传热学(4)-数值解法概要

4-1 导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立
一、物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 是 解的分析
否
二、 例题条件
y
二维矩形域内稳态无内热 源，常物性的导热问题
h3 t f
t0
பைடு நூலகம்
h2 t f
（3）边界元法
边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法 。 又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程， 通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域 解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比 区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数 较低的线性代数方程组。
第四章 导热问题数值解基础
1 、重点内容：
① 掌握导热问题数值解法的基本思路；
② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立
节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两 种差分格式及其稳定性。
求解导热问题实际上就是对导热微分方程在 定解条件下的积分求解，从而获得分析解。随着 计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求 解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主 要有以下几种：
分析解法与数值解法的异同点： • 相同点：根本目的是相同的，即确定 ① t=f(x,y,z) ；② Q g ( x, y, z, ) 。 • 不同点：数值解法求解的是区域或时间、空 间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度 场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特 征，而不是分散点的数值。
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括 为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的 场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的 值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的 关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理 量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理 量的数值解。
t t 2 0 2 x y
2 2
（2）区域离散化（确立节点）
用一系列与坐标轴平行的网格线把求 解区域划分成若干个子区域，用网格线的 交点作为需要确定温度值的空间位置，称 为节点 ( 结点 ) ，节点的位置用该节点 在两个方向上的标号 m ， n 表示。 相邻两节点间的距离称步长。 如图 (b) 所示。
2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立， 其中各项系数在整个求解过程中不断更新。 3 ）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方 程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一 次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。
（6） 解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度 分布，根据温度场应进一步计算通过的热流 量，热应力及热变形等。因此，对于数值分 析计算所得的温度场及其它物理量应作详细 分析，以获得定性或定量上的结论。
四、 建立离散方程的常用方法： (1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法；
(3) 控制容积积分法；
(4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n
来表示节点(m+1,n)，而温度tm+1,n
t x 2 2t tm1,n tm,n x x m,n 2 x 2 x3 3t 3 6 x m,n x 4 4t 4 24 x m,n
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其 过程如下： • 首先划分各节点的类型； • 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。 对节点 (m,n) 的代数方程，当 △x=△y 时， 有：
tm , n 1 (tm 1,n tm 1,n tm ,n 1 tm ,n 1) 4
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的
（1）有限差分法
（2）有限元方法
（3）边界元方法
（1）有限差分法
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替， 这些离散点 称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散 变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和 来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分 方程组 ， 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值 方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
（2）有限元法
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分 为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数 的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的 插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离 散求解。
（4） 设立迭代初场 代数方程组的求解方法有直接解法与迭 代解法，传热问题的有限差分法中主要采用 迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温 度场预先设定一个解，这个解称为初场，并 在求解过程中不断改进。
（5） 求解代数方程组 求解时遇到的问题： ① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性等。 如图 （ b ），除 m=1 的左边界上各节点的 温度已知外，其余 (M-1)N 个节点均需建立 离散方程，共有 (M-1)N 个方程，则构成一 个封闭的代数方程组。 1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立， 其中各项系数在整个求解过程中不再变化；
h1t f
（a）
x
三、 基本概念：控制容积、网格线、节点、界 面线、步长
N
(m,n)
n
y
y M
二维矩 形域内 稳态无 内热源， 常物性 的导热 问题
x
x
（b）
m
如图（a）所示二维矩形域内无内热源、稳态、 常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：
（1）建立控制方程及定解条件 针对图示的导热问题，它的控制方程（即 导热微分方程）为：