离散数学1-12
离散数学第一章命题逻辑习题答案
习题一
1.
利用逻辑联结词把下列命题翻译成符号逻辑形式： （7）不识庐山真面目，只缘生在此山中。 令P:身在此山中; Q:识庐山真面目;译为P ~ Q （8）两个三角形相似当且仅当它们对应角相等或者对应边 成比例。 令P:两个三角形相似; Q:对应角相等; R:对应边成比例;译为 P (Q R) （9）如果一个整数能被6整除，那么它就能被2和3整除。 如果一个整数能被3整除，那么它的各位数字之和也能 被3整除。 令P:被6整除; Q:被2整除; R:被3整除; S:各位数字之和被3整 除。译为(P (Q R)) (R S)
习题一 14.
• 从A、B、C、D4人中派2人出差，要求满足下述条件：如 果A去，则必须在C或D中选一人同去；B和C不能同时去； C和D不能同去。用构造范式的方法决定出选派方案。 若X表示“X去出差”, 可得公式 (A (C D)) ~(B C) ~(C D) (~A (C ~D) (~C D) ) (~B ~C ) (~C ~D ) …… (~A ~B ~C ~D) (~A ~B ~C D) (~A ~B C ~D) (~A B ~C ~D) (A ~B ~C D) (A ~B C ~D) (~A B ~C D) (A B ~C D) 可得派法: {B, D} {A, C} {A, D}
离散数学(第五版)清华大学出版社第1章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→ｑ。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→ｑ为假命题。
（7）p→ｑ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命题，q为真命题，因而p→ｑ为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
离散数学.第1章
例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
10
3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称 为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
28
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意： （1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式， 它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外，还有补集的概念。
如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。
例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。
离散数学(第二版)最全课后习题答案详解
27.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,证明: 重言式.
是重言式当且仅当 A 和 B 都是
解：
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
由真值表可得，当且仅当 A 和 B 都是重言式时，
0 0 0 1 是重言式。
28. 设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,已知
，该式为重言式，所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如 果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.” 解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。
真值为 1.
真值为 0.可得，p 真值为 1，q 真值为 0.
所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
（2）p: 是无理数.
（7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以 π. （13）p:2008 年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
（1）5 是有理数.
答：否定式：5 是无理数. p：5 是有理数.q：5 是无理数.其否定式 q 的真值
5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2 或 3 是偶数. （2）2 或 4 是偶数. （3）3 或 5 是偶数. （4）3 不是偶数或 4 不是偶数. （5）3 不是素数或 4 不是偶数.
