高等数学北大第二版67多元函数的微分中值定理与泰勒公式

2 f x2
(1,1) 2,
2 f
2
(1,1) ,
xy
2
2 f y 2
2
(1,1) . 4
因此,若令x x 1, y y 1,则有
f (1 x,1 y) 1 2 (x2 xy 1 y2 ) o(r 2 )
2!
4
即
sin(
2
x2
y)
1
2
2!
[( x
1)2
(x
1)(
y
1)
1 4
其中
Rn
1 d n1 (n 1)!
f
( x0
x,
y0
y)
(n
1
1) !
x
x
y
y
n1
f
( x0
x,
y0
y),
Rn --- 拉格朗日余项
假定的 n 1 阶偏导数有界,即存在常数 M 使得
n1 f xl y n1l
M,
l 0,1,L , n 1;
则
Rn
M
n 1!
x
n1
y
令 r x2 y2 ,
引入一元函数：(t) f (x0 tx, y0 ty)，是t的可微函数.
有链规则得
d
dt
f x
( x0
tx,
y0
ty)x
f y
( x0
tx,
y0
ty)y.
另一方面，又一元函数的拉格朗日中值定理，可以推
出，存在一个 ，0 1，使得
即
(1) (0) ( ),
f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
所以
Rn
M
n 1!
r
n1
x
r
y
r
n1
M 2n1 r n1,
n1 !
当固定x, y 时, r是一个常量,
Rn 0 当 n .
当固定项数 n 而令 r x2 y2 0 时, 有
Rn rn r 0.
f (x0
x, y0
y)
f
(
x0
,
y0
)
1 1!
df
(
x0
,
y0
)
1 2!
y)
2
C2px2 py
p0
p
2 f x2 py
p
x2
2 f x2
2xy 2 f y2 xy
2 f y 2
.
d
3
f
(x,
y)
3
C3px3 py
p0
p
3 f x3 py p
x3
3 f x3
3x2y
3 f x2y
3xy2
3 f xy 2
y3
3 f y3
.
利用这种记号拉格朗日种值公式可写成：
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(n 1)! x y
(0 1)
多元函数的泰勒多项式的唯一性定理.
若Pn x, y是x 与y 的 n 次多项式, 且有
f x x, y y Pn x, y r2 ,
其中r x2 y2 0;则Pn x, y是函数 z f x, y在 x0, y0 处的泰勒多项式.
f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 ) df (x0 x, y0 y).
df
(x0
x,
y0
y)
f x
( x0
x,
y0
y)x
f y
( x0
x,
y0
y)y.
定理２ 设 D R2 为一区域, 而函数 f x, yCn1 D.
P0 x0, y0 D, P1 x0 x, y0 y D, 且P0至P1
证 令(t) f (x0 tx, y0 ty)，由(t)的泰勒公式有
(1) (0) 1 (0) 1 (n) (0) 1 (n1) ( ),
1!
n!
(n 1)!
显然由链规则
(t
)
(x
x
y
y
)
f
( x0
tx,
y0
ty),
(0 1).
故(0) df (x0, y0 ), 且
(t)
y0 )x2
2
fxy (x0 ,
y0 )xy
f yy (x0,
y0 )y2 ].
例1 求函数 f (x, y) sin( x2 y) 在点(1,1)的二阶泰勒多
2
项式及带皮亚诺余项的泰勒公式.
解 先计算函数在(1,1)点的各界偏导数：
f (1,1) 1,
f (1,1) 0, x
f (1,1) 0, y
f x
( x0
x,
y0
y)x
f y
( x0
x, y0 y)y. 证毕.
推论 若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且 满足 f 0, f 0, 证明：f(x,y)在D内为一常数.
x y
证 在区域D内任意取定一点P0 (x0, y0). P(x, y) D， 若P与P0的连线P0P都在D内，由拉格朗日中值定理，有
例2 在点(0,0)的邻域内，将函数 f (x, y) ex cos y 按带
皮亚诺型余项的泰勒公式展开至二次项.
