最优化计算方法
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在生活实践中，很多重要的实际问题都是线性的（ 在生活实践中，很多重要的实际问题都是线性的（至少能 够用线性函数很好的近似表示），所以我们一般把这些问 够用线性函数很好的近似表示），所以我们一般把这些问 ）， 题化为线性的目标函数和约束条件进行分析， 题化为线性的目标函数和约束条件进行分析，通常将目标 函数和约束都是线性表达式的规划问题称为线性规划 。
s.t.
也可以用矩阵形式来表示： 也可以用矩阵形式来表示：
min s.t.
f = cT x Ax <= b , x >= 0
线性规划的可行解是满足约束条件的解； 线性规划的可行解是满足约束条件的解；线性规划 的最优解是使目标函数达到最优的可行解。 的最优解是使目标函数达到最优的可行解。 线性规划关于解的情况可以是： 线性规划关于解的情况可以是： 1、无可行解，即不存在满足约束条件的解； 、无可行解，即不存在满足约束条件的解； 2、有唯一最优解，即在可行解中有唯一的最有解； 、有唯一最优解，即在可行解中有唯一的最有解； 3、有无穷最优解，即在可行解中有无穷个解都可使目 、有无穷最优解， 标函数达到最优； 标函数达到最优； 4、有可行解，但由于目标函数值无界而无最优解。 、有可行解，但由于目标函数值无界而无最优解。
三、内容与步骤： 内容与步骤：
优化工具箱中， 在Matlab优化工具箱中，linprog函数是使用单纯形法求解 优化工具箱中 函数是使用单纯形法求解 下述线性规划问题的函数。 下述线性规划问题的函数。
min s .t .
f = cT x Ax <= b , aeqx = beq ; vlb <= x <= vub
如没有不等式，而只有等式时， 如没有不等式，而只有等式时，A=[ ],b=[ ]; 输出的结果： 表示最优解向量 表示最优解向量； 表示最优值。 输出的结果：x表示最优解向量；fval表示最优值。 表示最优值
【例 1】 求解线性规划问题： 】 求解线性规划问题：
max
f = 3x1 x 2 x 3 x1 2x 2 + x 3 <= 11 4x + x + 2x >= 3 1 2 3 2x1 x 3 = 1 x i >= 0, i = 1,2,3
第二节 无约束规划计算方法
一、实验目的
1、了解无约束规划问题的求解原理与方法 ； 、 2、会用Matlab软件求解无约束规划问题。 、会用 软件求解无约束规划问题。 软件求解无约束规划问题
二、实验原理和方法
无约束规划问题的解法一般按目标函数的形式分为两大类： 无约束规划问题的解法一般按目标函数的形式分为两大类： 一类是一元函数的一维搜索法，如黄金分割法、插值法等； 一类是一元函数的一维搜索法，如黄金分割法、插值法等； 另一类是求解多元函数的下降迭代法。 另一类是求解多元函数的下降迭代法。
【例 2】 求解 min 】 取
3 2 1 2 f ( x ) = x1 + x 2 x1x 2 2 x1 2 2
x ( 0) = (2,4) T
解：首先建立函数文件fun702.m 首先建立函数文件
function f = fun702( x) f = 3 / 2 x(1)^ 2 + 1 / 2 x(2)^ 2 x(1) x(2) 2 x(1)
s.t.
解：考虑到linprog函数只解决形如 考虑到 函数只解决形如
min s.t.
f = cT x Ax <= b , aeqx = beq; x >= 0
的线性规划。 的线性规划。所以先要将线性规划 变为如下形式： 变为如下形式：
min
f = 3x 1 + x 2 + x 3 2 x1 x 3 = 1 x 2 x + x <= 11 1 2 3 4 x 1 x 2 2 x 3 <= 3 x i >= 0 , i = 1, 2 ,3
即极小值为-1， 时取得。 即极小值为 ，是x1=1,x2=1时取得。 时取得
【例 3】 解非线性方程组 】
x1 2 x 2 1 = 0 ( x1 2) 2 + ( x 2 0.5) 2 1 = 0
解：解此非线性方程组等价于求解无约束非线性规划问题： 解此非线性方程组等价于求解无约束非线性规划问题：
Matlab程序： 程序： 程序 ch701.m
s .t .
