高考数学新增分大一轮：第九章平面解析几何微专题四

解析
取
AB 的中点
M ，则
C1M
＝
1， 2
所以 M 在以 C1 为圆心， 12为半径的圆上，
|P→A＋
P→B|＝
→ 2|PM
|，
C
1C2－
1
－
1 2
≤
PM
≤
C
1C2＋
1＋
12，
又
C1C2＝ 5，即
7≤ PM≤13，
2
2
∴ 7≤ |P→A＋ P→B|≤ 13.
二、动点 P 对两定点张角为 90°确定隐形圆 例 2 (1)已知圆 C： (x－ 3)2＋ (y－ 4)2＝ 1 和两点 A(－ m,0)， B(m,0)(m>0) ，若圆上存在点 P，使
化简得
1 x－ 2
2＋
1 y－2
2＝ 3， 2
所以点 M 的轨迹是以
12，
1 2
为圆心，
26为半径的圆，
所以 AM 的取值范围是
6－ 2
2 ，
6＋ 2
2，
所以 BC 的取值范围是 [ 6－ 2， 6＋ 2].
方法二 以 AB， AC 为邻边作矩形 BACN，则 BC＝ AN， 由矩形的几何性质 (矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相
根据 A→P ·B→P＋ 2λ＝ 0，
有
(
x－
4)
2＋
y2＝
13－
2
λλ<
13 2
.
由题意知，圆
(x－
4)
2＋
y2＝
13－
13 2λλ< 2
与直线
3x－ 4y＋ 3＝0 相交，
圆心到直线的距离
d＝ |3
4·－ 4·0＋ 32＋42
3|＝
3<
13－ 2λ，所以 λ<2.
跟踪训练 3 已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 C→A·C→B ＝λ(λ为常数 )，且点 C 总不在以点 B 为圆心， 1为半径的圆内，则负数 λ的取值范围是 ________．
例 3 (2018 ·南通考试 )已知点 A(2,3)，点 B(6，－ 3)，点 P 在直线 3x－ 4y＋ 3＝ 0 上，若满足等
式 A→P·B→P＋2λ＝ 0 的点 P 有两个，则实数 λ的取值范围是 ________． 答案 λ<2
解析 设 P(x， y)，则 A→P＝( x－ 2， y－ 3)， B→P＝ (x－ 6， y＋ 3)，
∴ tmax＝ 2 2＋ 5， tmin＝ 2 2－ 5， ∴ (x20＋ y20＋ 2x0) max＝ (2 2＋ 5)2－ 1＝12＋ 4 10， (x20＋ y20＋ 2x0)min ＝(2 2－ 5)2－ 1＝ 12－4 10，
故所求范围是 [12－ 4 10， 12＋ 4 10] ．
三、 A， B 是两定点，动点 P 满足 P→A·P→B＝ λ(常数 )确定隐形圆
答案 － 230， 4
解析 由题意知 O(0,0)， O1(4,0)．
设 P( x，y)，
∵ PB＝ 2PA， ∴ x－ 4 2＋ y2－ 4＝ 2 x2＋ y2－ 1， ∴ (x－ 4)2＋ y2＝ 4(x2＋ y2)，
∴
x2＋
y2＋
8 3
x－
16 3
＝
0，
圆心坐标为
－43， 0
，半径为
8， 3
∵ 动点 P 在直线 x＋ 3y－ b＝0 上，满足 PB＝ 2PA 的点 P 有且只有两个，
得∠ APB＝ 90°，则 m 的取值范围是 ________．
答案 [ 4,6]
解析 ∵ P 在以 AB 为直径的圆上 (P 异于 A， B)，
∴ 以 AB 为直径的圆和 ⊙ C 有公共点，
∴ m－ 1≤ 5≤ m＋ 1， ∴ 4≤ m≤6.
