球面上的基本图形
航海数学球面三角
• 3、球面距离： • 定理五：球面上两点间小于180度的大圆弧（劣
弧）的长是该两点间的最短球面距离，简称球面 距离。 • （1）、轴：垂直于任一圆面的球直径； • （2）、极：轴与球面相交的两点； • （3）、
1基本概念
第六章：球面三角
第一节：球面几何
练习：
（1）正方体的全面积是a,它的顶点都在球 面上，这个球的表面积是（ ）。 （2）球的半径为R，则它的外切正方体的 棱长为（ ），内接正方体的棱长为（ ）。
一、 平面与球面、直线与球面的位置关系
1、平面与球的位置关系：
类比直线与圆的位置关系，来探究平面与球的位置关系。
相交、相离、相切
结论： 一个平面与球面相交，所得的交线是一个圆， 且圆心与球心的连线垂直于这一平面。 用一个平面截一个球，截面是圆面。请同学们思 考什么时候是小圆，什么时候是大圆？
2、直线与球面的位置关系：
同样，类比直线与圆的位置关系，来探究直线与球
的位置关系。
结论：
把球心O到直线L的距离记为OH， 当OH>R时，相离，直线与球没有公共点； 当OH=R时，相切，直线与球只有一个公共 点； 当OH<R时，相切，直线与球有两个公共点。 三、球幂定理
二、球面上的一些基本图形
1、大圆：当平面过球心时与球面所截成的圆最大，称
为大圆；
小圆：当平面不过球心时所截的圆称为小圆；
2、优弧、劣弧：过球面上两点一定可以作一
个大圆。（球面上两点间的距离即劣弧长） 球面上连接两点的最短路径是经过这两点的 一段大圆弧——劣弧。
Spheric geometry球面几何
Spheric geometry（球面几何）是几何学的一门分科。
研究球面上图形的几何学。
是古代从研究天体在天球上的“视运动”发展起来的，其中专门研究球面上三角形的性质的称为“球面三角”。
球面几何学是在二维的球面表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子。
在平面几何中，基本的观念是点和线。
在球面上，点的观念和定义依旧不变，但线不再是“直线”，而是两点之间最短的距离，称为最短线。
在球面上，最短线是大圆的弧，所以平面几何中的线在球面几何中被大圆所取代。
同样的，在球面几何中的角被定义在两个大圆之间。
结果是球面三角学和平常的三角学有诸多不同之处。
例如：球面三角形的内角合大于180°。
对比于通过一个点至少有两条平行线，甚至无穷多条平行线的双曲面几何学，通过特定的点没有平行线的球面几何学是椭圆几何学中最简单的模式。
球面几何学在航海学和天文学都有实际且重要的用途。
球面几何学的重要关键在塑造真实投影平面，通过辨认在球面上获得正相反的对跖点(分列在边的两侧相对的点)。
在当地，投影平面具有球面几何所有的特性，但有不同的总体特性，特别是他是无定向的。
球面乃是空间中最完美匀称的曲面。
两个半径相等的球面可以用一个平移把它们叠合起来，而两个半径不相等的球面所相差者就是放大或缩小这种相似变换，由此可见本质性的球面几何可以归纳到单位半径的球面来研讨。
再者，在古典天文学的研讨中，观察星星的方向可以用单位球面上的一个点来标记它，而两个方向之间的角度（亦即方向差）则相应于单位球面上两点之间的球面距离(spherical distance) 。
这也就是为什么古希腊天文学和几何学总是合为一体的，而且古希腊的几何学家对于球面三角学(spherical trigonometry)的投入程度要远远超过他们对于平面测量学的兴趣，因为「量天的学问」才是他们所致力去理解者；它的确比丈量土地、计量财产等更引人入胜。
从现代的观点来看，球面几何乃是空间几何中蕴含在正交子群的部分，而向量几何则是空间几何中蕴含在平移子群的部分，而且两者又密切相关、相辅相成，例如向量运算都是正交协变的(orthogonal covariant)，所以向量代数又是研讨球面几何的简明有力的利器。
球的性质与参数方程
应用：在三维几何、物理学、工程学等领域中，常常需要用到这种参数 方程来描述和研究球面上的几何形状和物理现象。
注意事项：在使用球心不在原点的球参数方程时，需要注意坐标系的选 取和参数的取值范围，以确保结果的准确性和可靠性。
Part Three
球的几何特性
球面三角形
定义：球面上的 三个点与球心构 成的平面图形
性质：三个角之 和为两直角，即 180度
应用：在球面几 何中，球面三角 形是研究球面图 形的基础
与平面三角形的区 别：球面三角形的 边长会随着球面的 曲率而变化
球面三角形中的正弦定理和余弦定理
正弦定理：球面三角形ABC的外接圆半径R与边AB、AC和角B、角C的正弦值之比都相等，即R=AB/sinC=AC/sinB。
