范数的定义
范数的名词解释
范数的名词解释范数是线性代数中一个重要的概念，它可以衡量向量空间中向量的大小。
在数学上，范数是一种从向量到实数的函数，它满足一定的性质。
范数不仅在线性代数中有重要应用，也在其他学科中被广泛使用，如函数空间、统计学、机器学习等。
一、范数的定义范数是向量空间中度量向量大小的一种方式。
对于一个实数域上的向量空间V，范数可以定义为一个从V到实数集上的非负实值函数，记作||·||，满足以下性质：1. 非负性：对于任意向量x∈V，有||x||≥0，且当且仅当x=0时，等号成立。
2. 齐次性：对于任意向量x∈V和任意实数α，有||αx||=|α|·||x||。
3. 三角不等式：对于任意向量x、y∈V，有||x+y||≤||x||+||y||。
二、范数的类型根据范数函数的定义方式，范数可以分为不同的类型。
常见的范数有：1. L1范数（曼哈顿范数）：L1范数定义为||x||1=∑|xi|，表示向量x中每个元素绝对值之和。
L1范数在稀疏表示、压缩感知等领域有广泛应用。
2. L2范数（欧几里德范数）：L2范数定义为||x||2=√(∑|xi|^2)，表示向量x中每个元素的平方和的平方根。
L2范数也称为欧几里德范数，是我们常用的向量长度度量方式。
3. 无穷范数：无穷范数定义为||x||∞=max(|xi|)，表示向量x中绝对值最大的元素。
无穷范数在机器学习中的正则化和特征选择中使用广泛。
三、范数的应用范数作为度量向量大小的一种方式，在实际应用中有很多重要的用途。
1. 正规化：范数可以作为正则化项用于优化问题，如Lasso回归中使用L1范数作为正则化项，使得模型获得稀疏解。
2. 特征选择：范数可以用于特征选择，通过限制特征向量的范数大小，保留重要的特征，去除冗余信息。
3. 函数空间：范数在函数空间中也有广泛应用，例如L2范数用于定义函数空间上的内积。
4. 最优化问题：范数在最优化问题中起到了重要的作用，如L1范数最小化问题可以得到稀疏解。
范数
3.3 范数3.3.1 向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
定义3.1对任一向量，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为，若满足下面三个性质：（1），有，当且仅当时，（非负性）（2），，有（齐次性）（3.37）（3），，有（三角不等式）那么称该实数为向量的范数。
几个常用向量范数向量的范数定义为其中，经常使用的是三种向量范数。
或写成例3.5 计算向量的三种范数。
向量范数的等价性有限维线性空间中任意向量范数的定义都是等价的。
若是上两种不同的范数定义，则必存在,使均有或（证明略）向量的极限有了向量范数的定义，也就有了度量向量距离的标准，即可定义向量的极限和收敛概念了。
设为上向量序列，若存在向量使，则称向量列是收敛的（是某种向量范数），称为该向量序列的极限。
由向量范数的等价知，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关。
向量序列，收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即存在。
若，则就是向量序列的极限。
例3.6 求向量序列极限向量。
解：算出每个向量分量的极限后得在计算方法中，计算的向量序列都是数据序列，当小于给定精度时，取为极限向量。
3.3.2 矩阵范数矩阵范数定义定义3.2 如果矩阵的某个非负实函数，记作，满足条件：（1）当且仅当时，（非负性）（2）（齐次性）（3）对于任意两个阶数相同的矩阵有（三角不等式性）（4）矩阵为同阶矩阵（相容性）则称为矩阵范数。
矩阵的算子范数常用的矩阵范数是矩阵的算子范数，可用向量范数定义：设，记方阵的范数为，那么或（3.38）称为矩阵的算子范数或从属范数。
范数定义及其在向量空间中的应用
范数定义及其在向量空间中的应用范数是线性代数中的一个重要概念，它是指将一个向量映射到非负实数的函数，通常用于衡量向量的大小和距离。
范数定义的引入可以使得线性代数中的理论更加完备，而范数的几何意义和应用也使得它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将介绍范数的概念、性质和在向量空间中的应用。
一、范数的定义设X为n维实向量空间，范数定义为：||x|| = (|x1|^p + |x2|^p + ... + |xn|^p)^(1/p)其中，x = (x1,x2,...,xn)，p >= 1。
特别的，当p=1时，这种范数叫做L1范数，也称为曼哈顿距离或城市街区距离。
当p=2时，这种范数叫做L2范数，也称为欧几里得距离。
当p = ∞时，这种范数叫做L∞范数，也称为切比雪夫距离。
范数定义的物理意义是通常情况下的向量长（或距离）。
在普通的几何向量中，我们所谓的向量长度只是欧氏几何中的向量长度，不能应用于我们今天要讲的一般范数。
而对于范数，我们可以根据不同的p值来求取不同的范数值，它们都可以表示向量长度。
二、范数的性质（1）非负性：||x|| >= 0，||x|| = 0当且仅当x = 0。
（2）齐次性：对于任意标量k，有||kx|| = |k|||x||。
（3）三角不等式：对于任意向量x和y，有||x+y|| <= ||x||+||y||。
（4）范数的上确界性质：对于向量空间X中的任何向量x，有||x|| <= e，等价于定义了一个Ball B_e(x)={y∈X：||y-x||< e}，并且x是Ball中心。
三、范数在向量空间中的应用（1）范数的优化问题在机器学习中，很多优化问题涉及到范数，例如稀疏表示、正则化、分类算法、聚类算法等。
