二次型及其标准形(精)
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二次型的规范形与标准形
二次型的规范形与标准形在线性代数中，二次型是由一组变量的二次多项式构成的一类函数。
它在数学和应用领域都有广泛的应用。
对于任意二次型，可以通过适当的线性变换将其化为规范形或标准形。
本文将介绍二次型的规范形和标准形，并探讨它们的性质和应用。
1. 二次型的定义和性质二次型是由变量x1，x2，...，xn 的二次多项式构成的函数。
通常表示为Q(x) = x^T A x，其中x = (x1, x2, ..., xn)^T 是变量向量，A 是实对称矩阵。
二次型具有以下性质：- 对称性：Q(x) = Q(x^T)- 齐次性：Q(kx) = k^2 Q(x)，对任意实数k- 加性：Q(x + y) = Q(x) + Q(y)，对任意向量x，y2. 二次型的规范形对于任意二次型Q(x)，可以通过合适的变量变换将其化为规范形。
规范形是一种特殊的形式，使得无法再通过线性变换进一步简化。
规范形的形式如下：Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2其中，λ1，λ2，...，λn 是实数，y1，y2，...，yn 是规范变量。
通过矩阵的特征值分解，可以得到二次型的规范形。
具体步骤如下：- 求出二次型Q(x)对应的对称矩阵A的特征值λ1，λ2，...，λn- 对应每个特征值λi，求出对应的特征向量yi- 将特征向量yi按列排列得到矩阵P = (y1, y2, ..., yn)- 规范形为Q(x) = P^T Δ P，其中，Δ = diag(λ1, λ2, ..., λn) 是特征值对角矩阵3. 二次型的标准形二次型的标准形是规范形的一种特殊情况，对应于所有特征值都是1或-1的情况。
标准形的形式如下：Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2对于特征值λi = 1，取对应的特征向量yi作为标准变量；对于特征值λi = -1，取对应的特征向量yi的相反数作为标准变量。
相比规范形，标准形更加简洁，且易于分析和计算。
5.5二次型及其标准形
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
即
y1 y2
1 0
0 1
1 z1 2 z2
y3 z3
y3
0
0
1
z
3
得
f 2z12 2z22 6z32 .
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
它的特征多项式为
1 1 1
1 1 1
A E
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
k2
y2
,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
由 于 对 任 意 的 实 对 称 矩阵A,总 有 正 交 矩 阵P ,
使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次
型,有
P1 PT
定理2
任给二次型 f
n
aij xi x j aij a ji
, 总有
i , j1
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3
二次型及其标准形
使
PT AP P 1AP diag(2, 1, 1)
取正交变换 x Py, 则 f ( x) 2 y12 y22 y32
二次曲面 2xy 2xz 2yz 1 通过正交变换
化为标准1 x
1 y 2 1 y
1 z 6 1 z
3
2
6
z
1 x 3
2 z 6
1
PT AP
n
其中 1, , n 是 A 的特征值. 令 x Py, 则
f ( x) (Py)T A(Py) yT(PT AP ) y 1 y12 n yn2
f (x) 的法式(标准形)
❖ 定理 设 A 为对称阵, 则存在正交阵 P, 使 P 1AP PT AP Λ
其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素.
f ( x) y12 3 y22
例4 化二次型 f ( x) 2 x1x2 2x1x3 2x2 x3 为标准形.
解
令
x1 x2
y1 y1
y2
得
x3 y3
f ( x) 2 y12 2 y1 y2 4 y1 y3 2 y2 y3
2( y1 0.5 y2 y3 )2 0.5 y22 2 y32
❖ 拉格朗日(Lagrange)配方法 • 如果有 xi 的平方项, 则把含 xi 的所有项归并配方; • 如果没有平方项, 则把 x1xi 化为 y12 y1 yi , 其中令
xi y1 yi xj yj, ( j i)
例3 求一个可逆线性变换 x Cy, 化二次型
f ( x) x12 x22 6 x32 4 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3 为 y 的标准形.
• 当变元从 x 变换为 y 时, 二次型 f 的矩阵从 A 变为 B C T AC
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
二次型的规范形(精)
2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中， 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所 作的非退化线性替换无关.
