第五节--二次型及其标准形
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二次型及其标准型
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
它的特征多项式为
1 1 1
1 1 1
A E
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
例１ 写出二次型
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
即B为对称矩阵.
B CT AC , RB RAC RA,
又 A CT 1 BC 1 , RA R BC 1 RB.
RA RB.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
它的特征多项式为
1 1 1
1 1 1
A E
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
例１ 写出二次型
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
即B为对称矩阵.
B CT AC , RB RAC RA,
又 A CT 1 BC 1 , RA R BC 1 RB.
RA RB.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
第五节 二次型及其标准型5-2
解 1）二次型的矩阵为 ）
0 1 A= 1 −1
1 −1 −1 1 ， −1 0 1 1 1 0 1 0
1 1 1 −1 1 −λ −1 1 1 −λ −1 1 A− λE = = (1−λ) 1 −1 −λ 1 1 −1 −λ 1 −1 1 1 −λ 1 1 1 −λ
5、用x=Py，把f 化成标准型 用 ，
其 λ , λ2, L λn使 的 阵 的 个 征 . 中1 , f 矩 A n 特 值
例1.2 求一个正交变换x=Py，把二次型 求一个正交变换x=Py，
f = 2x1x2 +2x1x3 −2x1x4 −2x2x3 +2x2x4 +2x3x4 化 标 形 为 准 .
例１ 写出二次型
f = x + 2 x − 3 x + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的矩阵. 解 a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 ,
a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
0 1 2 ∴ A = 2 2 − 3 . 0 − 3 − 3
1 2 0 x 1 2 3 0 x . f (x , x2, x3) = ( x , x2, x3 ) 1 1 2 0 0 0 x3
(2)
2 二次型的标准形
定义1.2 称只含有平方项的二次型 定义
f = λ y + λ y +L+ λ y
2 1 1 2 2 2
2
3 1 1 3 A+3E = 1 −1 −1 1 1 1 0 2 ~ 0 −2 0 2
0 1 A= 1 −1
1 −1 −1 1 ， −1 0 1 1 1 0 1 0
1 1 1 −1 1 −λ −1 1 1 −λ −1 1 A− λE = = (1−λ) 1 −1 −λ 1 1 −1 −λ 1 −1 1 1 −λ 1 1 1 −λ
5、用x=Py，把f 化成标准型 用 ，
其 λ , λ2, L λn使 的 阵 的 个 征 . 中1 , f 矩 A n 特 值
例1.2 求一个正交变换x=Py，把二次型 求一个正交变换x=Py，
f = 2x1x2 +2x1x3 −2x1x4 −2x2x3 +2x2x4 +2x3x4 化 标 形 为 准 .
例１ 写出二次型
f = x + 2 x − 3 x + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的矩阵. 解 a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 ,
a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
0 1 2 ∴ A = 2 2 − 3 . 0 − 3 − 3
1 2 0 x 1 2 3 0 x . f (x , x2, x3) = ( x , x2, x3 ) 1 1 2 0 0 0 x3
(2)
2 二次型的标准形
定义1.2 称只含有平方项的二次型 定义
f = λ y + λ y +L+ λ y
2 1 1 2 2 2
2
3 1 1 3 A+3E = 1 −1 −1 1 1 1 0 2 ~ 0 −2 0 2
第五章第五节二次型及其标准形
cn1 y1
c22 y2 c2n yn
cn2 y2 cnn yn
9
(2)
返回
P |P|≠0
即 x1 c11 c21 c1n y1
x2
c21
c22
c2
n
y2
.
xn
cn1
cn2
cnn
yn
X = PY.
(3)
要把 f 化成标准形: f k1 y12 kn yn2 .
x1
,
X
.
an2
ann
xn
则 f X ' AX .
6
返回
註: (1). f A.
(2). A的对角线上的元素是 f 中的平方 项的系数. A的右上角是 f 中交叉 项系数的一半.
例1.
f
(
y1
,
y2
)
1
0
0
2
y1 y2
1
y12
2
y22
.
例2. f 3x2 7 y2 3z2 10xy 2xz 10 yz ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
f 2z12 2z22 6z32 .
由于
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
y3 z3
(Y P2Z )
23
返回.
X P1Y , Y P2Z . X (P1P2 )Z .
变换阵
所用的变换阵为:
1 1 01 0 1 1 1 3 P 1 1 00 1 2 1 1 1.
为标准形.
解: 利用 f 的矩阵A的特征值写出 f 的标准形.
0 1 1 1
f 的矩阵为:
c22 y2 c2n yn
cn2 y2 cnn yn
9
(2)
返回
P |P|≠0
即 x1 c11 c21 c1n y1
x2
c21
c22
c2
n
y2
.
xn
cn1
cn2
cnn
yn
X = PY.
(3)
要把 f 化成标准形: f k1 y12 kn yn2 .
x1
,
X
.
an2
ann
xn
则 f X ' AX .
