第三讲 相似比例线段的证明方法.尖子班

一三点定型法：三点定型法即通过所证的比例式确定三角形的相似，例如DF AC DE AB =，则A 、B 、C 三点确定△ABC ，D 、E 、F 三点确定△DEF ，则证明△ABC ∽△DEF
二等线段代换法：等线段代换法即通过将已证比例中的线段换成与之相等的线段，再利用其他相似证明方法确定三角形的相似，例如
DF AC DE AB =且CD=AB ，则=DF AC DE CD ，再证△ACD 与△DEF 的相似
三等比代换法：当没有等量线段的转换时，可以选择用等比例代换找准相似。

例如
，，PQ
MN DF AC PQ MN DE AB ==则DF AC DE AB =。

则证明△ABC ∽△DEF 四等积代换法：
用射影定理找中间积，再进行等量代换。

【例1】（1）如图所示，AD 是直角三角形ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 交AB 、AC 于E 、F.求证：.AF BE AD BD
知识点睛
典型例题
模块一
比例式的证明方法相似——
比例线段的证明方法
（2）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E 作EM ⊥AD 于M 。

①求证：AB·DE=BE·AE ；②求BC
EM 的值
（3）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 为AC 中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：.AF
DF AC AB =
（4）如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 且交AC 于F ，过F 作FG ∥AB ，交AE 于G.求证：AG 2=AF FC.
【巩固】（1）梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于O 点，作BE//CD,交CA 的延长线于点E.求证：OC 2=OA.OE
（2）已知:如图,CE 是RtΔABC 的斜边AB 上的高,BG ⊥AP.求证:CE 2
=ED·EP.证明两线段相等的一种方法是构造比例关系：
x y a b
=，①若x y =，则a b =；②若a b =，则x y =；③若y b =，则x a
=【例2】（1）已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G 。

求证：EG GF =。

（2）如图，在△ABC 中，∠A=90°，分别以AB 、AC 为边向形外作正方形ABDE 、ACFG ，设CD 交AB 于N ，BF 交AC 于M ，求证：AM=AN。

知识点睛
典型例题
模块二运用相似证明线段相等
【巩固】如图，已知：正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、BC 上，且BP ⊥CM ，PN ⊥PD 于点P 求证：
BM=BN
【例3】（1）如图，梯形ABCD ，EF//AB ，EF 交AD 、BC 于E 、F ，交AC 、BD 于G 、H ，求证EG=FH。

（2）如图，□ABCD ，E 、F 分别在直线AD 、CD 上，连接BE 、BF 交AC 于M 、N ，EF//AC 。

①若E 、F 分别为AD 、CD 的中点，求证：AM=MN=CN
；
②平行移动EF ，交CD 、AD 的延长线于E 、F ，求证：
AM=CN
典型例题
模块三相似中的连比问题
【巩固】（1）如图，在四边形ABCD 中，F 为AC 、BD 的交点，EF//BC ，EN//BD,求证：
FN//CD
（2）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为CA 、BA 延长线上的点，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若MN//BC ，EN//BD ，求证：
CE//DM
【例4】已知：如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点．
（1）求证：①BE=CD ；②△AMN 是等腰三角形；
（2）在图①的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立，并证明。

（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN
．
典型例题
模块四全等与相似的结合问题
【例6】如图l ，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AO ⊥BC 于点0，F 是线段AO 上的点（与A ，0不重合），∠EAF=90°，AE=AF ，连结FE ，FC ，BE ，BF ．
（1）求证：BE=BF ；
（2）如图2，若将△AEF 绕点A 旋转，使边AF 在∠BAC 的内部，延长CF 交AB 于点G ，交BE 于点K ．
①求证：△AGC ∽△KGB ；
②当△BEF 为等腰直角三角形时，请你直接写出AB ：BF
的值．
【例6】已知：如图，在正方形ABCD 中，AD=12，点E 是边CD 上的动点（点E 不与端点C ，D 重合）AE 的垂直平分线FP 分别交AD ，AE ，BC 于点F ，H ，G ，交AB 的延长线于点P 。

（1）设DE=m （0<m<12），试用含m 的代数式表示FH HG
的值；（2）在（1）的条件下，当12
FH HG 时，求BP
的长。

能力提升
【例7】等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是AB 边上一动点，且AD=nDB ，E 是AC 边上的一个动点（与A 、C 不重合），DE ⊥DF ，DF 与BC 边相交于点F
（1）当n=1时，DE DF =________（2）当n=2时，求DE DF （3）当AE=13AC=2，12
n =时，
BF=________【例8】在面积为24的△ABC 中，矩形DEFG 的边DE 在AB 上运动，点F 、G 分别在BC 、AC 上．
（1）若AB ＝8，DE ＝2EF ，求GF 的长；
（2）若∠ACB ＝90°，如图2，线段DM 、EN 分别为△ADG 和△BEF 的角平分线，求证：MG ＝NF ；
（3）请直接写出矩形DEFG
的面积的最大值．
真题赏析
【例9】在等腰△ABC ，AB=AC 分别过点B 、C 作两腰的平行线，经过点A 的直线与两平行线分别交于点D 、E ，连接DC ，BE ，DC 与AB 边相交于点M ，BE 与AC 边相交于点N ．
(1)如图1，若CB DE //，写出图中所有与AM 相等的线段，并选取一条给出证明．
(2)如图2，若DE 与CB 不平行，在(1)中与AM 相等的线段中找出一条仍然与AM 相等的线段，并
给出证明．
【习题1】如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的角平分线分别交AB 、BD 于M 、N 两点．若AM=2，则线段ON 的长为（
）A ．22
B ．23
C ．1
D ．2
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课后作业
【习题2】如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论中正确的是①∠EAF=45°；②△ABE ∽△ACD ；③EA 平分∠CEF ；④BE 2+DC 2=DE 2
【习题3】如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°．AB=BC ．点D 是线段AB 上的一点，连结CD ．过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF ，给出以下四个结论：①
AB AG =FC
AF ；②若点D 是AB 的中点，则AF=32AB ；③当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF=DB ；④若AD DB =21，则S △ABC=9S △BDF ，其中正确的结论序号是（）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②③④
【习题4】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为（0，4）、（-3，0），点E 、F 分别为AB 、BO 的中点，分别连接AF 、EO ，交点为P ，点P 坐标为（）
A ．（23-，34）
B ．（23-，2）
C ．（-1，34）
D ．（-1，2）
【习题5】如图，DE//AB ，OF
OC OD OA =，求证：EF//BC 。

【习题6】平行四边形ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，∠ECA=∠D 。

求证：AC BE CE AD
⋅=⋅
【习题7】如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F 。

求证：2
BP PE PF =⋅。

【习题8】已知点E 在△ABC 内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．
（1）当α=60°时（如图1），①判断△ABC 的形状，并说明理由；②求证：BD=3AE ；
（2）当α=90°时（如图2），求AE
BD 的值．。