二次型及其标准形(精)

0.6 0.6 0.8 e1 令 P 0.8 e2 0.6 0.8 则经正交变换 x Py，可得标准形
0.8 0.6
f 10 y 15 y
2 1
2 2
试用正交变换化二次型
f xAx 为标准型
2 1 2 2
2 f 2( y12 y2 ) 2( y1 y2 ) y3 6( y1 y2 ) y3
2 2 y12 2 y2 2 y1 y3 2 y2 y3 6 y1 y3 6 y2 y3
2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 2 2 2 2( y 2 y1 y3 y3 ) 2 y3 2 y2 8 y2 y3
●惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
●二次型的正定性 定义：
（1）称二次型f ( x) xAx是正定二次型， 如果对于 任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为正定矩阵。 （2）称二次型f ( x) xAx是半正定二次型， 如果对于 任意x有f x 0.此时称对称矩阵A为半正定矩阵。 （3）称二次型f ( x) xAx是负定二次型， 如果对于 任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为负定矩阵。
则得二次型的标准形
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
2 1 2 2 2 3
可得二次型的标准形
f y y 4y
f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
x1 y1 y2 x2 y1 y2 x y 3 3
z1 y1 y3 z2 y1 2 y3 z y 3 3
定理2 任何二次型的标准型都存在。
f ( x) xAx 是任意二次型 其中A是n阶对称矩阵
存在正交矩阵P，使得 1 PAP 作正交变换 x Py
n
2 2 yn
f ( Py) y( PAP) y yy 1 y12
2 2 ( x1 3x2 )2 ( x2 2x2 x3 ) 5x3
2 3
2 ( x1 3x2 )2 ( x2 x3 )2 4x3
作线性变换
y1 x1 3 x2 y2 x2 x3 y x 3 3
x1 y1 3 y2 3 y3 即 x2 y2 y3 x y 3 3
1 5 2 x1 求二次型 f x1 , x2 , x3 9 4 10 x2 的矩阵A， 6 2 4 x 3 并求f 的秩。
求二次型
f 3x 4 x1 x2 6 x 经过变换
2 1 2 2
x1 2 y1 y2 之后的表达式。 x2 y1 2 y2
解
x1 x x2
y1 y y2
3 2 f x x 2 6
2 1 x y 1 2
2 1 3 f y 1 2 2 2 1 3 2 2 y 1 2 2 6 1
●用正交变换化二次型为标准型
定理 设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使
PAP
对相应的二次型 作正交变换 则有
f xAx
x Py
2 1 1 2 2
f yPAPy yy
y 2 y n y
2 n
即化得标准形
●用正交变换化二次型为标准型的具体步骤 1. 写出二次型的矩阵A
对于2 3 5， 得到线性无关的特征向量 ， 2 （1 ，0，1） 3 （1 ，2，0） [3， 2 ] 正交化 2 2， 3 3 2 （ 0.5, 2, 0.5) [ 2， 2 ]
对于1 4,
可得特征向量1 （2， 1 ， 2）
●二次型的概念
定义 含有n个自变量 x1，x2，
f ( x1 , x2 ,
，xn的二次齐次函数 2 xn ) a11 x1 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
a x
2 22 2
2a2 n x2 xn a x
2 nn n
叫做二次型。 如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型。 例如
2 1 1 2 2 2
x
2 n n
对应的矩阵为对角形矩阵
1 2
n
2 2 设二次型 f 3x12 6 x1 x2 8 x1 x3 5 x2 x2 x3 x3
求f 的矩阵A, 当x1 =3, x2 =1, x3 =-2 时，求f 的值。
f ( x, y, z) 3xy 6 xz yz 3z 是二次型
2
f ( x, y) x y x y 1
2 2
不是二次型
●二次型的矩阵及其秩 二次型可表示为 矩阵形式
f ( x1 , x2 ,
xn ) x1 , x2 ,
Leabharlann Baidu
xAx （A为对称矩阵）
二次型 f 一一对应 对称矩阵 A
例 用正交变换，化下列二次型为标准形
2 2 f 6 x1 24 x1 x2 x2
6 解 二次型的矩阵为 A 12
由
12 1
6 12 2 A E 5 150 0 12 1
得特征值
1 10, 2 15
可顺次求得单位特征向量
2.求矩阵A的特征值
3. 对每个特征值 i，求对应的特征向量
1 ,
, n
4. 将特征向量正交化、单位化，得到 e1 , e2 , en 5. 构造正交矩阵，写出相应的正交变换及标准形 正交矩阵 正交变换 标准形
P e1 e2
x Py
2 1 1 2 2
en
n y
2 n
f y 2 y
1 设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A ( B B) 2 1 n xAx ( xBx xBx ) 显然A是对称矩阵， x R
xBx ( xBx) xBx
这表明对称矩阵A是二次型 xBx 的矩阵。
2 1 xAx ( xBx xBx) xBx 2
, n是f 的矩阵A 的特征值。
●二次型的标准形
定义
如果二次型 f ( x)
2 1 1
xAx 经过可逆线性变
dn y
2 n
换x=Hy变成y的二次型
f (Hy) d y d y
2 2 2
就称此二次型为原来二次型的标准形。
2 2 如 f ( x1, x2 ) 7 x1 2 3x1x2 5x2 1 3 y2 x1 y1 2 2 2 2 f 4 y 8 y 经线性变换 化得标准形 1 2 x 3 y 1 y 2 1 2 2 2 定理1 经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。
2 2 1 y 6 1 2 1 10 0 2 2 y 10 y 35 y y y 1 2 2 0 35
只含有平方项的二次型叫做标准形
f xAx
x Cy
C可逆
f yCACy（秩不变）
a11 a12 a a 12 22 xn a a 1n 2 n
a1n x1 a2 n x2 ann xn
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
只含平方项的二次型
f x1, x2 ,
, xn x x
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形， 就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为 标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
P e1 e2 e3
2 3 1 3 2 3
1 2 0 1 2
2 6 2 2 3 2 6
作正交变换
( x1, x2 , x3 ) P( y1, y2 , y3 )
代入f ，得到标准型
2 2 f 4 y12 5 y2 5 y3
2 1 2 1 2 2
2 2 2( y1 y3 )2 2( y2 4 y2 y3 ) 2 y3
2 2 2 2 2( y1 y3 )2 2( y2 4 y2 y3 4 y3 ) 8 y3 2 y3
f 2 z 2 z 6 z3
y1 z1 z3 y 2 z 2 2 z3 y z 3 3
●化二次型为标准型 配方法
f 6x 24x1x2 x
2 1
2 2
6( x 4x1x2 ) x
2 1
2 2
6( x1 2x2 ) 24x x
2 2 2
2 2
6( x1 2x2 ) 25x
2
2 2
x1 y1 2 y2 y1 x1 2 x2 作线性变换 即 x2 y2 y2 x2
1 (2,1, 2), 2 (1,0,1), 3 (0.5, 2, 0.5)
1 , 2 , 3是正交特征向量组。
单位化
1 2 1 2 e1 ( , , ) 1 3 3 3
2 1 1 e2 ( ,0, ) 2 2 2
3 2 2 2 2 e3 ( , , ) 3 6 3 6
2( y1 y3 ) 2( y2 2 y3 ) 6 y 2
2 2
2 3
x1 1 1 3 z1 x 1 1 1 2 z2 x 0 0 1 z 3 3
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2 x3