数学史埃及 试(假)位法
《赖因德纸草书》中的古埃及数学问题
数学史话现在，纸草书》（Rhind 德纸草书》元前1650年.草书》由英国的赖因德（《赖因德纸草书》.长544厘米，宽33计算手册，全书共列有841.单分数(unit 例外）.在列举84写出将2n101+1174+1232等.2.第1-403.第41-604.第61-84名的是艾森洛尔（1877年).刊行的版的有皮特（年)，高崎升著《古代一、算术运算简单，应的符号即可.分”（即乘以12）和25（表示1×25=25），作为第12×25=50），以下依次加倍，加到则所得的结果就会（1，2，4，8，…）中选出若干2与16，在其前面都*号对应的数相加，即得25×其计算过程如下：只需将运算的步骤倒计算：25×=450，就要将乘法450÷25=.原来的积变.现在要在右列中选出本例中用的是50、400，在其*号对应的数2、16相加，（包括分数）乘上8等于19，，再写2和16（2×8=16），不必再19.这时，需反过来将-8,….埃及分数的分子都是1.为-2,-4，加号也省去不写.从右19，在这些数的旁边标2，-4,-8.于是有8×2-4-8=19÷8=2-4-8.这就是商的最后梁宗巨55数学史话前面所说的计算方法通常适用于除数为偶数的情形.若除数是奇数，需继续平分下去，直到出现很复杂的数.这时就不要用平分法，需用其他数（如-3,-5,…）去乘除数.二、代数问题第24-29题属于现在代数中的一元一次方程问题.图1是第24题，上面是僧侣文，下面是象形文字的译文.象形文的每个字上面都标有相应的拉丁字母或阿拉伯数码.图1此题意译为：“一个量加上它的17等于19，求这个量.”现在的解法很简单，列成方程x +x7=19，解得x =1658.原书的解法很麻烦，是用试位法（meth⁃od of false position ）来解的.先假设一个答案x 1=7，于是x 1+x 17=8.如果全式再乘上198，等式的右端才是19.因此正确的答案是198x 1=198⋅7=1658=16-2-8.解题的过程中涉及了乘、除法.设x 1=7之后，计算x 1+x17=7æèöø1+17=8.接着计算19÷8=2-4-8，再将这结果乘以7.所得的积就是答案.最后还要验根，看看答案加上它的17是否等于19.用加法计算比较容易，16-2-82-4-8=18-2-4-4=18-2-2=19.可以看出，其结果是正确的.在别的纸草书上出现的二次方程问题，也是用试位法来解的.三、等差、等比数列试位法还用于求解别的问题.如第40题：“将100个面包分配给5个人（使其成等差数列），且前两个人所得的是后3人的17.”答案是123,10-2-6,20,29-6,38-3.23在纸草书中是唯一的非单分数，并且用特别的符号来表示.原题中没有给出“分配给5个人的面包数成等差数列”这个条件，但从结果来看，著者有这样的意图.解法是假设数列的首项为1，公差5-2，于是5人各得1,6,-2,12,17-2,23个面包，其总和等于60.将所有数字都乘以100/60，即得所求的答案.为什么要设首项为1（也许是为了简单），公差为5-2原书没有说明，后人作了一些合理的猜想.德国数学家康托尔（Cantor ）认为：若首项为1，公差是d ，则按条件可列成方程7（1+1+d ）=（1+2d ）+（1+3d ）+（1+4d ），自然就推得d =5-2.问题在于当时的埃及人还不懂得列方程，否则就会直接列方程求解而不必绕个大弯子，用试位法求解.蔡斯（A.B.Chacc ）作出如下的解释：设首项为1，公差也为1，则5个数是1、2、3、4、5.前两数和的7倍（7×3=21）比后3数之和多9，若将公差改为2，则前两数和的7倍（7×4=28）比后3数的和（5+7+9=21）多7.即公差增加1，差数（前两数和的7与后3数和之差）减少2.现问公差增加多少，才能使差数为0（即符合题设）？答案应该是9÷2=4-2，加上原设的公差1，即得5-2.该方法虽然冗长一些，但更符合当时人们的数学水平和计算习惯.56数学史话。
简述古埃及的数学发展史
简述古埃及的数学发展史
古埃及的数学发展史
古埃及的数学是古代世界最早出现的数学系统之一。
大约在公元前3000年,古埃及人就已经发展出了自己的数学体系。
他们的数学主要用于计算量度、计划建筑物、计算杂项，计算时只使用十进制的数字系统。
他们的数字只有一种基本形式，为了表达更大的数，往往重复使用这些数字，这就是古埃及人最著名的数字表示“罗马十”（即：I,II,III）。
古埃及人创造了各种数学工具，主要是用于计算面积、长度、质量等，他们还发展出简单的几何学，发现了三角形的斜边和高之间的关系。
古埃及人的数学有一些值得称道的高度，但大部分都是基于有限的应用，也没有发展出一种独立的概念。
他们的数学最终没有在西方发展出来，而是被希腊、罗马等欧洲文明所取代。
同时，古埃及的数学也给中东文明和印度古代文明带来了影响。
古代埃及数学（AncientEgyptianMathematics）
古代埃及数学 (Ancient Egyptian Mathematics)非洲东北部的尼罗河流域，孕育了埃及的文化。
在公元前3500-3000年间，这里曾建立了一个统一的帝国。
目前我们对古埃及数学的认识，主要源于两份用僧侣文写成的纸草书，其一是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书，另一份是约成书于公元前1650年的兰德(Rhind)纸草书，又称阿梅斯(Ahmes)纸草书。
阿梅斯纸草书的内容相当丰富，讲述了埃及的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的应用。
古埃及人使用象形文字，其数字以十进制表示，但并非位值制，而分数还有一套专门的记法。
由埃及数系建立起来的算术具有加法特征，其乘、除法的计算也只是利用连续加倍的方法来完成。
古埃及人将所有的分数都化成单位分数(分子为1的分数之和)，在阿梅斯纸草书中，有很大一张分数表，把分数表示成单位分数之和。
古埃及人已经能解决一些属于一次方程和最简单的二次方程的问题，还有一些关于等差数列、等比数列的初步知识。
