数列知识点及常用解题方法归纳总结
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数列知识点及常用解题方法归纳总结
一、 等差数列的定义与性质
() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2
()()前项和n S a a n na
n n d n n =
+=+
-112
12
{}性质：是等差数列a n
（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+
{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--
（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则
；421
21
a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52
a S an bn a
b n n n ⇔=+
0的二次函数）
{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2
项，即：
当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11000
><≥≤⎧⎨
⎩+
当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11
000
0<>≤≥⎧⎨⎩+
{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123
（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331
()又·，∴S a a a
a 3132
22
3311
3
=
+===
()()∴·S a a n a a n n
n n n =
+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-121221312
18 ∴=n 27） 二、等比数列的定义与性质 定义：
（为常数，），a a q q q a a q n n
n n +-=≠=1
110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2
()
前项和：（要注意）n S na q a q q
q n n ==--≠⎧⎨⎪
⎩⎪
111111()()!
{}性质：是等比数列a n
（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法
1、公式法
2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111
3、求差（商）法
{}如：满足
……a a a a n n n n 12121
2251122+++=+<>
解：n a a ==⨯+=11
22151411时，，∴
n a a a n n n ≥+++=-+<>--212121
2
215
212211时，……
<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21
，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩
+141221()()
［练习］
{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +=
=++1115
3
4 （注意到代入得：
a S S S S n n n n n
+++=-=111
4 {}又，∴是等比数列，S S S n n n
144==
n a S S n n n n ≥=-==--234
11
时，……·
4、叠乘法
{}例如：数列中，，
，求a a a a n
n a n n n n 1131
==++ 解：
a a a a a a n n a a n
n n n 213211122311
·……·……，∴-=-= 又，∴a a n
n 133
== 5、等差型递推公式
由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()
n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫
⎬⎪
⎪
⎭
⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()
a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］
{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 11
1132==+≥--
()
（）a n n
=
-12
31 6、等比型递推公式
()
a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1
()⇒=+--a ca c x n n 11
令，∴()c x d x d c -==-11
∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d
c c n +
-⎧⎨⎩
⎫⎬⎭+-11
1
∴·a d c a d c c n n +
-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111
∴a a d c c d
c n n =+
-⎛⎝
⎫⎭⎪---1111