6
返回
註: (1). f A.
(2). A的对角线上的元素是 f 中的平方 项的系数. A的右上角是 f 中交叉 项系数的一半.
例1.
f
(
y1
,
y2
)
1
0
0
2
y1 y2
1
y12
2
y22
.
例2. f 3x2 7 y2 3z2 10xy 2xz 10 yz ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
f 2z12 2z22 6z32 .
由于
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
y3 z3
(Y P2Z )
23
返回.
X P1Y , Y P2Z . X (P1P2 )Z .
变换阵
所用的变换阵为:
1 1 01 0 1 1 1 3 P 1 1 00 1 2 1 1 1.
为标准形.
解: 利用 f 的矩阵A的特征值写出 f 的标准形.
0 1 1 1
f 的矩阵为:
§5 二次型及其标准形
定理8 任给二次型 f
aij xi x j aij a ji , 总有 i , j 1
n
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
其中 1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 写出二次型的矩阵 A ;
2. 求出A的所有特征值1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量 1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得 P1 , P2 ,, Pn , 记C P1 , P2 ,, Pn ;
从而得特征值
1 9, 2 3 18.
step2．求特征向量
将 1 9代入 A E x 0, 得基础解系 T 1 (1 2,1,1) . 将 2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 T T 2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
1 1 1 p1 1 , p 2 1 , p 3 1 . 2 0 1
思考题解答
将其单位化得
1 6 p1 1 6 , q1 p1 2 6 1 3 p3 1 3 . q3 p3 1 3
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ;
f 叫做对称矩阵 A 的二次型 ; 对称矩阵 A 的秩叫做二次型 f 的秩 .
2 2 2 例1 写出二次型 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
aij xi x j aij a ji , 总有 i , j 1
n
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
其中 1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 写出二次型的矩阵 A ;
2. 求出A的所有特征值1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量 1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得 P1 , P2 ,, Pn , 记C P1 , P2 ,, Pn ;
从而得特征值
1 9, 2 3 18.
step2．求特征向量
将 1 9代入 A E x 0, 得基础解系 T 1 (1 2,1,1) . 将 2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 T T 2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
1 1 1 p1 1 , p 2 1 , p 3 1 . 2 0 1
思考题解答
将其单位化得
1 6 p1 1 6 , q1 p1 2 6 1 3 p3 1 3 . q3 p3 1 3
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ;
f 叫做对称矩阵 A 的二次型 ; 对称矩阵 A 的秩叫做二次型 f 的秩 .
2 2 2 例1 写出二次型 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
第五节 二次型及其标准型
x T Ax
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
线性代数二次形及其标准型
5 4 2 A4 5 2
2 2 2
A的特征多项式 5 4
2
I A 4 5 2 ( 1)2( 10)
2 2 2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
f xT Ax (Qy)T A(Qy) yT (QT AQ) y yT y
1
y2 1
2
y2 2
n
y2 n
线性代数 第五章
111
例4
通 过 正 交 变 换化 二 次 型
f 5 x12 5 x22 2 x32 8 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
成 标 准 形.
解 二次型矩阵
nn
f ( x) aij xi x j
x cy
i1 j1
x cy
f xT Ax
f
(
y)
d1
y2 1
d2
y2 2
dn
y2 n
.
f yT By
因为有 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC ) y yT By
所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：B CT AC.
写 成 矩 阵 形 式.
解
f
(
x1 ,
x2
,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
0½
½
2
½ x1
32 x2
½ 32
0
x3
注
aij
a ji (i
j
)为
交
叉
项xi
x
的
j
系
数
的
一
半
，
aii为 平 方 项xi2的 系 数,
二次型及其标准形
使
PT AP P 1AP diag(2, 1, 1)
取正交变换 x Py, 则 f ( x) 2 y12 y22 y32
二次曲面 2xy 2xz 2yz 1 通过正交变换
化为标准1 x
1 y 2 1 y
1 z 6 1 z
3
2
6
z
1 x 3
2 z 6
1
PT AP
n
其中 1, , n 是 A 的特征值. 令 x Py, 则
f ( x) (Py)T A(Py) yT(PT AP ) y 1 y12 n yn2
f (x) 的法式(标准形)
❖ 定理 设 A 为对称阵, 则存在正交阵 P, 使 P 1AP PT AP Λ
其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素.
f ( x) y12 3 y22
例4 化二次型 f ( x) 2 x1x2 2x1x3 2x2 x3 为标准形.
解
令
x1 x2
y1 y1
y2
得
x3 y3
f ( x) 2 y12 2 y1 y2 4 y1 y3 2 y2 y3
2( y1 0.5 y2 y3 )2 0.5 y22 2 y32
❖ 拉格朗日(Lagrange)配方法 • 如果有 xi 的平方项, 则把含 xi 的所有项归并配方; • 如果没有平方项, 则把 x1xi 化为 y12 y1 yi , 其中令
xi y1 yi xj yj, ( j i)
例3 求一个可逆线性变换 x Cy, 化二次型
f ( x) x12 x22 6 x32 4 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3 为 y 的标准形.