∵若 f ( x1 , , xn ) X ' AX 作非退化线性替换 X CY
的秩等于矩阵 A的秩，即秩 A）. 秩( D ) 秩 (C ' AC ) 秩f(＝秩（ A)
二次型的规范形
问题的产生：
1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化 线性替换有关. 如：二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x2
x1 1 1 3 y1 x1 1 1 z1 12 1 1 1 y (1)作非退化线性替换 x 2 1 1 2 1 3 1 z1 (2)作非退化线性替换 x2 x 0 0 1 y 3 3 0 0 1 3 x z 3 3 1 2 2 22 2 2 2 y1 2y 6 yz 得标准形 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 z z2 1 33 2 2 3
推论2、实二次型 f , g 具有相同的规范形
秩f 秩g，且 f 的正惯性指数= g 的正惯性指数.
推论3、实对称矩阵A、B合同
秩( A) 秩( B) 且二次型 X ' AX 与X ' BX 的正惯性
指数相等.
③规范形是唯一的.
惯性定理：任一实二次型可经过适当的 非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯
一.
定义：实二次型 f ( x1 xn ) 的规范形
2 y1 2 y2 y p p 1
yr2
中正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数； 负平方项的个数 r p 称为 f 的负惯性指数； 它们的差 p (r p ) 2 p r 称为 f 的符号差.
二次型及其标准形
xn
a21
a22
an1
an 2
a1n x1
a2
n
x2
ann
xn
a11 a12
a1n
x1
记
A
a21
a22
a2n
,x
x2
an1
an 2
ann
xn
得二次型的矩阵形式 其中，A 为对称阵。
f xT Ax
只含平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
线性代数
二次型及其标准形
1
二次型及其矩阵 的表示形式
本节内容
2
用正交变换化二 次型为标准形
在解析几何中，为了便于研究二次曲线 ax2 bxy cy2 1
的几何性质，可选择直角坐标系的一个适当的旋转变换
x xcos ysin
y
x
sin
y
cos
把二次曲线方程化为标准形
mx2 ny2 1
(3)在正交变换 x Py 下，化二次型为标准形。
f xT Ax yT P T AP y yT Λy 1 y12 2 y22 n yn2
标准形平方项的系数ii 1, 2, , n 即对称阵A 的特征值。
例2 设二次型 f x1, x2, x3 x12 2x1x3 2x22 x32 ，求一个正交交
解
二次型矩阵为
2 A 3 5
3 5
1 0 0 1
于是得
f x1, x2,
2
, xn 3
5
3 1 0
5
0 1
x1 x2 x3
1.2 用正交变换化二次型为标准形
化二次型(1.1)为标准形(1.3)，用矩阵表示就是以 x 代Cy入，得
二次型及其标准型
其中
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n x1 a2 n x2 , x ann xn
1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT; 2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型； 3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型； 4）称为R(A)为二次型 f 的秩。
例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；
(1)
(2)
解： (1)
f ( x1 , x2 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 ) x1
1 2 x1 x2 2 3 x2
定理10. 任意 二次型
n n
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
(aij a ji ), 总有正交变换x Py, 使f 化为标准型
2 f 1 y12 2 y2 2 n yn
i 1 j 1
其中1， ，2， n是 f 的矩阵A的n个特征值 .
故 B 为对称矩阵.
再证 R(B)=R(A).
因
又因
B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A).
A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B)
于是
R(B)=R(A).