如果说巴比伦人发展了卓越的算术和代数学，那么在另一方面，人们一般认为埃及人在几何学方面要胜过巴比伦人。
一种观点认为，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。
大水过后，法老要重新分配土地，长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学。
埃及人能够计算简单平面图形的面积，计算出的圆周率为3.16049；他们还知道如何计算棱椎、圆椎、圆柱体及半球的体积。
其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算，他们给出的计算过程与现代的公式相符。
至于在建造金字塔和神殿过程中，大量运用数学知识的事实表明，埃及人已积累了许多实用知识，而有待于上升为系统的理论。
印度数学 (Hindu Mathematics)印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和其它古老民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。
但是，印度数学的发展也有一个特殊的因素，便是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。
埃及对数学的贡献—数学起源（一）
埃及对数学的贡献—数学起源（一）一万二千年前，两河流域开始进入新时期时代，出现农业、畜牧业，人们开始定居。
自然而然，在生产实践中人们对数学的需求越来越多。
根据目前发现的文物，人们有理由相信数学起源于两河流域和埃及。
而两河流域和埃及数学虽然有不少相同之处，但他们又有各自的特点。
埃及注重实用，而两河的数学难度大，理论水平更高。
先谈谈埃及数学尼罗河下游每年定期发大水，带来了淤泥和肥料。
水退去后，埃及人开始播种，之后无需更多的管理，静等收获。
这种大自然的恩赐也带来了一个小小的问题，埃及人每年必须重新测量被大水淹没的自家土地。
另外，埃及人在建造金字塔时，必须计算土方和需要的石块数量，以及计划相应的运输。
在生产实践中，埃及人有了面积和体积的“定义”，创造了乘与除的“算法”以及如何求解“方程”。
各种语言中都有表示“数”的文字，比如“百”“千”等数量词。
“五百七十”清楚表示了数的大小。
但是，必须强调的是，五百七十归根结底是“文字”不是“数字”。
数字是用于表示数目大小的“专用符合”，能参与运算。
今天全世界都在用的0到9十个“数字符号”是印度在2千年前发明的。
而5000年前的埃及数字当然还非常原始。
数字“1”就是一竖，数的写法本身是加法。
从而相加相减无师自通。
应该说清楚的是，埃及数字虽然是“十进制”，但它是“自然十进制”。
人有十个手指，每次用手数到十后就数不下去了，只有做个记号才能继续数，这里做个记号实际上是“进位”。
显然“自然十进制”与我们今天使用的、含有“0”和“位数”的十进制有本质区别。
数字的出现不仅因为记录的需要，更是因为计算的需要。
换句话说，没有数字就没有计算。
那时的计算过程不过是加减乘除和开根号。
乘法是加法的自然延伸，除法出自减法。
这种逻辑关系在埃及的乘法运算过程中非常清晰。
除法中会出现除不尽的情况，所以埃及人发明了分数。
下面的例子解释了埃及乘法，比如47乘24，表中第一列是47每次翻倍的数值，即下一列等于自己加自己，第三列从1开始，下一列也是自己的倍数；“1”，“2”和“4”等。
数学史（2）：古埃及的数学
数学史（2）：古埃及的数学所有科学，包括逻辑和数学在内，都是有关时代的函数——所有科学连同它的理想和成就统统都是如此。
—— 穆尔 E.H.Moore⼀、背景在美索不达⽶亚平原政权频繁更迭的同时，⾮洲尼罗河畔的古埃及⽂明⼀直和平稳定地独⾃发展，直到公元前332年亚历⼭⼤⼤帝征服它。
公元前2500年左右⾦字塔的建⽴见证了其最⾼峰。
古埃及⼈造出了他们⾃⼰的⼏套⽂字，其中⼀套是象形⽂字，主要⽤在纪念碑⽂和器⽫上。
从公元前2500年左右起，埃及⼈⽤⼀种“僧侣⽂”做⽇常书写。
它是拼⾳的，每个⾳节由⼀个会意⽂代表，⽽整个⽂字则由⼀些会意⽂组成。
书写的⽅式是⽤墨⽔写在纸草（papyrus）上。
现存的古埃及数学⽂件主要是保存在莫斯科普希⾦精细艺术博物馆的莫斯科纸草书和保存在⼤英博物馆的莱因德纸草书，分别记载了25道和85道数学问题和解答。
这些是埃及⼈早在公元前3500年就已经知道的。
⼆、算术在古埃及前王朝时期就创⽴了完整的数字符号，采⽤了⼗进位制。
埃及数字虽然是“⼗进制”，但它是“⾃然⼗进制”。
⼈有⼗个⼿指，每次⽤⼿数到⼗后就数不下去了，只有做个记号才能继续数，这⾥做个记号实际上是“进位”。
显然“⾃然⼗进制”与我们今天使⽤的、含有“0”和“位数”的⼗进制有本质区别。
古埃及创建了完整的运算法则，有加法、减法、倍乘、分数算法，加减乘除⽤的是叠加法，去“凑”。
莱因德纸草书第70题：计算100除以（7+1/2+1/4+1/8）。
过程精彩但繁复，计算结果为12+2/3+1/42+1/126。
那时，埃及对分数的写法⾮常讲究，除了三分之⼆和四分之三有两个专⽤符号外，其他分数的分⼦统统必须是1，即单位分数。
运算复杂也是埃及算术和代数未能发展到更⾼⽔平的原因之⼀。
三、代数与⼏何埃及⼈掌握了⼀些未知量问题的解法，相当于今天的⼀元⼀次⽅程和⼀元⼆次⽅程，但所⽤⽅法纯粹是算术的——试算法，不成其为解⽅程。
纸草书中还有算术数列和⼏何数列的具体问题。
古埃及数学——精选推荐
古埃及数学算术古埃及人所创建的数系罗马数系有很多相似之处,具有简单而又纯朴的风格，并且使用了十进位制,但是不知道位值制。
根据史料记载，埃及象形文字似乎只限于表示107以前的数。
由于是用象形文字表示数，进行相加运算是很麻烦的，必须要数“个位数”、“十位数”、“百位数”的个数。
但在计算乘法时，埃及人采取了逐次扩大2倍(duplication)的方法，运算过程比较简单。
乘法：古埃及人采用反复扩大倍数的方法，然后将对应结果相加。
例如兰德纸草书(希特版)第32页，记载着12×12的计算方法，是从右往左读的。
我们以现代数字来表示，这就是倍增法。
