数字信号处理[第四章 快速傅里叶变换(FFT)].
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数字信号处理课件第4章快速傅里叶变换FF
雷达信号压缩
通过FFT对雷达信号进行频谱分析，实现雷 达数据的压缩，减小存储空间和传输带宽。
谢谢聆听
05 FFT的局限性与挑战
浮点运算的开销问题
浮点运算开销
快速傅里叶变换（FFT）算法在实 现过程中需要进行大量的浮点运 算，这可能导致计算成本较高， 尤其是在处理大规模数据时。
硬件资源需求
由于FFT的浮点运算密集特性，对 计算设备的硬件资源（如CPU、 GPU等）要求较高，需要具备高 性能的计算能力。
FFT的软件实现
C/C实现
01
使用C或C等通用编程语言实现FFT算法，具有较好的通用性和
可移植性。
优化编译器
02
利用现代编译器的优化功能，如向量化、内联等，可以提高软
件实现的计算速度。
并行计算框架
03
利用OpenMP、CUDA等并行计算框架，可以实现多核或多
GPU上的并行计算。
FFT的优化方法
算法改进
FFT的历史与发展
历史
FFT的诞生可以追溯到1960年代，其发展经历了多个阶段，包括库利-图基算法、威尔金森算法、桑德斯算法等 。
发展
随着计算机技术的不断进步，FFT算法在实现方式、精度、并行化等方面不断得到优化和改进，以满足不同应用 场景的需求。
02 FFT的基本算法
递归算法
递归算法是一种基于数学归纳法的算法，通过将问题分解为更小的子问题来解决 问题。在FFT中，递归算法将一个长度为N的DFT问题分解为两个长度为N/2的 DFT问题，直到最后分解为基本的DFT问题。
特别是在信号处理领域，FFT的应用非常广泛。
FFT与Z变换的关系
定义
Z变换是离散时间信号 到复平面上的扩展，而 FFT是频域的一种快速 计算方法。
通过FFT对雷达信号进行频谱分析，实现雷 达数据的压缩，减小存储空间和传输带宽。
谢谢聆听
05 FFT的局限性与挑战
浮点运算的开销问题
浮点运算开销
快速傅里叶变换（FFT）算法在实 现过程中需要进行大量的浮点运 算，这可能导致计算成本较高， 尤其是在处理大规模数据时。
硬件资源需求
由于FFT的浮点运算密集特性，对 计算设备的硬件资源（如CPU、 GPU等）要求较高，需要具备高 性能的计算能力。
FFT的软件实现
C/C实现
01
使用C或C等通用编程语言实现FFT算法，具有较好的通用性和
可移植性。
优化编译器
02
利用现代编译器的优化功能，如向量化、内联等，可以提高软
件实现的计算速度。
并行计算框架
03
利用OpenMP、CUDA等并行计算框架，可以实现多核或多
GPU上的并行计算。
FFT的优化方法
算法改进
FFT的历史与发展
历史
FFT的诞生可以追溯到1960年代，其发展经历了多个阶段，包括库利-图基算法、威尔金森算法、桑德斯算法等 。
发展
随着计算机技术的不断进步，FFT算法在实现方式、精度、并行化等方面不断得到优化和改进，以满足不同应用 场景的需求。
02 FFT的基本算法
递归算法
递归算法是一种基于数学归纳法的算法，通过将问题分解为更小的子问题来解决 问题。在FFT中，递归算法将一个长度为N的DFT问题分解为两个长度为N/2的 DFT问题，直到最后分解为基本的DFT问题。
特别是在信号处理领域，FFT的应用非常广泛。
FFT与Z变换的关系
定义
Z变换是离散时间信号 到复平面上的扩展，而 FFT是频域的一种快速 计算方法。
数字信号处理DSP第4章
G[3] 1
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
数字信号处理第4章快速傅里叶变换FFT
X 6(k)
x6 (l)WNkl/ 4 DFT [x6(l)]
i0
x5 (l ) x6 (l )
x2 x2
(2l (2l
)
1)
,
l
0,1, N
/
4
1
(4.2.11)
课件
12
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0 )
N/4点 X3(0 )
x(4 )
DFT X3(1 )
e N
j 2 m
e N
WNm
(4.2.2)
其对称性表现为
WNm WNN m 或者 [WNN m ] WNm
m N
WN 2
WNm
课件
4
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT 算 法 基 本 上 分 为 两 大 类 ： 时 域 抽 取 法
课件
21
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0 )
N/4点
X(0 )
x(1 )
DFT
X(4 )
x(2 )
W
0 N
N/4点
X(2 )
x(3 )
W
2 N
DFT
X(6 )
x(4 )