球的表面积公式： A=4πr²，其中r为 球的半径
球面上的积分公式 ：∫∫dS，其中dS 为球面上的面积微 元
球面上的梯度、散 度和旋度等概念在 微积分中也有重要 的应用
球在概率论和统计学中的应用
球体概率：球体在概率论中常被用作概率模型的基础，如球体采样、球 体碰撞等。
球体统计：在统计学中，球体常被用于空间数据的统计分析，如球面距 离、球体聚类等。
Part Two
球的参数方程
参数方程的定义
参数方程是描述球面上的点与 参数之间的关系
参数方程包括三个参数：经度、 纬度和高度
参数方程可以表示球面上任意 一点的坐标
参数方程在三维空间中描述球 体的形状和位置
球心在原点的球参数方程
参数方程： x=r*sinθcosφ， y=r*sinθsinφ， z=r*cosθ
人教版高中数学选修3-3球面上的几何第四讲 球面三角形
旧知回顾在上一讲中，我们主要讲了球面上的基本图形．我们认识了球面二面角和球面三角形．回想一下球面三角形的定义和性质．新课导入本讲我们在类比平面三角形有关性质的基础上，讨论球面三角形三边之间的关系、球面“等腰”三角形、球面三角形的周长以及球面三角形的内角和等等．教学目标知识与能力•感知球面三角形在现实中的应用．•认识球面三角形的性质．•了解球面三角形的基本内涵．过程与方法•通过观察，了解球面三角形和平面三角形的类比过程．•进一步了解球面三角形在实际生活中的应用．情感态度与价值观•让学生能够以类比的思想学习新的知识．•总结实际生活中大量存在的现象和规律．•培养合作交流意识．教学重难点•更深入地认识球面三角形．•了解球面三角形与平面三角形之间的异同点．•抓住球面三角形的特征，认识它的几何性质．一、球面三角形三边之间的关系在平面上，三角形满足：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．球面上是否也成立？AC BO图4-1由于引入三面角，对于球面上边与角的研究就转化为立体几何中角的研究．球面三角形的边对应三面角的面角，因此研究三面角中三个面角之间的关系．图4-2,假定为单位球面，那么O-ABC 是一个三面角．而且有,,.a BC BOCb CA COAc AB AOB ==∠==∠==∠A C B O 图4-2ab c O -ABCOC A Ba b在b 图中，我们可以证明.AOB BOC COA ∠+∠>∠再根据上述等式，得到.c a b +>这样可以得出：三面角中的两个面角之和大于第三个面角．对应到球面三角形中，就有：球面三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．二、球面“等腰”三角形类似平面三角形的两边相等，则对角相等．在球面三角形中，等边对等角，等角对等边；大角对大边，大边对大角．已知：在球面△ABC中，b=c求证:∠B=∠C ．动动脑ACBOBOACE DFab ccab图4-3三、球面三角形的周长在球面三角形中，每条边都小于大圆周长的一半，所以周长不会超过3/2个大圆周长．实际上，周长要小于大圆周长．具体的证明方法是应用球面上边角对等的关系来验证的．一个很重要的结论：球面三角形的周长小于大圆周长．四、球面三角形的内角和对于平面三角形，内角和等于180°．那么球面三角形的内角和是否也是一个定值呢？下面引入例题AOB C图4-4上图中，设A点表示地球的北极，B、C两点所在的曲线是赤道L A，其中，B点所在的经线是0°，C点所在经线是90°．AB、AC是两条经线，而经线与赤道平面垂直，所以∠BAC=π/2．由极与赤道的概念知道：ABC ACB ,2π∠=∠=因此三角形的内角和为3ABC ACB BAC .2π∠+∠+∠=>π说明球面上存在内角和大于180°的三角形．球面面积等于1/4上半球面面积（因为区域扫过了90°），也等于1/8球面面积，如果半径为r ，那么球面△ABC 的面积=22221134πr =πr =(π-π)r 822=(ABC +ACB +CAB -π)r .⨯∠∠∠探究如果再在赤道上取一点D，所在的经线是东经120°，这是球面△ABD的面积又会是多少？通过计算得：球面△ABD 面积2222125S 4r r ()r 633(ABD ADB DAB )r .=⨯π=π=π-π=∠+∠+∠-π一般的，球面△ABC的半径为r,则任意球面的面积=（A+B+C-π）r2，(A、B、C分别为角A、B、C的弧度数)，特殊的，若半径为1，则面积=（A+B+C-π）．通过例子说明球面三角形的内角和是大于180°的．这是球面几何与欧氏几何不同的重要特征之一．思考球面三角形的内角和是不是可以任意大？A CB O a b c 图4-5分析：由于球面三角形的内角所对应的边都小于大圆周长的一半，故每个内角都小于180°，所以内角和要小于540°，实际上，球面三角形的内角和要小于360°．课堂小结1. 球面三角形三边之间的关系；2. 球面“等腰”三角形；3. 球面三角形的周长以及球面三角形的内角和；。