代数在兰德纸草书中，因为求含一个未知量的方程解法在埃及语中发“哈喔”(hau)音，故称其为“阿哈算法”"阿哈算法"实际上是求解一元二次方程式的方法。
兰德纸草书第26题则是简单一例。
用现代语言表达为：“一个量与其1/4相加之和是15，求这个量。
”古埃及人是按照如下方法计算的：把4加上它的1/4得5，然后，将15除以5得3，最后将4乘以3得12，则12即是所求的量。
这种求解方法也称“暂定前提”(false assumpt ion)法，即：首先，根据所求的量而选择一个数。
在兰德纸草书第26题中，选择了4，因为4的1/4是容易计算的，然后，按照上面的步骤进行计算。
在用“阿哈算法”求解的问题中，也含有求平方根的问题，柏林纸草书中有如下的问题：“如果取一个正方形的一边的3/4(原文是1/2+1/4)为边做成新的正方形，两个正方形面积的和为100，试计算两个正方形的边长。
”不妨从“暂定的前提”出发，首先取边长为1的正方形，那么另一个正方形的边长为3/4，自乘得9/16，两个正方形面积的和为1+9/16，其平方根为1+1/4，已知数100的平方根为10，而10是1+1/4的8倍。
原文残缺不全，其结果是容易推测的，即1×8=8，8×3/4=6，即两个正方形的边长分别为8和6。
数学方法与数学史之浅谈古巴比伦与古埃及数学
数学方法与数学史之浅谈古巴比伦与古埃及数学浅谈古巴比伦与古埃及数学——数学之蕊数学知识伴随着人类的文明的产生而起源，并率先在几个文明古国开始了漫长的原始积累过程，人类的祖先为我们留下了珍贵的、可供研究的原始资料，其中最著名的古埃及象形文字纸草书和巴比伦楔形文字泥板书，较为集中地反映了古埃及数学和巴比伦数学的水平，它们被视为人类早期数学知识积累的代表。
古埃及数学现今我们对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做莱因德纸草书，一卷藏在莫斯科。
古埃及数学埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。
除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。
两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。
埃及很早就用十进记数法，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。
例如111，象形文字写成三个不同的字符，而不是将1重复三次。
埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。
他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。
占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。
莱因德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。
为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。
这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。
纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。
计算的结果相当于用3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。
根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。
总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。
众所周知我们所熟悉的埃及金字塔，这是埃及人的骄傲，这其中就蕴含着丰富的几何，代数方面的数学知识。
也是古埃及数学的应用于典型成就。
我们简单了解一下其中规模最大的一座金字塔：塔高一百四十六点五米；塔基每面长约二百四十米，绕塔一周约一公里；塔内有甬道、石阶、墓室等。
数学的趣味历史揭秘数学在古代埃及的应用
数学的趣味历史揭秘数学在古代埃及的应用数学的趣味历史揭秘：数学在古埃及的应用在古代埃及，数学被广泛应用于各个方面的生活和工作中。
埃及人民对数学的研究和应用具有悠久的历史，他们的数学成就在古代数学史上占据了重要的地位。
本文将揭秘古埃及数学的应用，并探讨数学在埃及社会中的重要角色。
一、基础数学1. 计数系统古埃及人用一种基于十进制的计数系统，他们使用一到九的符号来表示个位数，而使用垂直线来表示十位数。
例如，表示12的方法是用两个字符，第一个是一个弯曲的标志，表示十位数，第二个是两个竖直的标志，表示个位数。
这种计数系统的特点是简单易懂，便于计算。
2. 四则运算古埃及人可以进行简单的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
他们使用类似于现代数学中的方法来计算，例如使用符号和图表表示数字，然后进行运算。
他们还发展了一些解决问题的方法和技巧，如分数运算和方程求解。
二、土地测量1. 尺度测绘古埃及人非常擅长土地测量和测绘，他们使用尺度和几何原理来确定土地的边界和面积。
他们使用简单的工具，如绳子和指南针，来进行测量，并结合数学原理进行计算。
这种精确的土地测量技术在农业、建筑和土地交易中发挥了重要作用。
2. 金字塔的建筑古埃及人建造金字塔时也运用了数学知识。
他们使用测量技术来确定金字塔的形状和大小，并确保其稳定和坚固。
他们还使用数学比例来设计金字塔的内部结构和通道系统，以满足宗教和仪式上的要求。
三、日常生活1. 商业交易在古埃及社会中，商业交易是非常活跃的。
数学在商业交易中发挥了重要作用，古埃及商人使用数学知识来计算价格、计算交易利润，并记录商品的销售和库存情况。
数学的应用使得商业交易变得更加准确和高效。
2. 时间计算古埃及人使用太阳和月亮的运动来计算时间，他们发展了一套简单而准确的日历系统。
通过观察太阳和月亮的位置和阴影的变化，他们能够确定一年的长度，以及不同季节和月份的起止日期。