W
0 N
N/4点
X(1 )
x(5 )
W
1 N
DFT
X(5 )
x(6 )
W
2 N
W
0 N
N/4点
X(3 )
x(7 )
W
3 N
W
X
(k
N 2
)
数字信号处理 第4章 FFT基本思想和2种基本的FFT
= −W
W的对称性
W的可约性
2 rk WN rk = WN / 2
长序列变成短序列 若N → 2个N / 2
2 则N 2次复述乘法 →（N / 2）= N 2 / 2次复数乘法 2
从信号的特殊性上考虑
– 如奇、偶、虚、实性
W 0 X (0) X (1) W 0 = X (2) W 0 0 X (3) W
对 N = 2M ， 共可分 M 次，即 m = 0,1,L , M − 1，
8点FFT时间抽取算法信号流图
每一级有 N/2 个如下的“蝶形”单元：
xm ( p )
xm +1 ( p )
W
r N
xm (q)
−1
xm +1 (q )
算法讨论（ “级”的概念、碟形单元、 “组” 的概念、旋转因子的分布、码位倒置）
r =2l ,r =2l +1
A(k ), B(k )
C(k) = D(k) =
N / 4−1 l =0
∑x(4l)W
l =0
lk N/4
, k = 0,1,..., N / 4 −1
N / 4−1
lk x(4l + 2)WN / 4 , k = 0,1,..., N / 4 −1 ∑
k A(k) = C(k) +WN / 2 D(k), k = 0,1,..., N / 4 −1 k A(k + N / 4) = C(k) −WN / 2 D(k), k = 0,1,..., N / 4 −1
x(6)
n N
N n = 0,1,L , 2
由此得到基本 运算单元
g (0) g (1) g (2) g (3)
数字信号处理课后答案+第4章(高西全丁美玉第三版)
6*． 按照下面的IDFT算法编写MATLAB语言 IFFT程 序， 其中的FFT部分不用写出清单， 可调用fft函数。 并分 别对单位脉冲序列、 矩形序列、 三角序列和正弦序列进行 FFT和IFFT变换， 验证所编程序。
解： 为了使用灵活方便， 将本题所给算法公式作为函 数编写ifft46.m如下： %函数ifft46.m %按照所给算法公式计算IFET function xn=ifft46(Xk， N) Xk=conj(Xk)； %对Xk取复共轭 xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算IFFT 分别对单位脉冲序列、 长度为8的矩形序列和三角序列 进行FFT， 并调用函数ifft46计算IFFT变换， 验证函数 ifft46的程序ex406.m如下：
快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)= DFT［h(n)］已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和 一次N点IFFT。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc 约为
Fs <
1024 = 15 625 次 /秒 65536 × 10−6
Fs 15625 = = 7.8125 kHz 2 2
1 x ( n) = IDFT[ X ( k )] = [DFT[ X * ( k )]]* N
%程序ex406.m %调用fft函数计算IDFT x1n=1； %输入单位脉冲序列x1n x2n=［1 1 1 1 1 1 1 1］； %输入矩形序列向量x2n x3n=［1 2 3 4 4 3 2 1］； %输入三角序列序列向量x3n N=8； X1k=fft(x1n， N)； X2k=fft(x2n， N)； X3k=fft(x3n， N)； %计算x1n的N点DFT %计算x2n的N点DFT %计算x3n的N点DFT
数字信号处理 第4章 快速傅里叶变换(FFT)-资料
x[0]
x[2]
W20
x[1]
x[3] W20
X1[0]
2点DFT X1[1] 1 X2[0]
2点DFT X2[1] 1
W40
1
W41
1
X [0] X [1] X [2] X [3]
4点基2时间抽取FFT算法流图
x[0]
x[2]
W40
x[1]
x[3]
W40
X1[0]
X1[1] 1
X2[0]
W40 1
W80 W80
2点DFT XX111[11[]1]
1 X4X1点21[20[]D0W] FW80T40
2点DFT XX121[21[]1W] W82411
1
1
xx[[11]]
XX212[10[]0]
xx[[35]] xx[[53]] xx[[77]]
W80 W80
2点DFT XX212[11[]1]
X2[1]
W41
1
1
X[0] X[1] X[2] X[3]