• 当变元从 x 变换为 y 时, 二次型 f 的矩阵从 A 变为 B C T AC
二次型的标准型和规范型
小结 : 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P1AP为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q1AQ为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
2. 正交变换法 正交变换：x Qy,其中Q为正交矩阵.
Th5.3(1)实对称矩阵A, 正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵. (2)任一二次型都可经正交变换化为标准形,即 二次型f (x) xT Ax, 正交变换x Qy(Q为正交矩阵),
将其化为标准形g( y1, y2 ,, yn ) 1 y12 2 y22 n yn2 , 其中 1, 2 ,, n为A的n个特征值.
例1 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 化为标准形.
问题 : 设A为实对称矩阵,求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. 方法 : (1)求一正交矩阵Q, 使QT AQ Q1AQ为对角矩阵. 令P Q即可. (2)求一正交变换x Qy(Q为正交矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为标准形. 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换x Py(P为可逆矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为 标准形, 则P即为所求.
矩阵 A 的正、负惯性指数
《二次型及其标准型》课件
任意二次型都可以表示成矩阵的形式。
特征矩阵
每个对称矩阵都有唯一的特征矩阵和特征向 量。
二、二次型的分类
正定二次型
在全空间内取正值，且仅在零 点处取零值。
负定二次型
在全空间内取负值，且仅在零 点处取零值。
半正定二次型
在全空间内取非负值，且在某 点处取零。
半负定二次型
在全空间内取非正值，且在某 点处取零。
三、二次型的标准型
1
消元法
通过矩阵初等变换将二次型化为标准型。
2
完成平方项法
通过添加与减去一些平方项使得二次型化为标准型。
3
正交变换法
通过正交变换使得二次型化为标准型。
四、实对称矩阵的对角化
对角化定理
任意实对称矩阵都可以通过正交相似变换对角化。
特征矩阵
其特征矩阵是一个对角矩阵，对应的特征向量即为变换矩阵的列向量。
正交矩阵
变换矩阵是一个正交矩阵，即其转置等于其逆。
五、二次型的规范化
规范化定理
每个二次型都可以通过正交变 换达到规范形式，其中自变量 部分是平方项相加的形式，而 系数全是1或0。
奇异值分解
通过奇异值分解，可
在优化问题中，可以通过规范 化二次型来处理一些特殊情况。
六、提高拓展
1 多项式对称型
2 奇异值分解与最小二乘法
一类特殊的二次型，在某些应用领域有重 要作用。
将奇异值分解应用于最小二乘法可以得到 一种快速求解带权重线性最小二乘问题的 方法。
二次型及其标准型
这是一场讲述二次型及其标准型的课程，我们将深入探讨它们的定义、分类 和转化方法，以及实对称矩阵的对角化和二次型的规范化等知识点，希望您 能够收获满满。
一、二次型的概念
特征矩阵
每个对称矩阵都有唯一的特征矩阵和特征向 量。
二、二次型的分类
正定二次型
在全空间内取正值，且仅在零 点处取零值。
负定二次型
在全空间内取负值，且仅在零 点处取零值。
半正定二次型
在全空间内取非负值，且在某 点处取零。
半负定二次型
在全空间内取非正值，且在某 点处取零。
三、二次型的标准型
1
消元法
通过矩阵初等变换将二次型化为标准型。
2
完成平方项法
通过添加与减去一些平方项使得二次型化为标准型。
3
正交变换法
通过正交变换使得二次型化为标准型。
四、实对称矩阵的对角化
对角化定理
任意实对称矩阵都可以通过正交相似变换对角化。
特征矩阵
其特征矩阵是一个对角矩阵，对应的特征向量即为变换矩阵的列向量。
正交矩阵
变换矩阵是一个正交矩阵，即其转置等于其逆。
五、二次型的规范化
规范化定理
每个二次型都可以通过正交变 换达到规范形式，其中自变量 部分是平方项相加的形式，而 系数全是1或0。
奇异值分解
通过奇异值分解，可
在优化问题中，可以通过规范 化二次型来处理一些特殊情况。
六、提高拓展
1 多项式对称型
2 奇异值分解与最小二乘法
一类特殊的二次型，在某些应用领域有重 要作用。
将奇异值分解应用于最小二乘法可以得到 一种快速求解带权重线性最小二乘问题的 方法。
二次型及其标准型
这是一场讲述二次型及其标准型的课程，我们将深入探讨它们的定义、分类 和转化方法，以及实对称矩阵的对角化和二次型的规范化等知识点，希望您 能够收获满满。
一、二次型的概念
二次型及其标准型
含有n个变量x1, x2 , , xn的二次齐次多项式
f (x1, x2, , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn
a22 x22 2a23x2x3 2a2n x2xn
a33x32 2a3n x3xn
阵B CT AC且r(A) r(B).