这种时间计算方法在农业生产和宗教仪式上起着关键作用。
古埃及人曾用下面的方法得到直角
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长， 可以代m,n为满足条件的特殊值来试， m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。 解： a b (m n ) (2mn) (m n ) c
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
∴△ABC是直角三角形
思维训练
4. 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
勾股定理的逆命题证明
如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边 的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 已知：在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证： △ ABC是直角三角形 证明：画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a,
A
C’A’=b
A’
c b
b
B
a
C
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直 角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3 (4) a:b: c=3:4:5
0 是 ∠ A=90 ____ _____ ;
不是 ____ _____ ; 是 ____ ∠ _____ B=900; 0 ∠ C=90 是 _____ _____ ;
古埃及人曾用下面的方法得到直角
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子 分成等长的12段,然后以3个结， 4个结，5个结的长度为边长， 用木桩钉成一个三角形，其中 一个角便是直角。
按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？
一古埃及的数学
x 1 x 19 7
暂定前提法
3.几何学的诞生
希腊历史学家希罗多 德说：
埃及是受尼罗河 恩施的。
尼罗河泛滥.mp4
埃及法老（拉美西斯二世，约公元前１３０ ０年）把土地分成大小相同的小正方形，然 后分给每一个埃及人，同时，制定年税的支 付并以此作为国家收入的来源。如果一个人 的土地被河水冲走，他可以找法老申报所发 生的事，然后法老会派人去调查并测量减少 的土地数量。这样以后就按剩下土地的面积 来缴税。“我想，正是有了这样的做法，埃 及才第一次有了几何学。”
400 450 积
古埃及的算术运算
计算：27×31
77÷14
77÷14=？
1
14
2
28
4
56
1
7
2
商 1+4+ 1 77 被除数
2
77÷14=5+ 1
2
古埃及的代数问题
在埃及纸草书中有求一个未知量问题的解法， 这个问题大体上相当于今日的一元一次方程， 不过用的方法纯粹是算术的 。
例如：一个量，加上自身的七分之一 等于19.
这样精确的数学关联，几乎不可能出于单纯的巧
合。因此，我们不得不承认，埃及大金字塔的设计 师确实了解π的原理，刻意将它的数值应用到金宇 塔的营建上。
古埃及的几何学
在埃德富(Edfu)一个庙宇的墙上刻有一个捐献 给庙宇的田地表，这些田地一般有四边，今将 其记为a、b、c、d，其中a与b以及c与d是两批 相对的边，铭文给出的这些田地的面积是
1.采用十进制； 2.没有位值制； 3.要创设很多新符号，计数较麻烦。
2.纸草书上的数学
《莱因德纸草书》﹝Rhind Papyrus﹞是公元前1650年左 右的埃及数学著作，属于世 界上最古老的数学著作之一。 作者是书记官阿默斯，共有 84个问题。公元1858年由英 国的埃及学者莱因德﹝A. H. Rhind﹞购得，故得名。现藏 于伦敦大英博物馆。该纸草 书全长544厘米，宽33厘米。
古埃及数学的算法
古埃及数学的算法古埃及数学，作为古代数学发展的重要组成部分，具有独特的特点和算法。
本文将介绍古埃及数学的算法，包括分数的计算、线性方程的解法以及平方根的求解方法等。
一、分数的计算算法古埃及人使用了一种特殊的算法来进行分数的计算。
他们将任意一个真分数表示为单位分数的和，其中单位分数指的是分子为1的真分数。
例如，古埃及人将2/7表示为1/4 + 1/28，这样就可以方便地进行计算。
在进行加法和减法运算时，古埃及人使用了相同分母的分数进行计算，然后再将结果化简为最简分数。
例如，计算1/4 + 2/7时，古埃及人将分数转化为相同分母的形式，得到7/28 + 8/28 = 15/28，然后再将结果化简为最简分数。
在进行乘法和除法运算时，古埃及人则使用了乘法表和除法表来进行计算。
他们将分子和分母分别在乘法表和除法表中查找对应的值，然后根据表中的结果进行计算。
这种算法虽然繁琐，但在当时的条件下是非常有效的。
二、线性方程的解法古埃及人发展了一种用于解线性方程的算法，即“射影法”。
他们将线性方程中的未知数视为一个射影量，通过一系列等式和代入来求解。
例如，对于方程3x + 5 = 8，古埃及人将其转化为等价的方程3(x + 5/3) = 8，然后通过代入的方法求解。
他们首先取x + 5/3 = 2，得到x = 1/3，然后再代入原方程验证，确保得到正确的解。
古埃及人的射影法虽然相对繁琐，但在解决实际问题时非常实用。
他们通过将问题转化为线性方程，并采用射影法进行求解，成功解决了许多实际问题。
三、平方根的求解方法古埃及人发展了一种用于求解平方根的算法，即“逼近法”。
他们通过逼近一个数的平方根，然后利用逼近的结果进行计算。
例如，对于求解√5的问题，古埃及人将其转化为求解x^2 = 5的问题。
他们首先猜测一个逼近值，例如2，然后通过逼近的方法逐步改进猜测值。