答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数 (1)符号化: p q∨ ，其真值为 1. (2)符号化：p r∨ ，其真值为 1. (3)符号化：r t∨ ，其真值为 0. (4)符号化：¬ ∨¬q s，其真值为 1. (5)符号化：¬ ∨¬r s，其真值为 0.
离散数学第1讲
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第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
以上5种最基本、最常用、最重要的联结词可以组 成一个集合{,∨,∧ ,ר,}，成为一个联 结词集，其运算的优先级为：,∨,∧,ר,, 对于同一级者，先出现者先运算。参见课本 第9页，基本复合命题的真值表。 例1.7：令p：北京比天津人口多。 q：2＋2＝4。 r：乌鸦是白色的。 求下列符合命题的真值： (1)((רp∧q)∨(p∧q))r (2)(q∨r)(pרr)
1) 这朵花多好看呀！ 不是命题，感叹句 2) 请你关上门！ 3) 全体立正！
不是命题，祈使句 不是命，祈使句
4) 明天是否开大会？ 不是命题，疑问句
5) 你听懂了吗？
不是命题，疑问句
11
第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
例：凡是悖论都不是命题。
1) 我正在说谎。
不是命题，悖论
由真推出假，又由假推出真的陈述句称为悖论， 都不是命题。
命题的分类
简单/原子命题：由不能再分解为更简单的 陈述句的陈述句构成。 如上例中的命题。 复合命题：由简单命题通过联结词联结而 成的陈述句。 如下例。
16
第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
例：将下面这段陈述句中所出现的原子命题符号化，并指出 它们的真值，然后再写出这段陈述。 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2 是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 解：这段陈述句中出现5个原子命题，将它们分别符号化为： p: 是有理数； q：2是素数； r：2是偶数； 2 s：3是素数； t：4是素数。 将原子命题的符号代入上面陈述中： 非p； q并且r； 如果q，则s； q当且仅当s。（半形式 化的语言）。 形式语言：完全由符号所构成的语言。
离散数学文档1
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
离散数学第一章
例2： “派小王或小李中的一人去开会” 不能符号化为形式P∨Q ，因为这里的“或”表示 的是排斥或。它表示非此即彼，不可兼得。 运算符 ∨表示可兼或，排斥或以后用另一符号表达。也可
以借助于联结词
或。
┒、∧ 、∨共同来表达这种排斥
课堂练习： 将下列命题符号化: (1) 王东梅学过日语或俄语。 (2) 张小燕生于1977年或1978年。 (3) 小元元只能拿一个苹果或一个梨。
常称为“非”运算，所有可能的运算结果可用下表
（真值表）表示。
P
┒P
T F
F T
例: (a) P: 3是偶数。
则┑P： 3不是偶数。
(b)
的”。 (c) (d)
Q: 4 是质数。
则┑Q： 4 不是质数。或 “说4 是质数是不对 R: 我们都是汉族人。 则┒R: 我们不都是汉族人。 S: 今天下雨并且今天下雪。 则 ┒S:今天不下雨或者今天不下雪。
Q：明天下雨
是两个命题，利用联结词“不”、“并且”、 “或” 等可分别构成新命题： “明天不下雪”； “明天下雪并且明天下雨”； “明天下雪或者明天下雨”等。
即 ： “非P”；
“P并且Q”；
“P或Q”等。 在代数式x+3 中， x 、 3 叫运算对象， +叫运 算符，x+3 表示运算结果。在命题演算中， 也用同样术语。 联结词就是命题演算中的运算符，叫逻辑运算符或叫命题联 结词。常用的命题联结主要有 5 个。
2.常用命题联结词 1）. 否定词┑ 定义：设P为任一命题。复合命题“非P”(或“P的 否定”)称为P的否定，记作 ┑P，读作“非P”。┒ 为否定联结词。┑P为真当且仅当P为假。 由定义可知， ┑P 的逻辑关系为P不成立，因而P
离散数学课件 第一章
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
大学 离散数学 第一章12
课程的特点是以离散量为研究对象，内容丰富， 涉及面较宽。因此概念多、定理多、推理多并且内容 较为抽象。但由于它是为后继专业知识的学习做必要 的数学准备，因此它研究的内容均比较基础，难度不 大。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结 构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件， 而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力。
28
二、命题联结词和命题符号化
1. 简单命题符号化
（1）用小写英文字母 p，q，r，…，pi，qi，ri （i
≥1）表示简单命题 （2）用“1”表示真，用“0”表示假
例如，令