正交变换化二次型为标准形：
d1
问题1：标准形的矩阵 = ？
dn
问题2：将二次型化为标准形实际上是什么问题？
找可逆阵 C, 使CT AC 为对角阵.
问题3：二次型能否化为标准形？
能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。
x y
x,
y
2 0
0 8
x y
2x2 8y2
启示
1. 二次齐次多项式可以写成矩阵形式，其矩阵的主对角元恰是 平方项系数，关于主对角线的对称元恰是交叉项的系数的一半 ；
2. 通过一正交变换就将二次齐次多项式化简成只含有平方项的标 准形.
二次型（quadratic form ）的定义
例 求一个正交变换x =Qy，， 化二次型为标准形
f x12 2x22 2x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
解 二次型的矩阵
1 2 2 A 2 2 4
2 4 2
特征多项式
1 2
2
A E 2 2 4 ( 7)( 2)2
2 4 5
单位化
2
2 2
1 5
2 1 0
3
第五章二节二次型的标准形和规范形
T 得对应的特征向量 a3 = (1,1,1)
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有
二次型及其标准型
其中
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n x1 a2 n x2 , x ann xn
1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT; 2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型； 3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型； 4）称为R(A)为二次型 f 的秩。
例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；
(1)
(2)
解： (1)
f ( x1 , x2 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 ) x1
1 2 x1 x2 2 3 x2
定理10. 任意 二次型
n n
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
(aij a ji ), 总有正交变换x Py, 使f 化为标准型
2 f 1 y12 2 y2 2 n yn
i 1 j 1
其中1， ，2， n是 f 的矩阵A的n个特征值 .
故 B 为对称矩阵.
再证 R(B)=R(A).
因
又因
B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A).
A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B)
于是
R(B)=R(A).
这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ， C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx
线性代数§5.5二次型及其标准形
i , j 1 n
总有正交变换 y=Px, 使 f 化为标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2,
其中1, 2, · · · ,n 是 f 的矩阵A=(aij)的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, · · · , n ; 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, · · · , n ; 4. 记P=(1, 2, · · · , n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2 . 例2: 将二次型 f =17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3 通过正交变换x=Py化成标准形. 解: 1. 写出对应的二次型矩阵. 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14
取aji = aij , 则 2aij xi xj = aij xi xj + aji xjxi , 于是 f(x1, x2, · Байду номын сангаас · , xn) =a11x12+a12x1x2 +· · · +a1nx1xn +a21x2x2 + a22x22+· · · +a2nx2xn +· · · · · · +an1xnx1+an2xnx2+ · · · +ann xn2
思考题:
求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz 化为标准型, 并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面.
总有正交变换 y=Px, 使 f 化为标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2,
其中1, 2, · · · ,n 是 f 的矩阵A=(aij)的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, · · · , n ; 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, · · · , n ; 4. 记P=(1, 2, · · · , n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2 . 例2: 将二次型 f =17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3 通过正交变换x=Py化成标准形. 解: 1. 写出对应的二次型矩阵. 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14
取aji = aij , 则 2aij xi xj = aij xi xj + aji xjxi , 于是 f(x1, x2, · Байду номын сангаас · , xn) =a11x12+a12x1x2 +· · · +a1nx1xn +a21x2x2 + a22x22+· · · +a2nx2xn +· · · · · · +an1xnx1+an2xnx2+ · · · +ann xn2
思考题:
求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz 化为标准型, 并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面.