这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ， C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx
第五节 二次型及其标准形
7
返回
例3. f = x − x + x + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 − 2 x1 x4
+ 2 x 2 x4 − 2 x 3 x4 ,
2 1
2 2
2 4
写成矩阵表示. 写成矩阵表示
A
X
f = ( x1 x 2 x 3
1 2 x4 ) 2 -1
2 -1 0 1
2 0 0 -1
X = PY
λ1 λ2 λ3
17
f = λ1 y + λ 2 y + λ 3 y
2 1 2 2
⇓
2 3
返回
三、用配方法化二次型为标准形
例6. 化二次型
f = x + 2 x + 5 x + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
成标准形, 并求所用的变换矩阵. 成标准形 并求所用的变换矩阵 解: f = ( x + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 )
a11 记 A = L a n1 a12 an 2
a12 a 22 an 2
L L L L
a1 n x1 x a2n 2. M x a nn n
L a1 n x1 , X = M . L xn L a nn
16
返回
令
2 − 5 1 P= 5 0
2 1 2 2
2 3 5 4 3 5 5 3 5
1 − 3 2 − , 3 2 3
2 3
为所求正交变换. 则X =PY 为所求正交变换 它将二次型 f 化为
返回
例3. f = x − x + x + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 − 2 x1 x4
+ 2 x 2 x4 − 2 x 3 x4 ,
2 1
2 2
2 4
写成矩阵表示. 写成矩阵表示
A
X
f = ( x1 x 2 x 3
1 2 x4 ) 2 -1
2 -1 0 1
2 0 0 -1
X = PY
λ1 λ2 λ3
17
f = λ1 y + λ 2 y + λ 3 y
2 1 2 2
⇓
2 3
返回
三、用配方法化二次型为标准形
例6. 化二次型
f = x + 2 x + 5 x + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
成标准形, 并求所用的变换矩阵. 成标准形 并求所用的变换矩阵 解: f = ( x + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 )
a11 记 A = L a n1 a12 an 2
a12 a 22 an 2
L L L L
a1 n x1 x a2n 2. M x a nn n
L a1 n x1 , X = M . L xn L a nn
16
返回
令
2 − 5 1 P= 5 0
2 1 2 2
2 3 5 4 3 5 5 3 5
1 − 3 2 − , 3 2 3
2 3
为所求正交变换. 则X =PY 为所求正交变换 它将二次型 f 化为
第6章 二次型及其标准形
r( f ) = r( A) = 2
问： 在二次型 f = x T Ax 中,如不限制 A对称 A唯一吗 对称, 唯一吗? 如不限制 对称 唯一吗
定义 只含平方项的二次型
2 2 2 f = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
k1 x1 M O = [ x1 ,L , x n ] kn xn
目标： 目标：
1. 正交变换法（重点） 正交变换法（重点） 2. 配方法
T
二次型 f = X AX
↓
可逆线性变换 X = CY
标准形 f = Y T (C T AC )Y
2 = k 1 y12 + k 2 y 22 + L + k n y n
= Y ΛY
T
问题转化为： 问题转化为： 求可逆矩阵 C ，使得 C T AC 为对角矩阵
解（1）写出二次型 f 的矩阵
求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量 (2) 求出 的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2 1 P= 1 1 3 − 2
2 1 P = − 2 2 3 1
1 1 P = 2 3 3 2
非退化线性变换（可逆线性变换） 一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
若
简记 是可逆矩阵时, 当C 是可逆矩阵时, 称 为可逆线性变换。 可逆线性变换。
对于二次型，我们讨论的主要问题是 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 主要问题 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 可逆的线性变换 即二次型
问： 在二次型 f = x T Ax 中,如不限制 A对称 A唯一吗 对称, 唯一吗? 如不限制 对称 唯一吗
定义 只含平方项的二次型
2 2 2 f = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
k1 x1 M O = [ x1 ,L , x n ] kn xn
目标： 目标：
1. 正交变换法（重点） 正交变换法（重点） 2. 配方法
T
二次型 f = X AX
↓
可逆线性变换 X = CY
标准形 f = Y T (C T AC )Y
2 = k 1 y12 + k 2 y 22 + L + k n y n
= Y ΛY
T
问题转化为： 问题转化为： 求可逆矩阵 C ，使得 C T AC 为对角矩阵
解（1）写出二次型 f 的矩阵
求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量 (2) 求出 的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2 1 P= 1 1 3 − 2
2 1 P = − 2 2 3 1
1 1 P = 2 3 3 2
非退化线性变换（可逆线性变换） 一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
若
简记 是可逆矩阵时, 当C 是可逆矩阵时, 称 为可逆线性变换。 可逆线性变换。
对于二次型，我们讨论的主要问题是 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 主要问题 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 可逆的线性变换 即二次型
第四讲：二次型及其标准型
则，其正惯性指数是多少？ 解法二：由于
f x1, x2, x3 x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x1 x2 x3 2 2x22
故二次型 的正惯性指数为2。
例3、若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 4
其中 λ1, λ 2, …, λ n是二次型f 的矩阵的特征值. 将二次型f(x1, x2,…, x n )=xTAx 化为标准型的方法 （1）写出二次型的矩阵 A （对称矩阵）；
（2）将矩阵A 正交相似于对角阵，求出正交矩阵P ，使得 P-1AP=PTAP=Λ， Λ中的对角元为矩阵A 的特征值；
（3）作正交变换 x=Py ，此时 f 1 y12 2 y22 n yn2.