p： 2 是有理数，则 p 的真值为 0， q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为 1
29
例1.2 先将下面各陈述句中出现的原子命题符号化， 并指出他们的真值，然后再写出这些陈述。
16
(2)方法性强： 《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明 方法，同一个题也可能有几种方法。但是《离散数学》证明 题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则 很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习 中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明 方法，从而学会熟练运用这些证明方法。同时要善于总结。
7
二、关于离散数学的一些应用
例1 在日常生活中我们常常遇到离散数学的问题。如
果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对 一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每 两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每 一个国家都能清楚地显示出来。
8
例2 我国古代的河洛图上记载了三阶幻方，即把从
4
数据结构和算法分析与设计中含有大量离散 结构的内容。在形式证明、验证、密码学的研究 与学习中要有理解形式证明的能力。图论中的概 念被用于计算机网络、操作系统和编译系统等领 域。集合论的概念被用在软件工程和数据库中。
第一章 离散数学
定义1-9 设有集合A、B，所有属于B而不属于
A的元素组成的集合，称为A相对于B的补集， 记作B-A。即
B A u | u B但u A
用文氏图表示为：(图中斜线部分即是)
B
B-A
例：A＝{2,5,6} B={3,4,2} B－A＝{3,4} 则 A－B={5,6}
A
定义1-10 集合A相对于全集合U的补集称为A的
{ }
定理1－2：设A是具有基数＃A的有限集，则＃(2A ) 2# A
分析：前面介绍了，A的子集是A的一部分，那么由 i A中i个元素组成的子集有C n个，若A有n个元素，于 是有：
C n 0 C n1 ... C n n 1 C n n 2n
(证明略）
例3、确定集合A={a,{a}}的幂集
A不够成一个集合，因为没有确定老的标准，50岁 以上的老，还是60岁以上的老呢？这需要一个确定的标 准，根据这个标准来判断一个55岁的中国人是否属于这 个集。
总之，任一个个体，对某一个集合而言， 或属于该集合，或不属于该集合。两者 必 居其一，不可兼得。
又如：
A＝{b,c} 是一个集合，但它是集合B 的元素，其中B={a,{b,c}}; A={b,c}是以一个整体作为B的元素。 另外，要将b，与{b} 区分开来,b∈{b}； b是一个个体，{b}是一个单元素的集合。
故 A C（由定义1－2）
综合（1）、（2）即知原结论成立。
1.3
一、幂集的定义
幂集
定义1－5：任给集合A，由A的所有子集组成的集合， 称为A的幂集。记作2A，即2A＝{s|s A}。 例1 A={1,2,3}
则 2A {,{1},{2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3},{1, 2,3}} 例2 （1） A={a}
(完整word版)离散数学电子教材1
第1章命题逻辑逻辑是研究人的思维的科学,包括辩证逻辑和形式逻辑。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。
形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学,它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。
数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。
所谓的数学方法也就是用一套有严格定义的符号，即建立一套形式语言来研究.因此数理逻辑也称为符号逻辑。
数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑。
本章主要讲述命题逻辑，谓词逻辑将在第2章进行讨论。
1.1命题及其表示1。
1。
1命题的基本概念数理逻辑研究的中心问题是推理（Inference),而推理就必然包含前提和结论，前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。
在数理逻辑中，将能够判断真假的陈述句称为命题.因此命题就成为推理的基本单位。
在命题逻辑中，对命题的组成部分不再进一步细分。
定义1.1.1 能够判断真假的陈述句称为命题(Proposition）。
命题的判断结果称为命题的真值，常用 T （True)（或1）表示真，F（False）（或0）表示假.真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