在每一步中，他们将猜测值与5除以猜测值的平均值进行平均，然后再次计算平方，直到达到所需的精度。
埃及数学计算方法
埃及数学计算方法《埃及数学计算方法》一、埃及数学埃及数学是世界上最早的一种数学，多用于解决日常生活中的数学问题，特别是在建筑工程中，埃及数学大大推动了文明的进步。
埃及数学的历史可以追溯到公元前2500年，但也有一些研究认为，可以追溯到公元前3000年，据说是埃及法老和祭司领导一群学者所著的。
埃及数学中，没有使用数字符号，只有一些审美的符号，称为“埃及文字”。
每一个符号都代表一个特定的数值，这些符号类似于阿拉伯数字，有些类似于我们现在使用的数字。
埃及文字的基本原理是用一个基本数字（例如，1、10、100等），来表示任何数字。
为了表示更大的数字，他们把数字用符号组合起来，这样就可以表示几千甚至几万的数字。
二、埃及数学计算方法1、加法在埃及数学中，加法是一种简单的计算方法。
他们不使用数字，而是使用审美文字表示数字，先统计有多少文字，然后把它们加起来，就得出最后的答案。
2、减法减法也是一种简单的计算方法，但是在埃及数字中没有“减号”之类的符号，所以减法的另一种方法是使用文字表示数字，从大的数字开始减，一直减到最小的数字，就得出最后的答案。
3、乘法乘法也是一种简单的计算方法，只需要把两个数字相乘，就可以得出最后的答案。
当两个数字乘积超过文字表示的数字时，埃及数学家们采用对角记数法，把乘积用斜线分割，把每个部分分别加起来，就得出最后的答案。
4、除法除法也是一种简单的计算方法，只需要把两个数字相除，就可以得出最后的答案。
他们使用“除号”表示除法，只需要把除号两边的数字相除，就可以得出最后的答案。
总的来说，埃及数学的计算方法相对简单，但是在某些情况下也有一定的复杂性。
古埃及文明的重要贡献之一，是它们对数学的早期发展，这也鼓励了今天的科学家们的研究。
为古埃及人的做法揭密
再观察下面两组命题: 再观察下面两组命题 如果两个角是对顶角，那么它们相等。 如果两个角是对顶角，那么它们相等。 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 三角形中相等的边所对的角相等。 三角形中相等的边所对的角相等。 正确 三角形中相等的角所对的边相等。 三角形中相等的角所对的边相等。 正确 请说出上面两个命题的逆命题。 请说出上面两个命题的逆命题。 它们都正确吗? 它们都正确吗 一个命题的逆命题可能是真命题也可能是假命题。 一个命题的逆命题可能是真命题也可能是假命题。 想一想:一个命题是真命题,它的逆命题是真命 想一想:一个命题是真命题 它的逆命题是真命
普林顿泥板
你知道这些数字间的关 系吗？ 系吗？借助计算器进行 探索。 探索。
……
……
……
a +b = c
2 2
2
课堂回顾
1、勾股定理的逆定理 、 如果三角形的三边长a 满足a 如果三角形的三边长 、 b 、 c满足 2+b2=c2 满足 那么这个三角形是直角三角形。 那么这个三角形是直角三角形。 2、勾股定理的逆定理的作用 、 判定直角三角形 3、互逆命题 、 对在这两个命题中, 题设和结论正好相反 正好相反， 对在这两个命题中 题设和结论正好相反，我 们把这样的两个命题叫做互逆命题 互逆命题。 们把这样的两个命题叫做互逆命题。 4、勾股定理的逆定理的证明体现了从特殊到一 、 归纳的数学思想。 般、归纳的数学思想。
2.找关系 根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出 找关系:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出 找关系 最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系 。 32+42=52 32+42 ＜ 62 62+82 =102 32+32＞42 B ________ C _________ D ___________ A _________ 3.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大 测量： 测量 角的度数，并记录如下： 角的度数，并记录如下： A _______ B _______ C ______ D _______
一古埃及的数学 (2)
古埃及的数学一、自学目标：通过自学本节内容，了解古埃及数学的成就，体会古埃及数学的特点。
二、自学内容提炼（一）知识梳理：古埃及数学的五大方面：1、计数法：记数法——以为基数的文字特点：①、最早采用的国家之一；②、但没有采用.2、书写材料－纸草纸草纸草3、古埃及的算术知识：（1）古埃及人的计算具有的特点：任何自然数都可由的各次幂的和组成. （2）分数的记法和计算单位分数的广泛使用成为埃及数学的一个重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些（分子为1的分数）的和的形式（2/3例外）.埃及人表示分数的符号是相当复杂的. 用（读作ro）表示分数线，将或点的记号放在数的上方用来表示分数.例如：（3）、完成了基本的算术四则运算（4）、已经有了求近似平方根的方法4、古埃及的代数：①、有渐进的代数，但叙述方式是 ，很少引用符号；②、比例的概念也已有萌芽；三角函数观念的萌芽③、一元一次方程求解即形如：a b χχ+=或某些二次方程：a b c χχχ++=④、等差级数和等比级数的概念及其求和例1、兰德纸草书中有一方程问题：有一数量，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共为33.用现代的记号是：21128331432797x x x x x +++=⇒= 只不过分数部分写为28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388.古埃及人把未知数称为“堆”（aha)例2、兰德纸草书中的第24题：已知“堆”与七分之一“堆”相加为19，求“堆”的值. “假位法”（method of false position ）—先假设一个特殊的数作为“堆”的值（多半是假值），将其代入等式左边去运算，然后比较得数与应得的结果，再通过比例的方法算出正确的答案.