X[8mX点[m4基]]2X时X11[[间mm]]抽WW取88mmFXXF22[[Tmm算]],, 法mm流 00图,,11,,22,,33
x[0]
X1[0]
X [0]
x[2]
X1[1]
X [1]
x[4]
4点DFT
X1[2]
X [2]
x[6]
N=2
x[k]={x[0], x[1]}
X[0] x[0] W20 x[1] X [1] x[0] W21x[1] x[0] W20 x[1]
x[0]
X [0]
x[1] W20
-1
X [1]
数字信号处理中的快速傅里叶变换
数字信号处理中的快速傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是数字信号处理中一种重要的算法，用于将时域信号转换为频域信号。
通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦波，可以提取出信号的频谱信息，进而进行频域分析和滤波等操作。
本文将介绍快速傅里叶变换的原理、算法流程以及在数字信号处理中的应用。
一、快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是以傅里叶变换为基础的一种高效的算法。
傅里叶变换是将一个周期函数（或有限长的信号）分解成若干个不同频率的正弦和余弦波的叠加。
这些正弦和余弦波的频率和振幅反映了原始信号的频谱特征。
传统的傅里叶变换算法复杂度较高，难以在实时信号处理中应用。
而快速傅里叶变换通过巧妙地利用信号的对称性和周期性，将传统傅里叶变换的复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了计算效率。
二、快速傅里叶变换的算法流程快速傅里叶变换算法采用分治法的思想，将信号逐步分解成更小的子问题，并通过递归地计算子问题的频域结果来获得最终的结果。
其算法流程如下：1. 输入原始信号，设信号长度为N。
2. 如果N为1，则直接返回原始信号。
3. 将原始信号分为偶数项和奇数项两部分。
4. 对偶数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D1。
5. 对奇数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D2。
6. 根据傅里叶变换的性质，将D1和D2组合成整体的频域结果，得到最终结果。
7. 返回最终结果。
三、快速傅里叶变换在数字信号处理中的应用1. 频谱分析：快速傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，通过分析信号的频谱特征，可以提取信号的频率成分，并得到各频率成分的振幅和相位信息。
在音频、图像处理等领域，频谱分析是常见的操作，可以实现音乐信号的频谱可视化、图像去噪和图像压缩等任务。
2. 滤波操作：快速傅里叶变换可以将信号转换到频域后进行滤波操作。
在通信系统中，为了提高信号抗干扰能力和传输效率，通常使用滤波器对信号进行处理。
数字信号处理第四章_快速傅里叶变换
因此
X (k ) X 1 (k ) WN k X 2 (k ) N X (k ) X1 (k ) WN k X 2 (k ) 2
k 0,1, ,
N 1 2
因此：整个 X(k) 的计算，可以分解为前、后半部分的运 算。而只要求出前一半，就可以由上式求出整个序列。 12
N 1 2 r 0 N 1 2 r 0
X1 (k) = x(2r)WN 2kr
r=0
N -1 2
则
N X 1 (k ) X 1 ( l ) 2
x(2r )W
rl
N r( l ) 2
N 2
x(2r )W
WN
2 r N 2
r
N 2
N 2
W N rl
2
x(2r )W
r=0 r=0
N -1 2
N -1 2
r 0,1,... N / 2 1 k= 0,1,...N-1
奇数取样点DFT为：
X 2 ( k ) x( 2r 1)W N 2 kr x2 (r)W N 2 kr
r 0 r 0 N 1 2 N 1 2
① k 的整个范围为 0～(N-1)，而X1(k)、X2(k) 是由 N/2 个样点形成的 DFT，x(2r) 和 x(2r＋1）的长度为 N/2； ② 由这两个偶数和奇数 N/2 个时域样值可以计算出前 N/2 个 DFT 系数， 也可以计算出后 N/2 个 DFT 系数。 ③ 问题：这前后 N/2 个 DFT 有无关系？k 取 N/2 ～(N-1) 时， X1(k)、 X2(k)、WN 情况如何？
N个X (k) (N点DFT)
4N
4N 2
2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1)
数字信号处理第四章 fft
第四章 快速傅立叶变换（FFT)
基2FFT算法