范数可以用来约束实数向量的大小，从而控制分类器或回归器的复杂度，防止过度拟合。
其中，L1正则化可以使得优化问题具有稀疏性，即大部分系数为零；而L2正则化可以平衡各个系数的大小，防止过度拟合。
范数的定义[精华]
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3.3 范数3.3.1 向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║；3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。
那么║·║称为X上的一个范数。
常用范数这里以C^n空间为例，R^n空间类似。
最常用的范数就是p-范数。
若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}可以验证p-范数确实满足范数的定义。
其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)其中2-范数就是通常意义下的距离。
矩阵范数一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。
所以矩阵范数通常也称为相容范数。
如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。
对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。
矩阵论范数知识点总结
矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵及其性质。
矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量，它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。
本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。
二、矩阵的定义在数学中，矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。
也可以看成是一个数域上的矩形阵列。
矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。
一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素（a_ij）组成的矩形数组。
三、范数的定义在数学中，范数是定义在向量空间中的一种函数，它通常被用来衡量向量的大小或长度。
对于矩阵来说，范数是一种度量矩阵大小的方法。
对于一个矩阵A，它的范数通常记作||A||。
矩阵的范数满足以下性质：1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。
1. Frobenius范数：矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数：矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数：矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数：矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质，下面将介绍其中一些主要性质。
1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数：||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径：对于任意矩阵A，它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵：对于对称矩阵A，其2-范数定义为rho(A)，即||A||_2 = rho(A)，其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用，下面将介绍一些主要的应用。
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1ο对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性）2ο对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3ο对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1ο成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pix 11)(∑= = αp x 知性质2ο成立。
3、欲验证性质3ο，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数ptptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得：q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pii ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i ii ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piipp111 左右两边同时除以()∑+y x iip1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