解 已知
ex 1 x 1 x2 o(x2 ), x 0, 2
cos y 1 1 y2 o( y2 ), y 0. 2
注意当r 0时o(x2 ) o(r 2 ), o( y2 ) o(r 2 ),
f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
f x
( x0
x,
y0
y)x
f y
( x0
x,
y0
y)y.
或写成
f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 ) df (x0 x, y0 y).
证 考虑点Pt (x0 tx, y0 ty), 显然当0 t 1时，Pt落在 P0与P1的连线上.根据定理的假定可知，f (x, y)在D 内可微，
且o(x2）o( y2 ) o(r 2 ), 因而由上两式相乘可得 ex cos y 1 x 1 x2 1 y2 o(r 2 ), r 0.
22
有泰勒多项式的惟一性，上式即为所求 . 习题 1.2. (4).
f (P) f (P0 ) fx (P )h f y (P )k 0, 其中h x x0, k y y0, P为P0P上之点. 这样，f (P) f (P0 ).
若P0P不全包含在D内，则必存在折线P0P1P2 PnP D.于是有 f (P) f (Pn ) f (Pn1) f (P1) f (P0 ).
x )n1 0
(0 1).
意义：可用n次多项式来近似表达函数 f ( x) ，且
误差是当x x0 时比( x x0 )n 高阶的无穷小．
问题：能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.
即 设z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻域内连续
总之，P D，我们证明了f (P) f (P0)，即f(x,y)在D内为
一常数.
2. 二元函数的泰勒公式
函数 f x, y在一点 x, y的k 阶微分为:
d k f (x, y) (x y )k f (x, y) x y
k
Ckpxk py
p0
p
k f xk py
p
.
如：
d
2
f
(x,
的连线P0P1 D, 则有
f
(x0
x, y0
Leabharlann Baidu)
f (x0, y0 ) 1 df 1!
(x0 , y0 )
1 d2 2!
f
(x0 ,
y0 )
1 n!
d
n
f
( x0
,
y0
)
(n
1
1)!
d
n1
f
( x0
x,
y0
y),
其中，d k f 是f 的k 阶微分，即
d k f (x, y) (x y )k f (x, y), x y (k 1,2, , n 1).
(x
x
y
)2 y
f
( x0
tx,
y0
ty).
即有(0) d 2 f (x0, y0 ). 递推地得到
(k) (0) d k f (x0, y0 ), k 1,, n;
(n1) ( ) d n1 f (x0 x, y0 y).
将这些结果代入关于 (t )的泰勒公式即得到要证的
结果.证毕.
(
y
1)2
]
o( (x 1)2 ( y 1)2 )（x 1, y 1).
在泰勒公式中,如果取 x0 0, y0 0,则 成为 n 阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
且有直到 n 1阶的连续偏导数,(x0 x, y0 y)
为此邻域内任一点 ,能否把函数 f (x0 x, y0 y)
近似地表达为
x
x
x 0
,
y
y
y的n次多项式， 0
且误差是当 r (x)2 (y)2 0时比 r n
高阶的无穷小．
一元函数的泰勒公式中令n=0,得拉格朗日中值公式： f (x) f (x0 ) f ( )( x x0 ) 在x0与x之间.
6-7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式 问题的提出
一元函数的泰勒公式：
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x0 ) ( x 2
x0 )2
f ( (n) x0 ) ( x n!
x0 )n
f (n1) x0 ( x
(n 1)!
x0 )
(x
令x x0 x,则
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x 0 1.
1. 二元函数的微分中值定理
定理1 (二元函数的拉格朗日中值公式)
设z f x, y在区域D内有连续的偏导数,
又假定D中有两个点P0 x0, y0 与P1 x0 x, y0 y,
并且P0到P1的直线P0P D,则存在 , 0 1,使得
d
2
f
(
x0
,
y0
)
1 dn n!
f
(x0 ,
y0 )
o(r n ),
二元函数的带皮亚诺
型的泰
其中r x2 y2 0.
勒公式
泰勒多项式
例如，n 2, f 在(x0, y0 )的泰勒多项式是
f (x0 , y0 ) fx (x0, y0 )x f y (x0, y0 )y
1[ 2!
f xx (x0 ,