人教版高中数学选修3-3球面上的几何第三讲 球面上的基本图形
旧知回顾我们在平面上除了学习直线和角之外，还学习三角形．图3-1新课导入这次课学习球面上的基本图形极和赤道球面二角形球面三角形教学目标知识与能力•感知球面上的基本图形．•认识各种基本图形的特点．•掌握球面三角形的性质．过程与方法•通过观察学习球面三角形的定义过程．•进一步了解球面三角形在实际生活中的应用．情感态度与价值观•注意让学生从以前所学的知识中体会新的知识．•了解新旧知识的相识点和不同点．•培养合作交流意识．教学重难点•球面三角形的概念．•球面三角形与平面三角形的异同点．•会解简单的几何题．一、极与赤道大家熟知，地球上有南极、北极、赤道．我们在球面几何中同样引入“极”、“赤道”的概念．ONL 图3-2N图3-2中，设N 为地球上的北极点， O 为球心，半径ON 垂直于赤道 所在的平面，即过O 且垂直于地球半径ON 的平面截地球球面所得的大圆是地球的赤道．N L在球面上任取一点A ，垂直于半径OA 的平面截球面得到大圆L A ，此时把A 叫极点（简称极），大圆L A 为以点A 为极点的赤道圆（简称赤道）． O NL 图3-3NAAL结论对于球面上任意一点，均可以得到与它对应的一个赤道;对于球面上的赤道，可以得到与它对应的两个极点．探究由概念看出，极与赤道有着对应关系，那么两者之间除此之外，是否还有其他紧密的联系？想一想分析：如果球的半径为R ，那么极点A 与赤道上任一点B 的距离为 ，（即 圆的周长），如下图所示：2R ONL A图3-4B由上面分析可知：1、球面上与点A 的距离为 的点必在赤道L A 上．2、球面上任一点A 都对应它的一个赤道L A ，那么该点到赤道的距离均为 ．2Rπ2R π二、球面二角形AOB C'A图3-5OBC'AA图3-6由图3-5知，球面角∠BAC 的两边AB 、AC 延长后交于A ´，所组成的图形ABA ´C 成为球面二角形．又称（月形）．把 、 称为球面二角形的边，球面角 是球面二角形的夹角． 'ABA 'ACABAC例1 如图3-6，已知球面角 ，求证：月形ABAC ´的面积等于球面面积的倍．BAC α∠=2απ证明：将月形ABAC ´中的一条边ACA ´在球面上由右向左旋转到边ACA ´的位置，则边ACA ´扫过整个球面，边ACA ´旋转了一周，故球面可以看作是球面角为的月形． 2π若球面角 ，那么月形ABAC ´的面积等于球面面积的 倍．BAC α∠=α2π所以，月形ABAC ´面积= ．22α4πr =2αr 2π⨯三、球面三角形１、球面三角形ＡＢＣO ＣＢＡ图3-７图3-８前者是平面上的三角形，它是三条线段首位顺次相接构成的封闭图形．完全类似，可以把球面上的三条“直线”（三条大圆的圆弧）首位顺次相接的封闭图形是球面三角形．（如图３-８）思考如何度量球面△ABC的边和内角？AC BO图3-9如图，连接球心O与A、B、C三点，由球面角的定义及度量可知，球面△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C可分别由二面角B-OA-C、A-OB-C、B-OC-A度量．如果设 （ 均为弧度），那么球面△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别为：． ∠∠∠AOB =α,BOC =β,COA =γ,,,AB r BC r CA r αβγ===αβγ其中r 为球的半径．若r=1,则AB = ，BC =，CA = ． αβγ2、三面角无论是测边长还是内角，都要连接球心与球面三角形的顶点（图3-9），如果延长上图中的三条线段OA、OB、OC 使其成为射线，这三条射线构成三个平面，把这样的图形叫做三面角（图3-10），记为O-ABC．AC BO图3-10O点为三面角的顶点，OA、OB、OC 称为它的棱，∠AOB，∠BOC，∠COA称为它的面角．相邻两面构成的二面角是三面角的二面角，一个三面角有三个二面角．综上，球面△ABC的三个内角对应于三面角O-ABC的三个二面角，三条边对应三面角O-ABC的三个面角．下面对应关系球面△ABC 三面角O-ABC 内角二面角边面角我们可以利用三面角的知识研究球面三角形．