FFT的基本思想 长为N的序列x(n)的) N
N 1
x ( n )W N
nk
0 k N 1
nk
n0 N 1
X ( k )W N
0 n N 1
x ( n )
n0
N 2
x(
N 2
rn
N 2
1
x1 ( n )W N
2
rn
n0
基2频域抽取FFT(Sande-Tukey算法 ，DIF-FFT)
X ( 2 r 1)
x ( n ) x ( N 2
n0 1
N 2
N 2
1
n ) W N
( 2 r 1) n
nk
将k分成偶和奇数，即将X(k)分解成奇偶两组，在偶数组中k=2r, e 则 ； jk 1 在奇数组中k=2r+1,则 e 1；有：
jk
X (2r )
x ( n )
n0 1
N 2
1
x ( N n ) W N 2 n) N W
2
2 rn
实序列的FFT算法
Z(k)与H(k)、G(k)的关系 一般而言，H(k)，G(k)均是复函数，因此，关键是怎样从Z(k)中分 离出H(k)和G(k)。Z(k)可写作：
WN W
N 2
N 2
k N
e
j
2 N N 2
W N W N
k
k
) X 1 (k
) WN
k
(k
N 2
)
X 2 (k
数字信号处理_程佩青_PPT第四章
第四章 快速傅里叶变换 （FFT）
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
快速傅里叶变换
n 0 N 1
r 0,1,
, N 2 1
N / 2 1
r 0
x(2r )WN
2 rk
N / 2 1
r 0
x(2r 1)WN
(2 r 1) k
N / 2 1
r 0
rk k x(2r )WN W /2 N
N / 2 1
r 0
rk x(2r 1)WN /2
N 2 N N ( N 1） N 2 所以8点FFT求X (k )共需 36次复数乘法, 2 2 2 2 N N2 N ( 1) N 32次复数加法, 共计为68次。看出仅做一次 2 2 分解就可以节省约一半计算量。
(2)N/2(4点)-->N/4(2点)FFT
N/2点 DFT
X1(1)
X1(2)
X1(3) X2(0)
WN
0
X(0) X(1) X(2) X(3)
1 2
x2(r) x2(0)=x(1)
奇 数 序 列
x2(1)=x(3) x2(2)=x(5) x2(3)=x(7)
N/2点 DFT
X2(1)
X2(2)
WN
WN
X2(3)
3 WN
X(4) -1 X(5) -1 X(6) -1 X(7)
-1 X(4)~X(7)
如：X（0） X 1 (0) X 2 (0)W80 X（2） X 1 (2) X 2 (2)W82
X（ 1） X 1 (1) X 2 (1)W81
X（3） X 1 (3) X 2 (3)W83
同学们自已写
比较直接计算N=8点DFT 与分解2个4点DFT的
r 0,1,
, N 2 1
N / 2 1
r 0
x(2r )WN
2 rk
N / 2 1
r 0
x(2r 1)WN
(2 r 1) k
N / 2 1
r 0
rk k x(2r )WN W /2 N
N / 2 1
r 0
rk x(2r 1)WN /2
N 2 N N ( N 1） N 2 所以8点FFT求X (k )共需 36次复数乘法, 2 2 2 2 N N2 N ( 1) N 32次复数加法, 共计为68次。看出仅做一次 2 2 分解就可以节省约一半计算量。
(2)N/2(4点)-->N/4(2点)FFT
N/2点 DFT
X1(1)
X1(2)
X1(3) X2(0)
WN
0
X(0) X(1) X(2) X(3)
1 2
x2(r) x2(0)=x(1)
奇 数 序 列
x2(1)=x(3) x2(2)=x(5) x2(3)=x(7)
N/2点 DFT
X2(1)
X2(2)
WN
WN
X2(3)
3 WN
X(4) -1 X(5) -1 X(6) -1 X(7)
-1 X(4)~X(7)
如：X（0） X 1 (0) X 2 (0)W80 X（2） X 1 (2) X 2 (2)W82
X（ 1） X 1 (1) X 2 (1)W81
X（3） X 1 (3) X 2 (3)W83
同学们自已写
比较直接计算N=8点DFT 与分解2个4点DFT的
数字信号处理第四章快速傅里叶变换(FFT)
第四章 快速傅里叶变换
（FFT）
数字信号处理第四章快速傅里叶变换 （FFT）
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-FFT算法 线性卷积的FFT算法
§4.1 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley-Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。
N (N/2 –1)