第五节 二次型及其标准形
7
返回
例3. f = x − x + x + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 − 2 x1 x4
+ 2 x 2 x4 − 2 x 3 x4 ,
2 1
2 2
2 4
写成矩阵表示. 写成矩阵表示
A
X
f = ( x1 x 2 x 3
1 2 x4 ) 2 -1
2 -1 0 1
2 0 0 -1
X = PY
λ1 λ2 λ3
17
f = λ1 y + λ 2 y + λ 3 y
2 1 2 2
⇓
2 3
返回
三、用配方法化二次型为标准形
例6. 化二次型
f = x + 2 x + 5 x + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
成标准形, 并求所用的变换矩阵. 成标准形 并求所用的变换矩阵 解: f = ( x + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 )
a11 记 A = L a n1 a12 an 2
a12 a 22 an 2
L L L L
a1 n x1 x a2n 2. M x a nn n
L a1 n x1 , X = M . L xn L a nn
16
返回
令
2 − 5 1 P= 5 0
2 1 2 2
2 3 5 4 3 5 5 3 5
1 − 3 2 − , 3 2 3
2 3
为所求正交变换. 则X =PY 为所求正交变换 它将二次型 f 化为
返回
例3. f = x − x + x + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 − 2 x1 x4
+ 2 x 2 x4 − 2 x 3 x4 ,
2 1
2 2
2 4
写成矩阵表示. 写成矩阵表示
A
X
f = ( x1 x 2 x 3
1 2 x4 ) 2 -1
2 -1 0 1
2 0 0 -1
X = PY
λ1 λ2 λ3
17
f = λ1 y + λ 2 y + λ 3 y
2 1 2 2
⇓
2 3
返回
三、用配方法化二次型为标准形
例6. 化二次型
f = x + 2 x + 5 x + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
成标准形, 并求所用的变换矩阵. 成标准形 并求所用的变换矩阵 解: f = ( x + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 )
a11 记 A = L a n1 a12 an 2
a12 a 22 an 2
L L L L
a1 n x1 x a2n 2. M x a nn n
L a1 n x1 , X = M . L xn L a nn
16
返回
令
2 − 5 1 P= 5 0
2 1 2 2
2 3 5 4 3 5 5 3 5
1 − 3 2 − , 3 2 3
2 3
为所求正交变换. 则X =PY 为所求正交变换 它将二次型 f 化为
二次型及其标准形 线性代数
x3 2 x1 即 x2 2 x1
1 p3 2 . 得基础解系 2
（考虑为什么？） p1 , p2 , p3如何处理 ? 23 p1 单位化，得 1 2 3 , 只需把 13
23 只需把 p2 单位化，得 2 1 3 , 2 3 1 3 只需把 p3 单位化，得 3 2 3 . 2 3 2 1 2 1 , 2 1 2 得正交矩阵 T 1 , 2 , 3 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 2
2、其对角线上的元素 aii 恰好是 x 2 i 1,2,, n i 的系数。 3、 xi x j 的系数的一半分给 a ji . 可保证 a ij a ji .
例如：二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 3 x3 4 x1 x2 x2 x3
2 2
0 x1 1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1/2 x2 0 1/2 -3 x 3
a11 a 令 A 21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
x1 x2 X xn
则 f X T AX 其中 A 为对称矩阵。
二次型的矩阵表示（重点）
注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。
5 5 x1 x2 令 x2 1 得基础解系: p2 2 2
令 P ( p1 , p2 )
1 2 5 求得 P 3 1 1 1 1 即存在可逆矩阵 P , 使得 P AP 2
第五节：二次型与标准型
，
情形2，如果二次型中不含有平方项。 情形 ，如果二次型中不含有平方项。不妨设含
x1 , x2 的项，令 x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 xi = yi (i > 2) 的项，
则变换后即含有平方项，再按情形 进行 则变换后即含有平方项，再按情形1进行 配方即可。 配方即可。将以上每次新老变量的线性 变换连乘， 变换连乘，即得新变量组到终变量组间 的可逆线性变量。 的可逆线性变量。 注：通过以下例题可看到用Logrange 通过以下例题可看到用 配方法把二次型化成标准形。 配方法把二次型化成标准形。的步骤与 过程，其一般性证明是类似的， 过程，其一般性证明是类似的，留待读者
，
x = C y
上一节我们讲了用正交变换化二次型 为标准形，这个问题称主轴问题。 为标准形，这个问题称主轴问题。由 于正交变换有保持图形不变的性质， 于正交变换有保持图形不变的性质， 因此在研究几何图形中被广泛应用但 在很多场合下我们只需要用一般可逆 线性变换把二次型化标准形。 线性变换把二次型化标准形。下面我 们介绍用Logrange配方法把二次型化 们介绍用 配方法把二次型化 成标准形。 成标准形。所用线性变换为可逆线性 变换。 变换。
二次型及其标准形
引言：在解析几何中， 引言：在解析几何中，为了便于研究二次曲线
ax + bxy + cy = 1
2 2
的几何性质， 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换
x = x ′ cos θ − y ′ sin θ , y = x ′ sin θ + y ′ cos θ ,
把方程化为标准形
我们将矩阵与未知数的系数列成下表： 我们将矩阵与未知数的系数列成下表：
情形2，如果二次型中不含有平方项。 情形 ，如果二次型中不含有平方项。不妨设含
x1 , x2 的项，令 x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 xi = yi (i > 2) 的项，
则变换后即含有平方项，再按情形 进行 则变换后即含有平方项，再按情形1进行 配方即可。 配方即可。将以上每次新老变量的线性 变换连乘， 变换连乘，即得新变量组到终变量组间 的可逆线性变量。 的可逆线性变量。 注：通过以下例题可看到用Logrange 通过以下例题可看到用 配方法把二次型化成标准形。 配方法把二次型化成标准形。的步骤与 过程，其一般性证明是类似的， 过程，其一般性证明是类似的，留待读者
，
x = C y
上一节我们讲了用正交变换化二次型 为标准形，这个问题称主轴问题。 为标准形，这个问题称主轴问题。由 于正交变换有保持图形不变的性质， 于正交变换有保持图形不变的性质， 因此在研究几何图形中被广泛应用但 在很多场合下我们只需要用一般可逆 线性变换把二次型化标准形。 线性变换把二次型化标准形。下面我 们介绍用Logrange配方法把二次型化 们介绍用 配方法把二次型化 成标准形。 成标准形。所用线性变换为可逆线性 变换。 变换。
二次型及其标准形
引言：在解析几何中， 引言：在解析几何中，为了便于研究二次曲线
ax + bxy + cy = 1
2 2
的几何性质， 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换
x = x ′ cos θ − y ′ sin θ , y = x ′ sin θ + y ′ cos θ ,
把方程化为标准形
我们将矩阵与未知数的系数列成下表： 我们将矩阵与未知数的系数列成下表：
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第五节 二次型及其标准型
解 设 f = xTAx , 则
A 12
12
,
x
x y
.