在球面上找到A 、B 、C 关于球心O 的对称点A ´、B ´、C ´,以对称点为顶点构成的球面三角形△A ´B ´C ´，成为球面三角形△ABC 的对顶三角形（图3-11）．3、对顶三角形 AC BO图3-11'C 'A 'B 两个对顶的球面三角形关于球心对称4、球极三角形 对于任意球面△ABC ，假设与BC 边所在大圆对应的极点为A ´、A ˝，与边AC 所在大圆对应的极点为B ´、B ˝，与边AB 所在大圆对应的极点为C ´、C ˝． O'B ''B 'C ''C 'A ''AAB C 图3-12上图中点A´与A，B´与B、C´与C，在同一个半球面内，称球面△A´B´C´为球面△ABC的极对称三角形，简称球极三角形.思考如果球面△A´B´C´是球面△ABC 的极对称三角形，那么球面△A´B´C´的极对称三角形是什么？球面△A´B´C´的极对称三角形是球面△ABC．总结：球面△A´B´C´与它的球极△ABC 互为极对称三角形．动动脑球面三角形与球极三角形之间还有其他关系吗？假定球面为单位球面，有下面结论：若球面△ABC的极对称三角形是△A´B´C´，且它们的内角（单位：弧度）与边长分别为∠A、∠B、∠C，a，b，c和∠A´、∠B´、∠C´，a´，b´，c´那么'''∠∠∠a=π-A,b=π-B,c=π-C'''∠∠∠a=π-A,b=π-B,c=π-C课堂小结1. 球面三角形2. 三面角3. 对顶三角形4. 球极三角形。
新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)【很全面】
人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
球面几何学_ppt课件
球面三角形 ABD 的内角和 5 = 3
1 2 2 球面三角形 的面积= 2 rABD 3 3
球面三角形 ABE 的内角和 7 =
4
3 3 球面三角形 ABE 的面积 = 2 r2 8 4
归纳出单位球面三角形的内角和公式
A B C S
猜测
证明
经线：以南极和北极为端点的半大圆
纬线
第二节 球面上的一些基本图形
1、大圆：过球心的平面在球面上的截线（直线） 小圆：不过球心的平面在球面上的截线。 2、优弧、劣弧：过球面上两点一定可以作一 个大圆。（球面上两点间的距离即劣弧长） 球面上连接两点的最短路径是经过这两点的 一段大圆弧——劣弧。
球面三角形 ABC 、 ABD 、 ABE 中
O B C
E D
ABC ACB ADC AED 2 2 3 BAC , BAD , BAE 2 3 4
分别计算： 球面三角形 ABC 、 ABD 、 ABE 的 内角和及面积
球面三角形 ABC 的内角和 3 = 2 球面三角形 ABC 的面积= 1 1 2 2 r 4 2
3.中学数学平面几何考点分析
练习：
（1）正方体的全面积是a,它的顶点都在球 面上，这个球的表面积是（ ）。
（2）球的半径为R，则它的外切正方体的 棱长为（ ），内接正方体的棱长为（ ）。
第九章 球面几何学
第九章 球面几何学
设想：在地球面上，从一个城市飞往另一个 城市，如何飞行距离最短？ ——球面上的几何学——一种新的几何学 ——一个与欧式平面几何不同的几何模型 研究方法：类比的思想方法（？） 空间想象能力、几何直观能力
第四节 球面三角形的边角关系
1.4球面上圆的极、赤道与球面角
N
O
LN
图3-2
图3-2中，设N为地球上的北极点， O 为球心，半径ON垂直于赤道 LN 所在的平 面，即过O且垂直于地球半径ON的平面截 地球球面所得的大圆是地球的赤道．
N
LA
A
O
LN
图3-3
在球面上任取一点A，垂直于半径OA
的平面截球面得到大圆LA，此时把A叫极 点（简称极），大圆LA为以点A为极点的 赤道圆（简称赤道）．
球面△ABC的极对称三角形，简称球极三 角形．
思考
如果球面△A´B´C´是球面△ABC 的极对称三角形，那么球面△A´B´C´
的极对称三角形是什么？
球面△A´B´C´的极对称三角形是 球面△ABC．
总结：
球面△A´B´C´与它的球极△ABC
互为极对称三角形．
动动脑
球面三角形与球极三角形之间还 有其他关系吗？
结论
对于球面上任意一点，均可以得 到与它对应的一个赤道;对于球面上的 赤道，可以得到与它对应的两个极 点．
探究
由概念看出，极与赤道有着对 应关系，那么两者之间除此之外， 是否还有其他紧密的联系？
想一想
分析：如果球的半径为R，那么极点 A与赤道上任一点B的距离为 R ，1（即 圆的周长），如下图所示： 2 4