一个蝶形
1
2
N/2个蝶形
N/2
N
总计
N 2 / 2 N / 2 N N / 2 1 N
N2/2
N2/2
运算量减少了近一半
进一步分解
由于 N2M，N 2M1 仍为偶数，因此，两个
2
DFT又可同样进一步分解为4个
N
点的DFT。
N 2
点
4
x1(2l) x3(l) x1(2l 1) x4 (l
X 1 ( k ) W N k X 2 ( k ) ， k 0 ,1 ,2 ,N ./. 2 .1
X
X (k
(k
) N) 2
X1(k ) WNk X 2 (k X1(k ) WNk X 2
) (k
)
k
0,1,..., N
/2
1
将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示。
X1(k)
复数乘法 复数加法
N
N–1
N 2 N (N – 1)
a jbc jd ac bd j ad cb
实数乘法 实数加法
一次复乘 4
2
一次复加
2
一个X (k) 4N
（FFT）
数字信号处理第四章快速傅里叶变换 （FFT）
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-FFT算法 线性卷积的FFT算法
§4.1 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley-Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。
N (N/2 –1)
一个蝶形
1
2
N/2个蝶形
N/2
N
总计
N 2 / 2 N / 2 N N / 2 1 N
N2/2
N2/2
运算量减少了近一半
进一步分解
由于 N2M，N 2M1 仍为偶数，因此，两个
2
DFT又可同样进一步分解为4个
N
点的DFT。
N 2
点
4
x1(2l) x3(l) x1(2l 1) x4 (l
X 1 ( k ) W N k X 2 ( k ) ， k 0 ,1 ,2 ,N ./. 2 .1
X
X (k
(k
) N) 2
X1(k ) WNk X 2 (k X1(k ) WNk X 2
) (k
)
k
0,1,..., N
/2
1
将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示。
X1(k)
复数乘法 复数加法
N
N–1
N 2 N (N – 1)
a jbc jd ac bd j ad cb
实数乘法 实数加法
一次复乘 4
2
一次复加
2
一个X (k) 4N
数字信号处理[第四章 快速傅里叶变换(FFT)]
![数字信号处理[第四章 快速傅里叶变换(FFT)]](https://img.taocdn.com/s3/m/abb6b7114431b90d6c85c7a9.png)
A(2)
-1 -1
W
0 N
A(2)
-1
A(3)
0 N
WN2
A(3)
-1
A(4) A(5)
W
0 N
A(4) A(5) A(6)
-1
-1
1 WN
A(4) = X (4) A(5) = X (5) A(6) = X (6)
A(7) = X (7)
A(6)
-1 -1
-1
2 WN
W
0 N
A(7)
0 WN
WN2
1
16
快速傅里叶变换(FFT) 快速傅里叶变换(FFT)
三,蝶形运算规律
p XL (J ) = XL1(J ) + XL1(J + B) WN p XL (J + B) = XL1(J ) X运算级数,=1,2, M
X L ( J )表示第L级运算后数组元素X ( J )的值 p = J 2M L;J = 0,1, , 2 L 1 1
J L12
J N 2 L M
M L
L = 1,WNp = WNJ/4 = W2JL,J = 0
L = 2,WNp = WNJ/2 = W2JL,J = 0,1
L
=W 2 N 1 L = 3,WNp = WNJ = W2J ,J = 0,1, 2,3 L级,W = W ,J = 0,1, 2, 2
p N J 2L L 1
x(0) = A(0)
x(4) = A(1)
A(0) A(1)
W W
0 N
A(0) A(1)
A(0) = X (0) A(1) = X (1) A(2) = X (2) A(3) = X (3)
数字信号处理课件(第4章 快速傅里叶变换)
X 1 (k )
（4-8） （4-9）
N X 2 k X 2 (k ) 2
式（4-8）、式（4-9）说明了后半部分k值（N/2≤k≤N-1）所对应
的X1(k)， Ｘ 2(k)分别等于前半部分k值（0≤k≤N/2-1）所对应的 X1(k)，X2(k)。
第4章 快速傅里叶变换 再考虑到WkN 的以下性质:
X (k ) x(n )W
n 0
N 1
nk N
k=0, 1, …, N-1