然后建立M文件如下： 然后建立 文件如下： 文件如下
c=[-3;1;1];A=[1 -2 1;4 -1 -2];b=[11;-3]; aeq=[2 0 -1];beq=-1;vlb=[0;0;0]; [x,fval]=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb)
优化工具箱中， 函数是用SQP算法来 在Matlab优化工具箱中，fmincon函数是用 优化工具箱中 函数是用 算法来 解决一般的约束非线性规划的函数，它的命令格式为： 解决一般的约束非线性规划的函数，它的命令格式为：
x=fmincon(‘fun’,x0,A,b) x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq) x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlco n)
min ( x1 x 2 1) 2 + (( x1 2) 2 + ( x 2 0.5) 2 1) 2
2
然后建立函数文件fun703.m 然后建立函数文件
function f = fun 703 ( x ) f = ( x (1)^ 2 x ( 2 ) 1)^ 2 + (( x (1) 2 )^ 2 + ( x ( 2 ) 0 .5)^ 2 1)^ 2
一般求解线性规划的常用方法是单纯形法和改进 的单纯形法， 的单纯形法，这类方法的基本思路是先求得一个可行 解，检验是否为最优解；若不是，可用迭代的方法找 检验是否为最优解；若不是， 到另一个更优的可行解，经过有限次迭代后， 到另一个更优的可行解，经过有限次迭代后，可以找 到可行解中的最优解或者判定无最优解。 到可行解中的最优解或者判定无最优解。
它的命令格式为： 它的命令格式为：
[ x, fval] = linprog(c, A, b, aeq, beq, vlb, vub) [ x, fval] = linprog(c, A, b, aeq, beq, vlb, vub, x0)
其中： 为约束条件矩阵 为约束条件矩阵， 分别为目标函数的系数向量和 其中：A为约束条件矩阵，b,c分别为目标函数的系数向量和 约束条件中最右边的数值向量；也可设置解向量的上界 和 约束条件中最右边的数值向量；也可设置解向量的上界vlb和 下界vub，即解向量必须满足vlb<=x<=vub；还可预先设置 ，即解向量必须满足 下界 ； 初始解向量x0。 初始解向量 。
作为文件名保存此M文件后 以ch701作为文件名保存此 文件后，在命令窗口 作为文件名保存此 文件后， 输入ch701后即可得到结果： 后即可得到结果： 输入 后即可得到结果 x = 4.0000 1.0000 9.0000
同时返回fval=-2 同时返回
对应到原来的线性规划中即知目标函数的最大值为2， 对应到原来的线性规划中即知目标函数的最大值为 ，此时 x1=4,x2=1,x3=9。 。
在命令窗口输入： 在命令窗口输入： x0=[0;0]; x=fminunc(‘fun703’,x0) 结果显示： 结果显示： f =5.2979e-011 x =1.0673 0.1392 则非线性方程组的解为x1=1.0673,x2=0.1392。 。 则非线性方程组的解为
Matlab程序： 程序： 程序 ch703.m
第七章 最优化计算方法
第一节 线性方程组的应用
一、实验目的： 实验目的：
1、了解线性规划问题及可行解、最优解的概念 ； 、了解线性规划问题及可行解、 2、掌握Matlab软件关于求解线性规划的语句和方法。 、掌握 软件关于求解线性规划的语句和方法。 软件关于求解线性规划的语句和方法
二、实验原理和方法： 实验原理和方法：
第三节 约束非线性规划计算方法 一、实验目的
1、了解约束非线性规划问题的求解原理与方法； 、了解约束非线性规划问题的求解原理与方法； 2、会用Matlab软件求解约束非线性规划问题。 、会用 软件求解约束非线性规划问题。 软件求解约束非线性规划问题
二、实验原理和方法
对于约束非线性规划，随着目标函数和约束条件的不同， 对于约束非线性规划，随着目标函数和约束条件的不同， 解法也不同，一般来说，有两类方法： 解法也不同，一般来说，有两类方法： ）、将约束问题化为无约束问题的求解方法 （1）、将约束问题化为无约束问题的求解方法； ）、将约束问题化为无约束问题的求解方法； ）、用线性规划来逼近非线性规划 （2）、用线性规划来逼近非线性规划； ）、用线性规划来逼近非线性规划；