情感态度与价值观
• 注意让学生从以前所学的知识中体会新的 知识． • 了解新旧知识的相识点和不同点． • 培养合作交流意识．
教学重难点
• 球面圆的极的概念． • 球面角与平面角的异同点． • 会解简单的几何题．
一、极与赤道
大家熟知，地球上有南极、北极、 赤道．我们在球面几何中同样引入 “极”、“赤道”的概念．
课堂小结
1. 球面三角形： 2. 三面角： 3. 对顶三角形： 4. 球极三角形：
球面上的几何
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
• 球面三角形 球面上最常用的基本图形， 构成球面三角形的大圆弧称 为三角形的边，三条边的交 点称为三角形的顶点，过球 面三角形顶点分别作大圆弧 的切线，两条切线所成的角 称为球面三角形的角。
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
• 球面多边形 球面上由大圆弧所构成的封闭图形称为球面 多边形。球面多边形的边,必须是大圆的圆弧。 任意两个不同大圆的两个交点是球面上的一 对对径点，即球的同一条直径的两个端点称 为一对对径点。
球面上的几何
目录
1 第一讲 从欧氏几何看球面
2
第二讲 球面上的距离和角
3
第三讲 球面上的基本图形
4
第四讲 球面三角形
目录
1 第五讲 球面三角形的全等
2
第六讲 球面多边形的欧拉公式
3
第七讲 球面三角形的边角关系
4
第八讲 欧氏几何与非欧式几何
主要内容： 1.通过丰富的实际问题 （如测量、航空、卫星定 位），体会引入球面几何 知识的必要性。 2.通过球面图形与平面图 形的比较，感受球面几何 与欧氏平面几何的异同。 例如，球面上的大圆相当 于平面上的直线，球面上 两点之间的最短距离是大 圆弧的劣弧部分，类圆幂 定理。 3.通过对实例的分析，体 会球面具有类似平面的对 称性质。
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
球面三角形的性质
球面三角形的内角和
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
推论2 球面三角形ABC的面积为：
S A BBiblioteka C R球面三角形的周长 定理 球面三角形的周长小于大圆周长
2
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
球面几何
又因为，则，所以。 记。配极三角形对应的量用带撇的表示：。我们有以下公式。 命题7.3：对任意球面三角形，有 （1），。 （2），。 （3）正弦公式：。 （4），
。 注：在Marcel Berger的书Geometry中公式写为。
证明：（1）第一个公式是球面三角形的基本公式。 第二个是因为
。 （2）由命题7.2的证明过程易知所以，在中取直角标架。在此标架 下，参考图7.10，我们得到 ，
图7.8 图7.9
使得，且。由可确定一个球面三角形，否则，
共面，不妨设
可由
线性表示，则有，这与矛盾。这个球面三角形称为球面三角形的配 极三角形,见图7.9。
命题7.2（配极三角形的对偶性）：对任意的球面三角形，它的配极 三角形的配极三角形仍是球面三角形，且有以下关系
证明：由配极三角形的定义，前一部分结论是平凡的。
现在考虑球极投影的逆映射，设，则，又在球面上，所以，注意， 解得，故。
如果球面半径为，则球极投影。 逆映射。 3.球面三角形 通过球心的平面与球面的交线是圆，称为球面上的一个大圆。在球 面上任取不同两点（非对径点）A,B，则由OA,OB确定的平面与球面的交 线就是由A,B两点决定的唯一一个大圆。大圆上弧长小于半周长的弧段 称为劣弧，否则称为优弧。一般地，我们在单位球面上讨论问题，相应 的结论容易推广到任意半径的球面上，请读者自己考虑。 设在同一个大圆上，则不共面。沿用欧几里得平面几何的语言， 用3条大圆劣弧形成的图形称为球面三角形。3条劣弧的弧长称为球面三 角形的三边的边长，的弧长记为，如图7.3。 图7.4 图7.3 A B C b a c O A B C
4.对任意半径的球面，求出正弦和余弦公式，并观察当变得很大 时，这些公式情况如何？
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球面几何学
4、球面二角形：也叫月形，是球面上两个有 公共直径的半大圆所夹的部分。
思考：球面二角形的面积？
球面可以看成是球面角为 的月形。
5、球面三角形