1范数2范数无穷范数不等式的证明
1. 主题概述在数学和线性代数中，范数是一种衡量向量大小的方法。
而1范数、2范数和无穷范数是常见的范数类型，它们在数学理论和应用中具有重要的意义。
本文将深入探讨1范数、2范数和无穷范数的概念，并通过数学不等式的证明来理解它们的性质和应用。
2. 1范数的定义和性质我们来定义1范数。
对于一个n维向量x，它的1范数记作||x||₁，定义为向量x各个元素绝对值的和：||x||₁ = |x₁| + |x₂| + ... + |xₙ|。
1范数在表示向量的稀疏性、优化问题和信号处理中具有重要作用。
1范数的性质也是我们需要关注的重点。
1范数满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||₁ ≤ ||x||₁ + ||y||₁。
这一性质对于证明1范数的某些优化问题具有重要意义。
3. 2范数的定义和性质接下来，我们转到2范数的讨论。
对于一个n维向量x，它的2范数记作||x||₂，定义为向量x各个元素的平方和的平方根：||x||₂ = √(x₁² + x₂² + ... + xₙ²)。
2范数常用于表示向量的长度、距离和误差。
2范数同样具有一些重要的性质。
2范数也满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||₂ ≤ ||x||₂ + ||y||₂。
2范数还满足柯西-施瓦茨不等式，即对于任意向量x和y，有|x·y| ≤ ||x||₂ * ||y||₂。
这些性质对于研究向量空间和内积空间具有重要意义。
4. 无穷范数的定义和性质我们进入无穷范数的领域。
对于一个n维向量x，它的无穷范数记作||x||ᵢ，定义为向量x各个元素绝对值的最大值：||x||ᵢ = max(|x₁|,|x₂|, ..., |xₙ|)。
无穷范数常用于表示向量的最大值和极限情况。
无穷范数同样具有一些重要的性质。
无穷范数也满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||ᵢ≤ ||x||ᵢ + ||y||ᵢ。
范数的概念——精选推荐
范数的概念范数（Norm ）是⼀种关于向量的函数，是向量“长度”概念及其推⼴。
在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，可⽤范数来度量⼀个向量的“长度”。
在中学⾥我们学过⼀个向量的模长(长度)是向量中各元素平⽅和的平⽅根，⽐如向量(3,4)的模长就是5，这⾥模长其实是向量(3,4)的⼀种范数——L2范数，向量的范数除了L2范数外，还有其他定义，如L0范数、L1范数和L∞范数，下⾯将⼀⼀介绍上述提及的这⼏个范数概念。
1 L0范数若向量X = (x1, x2, …, xn)，则向量X 的L0范数为‖x ‖0=x 中所有⾮零元素个数若向量A = (0, 3, 6)，向量A 中有1个元素为0，2个⾮零元素 (3和6)，则A 对应L0范数为‖A ‖0=2在机器学习中压缩感知(compressive sensing)领域，很多时候希望最⼩化⽬标向量的 L0范数。
但L0范数的最优化在数学上被认为是个NP-hard 问题，即求解很复杂，所以许多压缩感知模型是将最⼩化⽬标向量的 L0范数转化为最⼩化⽬标向量的 L1范数。
2 L1范数若向量X = (x1, x2, …, xn)，则向量X 的L1范数为‖x ‖1=x 1+x 2+⋯x n=n ∑i =1x i 若向量A = (0, 3, 6)，则A 对应L1范数为‖A ‖1=|0|+|3|+|6|=3+6=9最⼩化⽬标向量的 L1范数求解⽐最⼩化⽬标向量的 L0范数容易些，可通过最优化算法得到对应的可⾏解。
但L1范数有⼀个问题，就是L1范数的导数不易求，所以许多机器学习问题中遇到 L1范数最⼩化问题会转为L2范数最⼩化问题。
3 L2范数若向量X = (x1, x2, …, xn)，则向量X 的L2范数为‖x ‖2=x 12+x 22+⋯+x n 2=n ∑i =1x i 2 若向量A = (2, 3, 6)，则A 对应L2范数为‖A ‖2=√22+32+62=√4+9+36=√49=74 L∞范数若向量X = (x1, x2, …, xn)，则向量X 的L∞范数为‖x ‖∞=max若向量A = (2, 3, 6)，则A 对应L∞范数为{\left\| {\bf{A}} \right\|_\infty } = \max \left( {2,3,6} \right) = 65 Lp 范数Lp 范数实际上将L1范数、L2范数和L∞范数统⼀到⼀个框架体系中。
范数在空间中的含义
范数在空间中的含义范数是向量空间中给向量赋予一个长度或大小的概念。
它是一种度量向量大小的方法，通常表示为 ||v||。
范数有以下几个重要的性质：1. 非负性：范数永远为非负值，即||v|| ≥ 0，当且仅当 v = 0 时，范数等于 0。
2. 齐次性：对于任意标量 k，有 ||k·v|| = |k| · ||v||。
也就是说，对向量进行缩放，其范数也会按比例缩放。
3. 三角不等式：对于任意两个向量 v 和 w，有||v+w|| ≤ ||v|| +||w||。
也就是说，两个向量的和的范数不会超过它们各自范数的和。
范数在空间中有以下含义：1. Euclidean 范数（也称为 L2 范数）：对于 N 维实向量，其范数定义为||v|| = √(v1² + v2² + ... + vN²)。