三、实验内容与步骤
软件中， 在Matlab软件中，求解无约束规划的常用命令是： 软件中 求解无约束规划的常用命令是： x=fminunc(‘fun’,x0) 其中，fun函数应预先定义到 文件中，并设置初始 函数应预先定义到M文件中 其中， 函数应预先定义到 文件中， 解向量为x0。 解向量为 。
三、实验内容与步骤
约束非线性规划的一般形式为： 约束非线性规划的一般形式为：
min f ( x)
x
Biblioteka Baidu
s.t
Ax ≤ b, aeq* x = beq (线性约束 ) g( x) ≤ 0, ceq( x) = 0 （非线性约束） lb ≤ x ≤ ub
其中， 为多元实值函数;g(x)为向量函数 并且 为向量函数,并且 其中，f(x)为多元实值函数 为多元实值函数 为向量函数 并且f(x),g(x)中至 中至 少有一个函数是非线性函数的（否则成为线性规划问题） 少有一个函数是非线性函数的（否则成为线性规划问题）。
【例 4】 求解约束非线性规划： 】 求解约束非线性规划：
max e x1 x2 2 (3 e x1 x2 2 ) s.t. e x1 + x2 2 = 3
(初值为 初值为[1;1]) 初值为
首先将问题转化为matlab要求的格式 即求出 要求的格式;即求出 首先将问题转化为 要求的格式 fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub 文件fun7041.m 解:首先建立一个m文件 首先建立一个 文件 function y=fun7041(x) y=-exp(x(1))*x(2)^2*(3-exp(x(1))-x(2)^2); 存储为fun7041.m 存储为
迭代的基本思想和步骤大致可分为以下四步： 迭代的基本思想和步骤大致可分为以下四步：
1) 2) 3） 选取初始点x 0 , 并令k = 0; 得到x k 后，选取一个搜索方向P k , 使得沿着这个方向的 目标函数f ( x)的值时下降的； 由x k出发，沿P k 方向选取适当的步长λk , 使得 f ( x k + λk P k ) < f ( x k ) 由此得到下一个点x k +1 = x k + λk P k 4) 检验新得到的点x k +1是否满足精度要求的最优解。 如果是，则结束运算；否则，令k = k + 1, 返回(2)继续迭代
为文件名保存此函数文件。 以fun702为文件名保存此函数文件。 为文件名保存此函数文件 在命令窗口输入： 在命令窗口输入： x0=[-2;4]; x=fminunc('fun702',x0) 结果显示： 结果显示：
f= -1.0000 x= 1.0000 1.0000
Matlab程序： 程序： 程序 ch702.m
它的一般形式是： 它的一般形式是：
min
f = c1x1 + c 2 x 2 + + c n x n a 11x1 + a 12 x 2 + + a1n x n <= b1 a x + a x + + a x <= b 21 1 22 2 2n n 2 a m1x1 + a m 2 x 2 + + a mn x n <= b m x i >= 0 (i = 1,2,, n )
s.t.
也可以用矩阵形式来表示： 也可以用矩阵形式来表示：
min s.t.
f = cT x Ax <= b , x >= 0
线性规划的可行解是满足约束条件的解； 线性规划的可行解是满足约束条件的解；线性规划 的最优解是使目标函数达到最优的可行解。 的最优解是使目标函数达到最优的可行解。 线性规划关于解的情况可以是： 线性规划关于解的情况可以是： 1、无可行解，即不存在满足约束条件的解； 、无可行解，即不存在满足约束条件的解； 2、有唯一最优解，即在可行解中有唯一的最有解； 、有唯一最优解，即在可行解中有唯一的最有解； 3、有无穷最优解，即在可行解中有无穷个解都可使目 、有无穷最优解， 标函数达到最优； 标函数达到最优； 4、有可行解，但由于目标函数值无界而无最优解。 、有可行解，但由于目标函数值无界而无最优解。
三、内容与步骤： 内容与步骤：
优化工具箱中， 在Matlab优化工具箱中，linprog函数是使用单纯形法求解 优化工具箱中 函数是使用单纯形法求解 下述线性规划问题的函数。 下述线性规划问题的函数。
min s .t .