（类比平面三角形） 不在同一条直线的三点——不在同一大圆上的三点 边、顶点、内角 球面几何学中最简单、最重要的图形
三面角： 如何度量内角和边长？
6、对顶三角形
B A`
C
将上面三个等式两边相加，得
3S球面ABC S球面A`BC S球面AB`C S球面ABC` 2A B C 又∵S球面ABC S球面A`BC S球面AB`C S球面A`B`C 2R2 2 ∵ S球面ABC` S球面A`B`C 2S球面ABC 2 2A B C
BAC
2
2
, BAD
O B C
E D
2 3 , BAE 3 4
分别计算： 球面三角形 ABC、ABD、ABE的 内角和及面积
球面三角形ABC的内角和 3 = 2 球面三角形ABC的面积= 1 1 2 2r 4 2
球面三角形ABD的内角和 5 = 3
1 2 2 2r 球面三角形ABD的面积= 3 3
abeabdabc球面三角形abc的内角和?2球面三角形abc的面积?24球面三角形abd的内角和?3球面三角形abd的面积?23?2112??r5?3212??r3球面三角形abe的内角和?4球面三角形abe的面积?287?4332??r归纳出单位球面三角形的内角和公式ssccbbaa?????????猜测证明分析球面球面bsscab?abc???????2由月形的面积计算公式得球面球面assbcaabc?????2球面球面cssabc?abc?2cbacba将上面三个等式两边相加得ssbcaabc???3球面球面??ssabc球面球面??cbassabc?s球面cab?s球面?????2????2球面?c球面?cbaabcss?a???球面球面??2?2????rcbaabbca又???cbsabc????????222球面scba????即单位球面三角形的内角和公式基本概念内角和公式的推测内角和公式的证明单位球面三角形的面积公式第三节球面三角形的全等类比平面三角形的全等规定
人教版高中数学课本目录精编版
高一数学必修一第一章集合与函数概念1.1集合阅读与思考集合中元素的个数1.2函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3幂函数第三章函数的应用3.1函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型高一数学必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2直线、圆的位置关系4.3空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆高二数学必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.2基本算法语句1.3算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2古典概型3.3几何概型阅读与思考概率与密码高二数学必修四第一章三角函数1 .1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2简单的三角恒等变换高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2双曲线探究与发现2.3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分高二数学选修1-2第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用1.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图信息技术应用用word2002绘制流程图高二数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3双曲线探究与发现2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法高二数学选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算高二数学选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身高二数学选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史高二数学选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线高二数学