从上述的定义可知,判定一个句子是否为命题要分为两步:一是判定是否为陈述句，二是能否判定真假，二者缺一不可。
例1。
1.1判断下列句子是否为命题（1）北京是中国的首都。
（2）请勿吸烟!（3）雪是黑的。
（4）明天开会吗？（5）x+y=5.（6）我正在说谎。
（7）9+5≤12.（8）1+101=110。
（9）今天天气多好啊！（10）别的星球上有生物。
解在上述的十个句子中，（2）、（9）为祈使句，(4）为疑问句，（5）、(6）虽然是陈述句，但(5)没有确定的真值，其真假随x、y取值的不同而有改变,（6）是悖论(Paradox）（即由真能推出假，由假也能推出真），因而(2）、（4)、(5)、（6）、(9)均不是命题.（1）、（3）、（7)、（8）、(10）都是命题，其中（10）虽然现在无法判断真假，但随着科技的进步是可以判定真假的。
离散数学第三版课后习题答案
由此可得（A\B）\（B\C）（A\B）\C。
3）方法一：（A\C）\C
=A\（B∪C）(根据1))
=A\（C∪B）（并运算交换律）
4）真。因为是集合{}的元素；
5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；
6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；
8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4.对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：
A′∪B=(A∪A′)∪B（∪的交换律）
A′∪B=X∪B（互补律）
A′∪B=Ｘ（零壹律）
方法三：因为A′X且BX，所以根据定理2的3）就有A′∪BＸ；
另一方面，由于BA′∪B及根据换质位律可得B′A′A′∪B，因此，由互补律及再次应用定理2的3），可得X=B∪B′A′∪B，即XA′∪B；
所以，A′∪B=Ｘ。
=（A\C）\B（根据1））
方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，xB，xC。由为x∈A，xC，所以，x∈A\C。又由xB，x∈（A\C）\B。所以，（A\B）\C（A\C）\B。
同理可证得（A\C）\B（A\B）\C。
9.设A、B是Ⅹ全集的子集，证明：
ABA′∪B=XA∩B′=
[解](采用循环证法)
离散数学辅助教材
概念分析结构思想与推理证明
第一部分
集合论
离散数学习题解答
离散数学第一章 命题逻辑
1.2 联结词
2、合取 ∧
Proposition Logic 命题逻辑
P∧Q是P和Q的合取, 读做“P与Q”或“P并且Q”。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P ∧Q 0 0 0 1
如： P: 王华的成绩很好。
Q: 王华的品德很好。 P∧Q: 王华的成绩很好并且品德很好。
对，成立，则真值为真，T，1
错，不成立，则真值为假，F，0
断言是一陈述语句。一个命题是一个或真或假而不能 两者都是的断言。如果命题是真, 我们说它的真值为真； 如果命题是假，我们说它的真值是假。
4/5/2014 8:53 PM chapter1 2
1.1 命题及其表示法
【例1 】判定下列各语句是否为命题： （是） (a) 巴黎在法国。 （是） （是） (c) 3+2=5 (d) 别的星球上有生物。 （是） (b) 煤是白色的。 (e) 全体立正。 (f) 明天是否开大会？
从真值表可知P∨Q为真, 当且仅当P或Q至少有一为真。
4/5/2014 8:53 PM chapter1 12
1.2 联结词
Proposition Logic 命题逻辑
“或”字常见的含义有两种: 一种是“可兼或”, 如上
例中的或, 它不排除小王既喜欢唱歌又喜欢跳舞这种情况。
一种是“排斥或”（异或）, 例如“人固有一死, 或重于泰 山, 或轻于鸿毛”中的“或”, 它表示非此即彼, 不可兼得。 运算符∨表示可兼或, 排斥或以后用另一符号表达。 如：(1)小李明天出差去上海或去广州。
所以,“如果P则Q”, “只要P则Q”,只有Q才P”, “仅当Q 则P”都可符号化为P→Q 的形式。
离散数学习题一 二参考答案
离散数学习题一二参考答案----a3039d74-7162-11ec-90d9-7cb59b590d7d离散数学习题一二参考答案离散数学练习1的参考答案第一节集合的基数1.证明两个可数集的并是可数的。
证明：设a，b是两可数集，a={a1,a2,a3,,an,}，b={b1,b2,b3,,bn,}⎧ab→n⎧f:⎧ai2i-1，f是一一对应关系，所以|a∪b|=|n|=ℵ0。
⎧b2jj⎧2．证明有限可数集的并是可数集证明：设A1，A2和a3ak是有限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1，2，3，Kk⎧k⎧a=ai→n，f是一一对应关系，所以|a|=|ai|=|n|=ℵ0。
f:⎧i=1i=1⎧aijj（k-1）+i⎧3.证明可数个可数集的并是可数集。
