m1，半径为r，可绕过鼓 轮中心O的水平轴转动。鼓轮上绕一绳，绳的一端 悬挂一质量为m2的重物。鼓轮视为匀质，并令其 对O轴的转动惯量为JO。今在鼓轮上作用一不变力 矩M，试求重物上升的加速度。
解：研究质点系----鼓轮与重物
v
r
M m1g
O
Fox
v
系统对O轴的动量矩：
Foy
LO
JO
m2vr
JO r
m2r v
m2g
由动量矩定理
dLo
dt
mo (Fie )
代入数据得：
JO r
m2r
dv dt
M
m2gr
M m1g
O
Fox
v
Foy
m2g
解得
a
M m2gr
Jo r
m2r
§ 12-3 转动惯量 Zc Z
L
J
Z
1 3
ML2
平行移轴公式
J
CZ
1 12
C
v
O
解: 建立直角
y
坐标系Oxy
O
rc
C
v
x A
(1)LO = ri mivi = ( mi ri )v = m rcv = - 0.5amvk
(2) Lc = ri mivi = ( mi ri )v = 0
(3) vri = 0
Lcr = 0
例题11- 4. 均质圆柱体O和C的
质量均为m,半径相等均为 r.圆柱
(1)刚体对轴的转动惯量
Jz = miri2
m1
ri
mi
od
C
若刚体的质量为M，则：
mn
m = mi
若C点为刚体的质心
(2)平行轴定理 Jz1 = Jcz + md 2
m2 yc y
mj
（3）几种常见均质物体的转动惯量
细直杆
Z/
Z
则：由定义 dm m dxl
l
0
x2dx
1 ml2 3