在上例中，用数7作为未知数x 的实验值，于是有，左边=1/771/778x x +⋅=+⋅= 而应得的结果是19，这两个结果之比为19/8=2+1/4+1/8，将7乘以（2+1/4+1/18）即得正确的“堆”值为16+1/2+1/8.例3、几何级数（等比级数）.兰德纸草书第79题：是在数字 7，49，343，2401，16807 旁边各注有图人，猫，鼠，大麦，量器等字样，而且给出总数为19607.问这个题目产生的是什么数列？总数是多少？---有答案无解法.5、古埃及的几何：在兰德纸草书和莫斯科纸草书中确实包含有许多几何性质的问题，内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关.由此可知，古埃及的几何很发达. 几何问题多是讲度量法，涉及到田地的面积，谷仓的容积和有关金字塔的计算等. 著名的“金字塔之迷”就是其中的代表.（1）、法老胡夫的金字塔(Pyramid)：兴建于齐阿斯王朝（BC2900年左右），高146.5米，塔基宽 233米，底边长度的误差为1.6厘米，正方程度与水平程度的平均误差≤1/10000，塔高与塔基之比非常近似于圆的周长与其半径之比.用以砌塔的巨石达230万块，重量从2.5吨到50吨不等.如把这些石头凿成平均一立方英尺的小块并排列成行，其长度相当于地球周长的2/3. 10万人用了20年的时间才建成的.（2）、阿蒙神庙(Oman Tamples)：阿蒙——埃及的太阳神.王殿总面积5000平方米，有134根圆柱，中间最高的12根高达21米.①、正方形,矩形,三角形,梯形面积公式.其他几何图形近似计算. 如：任意四边形的面积 ②、已经知道毕达哥拉斯定理的特殊情况.③、圆的面积很好的近似. 22a b c d ++⨯ Rhind 50:假设一直径为9的圆形土地，其面积=边长为8的正方形土地. 由此可知，圆面积为28()9S d = ，其中 d 为直径，相当于取π=3.1605，误差为0.6%.④、体积的计算正四棱台的体积－最高成就.221()3V h a ab b =++ 直棱柱(圆柱)的体积等于底面积乘以高.⑤、半球表面积的计算公式.⑥、知道相似三角形.⑦、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分的问题上，已经有了正确的知识.（二）典例选讲1、迭加运算例如： 计算 27×31例：计算745÷26，只要连续地把除数26加倍，直到再加倍就超过745为止.2、分数运算2/5=1/3+1/152/7=1/4+1/282/9=1/6+1/18......2/97=1/56+1/679+1/7762/99=1/66+1/1982/101=1/101+1/202+1/303+1/606利用此表可进行分数计算例如，要用5÷21，可写成单位分数之和运算程序如下：5/21=1/21+2/21+2/21=1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42=1/21+1/7+1/21=1/7+2/21=1/7+1/14+1/423、兰德纸草书第70题：求100÷(7+1/2+1/4+1/8)的商.答：12+2/3+1/42+1/126.解：将除数逐渐加倍：15+1/2+1/4→31+1/2→63，是除数的8倍;另外，除数与8+4+2/3相乘得3994，比被除数100小1/4.调整：因除数的8倍是63，故(7+1/2+1/4+1/8)×2/63=1/4由2/n数表查得2/63=1/42+1/126，于是100÷(7+1/2+1/4+1/8)= 8+4+2/3+2/63= 12+2/3+1/42+1/126.4、算术级数问题：5个人分100个面包，要求每个人所得的份数构成一个算术级数，并且前三个所得总数的1/7等于后二人所得之和---下伪法（regula falsi ）解： 先令第一项最大，这使得公差是负数.令首项和公差分别为a 和d,写出了 ()(2)11(3)(4)(4)72a a d a d a d a d d a d +-+-=-+-⇒=- 于是公差为最小项的11/2倍，设最小项为1. 于是得级数：111,6,12,17,2322但和为60,为满足条件，各项×5/3， 最后得：25111,10,20,29,383663（三）提出疑点和解决1、古埃及的加法运算和单位分数运算对古埃及数学发展有什么影响？答：加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复.这种运算方法冗长繁复妨碍了数学的进一步发展，这也是古埃及算术和代数不能发展到更高水平的原因之一.2、古埃及的面积、体积算法和如今的计算方法有什么特点？答：古埃及人的面积、体积算法对精确的公式和近似关系往往不作明确的区分，这又使他们的实用几何带上了粗糙的色彩.。
古埃及的数学课件人教新课标(1)
8
264
16
528
α
8α
1/8
1
1/4
2
1/2
4
1
8
2
16
1.1.2 古埃及的代数
（1）解方程的方法-----”试位法”
例1:求解方程
x x 24 7
例2:卡洪纸草书中记载了下列问题：将给定的100单位的面积分为两个正 方形，使二者的边长之比为3∶4.
（2）等差数列和等比数列问题
例3:兰德纸草书中记载了下列问题：今将10斗麦子分给10个人，每 人依次递降 1/8斗，问各得多少?
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古埃及的数学
1.1 古埃及的数学
古代埃及所处的地理位置
尼罗河是世界上最长的 河流之一.
公元前3000年左右古埃 及人在此建立起了早期 的奴隶制国家.
农业,手工业与贸易的发 展推动了自然科学各学 科知识的积累.
胡夫金字塔大约建于 公元前2500年左右. 该金字塔呈正四棱锥 形, 面向东西南北四个 正方向，边长230.5m， 塔高146.6m. 其底基正方形边长的 相对误差不超过 1∶14000，四底角的 相对误差不超过 1∶27000，即不超过 12"，四个方向的误差 也仅在2'～5'之间.