选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用高三数学必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶第二章数列2.1数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4基本不等式高三数学选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用高三数学选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论高三数学选修4-4第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线高三数学选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式高三数学选修4-6第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥高三数学选修4-7第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用高三数学选修4-9第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例。
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球面上的基本图形
【教学目标】
＆知识与技能
1、认识球面上的基本图形及其特征：大圆劣弧（球面上的“线段”）、大圆（球面上的“直线”）、球面二角形、球面角、球面三角形；
2、知道球面上的两个大圆（两条“直线”）只有相交这种位置关系，而没有“平行”关系；
3、会计算简单位置的球面三角形的三个内角的大小和三边的大小，从而了解球面三角形的内角和大于 ；
4、通过球面上基本图形的认识，进一步培养空间想象力和几何直观能力。
＆过程与方法
通过平面上的线段、直线、角、三角形等图形类比认识球面距离、球面上的大圆、球面角、球面三角形的过程，体会类比方法在数学学习中的重要作用。
＆情感、态度和价值观
通过对球面上基本图形的认识，了解球面几何与平面几何的相同之处与不同之处，认识球面几何是一个重要的一个非欧几何模型，从而改变对几何的固有观念。
【教学重点】
1、球面上基本图形的基本特征；
2、球面角、球面三角形的定义及相关量的计算；
3、类比的研究方法。
【教学难点】
1、球面上的“直线”概念的建立；
2、球面角的定义及计算；
3、对欧氏几何固有观念的转变。
【教学过程】
一 课题引入
球面几何历史悠久，它是古代人类研究天文学的产物。
德国数学家黎曼在1868 年出版了《关于作为几何学基础的假设》的演讲稿，提出了既区别于欧氏几何体系,又不同于非欧双曲几何体系的一个新的几何体系，称为黎氏几何，球面几何就属于黎氏几何。
问题1：在现实生活中，球面几何知识也有着广泛的应用，大家能举例说一说，现实生活中应用球面几何的例子吗？
学生个别回答，教师点评，可以适当补充，如测量、航空、卫星定位等。
既然球面几何在测量、航空、卫星定位中有如此广泛的应用，那么今天我们这节课就先来认识球面上的基本图形（板书课题）。
二 探究新知
1 球面上的大圆劣弧—“线段”
问题2：球面上有两点M 、N （这两点非直径的两个端点），一只蚂蚁想从M 点爬到N 点，你能找到蚂蚁爬行的最短路径吗？（电脑演示）
教师由此引出球面上两点间的距离（即球面距离），就是过M 、N 的大圆的劣弧，它相当于平面上两点之间的线段。
板书：球面上的大圆劣弧—“线段”
类比1：在平面上过两点有且只有一条线段，那么在球面上是否也有类似的结论呢？
板书：过球面上非直径两端点的线段是唯一的
教师引领：我们发现球面上也是“两点确定一条线段”，与平面完全相同。
2 球面上的大圆—“直线”
类比2：在平面上如果把线段向两边无限延伸，就形成一条直线，那么在球
面上如果把大圆劣弧MN 向两边延伸形成什么呢？
师生总结：显然形成一个大圆。
（电脑演示）
教师启发：既然我们把平面上的线段向两边无限延伸形成的图形称为平面上的直线，那么我们是否也可以把球面上的大圆劣弧向两边延伸形成的大圆称为球
面上的“直线”呢？
板书：球面上的大圆—“直线”
类比3：我们知道平面上两点定线，并且直线的长度无限，那么球面上的大圆，即球面上的“直线”是否也具有类似的性质？
师生发现：（1）过非直径两端点的“直线”具有唯一性
（2）过直径两端点的“直线”不唯一（电脑演示）