f = cT x Ax <= b , aeqx = beq ; vlb <= x <= vub
如没有不等式，而只有等式时， 如没有不等式，而只有等式时，A=[ ],b=[ ]; 输出的结果： 表示最优解向量 表示最优解向量； 表示最优值。 输出的结果：x表示最优解向量；fval表示最优值。 表示最优值
【例 1】 求解线性规划问题： 】 求解线性规划问题：
max
f = 3x1 x 2 x 3 x1 2x 2 + x 3 <= 11 4x + x + 2x >= 3 1 2 3 2x1 x 3 = 1 x i >= 0, i = 1,2,3
第二节 无约束规划计算方法
一、实验目的
1、了解无约束规划问题的求解原理与方法 ； 、 2、会用Matlab软件求解无约束规划问题。 、会用 软件求解无约束规划问题。 软件求解无约束规划问题
二、实验原理和方法
无约束规划问题的解法一般按目标函数的形式分为两大类： 无约束规划问题的解法一般按目标函数的形式分为两大类： 一类是一元函数的一维搜索法，如黄金分割法、插值法等； 一类是一元函数的一维搜索法，如黄金分割法、插值法等； 另一类是求解多元函数的下降迭代法。 另一类是求解多元函数的下降迭代法。
【例 2】 求解 min 】 取
3 2 1 2 f ( x ) = x1 + x 2 x1x 2 2 x1 2 2
x ( 0) = (2,4) T
解：首先建立函数文件fun702.m 首先建立函数文件
function f = fun702( x) f = 3 / 2 x(1)^ 2 + 1 / 2 x(2)^ 2 x(1) x(2) 2 x(1)
s.t.
解：考虑到linprog函数只解决形如 考虑到 函数只解决形如
min s.t.
f = cT x Ax <= b , aeqx = beq; x >= 0
的线性规划。 的线性规划。所以先要将线性规划 变为如下形式： 变为如下形式：
min
f = 3x 1 + x 2 + x 3 2 x1 x 3 = 1 x 2 x + x <= 11 1 2 3 4 x 1 x 2 2 x 3 <= 3 x i >= 0 , i = 1, 2 ,3
即极小值为-1， 时取得。 即极小值为 ，是x1=1,x2=1时取得。 时取得
【例 3】 解非线性方程组 】
x1 2 x 2 1 = 0 ( x1 2) 2 + ( x 2 0.5) 2 1 = 0
解：解此非线性方程组等价于求解无约束非线性规划问题： 解此非线性方程组等价于求解无约束非线性规划问题：
Matlab程序： 程序： 程序 ch701.m
s .t .
然后建立M文件如下： 然后建立 文件如下： 文件如下
c=[-3;1;1];A=[1 -2 1;4 -1 -2];b=[11;-3]; aeq=[2 0 -1];beq=-1;vlb=[0;0;0]; [x,fval]=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb)
优化工具箱中， 函数是用SQP算法来 在Matlab优化工具箱中，fmincon函数是用 优化工具箱中 函数是用 算法来 解决一般的约束非线性规划的函数，它的命令格式为： 解决一般的约束非线性规划的函数，它的命令格式为：
x=fmincon(‘fun’,x0,A,b) x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq) x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlco n)
min ( x1 x 2 1) 2 + (( x1 2) 2 + ( x 2 0.5) 2 1) 2
2
然后建立函数文件fun703.m 然后建立函数文件
function f = fun 703 ( x ) f = ( x (1)^ 2 x ( 2 ) 1)^ 2 + (( x (1) 2 )^ 2 + ( x ( 2 ) 0 .5)^ 2 1)^ 2
一般求解线性规划的常用方法是单纯形法和改进 的单纯形法， 的单纯形法，这类方法的基本思路是先求得一个可行 解，检验是否为最优解；若不是，可用迭代的方法找 检验是否为最优解；若不是， 到另一个更优的可行解，经过有限次迭代后， 到另一个更优的可行解，经过有限次迭代后，可以找 到可行解中的最优解或者判定无最优解。 到可行解中的最优解或者判定无最优解。
它的命令格式为： 它的命令格式为：
[ x, fval] = linprog(c, A, b, aeq, beq, vlb, vub) [ x, fval] = linprog(c, A, b, aeq, beq, vlb, vub, x0)
其中： 为约束条件矩阵 为约束条件矩阵， 分别为目标函数的系数向量和 其中：A为约束条件矩阵，b,c分别为目标函数的系数向量和 约束条件中最右边的数值向量；也可设置解向量的上界 和 约束条件中最右边的数值向量；也可设置解向量的上界vlb和 下界vub，即解向量必须满足vlb<=x<=vub；还可预先设置 ，即解向量必须满足 下界 ； 初始解向量x0。 初始解向量 。