证明：设A1，A2和a3ak为无限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1,2,3，∞⎧a=ai→n⎧⎧i=1f:⎧，1⎧aij(i+j-1)(i+j-2)+i⎧2⎧所以f是一对一的对应，所以|a |=|a |=|n |=ℵ. 我∞04.证明整系数多项式所构成的集合是可数集。
证明了具有整系数的n次多项式之和可以写成an={a0xn+a1xn-1++an-1x+an|ai∈z}那么整系数为a=an的多项式集；由于xk的系数ak是整数，那么所有xk的系数的全体所构成的集合是可数集，由习题2“有限个可数集的并是可数集”可得an是可数集，再又习题4“可数个可数集的并是可数集”得出整系数多项式所构成的集合a=an也是可数集。
5.证明不存在等于其真子集的有限集证明：设集合a是有限集，则|a|=n，若b是a的真子集，则|b|≤|a|=n，a-b≠φ，即|a-b|=|a|-|ab|＞0；又a=（a-b）∪b，（a-b）b=φ，所以，，就是|a|＞|b|，即得结论。
6.证明正有理数集是可数的，从而证明有理数集是可数的。
m证明：因为q+={|m,n∈n}，是正分数集，n∞ n+让AI={|n∈ n} ，I=1,2,3,4,m}，AI是可数集，q=AIII=1由可数集性质4“可数个可数集的并仍然是可数集”，所以正有理数集合是可数集。
离散数学1. (12)
(p→r)∧┐r→┐p
此形式结构为重言式，即
(p→r)∧┐r┐p
故推理正确。
（4）推理形式结构为
(p→q)∧┐p→┐q
此形式结构不是重言式，故推理不正确。
（5）推理形式结构为
p→(q∨r)
它不是重言式，故推理不正确。
（6）推理形式结构为
(p r)∧┐p→┐r
此形式结构为重言式，即
注意：有人说，前提中无s出现，结论却有s出现，所以推理不正确。此说法不对，
他忘了附加推理规则。（3）前提：┐p∨r，┐q源自s，p∧q；结论：r∧s证明：
①┐p∨r前提引入
②p∧q前提引入
③p②化简
④r①③析取三段论
⑤┐q∨s前提引入
⑥q②化简
⑦s⑤⑥析取三段论
⑧r∧s④⑦合取
（4）前提：p→(q→r)，s→q，q；结论：s→r
结论：t→(r∨s)
答案2．
（1）证明：
①p→(q→r)前提引入
②p前提引入
③q→r①②假言推理
④q前提引入
⑤r③④假言推理
⑥r∨s⑤附加律
（2）证明：
①┐(q∧r)前提引入
②┐q∨┐r①置换
③r前提引入
④┐q②③析取三段论
⑤p→q前提引入
⑥┐p④⑤拒取式
（3）证明：
①p→q前提引入
②┐p∨q①置换
然后制作（*）的真值表，见下表
（*）的真值表
由于真值表的最后一列全为1，故（*）为重言式，因而推理正确。
方法二、等值演算法
(p→┐r)∧(q→r)→(q→┐r)
(┐p∨┐r)∧(┐q∨r)→(┐q∨┐p)（蕴涵等值式）
┐((┐p∨┐r)∧(┐q∨r))∨(┐q∨┐p)（蕴涵等值式）
离散数学(1-4章)自测题(答案)
《离散数学》题库答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q5.答：（1）6.答：2不是偶数且-3不是负数。
7.答：（2）8.答：⌝P ，Q→P9.答：P(x)∨∃yR(y)10.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))11、a、(P→Q)∧R解：(P→Q)∧R⇔(⌝P∨Q )∧R⇔(⌝P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）⇔(⌝P∧(Q∨⌝Q)∧R)∨((⌝P∨P)∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔m3∨ m1∨m7 （主析取范式）⇔m1∨ m3∨m7⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6 （主合取范式）b、Q→(P∨⌝R)解：Q→(P∨⌝R)⇔⌝Q∨P∨⌝R⇔M5（主合取范式）⇔ m0∨ m1∨ m2∨m3∨ m4∨m6 ∨m7 （主析取范式）c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式)12、a、P→Q，⌝Q∨R，⌝R，⌝S∨P=>⌝S证明：(1) ⌝R 前提(2) ⌝Q∨R 前提(3)⌝Q （1），（2）析取三段论(4) P→Q 前提(5)⌝P （3），（4）拒取式(6)⌝S∨P 前提(7) ⌝S （5），（6）析取三段论b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理c、A，A→B， A→C， B→(D→⌝C) => ⌝D证明：（1） A 前提（2） A→B 前提（3） B (1)，(2) 假言推理（4） A→C 前提（5） C (1)，(4) 假言推理（6） B→(D→⌝C) 前提（7） D→⌝C (3)，(6) 假言推理（8）⌝D (5)，(7) 拒取式d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确13.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。