显然，二次型的秩为 R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
aijபைடு நூலகம்xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy y2 ,
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
(1) 解 二次型 f 的矩阵 A 为 (2) 解 0二1次型1 f 的矩阵 A 为
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本容单单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本 本容单 单若 若 若束内请 请 请返结节 节已想击想本本 本容单单若 若回束内内请 请返结 结节 节已击想击想本本容单单若回束内内请返结 结节 节 节已击 击想 想想本本容单 单 单若回束内 内结请返结结堂节节已击想 想击按本本容容单 单若回束 束内 内结请返返结结堂节已击击想按本本容容单若回束 束内 内 内结请返 返结 结结堂节已击 击 击想按本本容 容束单若回束束课内内结请返返结 结钮堂节已已击 击想按本 本本容 容束单若回回束束课内结请返返结钮堂节已已击想按本 本容 容 容束单回 回束束 束课内结返 返 返结钮堂节已 已击想按本本,容容束单回回束 束课.内结结!返 返结钮堂 堂节已 已击想按按本本,容束单回回束课.内结结!返结钮堂 堂已 已 已击按 按本 本本,容束回 回 回束课.内结 结!返结钮堂堂已已击按按本 本,容束束回 回束课 课.内结 结!返结钮钮堂堂已击按按本,容束束回束课 课.结 结 结!返钮 钮堂堂 堂已按 按 按本,容束 束回束课课.结结!返钮钮堂 堂已按 按本,,容束束回束课课..结!!返钮钮堂已按本,,束束束回课 课课..结!!钮 钮 钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂已按本,,束回课..结!!钮堂按,,,束课...结!!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
A 12
12
,
x
x y
.
显然，二次型的秩为 R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
aijபைடு நூலகம்xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy y2 ,
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
(1) 解 二次型 f 的矩阵 A 为 (2) 解 0二1次型1 f 的矩阵 A 为
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本容单单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本 本容单 单若 若 若束内请 请 请返结节 节已想击想本本 本容单单若 若回束内内请 请返结 结节 节已击想击想本本容单单若回束内内请返结 结节 节 节已击 击想 想想本本容单 单 单若回束内 内结请返结结堂节节已击想 想击按本本容容单 单若回束 束内 内结请返返结结堂节已击击想按本本容容单若回束 束内 内 内结请返 返结 结结堂节已击 击 击想按本本容 容束单若回束束课内内结请返返结 结钮堂节已已击 击想按本 本本容 容束单若回回束束课内结请返返结钮堂节已已击想按本 本容 容 容束单回 回束束 束课内结返 返 返结钮堂节已 已击想按本本,容容束单回回束 束课.内结结!返 返结钮堂 堂节已 已击想按按本本,容束单回回束课.内结结!返结钮堂 堂已 已 已击按 按本 本本,容束回 回 回束课.内结 结!返结钮堂堂已已击按按本 本,容束束回 回束课 课.内结 结!返结钮钮堂堂已击按按本,容束束回束课 课.结 结 结!返钮 钮堂堂 堂已按 按 按本,容束 束回束课课.结结!返钮钮堂 堂已按 按本,,容束束回束课课..结!!返钮钮堂已按本,,束束束回课 课课..结!!钮 钮 钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂已按本,,束回课..结!!钮堂按,,,束课...结!!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
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如果 A 为对称矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且 R(B) = R(A).
此定理说明经可逆变换 x = Cy 后, 二次型的 矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC , 且二次型 的秩不变.
要使二次型经可逆变换 x = Cy 变成标准形, 就是要使
yTC T ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
有正交矩矩阵阵PP,,使使PP--11AAPP==, 其即中PTAP是=以 A. 把的此n 个特
结论应值用为于对二角次元型素, 即的有对角矩阵.
定理 8 任给二次型
nn
f
aij xi x j (aij a ji ),
i1 j1
总有正交变换 x = Py , 使 f 化为标准形
于是 (2) 式可写成
f(x1 , x2 , ···, xn) = a11x12 + a12x1x2 + ···+ a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + ···+ a2nx2xn + ··· ··· ··· ···
+ an1 xnx1 + an2xnx2 + ···+ annxn2
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
解 设 f = xTAx , 则
A 12 12 , x xy .