它表示向量的长度或模长，可用来计算向量的欧氏距离。
2. L1 范数：对于 N 维实向量，其范数定义为 ||v|| = |v1| + |v2|+ ... + |vN|。
它表示向量元素的绝对值之和，用于稀疏性和特征选择等应用。
3. Lp 范数：对于 N 维实向量，其范数定义为 ||v||p = (|v1|^p +|v2|^p + ... + |vN|^p)^(1/p)，其中p ≥ 1。
当p = ∞ 时，范数定义为||v||∞ = max{|v1|, |v2|, ..., |vN|}。
它们表示向量的分量的绝对值的 p 次幂之和的 p 次方根，p 越大，范数更加关注向量元素中的较大分量。
不同的范数在空间中有不同的几何含义和应用，它们有助于量化和度量向量空间中向量的大小、稀疏性、距离等特性。
范数的计算公式范文
范数的计算公式范文范数（Norm）是衡量向量或矩阵大小的一种数值度量方式。
在数学和工程领域中，范数有着广泛的应用，例如在线性代数、函数分析、优化算法等领域。
本文将介绍范数的定义、常见的范数计算公式，并对范数的性质和应用进行讨论。
一、范数的定义在数学中，范数是定义在线性空间上的函数，通常满足以下几个性质：1.非负性：对于任意向量x，其范数的值始终大于等于0，即∥x∥≥0，并且当且仅当x等于零向量时，范数的值为0。
2.齐次性：对于任意标量α和向量x，范数的值满足∥αx∥=，α，∥x∥。
3.三角不等式：对于任意向量x和y，范数的值满足∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
常见的范数计算公式有L1范数、L2范数、无穷范数等。
二、L1范数L1范数，也称为曼哈顿范数（Manhattan norm），用于衡量向量元素的绝对值之和。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，L1范数的计算公式为：∥x∥1=，x1，+，x2，+...+，xn三、L2范数L2范数，也称为欧几里德范数（Euclidean norm），用于衡量向量的长度。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，L2范数的计算公式为：∥x∥2=√(x1^2+x2^2+...+xn^2)四、无穷范数无穷范数，也称为最大范数（Maximum norm），用于衡量向量元素绝对值的最大值。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，无穷范数的计算公式为：∥x∥∞=max(，x1，,，x2，,...,，xn，)五、其他范数除了L1范数、L2范数和无穷范数外，还存在其他范数，如p范数和F范数等。
p范数是Lp范数的一般化，定义为：∥x∥p=(，x1，^p+，x2，^p+...+，xn，^p)^(1/p)F范数是针对矩阵的范数，也称为Frobenius范数。
对于m×n矩阵A，F范数的计算公式为：∥A∥F=√(∑(i=1 to m)∑(j=1 to n)，a_ij，^2)六、范数的性质范数具有一些重要的性质，如：1.三角不等式：对于任意向量x和y，范数满足∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性） 2 对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1 成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pi x 11)(∑= = αp x 知性质2 成立。
3、欲验证性质3，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数p tptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得： q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pi i ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i i i ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piippq111 左右两边同时除以()∑+y x iipq1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
范数（norm）
范数（norm）【范数定义】⾮负实值函数（⾮线性）1）⾮负性： || a || >= 02）齐次性： || ka || = |k| ||a||3）三⾓不等式： || a + b || <= || a || + || b ||注：完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间（Banach Space）【向量范数】l p范数（p范数）： || x ||p = ( Σ |x i|p )1/p ( p = 1 ~ ∞ )l1范数 ( p = 1 )， || x ||1 = Σ |x i|l2范数 ( p = 2 )， || x ||1 = ( Σ |x i|2 )1/2（Euclidean Norm）l∞范数 ( p = ∞ )， || x ||∞ = max i { |x i| }【矩阵范数】Frobenius Form：|| A ||F = ( tr( A H A ) )1/2谱范数：|| A ||2 = ( lamda