似地取为3.16;
直圆柱的体V 积 1为(底a2 面 a积b与 b高2 )的h 乘积. 古埃及数学中3“最伟大的埃及金字塔”:
思考题
1、世界四大文明古国是哪几个？它们的古老文明各 自又有哪些特征？
2、数学最基本、最古老的概念有哪些？它们在数学 科学的发展中有什么重要作用？
3、人称古埃及数学中“最伟大的金字塔”指的是什 么？它有什么重要的数学价值？
古埃及的胡夫Khufu金字塔
一古埃及的数学-人教A版选修3-1数学史选讲教案
一古埃及的数学-人教A版选修3-1 数学史选讲教案一、引言古埃及是世界上最古老的文明之一，其建立的约4700年前，是在尼罗河流域的沙漠地带，历史上经历了繁荣和衰落，但是其留下的文化和艺术品至今仍然让人们叹为观止。
除此之外，古埃及人也是一批具有卓越数学能力的人，其数学成就也被人们所称颂。
二、古埃及的数学1. 数字系统古埃及的数字系统不同于今天的十进制，它是一种类似于加权位值的数字系统，其中包含7个数字符号：1、10、100、1,000、10,000、100,000和1,000,000。
这些数字代表的是数量的数量级，而非固定的数字。
例如：用2条简单的符号表示数字148，它们分别是“ ”（1）和“ ”（1000），“ ”表示数字104,050。
2. 计算方法古埃及人使用简单的手算方法进行计算，他们使用一种叫做“分数降准法”的方法来完成各种计算，这个方法比今天我们使用的乘法和除法更有效。
3. 几何学成就在几何学方面，古埃及人拥有丰富的经验，他们已经知道如何计算矩形、三角形、梯形和圆形的面积。
同时，他们还发明了一种被称为“绳法”的几何方法，它包括使用绳子和棒子来测量和构造角度和线条。
三、教学设计1. 教学目标1.了解古埃及数字系统2.了解古埃及的计算方法3.了解古埃及在几何学方面的成就2. 教学内容2.1 数字系统通过简单的对话展示古埃及数字系统的特点和数字符号的含义。
2.2 计算方法介绍“分数降准法”的思想，通过演示和练习让学生掌握这种有效的计算方法。
2.3 几何学成就介绍古埃及人在几何学方面的成就，展示他们的几何学成果，例如在幕墙、墓穴和神庙中的建筑和雕塑。
3. 教学方法3.1 演示法演示古埃及数字系统及其计算方法，并向学生展示古埃及的几何学成就。
3.2 练习法通过练习让学生掌握“分数降准法”进行计算的技巧。
4. 教学步骤4.1 引入通过图片和视频展示古埃及的历史和文化。
4.2 讲解数字系统通过数字符号的图案以及对数字的等级制度进行简单的讲解。
数学的历史演变从埃及开始的数学测量技术
数学的历史演变从埃及开始的数学测量技术数学作为一门古老的学科，在人类文明的发展过程中扮演了重要的角色。
数学的历史演变可以追溯到数千年前的埃及，起源于人类对于测量技术的需求。
本文将从埃及的数学测量技术开始讲述数学的历史演变。
埃及是古代文明中最早应用数学的国家之一。
埃及人在日常生活和宗教仪式中需要进行土地测量、建筑规划等各种测量工作，这促使了他们积累了丰富的数学知识。
埃及人使用简单的工具，如绳子、水平仪等进行土地测量，这些测量技术为埃及人培养了精确的观察力和准确的计算能力。
一般来说，埃及人的测量技术主要集中在土地测量和建筑布局方面。
在土地测量中，埃及人使用了简单的三角测量方法。
他们会利用绳子和木棍制作出一个等腰直角三角形，通过测量角度和边长来计算出土地的面积和长度。
这种三角测量方法在当时是非常精确和可行的，成为埃及人测量土地和施工的基本方法。
另外，埃及人在建筑布局中也采用了一些数学原理。
例如，他们通过观测太阳的位置和角度，使用简单的几何学原理来确定金字塔的建造方向和位置。
同时，他们还掌握了一些平衡和测量的方法，以确保建筑物的稳定性和均衡性。
这些数学技术的运用，使得埃及的建筑物具有较高的准确度和稳定性。
除了土地测量和建筑布局，埃及人还研究了一些与商业和财务有关的数学概念。
例如，他们发明了用于交换和计算的货币系统，并掌握了基本的计算方法。
埃及人还开发了一种计数系统，使用简单的刻度和记号进行计数。
这对于埃及的商业和财务管理起到了重要的推动作用。
尽管埃及人的数学技术相对简单，但却奠定了数学发展的基础。
埃及的数学技术通过贸易和文化交流传播到了其他地区，对后来的数学家和科学家产生了深远的影响。
例如，希腊数学家克米特斯（Thales）受到埃及数学的启发，进一步发展了几何学。
他的学生毕达哥拉斯和欧几里得则将几何学推向了新的高度。
总之，埃及的数学测量技术为数学的历史演变奠定了基础。
埃及人通过土地测量和建筑布局中的数学方法，培养了精确观察和准确计算的能力，并为商业和财务管理开拓了新的思路。
数学史埃及 试(假)位法
古代埃及的纸草书
莱茵德纸草书
莫斯科纸草书
莱茵德纸草(Rhind Papyrus)
（大英博物馆）——85个数学问题. 最初发现于埃及的底比斯古都废 虚. （苏格兰人莱茵德 H. Rhind 于1858年购买于埃及），长约525cm， 宽约33cm.
莫斯科纸草(Moscow Papyrus) （莫斯科普希金精细艺术博物馆）— — 25 个数学问题。长约 525cm ，宽约 8cm，成书于约BC1890年.