2、掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型 为标准形； 3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
三、例题精讲
例1、已知二次型 f
x1, x2, x3
xTAx
x12
5x
2 2
x
2 3
2ax1x2
2x1x3
2bx2x3
的秩为2，
且(2,1,2)T是矩阵A 的特征向量，那么在正交变换下该二次型的标准形是
第四讲：二次型及其标准形
主讲人：同济大学 殷俊锋
相似矩阵以及二次型是线性代数的重要组成部分
包含正交矩阵、矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵、 二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的标 准形和规范形、正定矩阵等基本概念.
也包含矩阵可相似对角化的充分必要条件、实对称矩 阵的特征值、特征向量的性质、惯性定理、用正交变换化 二次型为标准型等基本定理.
f x1, x2, x3 x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x1 x2 x3 2 2x22
故二次型 的正惯性指数为2。
例3、若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 4
其中 λ1, λ 2, …, λ n是二次型f 的矩阵的特征值. 将二次型f(x1, x2,…, x n )=xTAx 化为标准型的方法 （1）写出二次型的矩阵 A （对称矩阵）；
（2）将矩阵A 正交相似于对角阵，求出正交矩阵P ，使得 P-1AP=PTAP=Λ， Λ中的对角元为矩阵A 的特征值；
（3）作正交变换 x=Py ，此时 f 1 y12 2 y22 n yn2.
2、掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型 为标准形； 3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
三、例题精讲
例1、已知二次型 f
x1, x2, x3
xTAx
x12
5x
2 2
x
2 3
2ax1x2
2x1x3
2bx2x3
的秩为2，
且(2,1,2)T是矩阵A 的特征向量，那么在正交变换下该二次型的标准形是
第四讲：二次型及其标准形
主讲人：同济大学 殷俊锋
相似矩阵以及二次型是线性代数的重要组成部分
包含正交矩阵、矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵、 二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的标 准形和规范形、正定矩阵等基本概念.
也包含矩阵可相似对角化的充分必要条件、实对称矩 阵的特征值、特征向量的性质、惯性定理、用正交变换化 二次型为标准型等基本定理.
二次型及其标准型
λ1 ,L , λ
n
P = ( e1 e2 L en )
x = Py
2 1 2 2 2 n
f = λ1 y + λ 2 y + L + λ n y
例
将二次型
2 2 2 f = 17 x1 + 14 x2 + 14 x3 − 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
通过正交变换 x = Py , 化成标准形 .
f ( x1, x2 ,L xn ) = a x + 2a12 x1x2 + L + 2a1n x1xn
2 11 1
2 + a22 x2 + L + 2a2n x2 xn
叫做二次型。 叫做二次型。 二次型
+L+ a x
2 nn n
如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型 实二次型。 如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型。 例如
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 写出对应的二次型矩阵， 17 − 2 − 2 A = − 2 14 − 4 − 2 − 4 14 −2 −2 17 − λ 2 A − λE = − 2 14 − λ − 4 = (λ − 18) (λ − 9) −2 − 4 14 − λ
●将二次型化为标准形的实质问题 一般形式
f ( x1, x2 ,L xn ) = x′Ax
x = Py
经可逆变换 化为标准形式
f ( y1, y2 ,L yn ) = y′Λy
本质问题：寻找可逆矩阵 ， 本质问题：寻找可逆矩阵P，使得
P′AP = Λ
回顾上一章知识，能否解决？如何解决？ 回顾上一章知识，能否解决？如何解决？
二次型及其标准形式
二次型及其标准形式二次型是高等数学中一个重要的概念，它与矩阵有着密切的关系。
在本文中，我将介绍什么是二次型，以及如何将二次型化为标准形式。
什么是二次型？二次型是指二次齐次多项式，也就是形如：$$Q(x_1, x_2, ..., x_n) =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中 $a_{ij}$ 是实数。
可以看出，二次型与关于 $n$ 个变量的二次方程非常相似，但它们有一个显著的不同点：二次型中的系数 $a_{ij}$ 不一定是已知的数值，它们可以是函数或变量，也可以是其他复杂的表达式。
如何将二次型化为标准形式？将二次型化为标准形式可以帮助我们更好地研究它的性质。
标准形式指的是经过某种变换后，二次型可以写成以下形式：$$Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + ... + \lambda_ny_n^2$$其中 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ 是非负实数，$y_i$ 是 $x_1, x_2, ..., x_n$ 的线性组合，即 $y_i = a_{i1}x_1 +a_{i2}x_2 + ... + a_{in}x_n$。