max( A H A ) )1/2 ( A的最⼤奇异值，或者A H A的最⼤特征值 )【相容矩阵范数】对于C mxn上的矩阵范数 || • ||，满⾜ || AB || <= || A || || B ||Frobenius Form是相容范数（但不是算⼦范数）【算⼦范数】设 || • ||u和 || • ||v分别是C m和C n上的向量范数，则导出C mxn上的矩阵范数 || • ||uv， || A ||uv = max { || Ax ||u } , s.t. || x ||v = 1谱范数由向量范数 || • ||2导出算⼦范数是相容范数【对偶范数（dual norm）】定义：令 || • ||为R n上的范数，定义对偶范数 || • ||* 为： || z ||* = sup { z T x }, s.t. ||x|| <= 1性质：l p范数的对偶范数是l q范数，其中1/p + 1/q = 1证明：通过Holder不等式证明 |l2范数的对偶范数是l2范数l1范数的对偶范数是l∞范数。
第二章 范数理论及其应用
范数理论及其应用
向量的范数
定义： 是实数域R（或复数域C）上的n维线性 定义： 设V是实数域 （或复数域 ）上的 维线性 是实数域 空间，对于V中的任意一个向量 空间，对于 中的任意一个向量 α 按照某一确定法 α 范数， 则对应着一个实数，这个实数称为该向量的范数 则对应着一个实数，这个实数称为该向量的范数， 并且要求范数满足下列条件： 记为 α ，并且要求范数满足下列条件： （1）非负性：当 α ≠ 0, ）非负性：
2 12 i =1
n
（3）∞-范数 α ） 范数
∞
= lim α
p →∞
p
= max ai
1≤ i ≤ n
证明： 证明：令 x = max ai ，则
1≤i ≤ n
于是有
yi =
α
p
ai x
n i =1
, i = 1, 2,L , n
p 1 p
= x ( ∑ yi )
n
另一方面
1 ≤ ∑ yi p ≤ n
例3
对于任意 A ∈ C m×n，定义
A
Frobenious范数。 范数。 范数
F
= ( ∑∑ aij )
i =1 j =1
m
n
2 1
2
也是矩阵A的范数 的范数。 可以证明 A 也是矩阵 的范数。我们称此范数为矩阵的 证明：此定义的非负性、齐次性是显然的。利用 证明：此定义的非负性、齐次性是显然的。利用Minkowski 不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。 不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。 设 A ∈ C m×l , B ∈ C l ×n ，则
α = ( a1 , a2 ,L , an ) ∈ C
范数
假设V是域F上的矢量空间；V的半范数是一个函数P:V→R;x→p(x），满足于：∀a∈F,∀u,v∈V,p(v) ≥ 0 （非负性）p(a v) = |a|p(v），（正值齐次性）p(u+v) ≤p(u) +p(v) (三角不等式).范数是一个半范数加上额外性质：p(v) 是零矢量，当且仅当v是零矢量(正定性）如果拓扑矢量空间的拓扑可以被范数导出，这个拓扑矢量空间被称为赋范矢量空间。
若X是数域K上的线性空间，泛函║·║： X->R 满足：⒈正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；⒉正齐次性：║cx║=│c│║x║；⒊次可加性（三角不等式）：║x+y║≤║x║+║y║。
那么║·║称为X上的一个范数。
（注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。
）如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。
注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。
⒈利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。
但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。
⒉如果赋范线性空间作为（由其范数自然诱导度量d(x,y)=║x-y║的）度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy）序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫（Banach）空间。
⒊利用内积<·，·>；可以诱导出范数：║x║=<x,x>1/2。
反过来，范数不一定可以诱导内积。
当范数满足平行四边形公式║x+y║2+║x-y║2=2（║x║2+║y║2）时，这个范数一定可以诱导内积。
完备的内积空间称为希尔伯特（Hilbert）空间。
⒋如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数（seminorm或者叫准范数），相应的线性空间称为赋准范线性空间。
对于X上的两种范数║x║α，║x║β，若存在正常数C满足║x║β≤C║x║α那么称║x║β弱于║x║α。
范数及其应用
范数及其应⽤范数的⼀般化定义：设p ≥1的实数，p-norm 定义为：||x ||p :=(n∑i =1x ip )1p||x ||0:=n∑i =0x 0i严格来讲，L0不属于范数，上⾯的公式让⼈难以理解。
在实际应⽤中，⼈们往往采⽤以下定义：||x ||0=#(i )with x i ≠0其表⽰向量中所有⾮零元素的个数。