作为文件名保存此M文件后 以ch701作为文件名保存此 文件后，在命令窗口 作为文件名保存此 文件后， 输入ch701后即可得到结果： 后即可得到结果： 输入 后即可得到结果 x = 4.0000 1.0000 9.0000
同时返回fval=-2 同时返回
对应到原来的线性规划中即知目标函数的最大值为2， 对应到原来的线性规划中即知目标函数的最大值为 ，此时 x1=4,x2=1,x3=9。 。
在命令窗口输入： 在命令窗口输入： x0=[0;0]; x=fminunc(‘fun703’,x0) 结果显示： 结果显示： f =5.2979e-011 x =1.0673 0.1392 则非线性方程组的解为x1=1.0673,x2=0.1392。 。 则非线性方程组的解为
Matlab程序： 程序： 程序 ch703.m
第七章 最优化计算方法
第一节 线性方程组的应用
一、实验目的： 实验目的：
1、了解线性规划问题及可行解、最优解的概念 ； 、了解线性规划问题及可行解、 2、掌握Matlab软件关于求解线性规划的语句和方法。 、掌握 软件关于求解线性规划的语句和方法。 软件关于求解线性规划的语句和方法
二、实验原理和方法： 实验原理和方法：
第三节 约束非线性规划计算方法 一、实验目的
1、了解约束非线性规划问题的求解原理与方法； 、了解约束非线性规划问题的求解原理与方法； 2、会用Matlab软件求解约束非线性规划问题。 、会用 软件求解约束非线性规划问题。 软件求解约束非线性规划问题
二、实验原理和方法
对于约束非线性规划，随着目标函数和约束条件的不同， 对于约束非线性规划，随着目标函数和约束条件的不同， 解法也不同，一般来说，有两类方法： 解法也不同，一般来说，有两类方法： ）、将约束问题化为无约束问题的求解方法 （1）、将约束问题化为无约束问题的求解方法； ）、将约束问题化为无约束问题的求解方法； ）、用线性规划来逼近非线性规划 （2）、用线性规划来逼近非线性规划； ）、用线性规划来逼近非线性规划；
三、实验内容与步骤
软件中， 在Matlab软件中，求解无约束规划的常用命令是： 软件中 求解无约束规划的常用命令是： x=fminunc(‘fun’,x0) 其中，fun函数应预先定义到 文件中，并设置初始 函数应预先定义到M文件中 其中， 函数应预先定义到 文件中， 解向量为x0。 解向量为 。
三、实验内容与步骤
约束非线性规划的一般形式为： 约束非线性规划的一般形式为：
min f ( x)
x
Biblioteka Baidu
s.t
Ax ≤ b, aeq* x = beq (线性约束 ) g( x) ≤ 0, ceq( x) = 0 （非线性约束） lb ≤ x ≤ ub
其中， 为多元实值函数;g(x)为向量函数 并且 为向量函数,并且 其中，f(x)为多元实值函数 为多元实值函数 为向量函数 并且f(x),g(x)中至 中至 少有一个函数是非线性函数的（否则成为线性规划问题） 少有一个函数是非线性函数的（否则成为线性规划问题）。
【例 4】 求解约束非线性规划： 】 求解约束非线性规划：
max e x1 x2 2 (3 e x1 x2 2 ) s.t. e x1 + x2 2 = 3
(初值为 初值为[1;1]) 初值为
首先将问题转化为matlab要求的格式 即求出 要求的格式;即求出 首先将问题转化为 要求的格式 fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub 文件fun7041.m 解:首先建立一个m文件 首先建立一个 文件 function y=fun7041(x) y=-exp(x(1))*x(2)^2*(3-exp(x(1))-x(2)^2); 存储为fun7041.m 存储为
迭代的基本思想和步骤大致可分为以下四步： 迭代的基本思想和步骤大致可分为以下四步：
1) 2) 3） 选取初始点x 0 , 并令k = 0; 得到x k 后，选取一个搜索方向P k , 使得沿着这个方向的 目标函数f ( x)的值时下降的； 由x k出发，沿P k 方向选取适当的步长λk , 使得 f ( x k + λk P k ) < f ( x k ) 由此得到下一个点x k +1 = x k + λk P k 4) 检验新得到的点x k +1是否满足精度要求的最优解。 如果是，则结束运算；否则，令k = k + 1, 返回(2)继续迭代
为文件名保存此函数文件。 以fun702为文件名保存此函数文件。 为文件名保存此函数文件 在命令窗口输入： 在命令窗口输入： x0=[-2;4]; x=fminunc('fun702',x0) 结果显示： 结果显示：
f= -1.0000 x= 1.0000 1.0000
Matlab程序： 程序： 程序 ch702.m
它的一般形式是： 它的一般形式是：
min
f = c1x1 + c 2 x 2 + + c n x n a 11x1 + a 12 x 2 + + a1n x n <= b1 a x + a x + + a x <= b 21 1 22 2 2n n 2 a m1x1 + a m 2 x 2 + + a mn x n <= b m x i >= 0 (i = 1,2,, n )