那么，如何将二次型化为标准形式呢？我们可以用矩阵的方法来处理。
首先，我们用一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵 $A=(a_{ij})$ 来表示二次型。
我们可以将$A$ 矩阵分解为两个矩阵的乘积：$A=QQ^T$，其中 $Q$ 是一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵，且 $Q$ 的列向量构成一个标准正交基。
我们在 $Q$ 的基础上引入新的变量 $y_1, y_2, ..., y_n$，它们的值分别为 $y_i = q_{i1}x_1 + q_{i2}x_2 + ... + q_{in}x_n$，其中$q_{ij}$ 是$Q$ 矩阵的元素。
二次型矩阵和标准型
二次型矩阵和标准型二次型是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
而二次型矩阵和标准型则是研究二次型的重要工具和方法。
首先，我们来了解一下什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以表示为Q(x)=x^TAX，其中x是一个n维列向量，A是一个n×n的实对称矩阵。
二次型的系数矩阵A决定了二次型的性质和特征。
接下来，我们来介绍二次型矩阵。
二次型矩阵是指将二次型的系数矩阵A进行矩阵变换得到的矩阵。
具体来说，对于一个二次型Q(x)=x^TAX，我们可以通过矩阵变换将系数矩阵A变换为一个对角矩阵D，即D=P^TAP，其中P是一个可逆矩阵。
这样得到的对角矩阵D 就是二次型矩阵。
二次型矩阵的标准型是指将二次型矩阵D进一步化简为一个特殊形式的对角矩阵。
具体来说，对于一个二次型矩阵D，我们可以通过一系列的矩阵变换将其化简为一个对角矩阵，即D=P^TAP=diag(d1,d2,...,dn)，其中d1,d2,...,dn是D的对角线上的元素。
这样得到的对角矩阵就是二次型矩阵的标准型。
为了将二次型矩阵化简为标准型，我们可以利用矩阵的相似对角化定理。
相似对角化定理指出，对于任意一个n×n的实对称矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵。
这个对角矩阵就是二次型矩阵的标准型。
通过相似对角化定理，我们可以将二次型矩阵化简为标准型，从而更好地研究和分析二次型的性质和特征。
标准型的对角线上的元素反映了二次型的主轴长度，而对角线之外的元素则反映了二次型的旋转角度。
二次型矩阵和标准型在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，二次型矩阵和标准型是研究二次型性质和特征的重要工具，可以用于解决线性代数、矩阵论和特征值问题等。
在工程领域，二次型矩阵和标准型可以用于信号处理、图像处理、模式识别和机器学习等领域，帮助我们理解和分析复杂的数据和信号。
总之，二次型矩阵和标准型是研究二次型的重要工具和方法。
二次型及其标准形
推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 可逆变换 x = C z ，使 f (C z) 为规范形．
证明：
f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2
若R(A) = r，不妨设 l1, l2, …, lr 不等于零， lr+1 = … = ln =0,
经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为 与 A 合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不 变．
若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即
f xT Ax
(Cy)T A(Cy)
yT (CT AC ) y
k1 y12 k2 y22 L kn yn2
k1
( y1 ,
y2 ,L
则称矩阵A 和 B 相似． 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足
CTAC = B ， 则称矩阵A 和 B 合同． 显然， BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B
即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵． R(B) = R(A) ．
∵B=C TAC, ∴ R(B) ≤R(AC) ≤R(A). 又∵ A=(C T) -1BC -1, ∴ R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B) ∴ R(B)=R(A).
a1n x1
a2
n
x2
M M
ann xn
a11 a12 L
f
( x1,
x2 ,L
,
xn )
( x1,
x2 ,L
,
xn
)
a21 M
a22 MLΒιβλιοθήκη 对称阵的an1 an2 L
二次型及其标准形
例 5.1 判别下列各式是否为二次型
（1） f x12 2x22 4x1x2 x1 （2） f 4x12 x22 3x33 6x1 x2 5x2 x3 （3） f x12 2x22 5x32 4x1x2 x1x3
解 根据二次型的定义，由于（1）式中含有变量 x1 的 一次项，所以 f x12 2x22 4x1x2 x1 不是二次型。
形式，并求其秩。
1 2 0 解 二次型的矩阵为 A 2 0 1
0 1 3
那么
1
f x1, x2 , x3 2
2 0
0 x1 1 x2
0 1 3 x3
又由于 A 13 0 ，即矩阵 A 满秩，故所求二次型的秩为 3.