||x ||1:=n∑i =1x i也称为曼哈顿距离。
L0范数是指向量中⾮0的元素的个数。
如果我们⽤L0范数来规则化⼀个参数矩阵W 的话，就是希望W 的⼤部分元素都是0。
换句话说，让参数W 是稀疏的。
看到了“稀疏”⼆字，⼤家都应该从当下风风⽕⽕的“压缩感知”和“稀疏编码”中醒悟过来，原来⽤的漫⼭遍野的“稀疏”就是通过这玩意来实现的。
但你⼜开始怀疑了，是这样吗？看到的papers 世界中，稀疏不是都通过L1范数来实现吗？脑海⾥是不是到处都是||W||1影⼦呀！L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有⽐L0更好的优化求解特性⽽被⼴泛应⽤。
范数中最常见，也最著名的⾮L2范数莫属。
||x ||2:=n∑i =1x 2i从学习理论的⾓度来说，L2范数可以防⽌过拟合，提升模型的泛化能⼒。
从优化或者数值计算的⾓度来说，L2范数有助于处理不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。
L1和L2的差别，为什么⼀个让绝对值最⼩，⼀个让平⽅最⼩，会有那么⼤的差别呢？下降速度：L1就是按绝对值函数的“坡”下降的，⽽L2是按⼆次函数的“坡”下降。
模型空间的限制：对于L1和L2规则化的代价函数来说，我们写成⼀下形式：Lasso :minw||y−Xw ||2,s .t . ||w ||1≤CRidge :minw||y −Xw ||2,s .t . ||w ||2≤C考虑⼆维的情况，等⾼线与norm ball 相交的地⽅就是最优解。
L1-ball 的最优点⼤都出现在"⾓点"处，这便⼤概率产⽣了稀疏性；L2-ball 却不范数||L0范数√L1范数||L2范数√L2范数的优点可以，它只是⼀种规则化⼿段。
范数
向量的1－范数的最大值称为矩阵的行范数。
14
§6 误差分析
一个实际问题化为数学问题，初始数据往往会 有误差(观测误差和舍入误差)，即有扰动，从 而使计算结果产生误差。 向量的误差可用向量范数表示：设x 是x的近似 矩阵， x x 、x x / x 分别称为x 的关于
* * * * *
范数 的绝对误差与相对误差。
16
方程组的状态与条件数
x1 x2 2 x1 2 例：方程组 . x1 1.00001x2 2 x2 0 x1 x2 2 x1 1 而方程组 . x1 1.00001x2 2.00001 x2 1 比较这两个方程组可以看出，他们只是右端项有微小的差 1 别，最大相对误差为 105 , 但它们的解却大不相同，解分量 2 1 的相对误差至少为 。 2
x A1 A( x x ) A1 A ( x x ) x（ 1 A1 A ） A1 A x x
x A
1 1
如果 A充分小，使得 A1 A 1, 则由上式得
A A
A A
1
A
A
1 A
1 A A
1
A
A
上式表明，当系数矩阵有扰动时，解的扰动仍与 A A1 有关。一般地， A A1 越大，解的扰动也越大。
15
矩阵的误差可用矩阵算子范数表示：设A 是A的 近似矩阵，A A 、A A / A 分别称为A 的关
* * * *
*
于范数 的绝对误差与相对误差。 由于范数等价，用何种向量范数都是合理 的。关键是容易计算。 理论分析，谱范数是非常有效的。但在计算 上行范数和列范数更方便。 比较：向量1-范数--列范数， 向量-范数--行范数。
范数的概念
范数是一个赋范向量空间中的度量，它将向量映射到非负实数。
在数学中，范数常用来度量向量的大小或长度，并满足一些特定的性质。
在向量空间V中，对于一个向量x ∈ V，范数通常表示为||x||，其中|| || 是范数的符号。
范数的定义需要满足以下条件：
1. 非负性：对于所有的x ∈ V，范数必须非负，即||x|| ≥ 0。
2. 齐次性：对于所有的x ∈ V 和任意的标量α，范数的齐次性要求||αx|| = |α| ||x||。
3. 三角不等式：对于所有的x, y ∈ V，范数满足||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||。
4. 零向量的范数为0：范数满足||0|| = 0，其中0 表示零向量。
常见的范数包括：
1. L1范数（曼哈顿范数）：也称为绝对值范数，表示为||x||1，计算方式为向量中各个元素的绝对值之和。
2. L2范数（欧几里得范数）：也称为模长或2-范数，表示为||x||2，计算方式为向量中各个元素的平方和的开方。
3. 无穷范数：表示为||x||∞，计算方式为向量中各个元素的绝对值的最大值。
除了上述常见的范数，还存在其他范数，如Lp范数和Frobenius范数等。
范数在数学和应用领域都有广泛的应用。
例如，在机器学习中，范数被用来定义正则化项，帮助控制模型的复杂度；在信号处理中，范数常用来测量信号的能量或稀疏性等。
范数x（norm）笔记
范数x（norm）笔记1. 范数的含义和定义范数是具有“长度”概念的函数。
在线性代数、泛函分析及相关领域，是⼀个函数，它为向量空间内的所有向量赋予⾮零的正的长度或⼤⼩。
另⼀⽅⾯，半范数可以为⾮零的向量赋予零长度。
例如，在⼆维欧式⼏何空间\(R^2\)中（简单理解就是⼆维坐标系）就有欧式范数。
在这个向量空间的元素（⽐如向量\((3,7)\)）常常在笛卡尔坐标系统中被画成⼀个从原点出发的箭头，⽽这个向量的欧式范数就是箭头的长度。