埃及 试（假）位法
古代埃及的数学
背景：古代埃及简况 埃及文明以古老的象形文字和巨大的金字塔为象征，从 公元前 3100 年左右美尼斯统一上、下埃及建立第一王朝起， 到公元前332年亚历山大大帝灭最后一个埃及（波斯）王朝 （第三十一王朝）止， 创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造 了巍峨宏伟的神庙和金字塔。 古埃及最重要的传世数学文献：纸草书，如莱茵德纸草 书、莫斯科纸草书。 数学贡献：记数制，基本的算术运算，分数运算，一次 方程，正方形、矩形、等腰梯形等图形的面积公式，近 似的圆面积，锥体体积等。 公元前 4 世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学完 全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。
用现代的记号是： 2 1 1 28 x x x x 33 x 14 3 2 7 97 只不过分数部分写为
28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388. 古埃及人把未知数称为“堆”
• “假位法”（method of false position）—先假设一个特殊的数 作为“堆”的值（多半是假值），将其代入等式左边去运算， 然后比较得数与应得的结果，再通过比例的方法算出正确的答 案. 例 2 、莱茵德纸草书中的第 24题：已知“堆”与七分之一“堆” 相加为19，求“堆”的值. 用数7作为未知数x的实验值， 于是有，左边=
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古代埃及的纸草书
莱茵德纸草书
莫斯科纸草书
莱茵德纸草(Rhind Papyrus)
（大英博物馆）——85个数学问题. 最初发现于埃及的底比斯古都废 虚. （苏格兰人莱茵德 H. Rhind 于1858年购买于埃及），长约525cm， 宽约33cm.
莫斯科纸草(Moscow Papyrus) （莫斯科普希金精细艺术博物馆）— — 25 个数学问题。长约 525cm ，宽约 8cm，成书于约BC1890年.
（2）、 分数的记法和计算 单位分数的广泛使用成为埃及数学的一个重要而有趣的特色， 埃及人将所有的真分数都表示为一些单位分数（分子为1的分数） 的和的形式
（3）、完成了基本的算术四则运算
（4）、已经有了求近似平方根的方法
莱茵德纸草书中数表：将所有分子为 2 而 分母从 5 -101 的奇数表示为单位分数之 和.
2/5=1/3+1/15 2/7=1/4+1/28
2/9=1/6+1/18
...... 2/97=1/56+1/679+1/776 2/99=1/66+1/198 2/101=1/101+1/202+1/303+1/606
利用此表可进行分数计算 例如，要用5÷21，可写成单位分数之和 运算程序如下：
用现代的记号是： 2 1 1 28 x x x x 33 x 14 3 2 7 97 只不过分数部分写为
28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388. 古埃及人把未知数称为“堆”
• “假位法”（method of false position）—先假设一个特殊的数 作为“堆”的值（多半是假值），将其代入等式左边去运算， 然后比较得数与应得的结果，再通过比例的方法算出正确的答 案. 例 2 、莱茵德纸草书中的第 24题：已知“堆”与七分之一“堆” 相加为19，求“堆”的值. 用数7作为未知数x的实验值， 于是有，左边=
5/21=1/21+2/21+2/21
=1/21+1/14+1/42+1/14+1/42
=1/21+2/14+2/42 =1/21+1/7+1/21 =1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42
评价：
这种运算方法冗长繁复妨碍了数学的进 一步发展，这也是古埃及算术和代数不能 发展到更高水平的原因之一. 但是这种方法对于解决食物分配和土地 分配问题却十分方便. 例如，平均分食物：7个面包8个人分. 7/8 = 1/2+1/4/ 7 7 8
而应得的结果是19，这两个结果之比为19/8=2+1/4+1/8，将7乘 以（2+1/4+1/18）即得正确的“堆”值为16+1/2+1/8.
评价与启示：
(1)埃及数学的发展体现了静止的特性。莱茵德纸草书 和莫斯科纸草书中的数学，就像祖传家宝一样世代相传。 (2)加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古 埃及人的计算显得笨重繁复。这些阻碍埃及数学向更高 的水平发展。 (3) 古代埃及的“试（假）位法”，是古代埃及人民 对比例的应用，展示了他们的智慧。 (4) “试位法”对于一些不会方程求解的人来说，也 是一个较好的的求解未知数的方法。同时对速算和口算 也有较大帮助。 (5) 我们要在平时的日常生活和学习过程中，多思考， 勤动脑，争取发现和解决更多的数学问题。
二、古埃及的代数
①、有渐进的代数，但叙述方式是文词（即文词代数阶段）， 很少引用符号； ②、比例的概念也已有萌芽；三角函数观念的萌芽
③、一元一次方程求解 即形如 某些二次方程
④、等差级数和等比级数的概念及其求和 • 例1、莱茵德纸草书中有一方程问题：有一数量，加它的2/3， 加它的1/2，加它的1/7，再加全部共为33.
这两部纸草书实际上都是各种类型的数学问题集。 △莱茵德纸草书：主体部分由84个问题组成 △莫斯科纸草书：包含了25个问题 这两部纸草书无疑是古埃及最重要的传世数学文献
莱 茵 德 草 书 中 问 题 的 解
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一、古埃及的算术知识
（1） 古埃及人的计算具有迭加的特点：任何自然数都可由 2的各次幂的和组成.
埃及 试（假）位法
古代埃及的数学
背景：古代埃及简况 埃及文明以古老的象形文字和巨大的金字塔为象征，从 公元前 3100 年左右美尼斯统一上、下埃及建立第一王朝起， 到公元前332年亚历山大大帝灭最后一个埃及（波斯）王朝 （第三十一王朝）止，前后绵延三千年。
埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，发明了铜器、 创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造 了巍峨宏伟的神庙和金字塔。 古埃及最重要的传世数学文献：纸草书，如莱茵德纸草 书、莫斯科纸草书。 数学贡献：记数制，基本的算术运算，分数运算，一次 方程，正方形、矩形、等腰梯形等图形的面积公式，近 似的圆面积，锥体体积等。 公元前 4 世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学完 全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。