1.2 二次型的标准形
定义5.2
只含有平方项的二次型
（5.2）
当所有的 aij 均为实数时，上述二次型称为实二次型
为便于讨论，我们将二次型写成矩阵形式，
f (x1 , x2 ,, xn ) x1 (a11x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1x1 an2 x2 ann xn )
因此，二次型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax ，经过可逆的线性变换 x Cy
后，所得的新二次型的矩阵与原二次型的矩阵具有合同关系，且二次 型的秩不变。
实用线性代数
f
y1, y2 ,, yn
d1 y12
d
2
y
2 2
d
n
y
2 n
d1
y1
y1 y2 yn
d2
y2
dn yn
yT y
称为二次型的标准形
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则得二次型的标准形
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
●惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形， 就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为 标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
定理2 任何二次型的标准型都存在。
f ( x) xAx 是任意二次型 其中A是n阶对称矩阵
存在正交矩阵P，使得 1 PAP 作正交变换 x Py
n
2 2 yn
f ( Py) y( PAP) y yy 1 y12
例 用正交变换，化下列二次型为标准形
2 2 f 6 x1 24 x1 x2 x2
6 解 二次型的矩阵为 A 12
由
12 1
6 12 2 A E 5 150 0 12 1
得特征值
1 10, 2 15
可顺次求得单位特征向量
P e1 e2 e3
2 3 1 3 2 3
1 2 0 1 2
2 6 2 2 3 2 6
作正交变换
( x1, x2 , x3 ) P( y1, y2 , y3 )
代入f ，得到标准型
2 2 f 4 y12 5 y2 5 y3
●化二次型为标准型 配方法
f 6x 24x1x2 x
2 1
2 2
6( x 4x1x2 ) x
2 1
2 2
6( x1 2x2 ) 24x x
2 2 2
2 2
6( x1 2x2 ) 25x
2
2 2
x1 y1 2 y2 y1 x1 2 x2 作线性变换 即 x2 y2 y2 x2
f ( x, y, z) 3xy 6 xz yz 3z 是二次型
2
f ( x, y) x y x y 1
2 2
不是二次型
●二次型的矩阵及其秩 二次型可表示为 矩阵形式
f ( x1 , x2 ,
xn ) x1 , x2 ,
xAx （A为对称矩阵）
二次型 f 一一对应 对称矩阵 A
1 设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A ( B B) 2 1 n xAx ( xBx xBx ) 显然A是对称矩阵， x R
xBx ( xBx) xBx
这表明对称矩阵A是二次型 xBx 的矩阵。
2 1 xAx ( xBx xBx) xBx 2
a11 a12 a a 12 22 xn a a 1n 2 n
a1n x1 a2 n x2 ann xn
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
只含平方项的二次型
f x1, x2 ,
, xn x x
2 1 2 2 2 3
可得二次型的标准形
f y y 4y
f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
x1 y1 y2 x2 y1 y2 x y 3 3
z1 y1 y3 z2 y1 2 y3 z y 3 3
2 1 2 2
2 f 2( y12 y2 ) 2( y1 y2 ) y3 6( y1 y2 ) y3
2 2 y12 2 y2 2 y1 y3 2 y2 y3 6 y1 y3 6 y2 y3
2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 2 2 2 2( y 2 y1 y3 y3 ) 2 y3 2 y2 8 y2 y3
2.求矩阵A的特征值
3. 对每个特征值 i，求对应的特征向量
1 ,
, n
4. 将特征向量正交化、单位化，得到 e1 , e2 , en 5. 构造正交矩阵，写出相应的正交变换及标准形 正交矩阵 正交变换 标准形
P e1 e2
x Py
2 1 1 2 2
en
n y
2 n
f y 2 y
●用正交变换化二次型为标准型
定理 设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使
PAP
对相应的二次型 作正交变换 则有
f xAx
x Py
2 1 1 2 2
f yPAPy yy
y 2 y n y
2 n
即化得标准形