（3）球面上的“直线”长度固定
教师引领：由此我们发现球面上的大圆，即球面上的“直线”具有与平面类似的特征（2），也具有与平面完全不同的特征（1）、（3）
3 两个大圆的位置关系
类比4：我们知道平面上两条直线有相交与平行两种位置关系，那么球面上的两个大圆，即球面上的“两条直线”的位置关系又如何呢？
师生发现：球面上的两个大圆只有相交这种位置关系，而没有平行关系。
这一点显然与平面上的直线的特征完全不同。
板书：球面上任意两条“直线”均相交，并且有两个交点，不存在互相平行的两条“直线”
教师此处介绍欧几里得关于平面几何的5个公设：
（1）从任一点到另外一点能作一条直线。
（2）一条有限直线可以沿着直线不断延长。
（3）以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆。
（4）凡直角皆相等。
（5）过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
其中公设5，也就是我们通常所说的平行公设在球面几何中显然不成立，从而表明球面几何是不同于欧氏平面几何的几何模型，是一个重要的非欧几何的数学模型。
4 球面角
4.1球面角的定义
类比5：我们知道平面上两条直线的相交程度我们是用角度来刻画的，那么球面上两个大圆的相交程度是否也可以用角度刻画？当然可以。
学生活动：请大家试着根据平面上角的概念类比定义球面上两个大圆相交所成的角。
教师引领：过平面上一点，引两条射线，它们所形成的图形叫做角。
类似的，
过球面上一点A 引两条大圆弧AM 和AE ，它们所构成的图形叫做球面上的角。
仍可记做∠MAE ，其中点A 称为角的顶点，大圆弧AM 和AE 称为角∠MAE 的边。
（见图）
问题3：尽管我们用平面上角的概念类似地定义了球面上的角，那么球面上的角与平面上的角有什么不同吗？
教师引领：平面上角的两条边无限延伸后不会相交，而球面角∠MAE 的两边AM 和AE 延长后相交于点A 关于球心的对称点B 。
这一点也是与平面完全不同
的特征。
我们把球面角∠MAE 的两边AM 和AE 延长后相交于点B 所组成的图形
AMBE 称为球面二角形。
（板书）
因为它像天空中一轮弯弯的月亮，所以又称它为月形。
月形还像我们夏天吃的一大牙西瓜的瓜皮。
4.2 球面角的度量与计算
问题4：我们定义了球面上两个大圆弧AM 和AE 所成的角，接下来我们进
一步思考：如何度量球面角∠MAE 的大小呢？
教师启发：我们知道平面上角的大小取决于角两边的张开程度，那么球面上角的大小当然也应取决于角两边的张开程度，那么我们如何度量球面角两边的张开程度呢？
教师演示：请大家观察，我们拖动∠MAE 的一边AE ，直观地发现∠MAE
的大小也在随之变化。
由此启发学生发现：既可以用∠MAE 的两边AM 和AE 所确定的半平面AOM
与AOE 所形成的二面角的大小来度量∠MAE 的大小，也可以用∠MAE 的两边AM 和AE 的切线AP 与AQ 的夹角∠PAQ 来度量∠MAE 的大小。
（板书∠MAE=二面角M-OA-E 的大小=∠PAQ ）
热身练习：
已知球面上点A（北极）、C（经纬度均为00）、M（东经200北纬450）、E（东经1100、赤道），分别计算下列球面角的大小。
1∠ACD 2∠CAM 3∠MAE
5 球面三角形
类比6：我们知道平面上三条首尾相接的线段围成的图形叫做三角形。
那么类似地，我们是否也可以定义球面上的三角形呢？
（请学生类似平面上三角形的定义，说出球面上的三角形的定义：我们把球面上三条大圆的劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形。
）学生活动：你能说出图中的一些球面三角形吗？（见图，同时教师演示一个一般位置的球面三角形MAF
∆）
学生活动：你能指出球面MAF
∆的三条边和三个内角吗？
教师板书：球面MAF
∆的三个内角：
∠=二面角M-OA-F的大小；
MAF
∠=二面角A-OM-F的大小；
A M F
∠=二面角A-OF-M的大小。
AFM
热身练习：地球的半径为R,计算下列条件下球面三角形三边长和三内角的大小,通过计算你还发现了什么?
1 ∆ACE:点A（北极）,C（经纬度均为00）,E（东经1100赤道）
2 ∆AMF:三条射线OA,OM,OF两两所成的角均为600
教师引领：我们发现球面三角形的三个内角和居然大于1800.......这个结论具有一般性吗？留给大家思考......
三课后思考题：
关于球面三角形，你还能提出什么样的问题？写出你的问题，我们下节课讨论。