(2)(2019 江·苏省徐州市第一中学月考 )若实数 a，b，c 成等差数列且点 P(－ 1,0)在动直线 ax＋
by＋ c＝0 上的射影为 M ，点 N(3,3)，则线段 MN 长度的最大值是 ________． 答案 5＋ 2
解析 因为 a，b， c 成等差数列，
所以 2b＝ a＋ c，即 0＝ a－ 2b＋ c， 方程 ax＋ by＋ c＝0 恒过点 Q(1，－ 2) ，
又因为点 P(－ 1,0)在动直线 ax＋ by＋ c＝ 0 上的射影为 M ，
所以 ∠PMQ ＝ 90°， M 在以 PQ 为直径的圆上，
此圆的圆心
A 的坐标为
1－ 2
1，
－2＋ 2
0
，
即 A(0，－ 1)，半径
r
＝
1 2PQ
＝
2，
Байду номын сангаас
又因为 N(3,3)，所以 AN＝ 5，
所以 (MN) max＝ 5＋ 2. 跟踪训练 2 (2018 ·江苏省通州区检测 )设 m∈ R，直线 l 1： x＋my＝ 0 与直线 l2：mx－ y－2m－ 4 ＝ 0 交于点 P( x0， y0)，则 x02＋ y20 ＋ 2x0 的取值范围是 ________． 答案 [12 － 4 10， 12＋4 10]
微专题四 常见 “ 隐形圆 ” 问题
一、利用圆的定义确定隐形圆 例 1 (1)如果圆 (x－ 2a)2＋ (y－ a－ 3)2＝ 4 上总存在两个点到原点的距离为 范围是 ________．
1，则实数 a 的取值
答案
－ 65， 0
解析 到原点距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，
故此单位圆和已知圆相交， ∴ 2－ 1< 2a 2＋ a＋ 3 2<2＋ 1， ∴1<5 a2＋ 6a＋9<9 ，
x－4 2＋ y2，
∵
PA＝
1 2PB
，
∴
(x－
1)
2＋
y2＝
1 4
[(
x－
4)
2＋
y2]
，
整理得 x2＋ y2＝ 4，
P 的轨迹是以 O(0,0)为圆心，以 2 为半径的圆， 又 ∵P 在圆 C 上， ∴ 圆 C 与圆 O 有公共点， ∴ 1≤CO≤ 5，即 1≤ a2＋ 4a2≤ 5，
解得 a∈ － 5，－ 5 ∪ 5， 5 .
例 4 (2019 ·江苏省海安高级中学月考 )在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,0)，B(4,0)，若在圆 C：
(x－ a)2＋ (y－ 2a)2＝ 9 上存在点
P
使得
PA＝
1 2PB，则实数
a 的取值范围是
________________．
答案 解析
－ 5，－ 5 ∪ 5， 5
5
5
设 P(x， y)，则 PA＝ x－ 1 2＋ y2， PB＝
2
答案
－
1，－
3 4
解析 设 A(－ 1,0)，B(1,0)， C(x，y) ， 由已知可得 (x＋ 1)(x－ 1)＋ y2＝ λ， ∴ x2＋ y2＝ 1＋ λ.
λ<0，
∴ 1＋ λ≥ 0，
1＋
λ＋
1≤ 2
1或
1＋ λ－ 1≥ 1， 2
解得－ 1≤ λ≤ －3. 4
四、两定点 A， B，动点 P 满足 PA＝ λ(λ>0， λ≠ 1)确定隐形圆 (阿波罗尼斯圆 ) PB
5
5
跟踪训练 4 (2019 ·江苏省启东中学考试 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋ y2＝ 1，O1：
(x－ 4)2＋ y2＝ 4，动点 P 在直线 x＋ 3y－ b＝0 上，过 P 点分别作圆 O，O1 的切线，切点分别
为 A， B，若满足 PB＝ 2PA 的点 P 有且只有两个，则实数 b 的取值范围是 ________．
解得－
6 5 < a<0.
(2)(2018 南·通模拟 )在平面直角坐标系
xOy 中，已知 B，C 为圆 x2＋ y2＝ 4 上两点，点 A(1,1) ，
且 AB⊥ AC，则线段 BC 的长的取值范围为 ________．
答案 [ 6－ 2， 6＋ 2] 解析 方法一 设 BC 的中点为 M (x， y)， 因为 OB2＝OM 2＋ BM 2＝ OM 2＋ AM 2， 所以 4＝ x2＋ y2＋ (x－ 1)2＋ (y－ 1)2，
∴ 直线与圆
x2＋
y2＋
8 3x－
16 3
＝
0
相交，
∴ 圆心到直线的距离
－ 4－ b
d＝
3 1＋ 3
< 83，
∴
－4－ 3
16 3<
b<
－43＋
16， 3
即实数 b 的取值范围是
－ 20， 4 . 3
解析 l 1 过定点 O(0,0)， l 2 过定点 A(2，－ 4)，
则 P 在以 OA 为直径的圆上 (P 异于 O， A) ， 又 x20＋ y20＋ 2x0＝ (x0＋ 1)2＋ y20－ 1， 又 t＝ x0＋ 1 2＋ y20表示点 (－ 1,0)到圆 (x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 5 上的点的距离，
等)， 有 OB2＋ OC2＝ OA2＋ON 2，所以 ON ＝ 6，
故 N 在以 O 为圆心， 6为半径的圆上，
所以 BC 的取值范围是 [ 6－ 2， 6＋ 2]． 跟踪训练 1 (2018 ·苏北四市模拟 )已知 A，B 是圆 C1： x2＋ y2＝ 1 上的动点， AB＝ 3， P 是圆 C2： (x－ 3)2＋ (y－ 4)2＝ 1 上的动点，则 |P→A＋ P→B|的取值范围是 ________． 答案 [ 7,13]