拥有（定义）范数的向量空间就是赋范向量空间，拥有（定义）办法书的向量空间就是赋半范向量空间更加规范的定义：假设V是域F上的向量空间；V的半范数是⼀个函数：\(p:V\rightarrow R;x\rightarrow p(x)\)，满⾜：\(p(v)\ge 0\)（具有半正定性）\(p(av)=|a|p(v)\)（具有绝对⼀次齐次性）\(p(u+v)\le p(u)+p(v)\)（满⾜三⾓不等式，或者称次可加性）范数是⼀个半范数加上额外的性质：\(p(v)=0\)，当且仅当\(v\)是零向量（正定性）若拓扑向量空降的拓扑可以被范数导出，这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。
2.例⼦所有的范数都是半范数平凡半范数，即\(p(x)=0,\forall x \in V\)绝对值是实数集上的⼀个范数对向量空间上的线性型\(f\)可以定义⼀个半范数：\(x\rightarrow |f(x)|\)绝对值范数绝对值范数为：\[||x||=\sum^n_i|x_i| \]是在由实数或虚数构成的⼀维向量空间中的范数绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式\(L_p\)范数\(L_p\)范数是向量空间中的⼀组范数。
\(L_p\)范数与幂平均有⼀定的联系，定义如下：\[L_p(\vec{x})=||\vec{x}||_p=(\sum^b_{i=1}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}\ \ ,\ \vec{x}=\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\},p\ge 1 \]图中的q应为p。
范数与向量长度
范数与向量长度
一、范数的概念
在数学中，范数是一种衡量向量或矩阵大小的方法。
它的定义具有以下性质：
1. 非负性：对于任意的向量或矩阵x，其范数大于等于0。
2. 齐次性：对于任意的标量α和向量或矩阵x，有αx的范数等于|α|乘以x的范数。
3. 三角不等式：对于任意的向量或矩阵x和y，有x+y的范数小于等于x的范数加上y的范数。
二、向量长度与向量范数的关系
向量长度是向量的一个特殊范数，即L2范数。
向量的L2范数定义为其元素的平方和的平方根。
具体而言，对于一个n维的向量x，其L2范数为√(x₁² + x₂² + ... + xn²)。
向量长度表示了从原点到向量所代表的点的距离。
值得注意的是，除了L2范数外，还有其他的范数可以用来衡
量向量的大小。
常用的范数还包括L1范数、无穷范数等。
三、范数的应用
范数在数学、工程和机器研究等领域具有广泛的应用。
以下是
范数的一些典型应用场景：
1. 向量正则化：在机器研究中，通过对权重向量添加范数约束，可以控制模型的复杂度，避免过拟合。
2. 特征选择：通过计算特征向量的范数，可以评估其对目标变
量的贡献，从而选择出重要的特征。
3. 图像处理：范数可以用来度量图像之间的相似性，并用于图
像去噪、图像压缩等领域。
四、结论
范数是衡量向量或矩阵大小的一种方法，向量的长度是其中一
种常见的范数，表示了向量所代表点的距离。
范数在数学和多个应
用领域中发挥着重要作用，帮助解决各种问题。
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3.3 范数
3.3.1 向量范数
在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：
1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；
2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║；
3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。
那么║·║称为X上的一个范数。
常用范数
这里以C^n空间为例，R^n空间类似。
最常用的范数就是p-范数。
若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么
║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}
可以验证p-范数确实满足范数的定义。
其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：
1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2
∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
其中2-范数就是通常意义下的距离。
矩阵范数
一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。
所以矩阵范数通常也称为相容范数。
如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。
对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。
注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。
引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。
矩阵的相关定义
随机矩阵所有列都是概率向量，用于马尔可夫链。
逆矩阵：设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。
则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。
矩阵可逆的条件
A是可逆矩阵的充分必要条件是∣A∣≠0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
（当∣A ∣=0时，A称为奇异矩阵）[1]
逆矩阵的求法:
A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式，A*为矩阵A的伴随矩阵。
逆矩阵的另外一种常用的求法：
(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。
注意：初等变化只用行运算，不能用列运算。
E为单位矩阵。
逆矩阵具有以下性质：
1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。
2 可逆矩阵一定是方阵。
3 如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。
4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
matlab中的求法：
inv(a)或a^-1。
例如：
>> a =
8 4 9
2 3 5
7 6 1
>> a^-1
ans =
0.1636 -0.3030 0.0424
-0.2000 0.3333 0.1333
0.0545 0.1212 -0.0970
>> inv(a)
ans =
0.1636 -0.3030 0.0424
-0.2000 0.3333 0.1333
0.0545 0.1212 -0.0970
以下是对MATLAB中Inv用法的解释。
原文（来自matlab help doc）
In practice, it is seldom necessary to form the explicit inverse of a matrix. A frequent misuse of inv
arises when solving the system of linear equations A x=B .
One way to solve this is with x = inv(A)*B.A better way, from both an execution time and numerical accuracy standpoint,is to use the matrix division operator x = A\b.
实际上，很少需要矩阵逆的精确值。
在解方程A x=B的时候可以使用x = inv(A)*B，但通常我们求解这种形式的线性方程时，不必要求出A的逆矩阵，在MATLAB 中精度更高，速度更快的方法是用左除——x = A\b。
另外，用LU分解法的速度更快，只是要多写一条LU分解语句。
速度可以通过matlab中tic和toc来估算运行的时间。
伴随矩阵
定义
A的伴随矩阵可按如下步骤定义：
1.用A的第i 行第j 列的代数余子式把第j 行第i 列的元素替换，记为(Aij)
2.符号位为(-1)^（i+j）
3.用A(ij)=(-1)^(i+j) x (Mij) 表示
即：m x n矩阵的伴随矩阵A*为
A11 A21 A31....Am1
A12.................. Am2
A13 ..................Am3
.... .....
A1n................ Amn
例如：A是一个2x2矩阵，则A的伴随矩阵A* 为
M22,-M12
-M21, M11
原矩阵为
a11，a12
a21，a22
（余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j 列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。
特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）
伴随矩阵的性质：
原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如
1 2 3
2 3 1 ------->
3 1 2
+5 -1 -7
-1 -7 5
-7 5 -1
其中1对应5 ； 2 对应-1；3对应-7；等等
伴随矩阵的求法:
①当矩阵是大于等于二阶时：
主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式.
非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的.
主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。
常用的可以记一下：
a b
—— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a)
②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵.
矩阵特征值
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
求矩阵特征值的方法
Ax=mx，等价于求m，使得(mI-A)x=0，其中I是单位矩阵，0为零矩阵。
|mI-A|=0，求得的m值即为A的特征值。
|mI-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。
如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。