数字信号处理[第四章 快速傅里叶变换(FFT)].

x3 (l)WNkl/4 WNk/2
x4 (l)WNkl/4
W e 2kl
j
2 N
2 kl
2
N /2
l0
l0
X3 (k) WNk/2 X 4 (k)
j
2 N
kl
e 4
Wk
N 4
N /2
WNk/2
W kl N/
4
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
WNk / 2
X4
(k)
X 2 (k) X5 (k) WNk/2 X6 (k)
X 5 (0)
X 5 (1)
X
-1
6W(N00/2)
X
-1
W6 (N11/)2
X 1 (0)
X 1 (1)
X 1 (2)
-1
X 1 (3)
-1
X 2 (0) WN0
X 2 (1) WN1
X 2 (2) WN2
-1
X 2 (3) WN3
-1
X (0) X (1) X (2) X (3) -1 X (4) -1 X (5) X (6)
X
2 (k
N 4
)
X 5 (k )
WNk / 2
X6
(k)
9
快速傅里叶变换（FFT）
x(0) x1(0) x3(0) x(4) x1(2) x3(1) x(2) x1(1) x4 (0) x(6) x1(3) x4 (1) x(1) x2 (0) x5 (0) x(5) x2 (2) x5 (1) x(3) x2 (1) x6 (0) x(7) x2 (3) x6 (1)
-1 WN2
A(4) A(5) A(6)
-1 WN0
A(7)
-1 WN2
N次复数乘法，N－1次复数加法
N
2
Baidu Nhomakorabea
快速傅里叶变换（FFT）
W e nk
j
2 N
kn
N
周期性：WNmlN WNm 对称性：WNm＋N2 －WNm
1965年，图基和库利提出了快速傅里叶变换（FFT）， 不断把长序列分解成短序列，再进行DFT，
并利用周期性和对称性来减少DFT的运算次数。
3
快速傅里叶变换（FFT）
W0 N /4
x(6) x1(3) x4 (1)
W0 N /4
x(1) x2 (0) x5 (0)
x(5) x2 (2) x5 (1)
x(3) x2 (1) x6 (0)
W0 N /4
x(7) x2 (3) x6 (1)
W0 N /4
X 3 (0)
X 3 (1)
-1X 4W(N00/2) -1 X W4 (N11/)2
设：N 2M
x1(r) x(2r)
x2(r) x(2r 1) r 0,1,
N 2
1
X (k)
x(n)WNkn
x(n)WNkn
n偶数
n奇数
W e 2kr
j
2 N
2kr
N
N /21
N /21
x(2r)WNk 2r
x(2r 1)WNk (2r1)
r0
r0
N /21
N /21
x1(r)WN2kr WNk
-1
-1 X (7)
11
快速傅里叶变换（FFT）
x(0) A(0)
x(4) A(1) x(2) A(2) WN0 x(6) A(3) WN0 x(1) A(4)
x(5) A(5) x(3) A(6) WN0 x(7) A(7) WN0
A(0) A(1) A(2)
-1 WN0
A(3)
基2 FFT算法
主
进一步减少运算量的措施
要
内
容
分裂基FFT算法
离散哈特莱变换（DHT）
4
快速傅里叶变换（FFT） 基2 FFT算法
基2快速傅里叶算法 时域抽取法FFT（DIT--FFT） 频域抽取法FFT（DIF--FFT） IDFT的高效算法
5
快速傅里叶变换（FFT） 时域抽取法FFT（DIT--FFT）
X 2 (1) WN1
X 2 (2) WN2
-1
X 2 (3) WN3
-1
X (0) X (1) X (2) X (3) -1 X (4) -1 X (5) X (6)
-1
-1 X (7)
10
快速傅里叶变换（FFT）
x(0) x1(0) x3(0)
x(4) x1(2) x3(1)
x(2) x1(1) x4 (0)
N 2
)
X1(k)
WNk
X2
(k)
x(2r) x1(r) X1(k) x(2r 1) x2 (r) X 2 (k) WNk
X (k)
1
X (k N ) 2
试画出N＝8的DFT的一次时域抽取分解图
7
快速傅里叶变换（FFT）
x1(0) x(0)
X 1 (0)
x1(1) x(2)
x1(2) x(4) x1(3) x(6) x2 (0) x(1) x2 (1) x(3)
第四章 快速傅里叶变换（FFT）
快速傅里叶变换（FFT）
离散傅里叶变换（DFT）
N 1
X (k) x(n)WNnk , n0
k 0,1, , N 1
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNnk ,
k 0
n 0,1, , N 1
X (1) x(0)WN0 x(1)WN1 x(2)WN2 x(N 1)WNN1
X (6)
-1
-1 X (7)
2个N/2点DFT运算
N/2个蝶形运算
8
快速傅里叶变换（FFT）
x3(l) x1(2l)
x4(l) x1(2l 1) l 0,1,
N 4
1
N /41
N /41
X1(k)
x1(2l)WNk/22l
x1(2l 1)WNk/(22l1)
l0
l0
N /41
N /41
x2 (2) x(5) x2 (3) x(7)
N / 2点 DFT
X 1 (1) X 1 (2) X 1 (3)
N / 2点 DFT
X 2 (0) WN0 X 2 (1) WN1 X 2 (2) WN2 X 2 (3) WN3
X (0) X (1) X (2)
X (3) -1 X (4) -1 X (5)
x2 (r)WN2kr
r0
r0
j
2 N
kr
e 2
W kr N /2
N /21
N /21
x1(r)WNkr/2 WNk
x2 (r)WNkr/2 X1(k) WNk X 2 (k)
r0
r0
6
快速傅里叶变换（FFT）
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
Wk
N 2
N
WNk
蝶形运算
X
(k
X 3 (0)
N / 4点 X 3(1)
DFT
N / 4点 DFT
X 4W(N00/2) X W4 (N11/)2
N / 4点 X5 (0)
DFT
X 5 (1)
N / 4点 X 6W(N00/2)
DFT
X W6 (N11/)2
X 1 (0)
X 1 (1)
X 1 (2)
-1
X 1 (3)
-1
X 2 (0) WN0