显然， R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
取值，则称之为规范形. 例如
对于二次型，我们讨论的主要问f 题 是x12：寻3x求22 4x
可逆的线性变换 x = Cy，把二次型化为标准形.
二次型的秩的意义标准是形： 一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二f 次型x12的秩x22. x42
三、合同矩阵
1. 定义 定义 9 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆 矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同. 2. 性质 定理 任给可逆矩阵 C ，令 B = CTAC ，
a11
a12
a1n
x1
(
x1,x2
,,
xn
)
a21
an1
a22
an2
a2n x2
ann
xn
nn
aij xi x j .
i1 j1
若记 A = (aij)n×n , x = (x1 , x2 , ···, xn)T , 则
k1
y1
( y1,y2,,yn )
k2
k
n
y2
yn
,
也就是要使 CTAC 成为对角矩阵. 因此, 我们的主
要问题就是，对于对称矩阵 A , 寻求可逆矩阵 C,
使 CTAC 为对角矩阵.
四、主要结论
由上节 定理 7 设知A, 任为给n实阶对对称称矩矩阵阵A, 则, 总必有正
二、二次型的概念
定义 8 称 n 个变量的二次齐次式
f(x1 , x2 , ···, xn ) = a11x12 + a22x22 + ···+ annxn2 +
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
(2)
为二次型.
取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
第 五 节 二次型及其标准形
主要内容
问题的提出 二次型的概念 合同矩阵 主要结论 举例
一、问题的提出
在解析几何中, 为了便于研究二次曲线
ax2 + bxy + cy2 = 1
(1)
的几何性质, 我们可以选择适当的坐标旋转变换
x xcos ysin ,
y
x s in
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
解 设 f = xTAx, 则
1 1 2 3
A
1 2 3
3 4 2
4 1 0
2
0 4
单击这里求秩
R( A) 4.
定义 如果一个二次型只含变量的平方项，
则称这个二次型为标准形(或法式) .
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中
f = 1y12 + 2 y22 + ···+ nyn2 , 其中1 , 2 , ···, n 是 f 的矩阵 A = (aij) 的特征值.
推论 任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A),
总有可逆变换 x = Cz，使 f(Cz) 为规范形.
五、举例
例 22 用正交变换化下列二次型为标准形,
并求出所作的非退化线性变换(即可逆变换):
(1) f (x1,x2,x3) 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ;
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想想本 本容单 单若 若束内请 请返结节 节想 想击本 本 本容单单若 若 若束内请 请 请返结节节已想 想击本本 本容单单若 若回束内内请 请返结结节节已想 想击 击本本容单单若回束内 内请返结 结节 节 节已击想 想 想击本本容单单 单若回束内内结请返结 结堂节 节已击想击想按本本容容单 单若回束束内内结请返 返结 结堂节已击击想按本本容 容单若回束 束内 内 内结请返返结 结 结堂节已击想击 击按本本容容束单若回束 束课内 内结请返返结结钮堂节已已击 击想按本本本容容束单若回 回束 束课内结请返返结钮堂节已 已击想按本 本容 容 容束单回回束 束 束课内结返 返返结钮堂节已已击想按本 本,容 容束单回回束束课.内!结结返 返结钮堂堂节已已击想按 按本 本,容束单回回束课.内!结 结返结钮堂 堂已 已 已击按按本 本 本,容束回回 回束课.内!结结返结钮堂 堂已 已击按按本本,容束束回 回束课.课内!结结返结钮 钮堂 堂已击按按本,容束 束回束课 课.!结 结 结返钮钮堂 堂 堂已按 按按本,容束束回束课 课.!结 结返钮钮堂堂已按 按本,,容束束回束课 课..!!结返钮钮堂已按本,,束束束回课 课 课..!!结钮钮 钮堂已按本,,束束回课课..!!结钮 钮堂已按本,,束回课..!!结钮堂按,,,束课...!!!结钮堂按,,束课..!!结钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
y
cos
,
把方程化为标准形
mx2 ny2 1.
(1) 式的左边是一个二次多项式, 从代数学的 观点看, 化标准形的过程就是通过变量的线性变 换化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项. 这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常 会遇到. 现在我们把这类问题一般化, 讨论 n 个 变量的二次齐次多项式的化简问题.
(2) 式所表示的二次型可以表示成
nn
f (x1,x2,,xn )
aij xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy ,
此定理说明经可逆变换 x = Cy 后, 二次型的 矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC , 且二次型 的秩不变.
要使二次型经可逆变换 x = Cy 变成标准形, 就是要使
yTC T ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
有正交矩矩阵阵PP,,使使PP--11AAPP==, 其即中PTAP是=以 A. 把的此n 个特
结论应值用为于对二角次元型素, 即的有对角矩阵.