●用正交变换化二次型为标准型的具体步骤 1. 写出二次型的矩阵A
2 1 1 2 2 2
x
2 n n
对应的矩阵为对角形矩阵
1 2
n
2 2 设二次型 f 3x12 6 x1 x2 8 x1 x3 5 x2 x2 x3 x3
求f 的矩阵A, 当x1 =3, x2 =1, x3 =-2 时，求f 的值。
2( y1 y3 ) 2( y2 2 y3 ) 6 y 2
2 2
2 3
x1 1 1 3 z1 x 1 1 1 2 z2 x 0 0 1 z 3 3
2Байду номын сангаас2 f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2 x3
解
x1 x x2
y1 y y2
3 2 f x x 2 6
2 1 x y 1 2
2 1 3 f y 1 2 2 2 1 3 2 2 y 1 2 2 6 1
0.6 0.6 0.8 e1 令 P 0.8 e2 0.6 0.8 则经正交变换 x Py，可得标准形
0.8 0.6
f 10 y 15 y
2 1
2 2
试用正交变换化二次型
f xAx 为标准型
2 1 2 1 2 2
2 2 2( y1 y3 )2 2( y2 4 y2 y3 ) 2 y3
2 2 2 2 2( y1 y3 )2 2( y2 4 y2 y3 4 y3 ) 8 y3 2 y3
f 2 z 2 z 6 z3
y1 z1 z3 y 2 z 2 2 z3 y z 3 3
●二次型的正定性 定义：
（1）称二次型f ( x) xAx是正定二次型， 如果对于 任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为正定矩阵。 （2）称二次型f ( x) xAx是半正定二次型， 如果对于 任意x有f x 0.此时称对称矩阵A为半正定矩阵。 （3）称二次型f ( x) xAx是负定二次型， 如果对于 任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为负定矩阵。
2 2 1 y 6 1 2 1 10 0 2 2 y 10 y 35 y y y 1 2 2 0 35
只含有平方项的二次型叫做标准形
f xAx
x Cy
C可逆
f yCACy（秩不变）
2 2 ( x1 3x2 )2 ( x2 2x2 x3 ) 5x3
2 3
2 ( x1 3x2 )2 ( x2 x3 )2 4x3
作线性变换
y1 x1 3 x2 y2 x2 x3 y x 3 3
x1 y1 3 y2 3 y3 即 x2 y2 y3 x y 3 3
对于2 3 5， 得到线性无关的特征向量 ， 2 （1 ，0，1） 3 （1 ，2，0） [3， 2 ] 正交化 2 2， 3 3 2 （ 0.5, 2, 0.5) [ 2， 2 ]
对于1 4,
可得特征向量1 （2， 1 ， 2）
1 5 2 x1 求二次型 f x1 , x2 , x3 9 4 10 x2 的矩阵A， 6 2 4 x 3 并求f 的秩。
求二次型
f 3x 4 x1 x2 6 x 经过变换
2 1 2 2
x1 2 y1 y2 之后的表达式。 x2 y1 2 y2
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
●惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形， 就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为 标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
定理2 任何二次型的标准型都存在。
f ( x) xAx 是任意二次型 其中A是n阶对称矩阵
存在正交矩阵P，使得 1 PAP 作正交变换 x Py
n
2 2 yn
f ( Py) y( PAP) y yy 1 y12
例 用正交变换，化下列二次型为标准形
2 2 f 6 x1 24 x1 x2 x2
6 解 二次型的矩阵为 A 12
由
12 1
6 12 2 A E 5 150 0 12 1
得特征值
1 10, 2 15
可顺次求得单位特征向量
P e1 e2 e3
2 3 1 3 2 3
1 2 0 1 2
2 6 2 2 3 2 6
作正交变换
( x1, x2 , x3 ) P( y1, y2 , y3 )
代入f ，得到标准型
2 2 f 4 y12 5 y2 5 y3
●化二次型为标准型 配方法
f 6x 24x1x2 x
2 1
2 2
6( x 4x1x2 ) x
2 1
2 2
6( x1 2x2 ) 24x x
2 2 2
2 2
6( x1 2x2 ) 25x
2
2 2
x1 y1 2 y2 y1 x1 2 x2 作线性变换 即 x2 y2 y2 x2
f ( x, y, z) 3xy 6 xz yz 3z 是二次型
2
f ( x, y) x y x y 1
2 2
不是二次型
●二次型的矩阵及其秩 二次型可表示为 矩阵形式
f ( x1 , x2 ,
xn ) x1 , x2 ,
xAx （A为对称矩阵）
二次型 f 一一对应 对称矩阵 A
1 设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A ( B B) 2 1 n xAx ( xBx xBx ) 显然A是对称矩阵， x R
xBx ( xBx) xBx
这表明对称矩阵A是二次型 xBx 的矩阵。
2 1 xAx ( xBx xBx) xBx 2
a11 a12 a a 12 22 xn a a 1n 2 n
a1n x1 a2 n x2 ann xn
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
只含平方项的二次型
f x1, x2 ,
, xn x x
2 1 2 2 2 3
可得二次型的标准形
f y y 4y
f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
x1 y1 y2 x2 y1 y2 x y 3 3
z1 y1 y3 z2 y1 2 y3 z y 3 3
2 1 2 2
2 f 2( y12 y2 ) 2( y1 y2 ) y3 6( y1 y2 ) y3
2 2 y12 2 y2 2 y1 y3 2 y2 y3 6 y1 y3 6 y2 y3
2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 2 2 2 2( y 2 y1 y3 y3 ) 2 y3 2 y2 8 y2 y3
2.求矩阵A的特征值
3. 对每个特征值 i，求对应的特征向量
1 ,
, n
4. 将特征向量正交化、单位化，得到 e1 , e2 , en 5. 构造正交矩阵，写出相应的正交变换及标准形 正交矩阵 正交变换 标准形
P e1 e2
x Py
2 1 1 2 2
en
n y
2 n
f y 2 y
●用正交变换化二次型为标准型
定理 设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使
PAP
对相应的二次型 作正交变换 则有
f xAx
x Py
2 1 1 2 2
f yPAPy yy
y 2 y n y
2 n
即化得标准形
●用正交变换化二次型为标准型的具体步骤 1. 写出二次型的矩阵A
2 1 1 2 2 2
x
2 n n
对应的矩阵为对角形矩阵
1 2
n
2 2 设二次型 f 3x12 6 x1 x2 8 x1 x3 5 x2 x2 x3 x3
求f 的矩阵A, 当x1 =3, x2 =1, x3 =-2 时，求f 的值。
2( y1 y3 ) 2( y2 2 y3 ) 6 y 2
2 2
2 3
x1 1 1 3 z1 x 1 1 1 2 z2 x 0 0 1 z 3 3
2Байду номын сангаас2 f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2 x3
解
x1 x x2
y1 y y2
3 2 f x x 2 6
2 1 x y 1 2
2 1 3 f y 1 2 2 2 1 3 2 2 y 1 2 2 6 1
0.6 0.6 0.8 e1 令 P 0.8 e2 0.6 0.8 则经正交变换 x Py，可得标准形
0.8 0.6
f 10 y 15 y
2 1
2 2
试用正交变换化二次型
f xAx 为标准型
2 1 2 1 2 2
2 2 2( y1 y3 )2 2( y2 4 y2 y3 ) 2 y3
2 2 2 2 2( y1 y3 )2 2( y2 4 y2 y3 4 y3 ) 8 y3 2 y3
f 2 z 2 z 6 z3
y1 z1 z3 y 2 z 2 2 z3 y z 3 3
●二次型的正定性 定义：
（1）称二次型f ( x) xAx是正定二次型， 如果对于 任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为正定矩阵。 （2）称二次型f ( x) xAx是半正定二次型， 如果对于 任意x有f x 0.此时称对称矩阵A为半正定矩阵。 （3）称二次型f ( x) xAx是负定二次型， 如果对于 任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为负定矩阵。
2 2 1 y 6 1 2 1 10 0 2 2 y 10 y 35 y y y 1 2 2 0 35
只含有平方项的二次型叫做标准形
f xAx
x Cy
C可逆
f yCACy（秩不变）
2 2 ( x1 3x2 )2 ( x2 2x2 x3 ) 5x3
2 3
2 ( x1 3x2 )2 ( x2 x3 )2 4x3
作线性变换
y1 x1 3 x2 y2 x2 x3 y x 3 3
x1 y1 3 y2 3 y3 即 x2 y2 y3 x y 3 3
对于2 3 5， 得到线性无关的特征向量 ， 2 （1 ，0，1） 3 （1 ，2，0） [3， 2 ] 正交化 2 2， 3 3 2 （ 0.5, 2, 0.5) [ 2， 2 ]
对于1 4,
可得特征向量1 （2， 1 ， 2）
1 5 2 x1 求二次型 f x1 , x2 , x3 9 4 10 x2 的矩阵A， 6 2 4 x 3 并求f 的秩。
求二次型
f 3x 4 x1 x2 6 x 经过变换
2 1 2 2
x1 2 y1 y2 之后的表达式。 x2 y1 2 y2