（4-1）
反变换（IDFT）为
1 x ( n) N
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n=0, 1, …, N-1
（4-2）
第4章 快速傅里叶变换 二者的差别只在于WN的指数符号不同，以及差一个常数乘 因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算工作量。 下面我们
N N X k X1 k W 2 2
k N N k 2 N
N X2k 2
（4-12）
X 1 (k ) W X 2 (k )
N k 0,1,, 1 2
第4章 快速傅里叶变换
X1 (k)
第4章 快速傅里叶变换 例1 根据式（4-1），对一幅N×N点的二维图像进行DFT变
换，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问
需要多少时间（不考虑加法运算时间）？ 解 直接计算DFT所需复乘次数为（N2)2≈1012次，因此用每秒可做
10万次复数乘法的计算机，则需要近3000小时。
N 1 2 r 0
rk k rk k X (k ) x1 ( r )WN / 2 WN x2 ( r )WN / 2 X 1 (k ) WN X 2 (k )
数字信号处理快速傅里叶变换知识总结
数字信号处理快速傅里叶变换知识总结数字信号处理中的快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。
以下是关于快速傅里叶变换的一些重要知识点总结：1.基本概念：o傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，或反之。
o离散傅里叶变换（DFT）：对有限长度的离散时间信号进行傅里叶变换。
2.快速傅里叶变换（FFT）：o是一种算法，用于高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。
o基于“分治”策略，将大问题分解为小问题，从而显著降低了计算复杂性。
3.FFT的种类：o按长度分类：长度为2的幂的FFT（如N=2^n，n为整数）和任意长度的FFT。
o按算法结构分类：基于蝶形运算的基本FFT算法，以及各种改进和优化版本（如Cooley-Tukey、Radix-2、Radix-4等）。
4.FFT的数学表达式：对于长度为N的输入信号x[n]，其DFT可以表示为X[k] =∑_{n=0}^{N-1} x[n] * W_N^kn，其中W_N = e^(-j2π/N)。
快速傅里叶变换则是基于这个公式的高效计算方法。
5.FFT的应用：o频谱分析：通过FFT，可以快速得到信号的频域表示，从而分析信号的频率成分。
o通信系统：用于信号调制、解调和多路复用等。
o图像处理：在图像处理中，FFT常用于频域滤波和图像压缩。
6.FFT的优点和局限性：o优点：计算速度快，适合于实时处理和大数据量处理。
o局限性：对于非2的幂的长度信号，FFT的效率会降低。
此外，FFT无法处理无限或无限长的信号。
7.FFT的Python实现：Python中常用的库如numpy和scipy都提供了FFT的实现。
例如，numpy的fft模块提供了fft函数用于计算一维离散傅里叶变换，scipy.fftpack模块也提供了类似的功能。
8.其他扩展：针对特定应用和需求，还有许多FFT的变种和改进算法，例如线性调频Z变换（CZT）、混合基数FFT、对称性FFT等。
数字信号处理PPT课件
可见：
N DFT
由(4-7)式
N DFT 2 N DFT 2
N DFT ?
X1(k)
X 2(k)
0 k N 1 2
X (k) , 0 k N 1 2
问题： N k N 1时，X (k) ？ 2
第四章 快速傅里叶变换
§4-3 按时间抽取(DIT)的FFT算法(Cooley-Tukey算法)
利用
W
rk N
的周期性，
WNrk
r( N k)
WN 2
X1(k
2
N 2
)
N 1 2
2 r( N k)
x1(r)WN 2
r 0
2
2
N 1 2
x1(r)WNrk
r 0
X1(k) ,
2
0 k N 1 2
同理有，
N
X2(k 2 ) X2(k) ,
0 k N 1 2
可见，
N DFT 2
N DFT
N DFT 2
N DFT
第四章 快速傅里叶变换
§4-3 按时间抽取(DIT)的FFT算法(Cooley-Tukey算法)
上述运算可用下列蝶形信号流图表示:
X1(k) X1(k)
WNk
运算符
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
X
FFT 基 - 2 FFT /即N为2的整数幂的FFT
由FFT的定义:
N 1
X(k) x(n)WNkn n0
N x(n)
DFT ?