定理 8 任给二次型
nn
f
aij xi x j (aij a ji ),
i1 j1
总有正交变换 x = Py , 使 f 化为标准形
于是 (2) 式可写成
f(x1 , x2 , ···, xn) = a11x12 + a12x1x2 + ···+ a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + ···+ a2nx2xn + ··· ··· ··· ···
+ an1 xnx1 + an2xnx2 + ···+ annxn2
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
解 设 f = xTAx , 则
A 12 12 , x xy .
显然， R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
取值，则称之为规范形. 例如
对于二次型，我们讨论的主要问f 题 是x12：寻3x求22 4x
可逆的线性变换 x = Cy，把二次型化为标准形.
二次型的秩的意义标准是形： 一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二f 次型x12的秩x22. x42
三、合同矩阵
1. 定义 定义 9 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆 矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同. 2. 性质 定理 任给可逆矩阵 C ，令 B = CTAC ，
a11
a12
a1n
x1
(
x1,x2
,,
xn
)
a21
an1
a22
an2
a2n x2
ann
xn
nn
aij xi x j .
i1 j1
若记 A = (aij)n×n , x = (x1 , x2 , ···, xn)T , 则
k1
y1
( y1,y2,,yn )
k2
k
n
y2
yn
,
也就是要使 CTAC 成为对角矩阵. 因此, 我们的主
要问题就是，对于对称矩阵 A , 寻求可逆矩阵 C,
使 CTAC 为对角矩阵.
四、主要结论
由上节 定理 7 设知A, 任为给n实阶对对称称矩矩阵阵A, 则, 总必有正
二、二次型的概念
定义 8 称 n 个变量的二次齐次式
f(x1 , x2 , ···, xn ) = a11x12 + a22x22 + ···+ annxn2 +
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
(2)
为二次型.
取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
第 五 节 二次型及其标准形
主要内容
问题的提出 二次型的概念 合同矩阵 主要结论 举例
一、问题的提出
在解析几何中, 为了便于研究二次曲线
ax2 + bxy + cy2 = 1
(1)
的几何性质, 我们可以选择适当的坐标旋转变换
x xcos ysin ,
y
x s in
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
解 设 f = xTAx, 则
1 1 2 3
A
1 2 3
3 4 2
4 1 0
2
0 4
单击这里求秩
R( A) 4.
定义 如果一个二次型只含变量的平方项，
则称这个二次型为标准形(或法式) .
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中
f = 1y12 + 2 y22 + ···+ nyn2 , 其中1 , 2 , ···, n 是 f 的矩阵 A = (aij) 的特征值.
推论 任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A),
总有可逆变换 x = Cz，使 f(Cz) 为规范形.
五、举例
例 22 用正交变换化下列二次型为标准形,
并求出所作的非退化线性变换(即可逆变换):
(1) f (x1,x2,x3) 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ;
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想想本 本容单 单若 若束内请 请返结节 节想 想击本 本 本容单单若 若 若束内请 请 请返结节节已想 想击本本 本容单单若 若回束内内请 请返结结节节已想 想击 击本本容单单若回束内 内请返结 结节 节 节已击想 想 想击本本容单单 单若回束内内结请返结 结堂节 节已击想击想按本本容容单 单若回束束内内结请返 返结 结堂节已击击想按本本容 容单若回束 束内 内 内结请返返结 结 结堂节已击想击 击按本本容容束单若回束 束课内 内结请返返结结钮堂节已已击 击想按本本本容容束单若回 回束 束课内结请返返结钮堂节已 已击想按本 本容 容 容束单回回束 束 束课内结返 返返结钮堂节已已击想按本 本,容 容束单回回束束课.内!结结返 返结钮堂堂节已已击想按 按本 本,容束单回回束课.内!结 结返结钮堂 堂已 已 已击按按本 本 本,容束回回 回束课.内!结结返结钮堂 堂已 已击按按本本,容束束回 回束课.课内!结结返结钮 钮堂 堂已击按按本,容束 束回束课 课.!结 结 结返钮钮堂 堂 堂已按 按按本,容束束回束课 课.!结 结返钮钮堂堂已按 按本,,容束束回束课 课..!!结返钮钮堂已按本,,束束束回课 课 课..!!结钮钮 钮堂已按本,,束束回课课..!!结钮 钮堂已按本,,束回课..!!结钮堂按,,,束课...!!!结钮堂按,,束课..!!结钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
y
cos
,
把方程化为标准形
mx2 ny2 1.
(1) 式的左边是一个二次多项式, 从代数学的 观点看, 化标准形的过程就是通过变量的线性变 换化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项. 这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常 会遇到. 现在我们把这类问题一般化, 讨论 n 个 变量的二次齐次多项式的化简问题.
(2) 式所表示的二次型可以表示成
nn
f (x1,x2,,xn )
aij xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy ,