12第十二章 动量矩定理
012 第十二章 动量矩定理
第12章 动量矩定理通过上一章的学习我们知道动量是表征物体机械运动的物理量。
但是在某些情况下，一个物体的动量不足以反映它的运动特征。
例如，开普勒在研究行星运动时发现，行星在轨道上各点的速度不同，因而动量也不同，但它的动量的大小与它到太阳中心的距离之乘积—称为行星对太阳中心的动量矩，总是保持为常量，可见，在这里，行星对太阳中心的动量矩比行星的动量更能反映行星运动的特征。
在另一些情况下，物体的动量则完全不能表征它的运动。
例如，设刚体绕着通过质心C 的z 轴转动。
因为不论刚体转动快慢如何，质心速度C v总是等于零，所以刚体的动量也总是零。
但是，刚体上各质点的动量大小与其到z 轴的距离的乘积之和—即刚体对z 轴的动量矩却不等于零。
可见，在这里，不能用动量而必须用动量矩来表征刚体的运动。
§12-1 质点动量矩定理例2.人造地球卫星本来在位于离地面600km h =的圆形轨道上，如图所示，为使其进入410km r =的另一圆形轨道，须开动火箭，使卫星在A 点的速度于很短时间内增加0.646km/s ，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B ，再进入新的圆形轨道。
问：（1）卫星在椭圆轨道的远地点B 处时的速度是多少？（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到达远地点B 时，应如何调整其速度？大气阻力及其它星球的影响不计。
地球半径6370km R =。
图12-5解：首先求出卫星在第一个圆形轨道上的速度，可由质点动力学方程求出。
卫星运行时只受地球引力的作用，即22()R F mg R x =+ 式中x 是卫星与地面的距离。
当卫星沿第一圆形轨道运动时，有222()()v R m mgR h R h =++ 即22()gR v R h =+ （b ）将6370km R =，600km h =，9.8m/s g =代入上式，得卫星在第一个圆形轨道上运动的速度17.553km/s v = 所以卫星在椭圆轨道上的A 点的速度为7.5530.6468.199km/s A v =+=卫星在椭圆轨道上运动时，仍然只受地球引力作用，而该引力始终指向地心O ，对地以O 的矩等于零，所以卫星对地心O 的动量矩应保持为常量。
动量矩定理
( ) 2）若 ∑ m (F ) = 0 ，则 w = cos 2t 3）若 ∑ m (F ) = cos 2t ，则 ε = cos 2t 4）在一定的时间内，当 ∑ m (F ) 一定时， I
z z z
1）若 ∑ m z F ≠ 0 ，则刚体的转动状态一定发生变化。
z
越大 , 运动状态越大。
可见，转动惯量表现刚体转动状态改变的难易程度。因此说：转动惯量是刚 体转动时惯性的度量。 转微分方程可以解决两类动力学问题：
( )
( ) ( ) ( )
由于约束力通过 Z 轴，于是有：
n d (I z w ) = ∑ m z F i dt i =1
即：
Iz
N n d 2ϕ = m F 或 I ε = mz F i i ∑ ∑ z z dt 2 i =1 I =1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( )
这就是刚体定轴转动的微分方程，即刚体对定轴的转动惯量与角速度的乘 积，等于作用于刚体的主动力 对该轴之矩的代数和。 ．．． 由以上可知：
对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这种情形称为动量矩守恒。
4
理论力学讲义
例 2：已知：圆轮半径 r,量 m ，物块重 p 。求：物块加速度。 解：取整体研究，对 O 点的动量矩为
L0 = Iw +
p vr g
外力对 O 总的矩为 ∑ m0 F 由
( ) = pr
e
d (L0 ) = ∑ m0 F 得： dt p ar = pr g
I 2 a / R = Nr2 − RT p a =T − p g I 1ia / R = M − Nr2 / i
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
未知量 a, T , Nr2 可求解：解之可得：
工程力学-材料力学-第12章动量矩定理
•
例12-3 •已知：m1，r，k ，m2 ，R，
•求：弹簧被拉长s时，重物m2的加速度a2 。 •解 •选系统为研究对象,受力分析如图 •设：塔轮该瞬时的角速度为ω，则
•解得：
•
3．动量矩守恒定律
•若
，则 常矢量；
•若
，则 常量。
•
§12-3 刚体绕定轴转动的微分方程 •主动力： •约束力：
•
例12-8 •已知：l，m，θ=60°。求：1. αAB；2. FA • 解：绳子刚被剪断，杆AB作平面运
动，受力如图，根据平面运动微分 方程
• 补充运动学方 程
• 在y轴方向 投影
•
例12-9 •已知：如图r，m， m1。求：1. aA；2. FAB ；3. FS2 • 解：分别以A、B、C为研究对象
•其中： • (O为定点)
•
质点的动量矩定理
•因此 •称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩 对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
•投影式：
•
2. 质点系的动量矩定理 •对第i个质点有 ： •对n个质点有：
• 由于
•得
•
2. 质点系的动量矩定理
•称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量 矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于 同一点之矩的矢量和。 •投影式：
•2. 选轮2为研究对象
•积分
•
§12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 •1．对质心的动量矩 •如图，以质心C为原点，取平移坐标系Cx’y’z’。 •质点系相对质心C为的动量矩为：
•由于 •得 • 质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度计算还是
以绝对速度计算，其结果都相同。
12动量矩定理
图12.7 钟摆
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.5】 匀质圆盘与匀质杆组成的钟摆如图12.7所示。已知圆盘质量m1， 直径d，杆的质量m2，长l，试求钟摆对悬挂轴O的转动惯量J0。
解：钟摆由匀质杆和匀质盘组成，所以有 = JO JO杆 + JO
其中
JO
=J c
+
m1
l
+
d 2
平方的乘积，即
12.7
J=z J zc + md 2
(12.7)
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
证明：如图12.5所示，设刚体总的质量为m，轴zc通过质心C，z与zc平行且 相距为d。不失一般性，可令y与yc重合，在刚体内任取一质量为mi的质点Mi,它 至zc轴和z轴的距离分别为ric和ri。刚体对于z、zc轴的转动惯量分别为
12.9
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.4】 质量为m，长为l的匀质杆如图12.6所示，求杆对yc的转动惯量。
解：由例12.1知
Jy
=
1 ml2 3
,根据平行轴定理式(12.7)有
J yc
=J y
−
md 2
=1 ml2 3
−
m
l
2
2
=1 12
ml 2
12.10
图12.6 匀质杆
在工程问题上，计算刚体的转动惯量时，常应用下面公式
12.3
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
Jz
=
mρ
2 z
(12.2)
ρ 其中m为整个刚体的质量， z 为刚体对z轴的回转半径，它具有长
第十二章 动量矩定理
Lz=Jzω
§2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设质点质量为m， 受力F， MO(mv) 动量mv，定坐标系Oxyz ， 根据质点的动量定理 z
F
B
mv
r
o A y
MO(F)
d (mv ) F dt
等式两边同时与矢径r作矢量积， 即 x
d (mv ) r F r dt
MO(F)
?
d (mv ) r F 为求等式 r 左边项，先来看 dt d (r mv ) dr mv r d (mv ) dt dt dt v ( r d ( v mv∵O为定点！)mv ) dt MO(mv) =0
第十二章
动量矩定理
z
§1 动量矩的概念
一、质点的动量矩
F r
o
B A m
y
回顾： 力对点的矩 Mo(F)= r×F 若 r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk
则 i M o (F ) x Fx
j y Fy k z Fz
MO(F)
x
大小：│Mo(F) │ =2S△OAB
方向：按右手螺旋规则定。
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
• 动量矩的量刚为 ML2T－1 （kg· 2/S） m
二、质点系的动量矩
质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同 一点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O 的主矩）：
对定点
Lo M o (mi vi )
i 1
n
矢量
质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一 轴z的动量矩的代数和，即
vC
C
Lo = M o(Mvc)
理论力学第12章-动量矩定理
z
M ，底圆半径为 R ，高为 h 。
r
h z dz
解：把圆锥体分成许多厚度为 d z
的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
O
y
R
x
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
圆锥体的质量
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
x
x yi
J z mi ri2
mi
xi2
yi
d
2
mi xi2 yi2 2 yid d 2
J z mi xi2 yi2 2d mi yi mi d 2
mi xi2 yi2 JzC
mid 2 Md 2
由质心坐标公式 ：
因为
yC0
mi yi M yC
速度 a 。
解：小车与鼓轮组成质点系对 O 轴的动量矩为 ：
LO J O m2 v R
作用于质点系的外力除M ，G 1 和 G 2 外，尚有轴承 O 的反力 Fo x 和 Fo y ，轨道对车的约束力FN 。其中G 1 ， FO x ，Fo y 对 O 轴力矩为零。将 G 2 分解为 Gτ和 G n ，
（12-10）
l 为任意轴上的单位矢量。
动量矩的单位是牛·米·秒 ( N ·m ·s )。
12.2.3 定轴转动刚体的动量矩 设刚体绕固定轴 z 转动，某瞬时刚体
的角速度。对于刚体内任一质点 M i ，
其质量为 m i ，转动半径为 r i ，动量 m i v i 。 于是质点 M i 对轴的动量矩为：
LO MO mv r mv （12-8）
质点系对各坐标轴动量矩
第12章动量矩定理汇总
第十二章动量矩定理§12—1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩质点Q的动量对于点0的矩，定义为质点对于点0的动量矩M O mv = r mvM z mv 二2 0Q AM O mv ［二M z mv动量矩的单位：kgm2/s、质点系的动量矩nL o 二為M o m i V ii』nL z八M z m i v iM O (mv)(r mv ) dtdtdr dtmv rmvdt绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角 速度的乘积n n n2L z 八 M z mM八 m i y 订i =mmyy ynJ z 八 m"2id ：§12— 2动量矩定理、质点的动量矩定理M O mv =v mv r F dt-J—M O mv 二 M O F dt质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作 用力对同一点的矩。
直角坐标投影式为d厂 一Mx(mv)= Mx(F ) dt pl 2 My(mv)=My(F ) dt plL 2M z (mv)= M z (F ) dtL z=J z ：特殊情形：当质点受有心力F的作用时，如图11-4所示，力矩M°(F)=O，则质点对固定点0的动量矩M o(mv)=恒矢量，质点的动量矩守恒。
例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作用，引力对恒星的矩M°(F)=O，行星的动量矩M o (m v )=恒矢量，此恒矢量的方向是不变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即mvh=恒量，行星的速度v与恒星到速度矢量的距离h成反比。
(1)从而由式(1)得单摆运动微分方程为护阶0(2)解式(2) 得单摆的运动规律为9 =cp o Sin( 3n t +8)其中，3-g称为单摆的角频率，单摆的周期为例1如图所示单摆，由质量为m的小球和绳索构成。
单摆悬吊于点0,绳长摆在铅垂平面内绕点0作微振幅摆动，设摆与铅垂线的夹角为「为逆时针时正，如图所示。
第12章-动量矩定理
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
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1
质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。
（ ） 2
刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。
（ ） 3
刚体对某轴的回转半径等于其质心到该轴的距离。
( ) 4
如果作用于质点系上的所有外力对固定点O 的主矩不为零，那么，质点系的动量矩一定不守恒。
( ) 5
如果质点系所受的力对某点（或轴）的矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。
( ) 6
图中所示已知两个均质圆柱，半径均为R ，质量分别为2m 和3m ，重物的质量为1m 。
重物向下运动的速度为V ，圆柱C 在斜面上只滚不滑，圆柱O 与绳子之间无引对滑动，则系统
对O 轴的动量矩为vR m R m vR m H o 12
232
++=ω。
( )
7
图中已知均质圆轮的半径为R ，质量为m ，在水平面上作纯滚动，质心速度为C v
，则轮子对速度瞬心I 的动量矩为R mv H c I =。
( )
1
已知刚体质心C 到相互平行的z z 、'轴的距离分别为b a 、，刚体的质量为m ，对z 轴的转动惯量为z J ，则'
z J 的计算公式为__________________。
A ．2)(b a m z z ++='J J ；
B ．)(2
2b a m z z -+='
J J ； Ｃ．)(2
2b a m z z --='
J J 。
2
两匀质圆盘A 、B ，质量相等，半径相同，放在光滑水平面上，分别受到F 和'
F 的作用，由静止开始运动，若'
F F =，则任一瞬间两圆盘的动量相比较是_____________________。
Ａ．B A p p >； Ｂ．B A p p <； Ｃ．B A p p =。
3
在一重W 的车轮的轮轴上绕有软绳，绳的一端作用一水平力P ，已知车轮的半径为R ，轮轴的半径为r ，车轮及轮轴对中心O 的回转半径为ρ，以及车轮与地面间的滑动摩擦系数为f ，绳重和滚阻皆不计。
当车轮沿地面作平动时，力P 的值为_________________。
Ａ．ρ/fWR P =； Ｂ．r fWR P /=； Ｃ．r fW P /ρ=；④ fW P =。
4
质量分别为m m m 221==的两个小球21,M M 用长为L 而重量不计的刚杆相连。
现将1M 置于光滑水平面上，且21M M 与水平面成︒60 角，则当无初速释放、2M 球落地时，1M 球移动的水平距离为___________。
Ａ．L /3； Ｂ．L /4； Ｃ．L /6；④ 0。
5
小球A 在重力作用下沿粗糙斜面下滚，角加速度为_________；当小球离开斜面后，角加速度为____________。
Ａ．等于零； Ｂ．不等于零； Ｃ．不能确定。
6
圆柱A 在重力作用下沿粗糙斜面向下滚动，脱离斜面前的角速度为ω。
则此后转动的角速度 。
Ａ．等于零； Ｂ．等于ω； Ｃ．不能确定。
1
图中所示均质杆OA 长l ，重P ，圆盘重Q 半径为r ，二者焊接在一起以 在铅垂面内绕O 轴转动，则系统对O 轴的动量矩O H = 。
2
一细杆由等长的钢与木两段组成（见图）。
两段质量分别为1m 、2m ，且都为均质杆，则系统对1z 轴、2z 轴、3z 轴的转动惯量1z J = ；2z J = ；3z J = 。
3
图中所示均质圆轮质量为m ，沿斜面无滑动地滚动，质心速度为C v。
则圆轮对O 点的动量矩O H = 。
4
图中OA 杆重为P ，对O 轴的转动惯量为J ，弹簧刚性系数为K ，当杆处于铅垂位置时，弹簧无变形。
则OA 杆在铅垂位置附近作微小摆的运动微分方程为 。
5
半径为r 质量为m 的均质轮子，在常力偶M 的作用下，沿粗糙面只滚不滑，则轮子与接触与接触面间的摩擦力F= 。
6
质量为M ，半径为R 的均质圆盘，以角速度ω转动。
其边缘上焊接一质量为m 、长为b 的均质细杆AB ，如图示。
则系统动量的大小p =_________________，对轴O 的动量矩的大小=o L _______________________。
1
匀质圆轮B A 、的质量分别为M 与m ，半径分别为R 与 r ，且r R 2=。
两圆轮上缠绕有不可伸长的细绳，如图所示。
当轮A 绕固定轴1O 转动时，通过细绳带动轮B 升降并转动，
细绳与两轮间没有滑动。
求当轮A 以角速度ω转动时，系统的动量及对1O 轴的动量矩。
2
双引擎喷气式飞机质量为40t ，以匀速度600m/s 水平飞行。
机首昂起，喷出的气体相对于机身的速度为1200m/s ，方向如图。
每一引擎燃料消耗率为4kg/s ，每一引擎的进气面积为
2m 4.0，大气密度为3kg/m 1.1。
试求引擎的反推力及飞机的升力和阻力。
3
一不可伸长的绳索跨过定滑轮B ，其一端系于滑块A ，另一端绕在匀质圆柱C 上。
滑块A 重N 49=P ，置于倾角为︒30的光滑斜面上，绳的AD 段与斜面平行。
匀质轮B 和圆柱C 的
重量均为N 98=Q ，其半径均为m 1.0=R 。
已知轮B 的角加速度2
1rad/s 125.6=ε，圆
柱C 的角加速度2
2rad/s 25.61=ε，它们的转向均为顺时针方向，求铰支座B 在铅直方向
上的反力。
4
重为1W 的物体A ，沿三棱体D 的光滑斜面下降，同时借一绕过滑轮C 的绳子使重为2W 的物块B 运动。
三棱体D 重为0W ，斜面与水平面成α角，如略去绳子和滑轮的重量，求三棱体D 给凸出部分E 的压力及给地面的压力（设三棱体与地面间没有摩擦）。
5
均质水平细杆AB 长为L ，一端铰接于A ，一端系于细绳BC ，而处于水平位置。
设细绳突然被割断。
试求此瞬时细杆的角加速度1ε及细杆运动到铅直位置时的角加速度2ε及角速度
2ω。
6
鼓轮重N 1200，置于水平面上，外半径cm 90=R ，轮轴半径cm 60=r ，对质心轴C 的回转半径cm 60=ρ。
缠绕在轮轴上的软绳水平地连于固定点A ，缠在外轮上的软绳水平地跨过质量不计的定滑轮，吊一重物B ，B 重N 400=P 。
鼓轮与水平面之间的动摩擦系数为0.4，求轮心C 的加速度。
7
在图示机构中，已知：均质杆质量kg 4=m ，长m 9.0=L ，系统从静止开始运动，此时2m/s 6=B a 。
滑块质量不计，摩擦不计。
试求：（1）此时作用在杆上的力偶矩M ；（2）A 处和B 处的反力。
8
在图示两均质杆中，已知：重均为Q，长均为l，在图示瞬时作用一力F。
试求此瞬时两杆的角加速度。
9
m，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D,并绕在鼓轮B上，如图重物A质量为
1
所示。
由于重物下降，带动了轮C,使它沿水平轨道只滚不滑。
设鼓轮半径为r，轮C的半
m，对于其水平轴O的回转半径为ρ。
求重物A的加径为R,两者固连在一起，总质量为
2
速度。
10
图示均质杆AB长为l，放在铅直平面内，杆的一端A靠在光滑的铅直墙上，另一端B放在
ϕ角。
此后，杆由静止状态倒下。
求：（1）杆在任意位光滑的水平地板上，并与水平面成
置时的角加速度和角速度；（2）当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。
11
如图所示，板的质量为1m ，受水平力F 作用，沿水平面运动，板与水平面的动摩擦因数为
f 。
在板上放一质量为2m 的均质实心圆柱，此圆柱对板只滚不滑。
求板的加速度。
12
半径为r 的均质圆柱体的质量为m ，放在粗糙的水平面上，如图所示。
设其质心C 初速度为0v ，方向水平向右，同时圆柱如图所示方向转动，其初速度为0ω，且有00v r ω。
如圆柱体与水平面的摩擦因数为f ，问经过多少时间，圆柱体才能只滚不滑地向前运动，并求该瞬时圆柱体中心的速度。
13
图示均质圆柱体的质量为m ，半径为r ，放在倾角为︒60的斜面上。
一细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定于点A ，此绳与点A 相连部分与斜面平行。
若圆柱体与斜面间的摩擦因子
3
1
=
f ，求其中心沿斜面落下的加速度c a 。