k 0,1,,N 1 (4- 4)
N 2
数字信号处理课件--第四章1快速傅里叶变换-PPT精品文档
第四章学习目标
运算流图、所需计算量和算法特点 运算流图、所需计算量和算法特点
理解IFFT算法
理解按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理、
理解按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理、
课件
1
第四章 快速傅里叶变换
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
课件
实数乘法 4
实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
4
W的 特 性
n k N
nk W N e
j
2 nk N
对 称 性 ( W ) W W W nN nk Nk nk W N W N W N W N
n k ( N n ) k n ( N k ) 周 期 性 W W W N N N
k X ( k ) X ( k ) W k ) N 2 5 N /2X 6( k 0,1 ,..., 1 N 4 k X ( k ) X ( k ) W X ( k ) 2 5 N /2 6 4
课件 8
再利用周期性求X(k)的后半部分
Xk , Xk 是 以 N / 2 为 周 期 的 1 2 N Xk Xk 1 1 2
N k 2 N
N X k Xk 2 2 2
N / 2 k k 又 W WW W N N N
n k m n k n k n k /m 可 约 性 WW W W N m N N Nm /
2 j m nk mN
n k * n k ( N n ) k n ( N k ) N N N N
运算流图、所需计算量和算法特点 运算流图、所需计算量和算法特点
理解IFFT算法
理解按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理、
理解按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理、
课件
1
第四章 快速傅里叶变换
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
课件
实数乘法 4
实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
4
W的 特 性
n k N
nk W N e
j
2 nk N
对 称 性 ( W ) W W W nN nk Nk nk W N W N W N W N
n k ( N n ) k n ( N k ) 周 期 性 W W W N N N
k X ( k ) X ( k ) W k ) N 2 5 N /2X 6( k 0,1 ,..., 1 N 4 k X ( k ) X ( k ) W X ( k ) 2 5 N /2 6 4
课件 8
再利用周期性求X(k)的后半部分
Xk , Xk 是 以 N / 2 为 周 期 的 1 2 N Xk Xk 1 1 2
N k 2 N
N X k Xk 2 2 2
N / 2 k k 又 W WW W N N N
n k m n k n k n k /m 可 约 性 WW W W N m N N Nm /
2 j m nk mN
n k * n k ( N n ) k n ( N k ) N N N N
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N 2
)
X1(k)
WNk
X2
(k)
x(2r) x1(r) X1(k) x(2r 1) x2 (r) X 2 (k) WNk
X (k)
1
X (k N ) 2
试画出N＝8的DFT的一次时域抽取分解图
7
快速傅里叶变换（FFT）
x1(0) x(0)
X 1 (0)
x1(1) x(2)
x1(2) x(4) x1(3) x(6) x2 (0) x(1) x2 (1) x(3)
X 5 (0)
X 5 (1)
X
-1
6W(N00/2)
X
-1
W6 (N11/)2
X 1 (0)
X 1 (1)
X 1 (2)
-1
X 1 (3)
-1
X 2 (0) WN0
X 2 (1) WN1
X 2 (2) WN2
-1
X 2 (3) WN3
-1
X (0) X (1) X (2) X (3) -1 X (4) -1 X (5) X (6)
N次复数乘法，N－1次复数加法
N
2
快速傅里叶变换（FFT）
W e nk
j
2 N
kn
N
周期性：WNmlN WNm 对称性：WNm＋N2 －WNm
1965年，图基和库利提出了快速傅里叶变换（FFT）， 不断把长序列分解成短序列，再进行DFT，
并利用周期性和对称性来减少DFT的运算次数。
3
快速傅里叶变换（FFT）
X (6)
-1
-1 X (7)
2个N/2点DFT运算
N/2个蝶形运算
8
快速傅里叶变换（FFT）
x3(l) x1(2l)
x4(l) x1(2l 1) l 0,1,
N 4
1
N /41
N /41
X1(k)
x1(2l)WNk/22l
x1(2l 1)WNk/(22l1)
l0
l0
N /41
N /41
x2 (r)WN2kr
r0
r0
j
2 N
kr
e 2
W kr N /2
N /21
N /21
x1(r)WNkr/2 WNk
x2 (r)WNkr/2 X1(k) WNk X 2 (k)
r0
r0
6
快速傅里叶变换（FFT）
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
Wk
N 2
N
WNk
蝶形运算
X
(k
-1
-1 X (7)
11
快速傅里叶变换（FFT）
x(0) A(0)
x(4) A(1) x(2) A(2) WN0 x(6) A(3) WN0 x(1) A(4)
x(5) A(5) x(3) A(6) WN0 x(7) A(7) WN0
A(0) A(1) A(2)
-1 WN0
A(3)
W0 N /4
x(6) x1(3) x4 (1)
W0 N /4
x(1) x2 (0) x5 (0)
x(5) x2 (2) x5 (1)
x(3) x2 (1) x6 (0)
W0 N /4
x(7) x2 (3) x6 (1)
W0 N /4
X 3 (0)
X 3 (1)
-1X 4W(N00/2) -1 X W4 (N11/)2
-1 WN2
A(4) A(5) A(6)
-1 WN0
A(7)
-1 WN2
x3 (l)WNkl/4 WNk/2
x4 (l)WNkl/4
W e 2kl
j
2 N
2 kl
2
N /2
l0
l0
X3 (k) WNk/2 X 4 (k)
j
Hale Waihona Puke 2 Nkle 4
Wk
N 4
N /2
WNk/2
W kl N/
4
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
WNk / 2
X4
(k)
X 2 (k) X5 (k) WNk/2 X6 (k)
X 3 (0)
N / 4点 X 3(1)
DFT
N / 4点 DFT
X 4W(N00/2) X W4 (N11/)2
N / 4点 X5 (0)
DFT
X 5 (1)
N / 4点 X 6W(N00/2)
DFT
X W6 (N11/)2
X 1 (0)
X 1 (1)
X 1 (2)
-1
X 1 (3)
-1
X 2 (0) WN0
第四章 快速傅里叶变换（FFT）
快速傅里叶变换（FFT）
离散傅里叶变换（DFT）
N 1
X (k) x(n)WNnk , n0
k 0,1, , N 1
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNnk ,
k 0
n 0,1, , N 1
X (1) x(0)WN0 x(1)WN1 x(2)WN2 x(N 1)WNN1
x2 (2) x(5) x2 (3) x(7)
N / 2点 DFT
X 1 (1) X 1 (2) X 1 (3)
N / 2点 DFT
X 2 (0) WN0 X 2 (1) WN1 X 2 (2) WN2 X 2 (3) WN3
X (0) X (1) X (2)
X (3) -1 X (4) -1 X (5)
X 2 (1) WN1
X 2 (2) WN2
-1
X 2 (3) WN3
-1
X (0) X (1) X (2) X (3) -1 X (4) -1 X (5) X (6)
-1
-1 X (7)
10
快速傅里叶变换（FFT）
x(0) x1(0) x3(0)
x(4) x1(2) x3(1)
x(2) x1(1) x4 (0)
X
2 (k
N 4
)
X 5 (k )
WNk / 2
X6
(k)
9
快速傅里叶变换（FFT）
x(0) x1(0) x3(0) x(4) x1(2) x3(1) x(2) x1(1) x4 (0) x(6) x1(3) x4 (1) x(1) x2 (0) x5 (0) x(5) x2 (2) x5 (1) x(3) x2 (1) x6 (0) x(7) x2 (3) x6 (1)
基2 FFT算法
主
进一步减少运算量的措施
要
内
容
分裂基FFT算法
离散哈特莱变换（DHT）
4
快速傅里叶变换（FFT） 基2 FFT算法
基2快速傅里叶算法 时域抽取法FFT（DIT--FFT） 频域抽取法FFT（DIF--FFT） IDFT的高效算法
5
快速傅里叶变换（FFT） 时域抽取法FFT（DIT--FFT）
设：N 2M
x1(r) x(2r)
x2(r) x(2r 1) r 0,1,
N 2
1
X (k)
x(n)WNkn
x(n)WNkn
n偶数
n奇数
W e 2kr
j
2 N
2kr
N
N /21
N /21
x(2r)WNk 2r
x(2r 1)WNk (2r1)
r0
r0
N /21
N /21
x1(r)WN2kr WNk