专题训练三平行四边形中的动态问题

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专题训练(三)平行四边形中的动态问题

班别

（教材P68习题第13题的变式与应用）

【原题】(人教版八年级下册教材第68页第13题)

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC ＝26

cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运

动开始，使PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？

以PBC的中点．点＝16，点E是中，AD∥BC，AD＝6，BC1．如图，在四边形ABCD个单位长同时以每秒Q2AD向点D运动；点每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿也随之停止运动．求停止运动时，点Q向点B运动．点P度的速度从点C出发，沿CB D为顶点的四边形是平行四边形．、E、为多少秒时，以点当运动时间tP、Q

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. 料.资. .

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2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．

(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD?

(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．

3．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1 cm 的速度

沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．

(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？

(2)若BC⊥AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长．

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. 料.资. .

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4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18

cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q 运动的时间为t秒．

(1)作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；

(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？

(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理

由．

备用图

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. 料.资. .

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5．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．

(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；

(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；

(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的

长；若不可能，请说明理

由．

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. 料.资. .

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参考答案

【例】(人教版八年级下册教材第68页第13题)

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC ＝26

cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运

动开始，使PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？

【解答】①设经过t s时，四边形PQCD是平行四边形，

∵AP＝t，CQ＝3t，DP＝24－t，

∴DP＝CQ.∴24－t＝3t.

∴t＝6，即经过6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQ∥CD，且PQ＝CD.

②设经过t s时，PQ＝CD，即四边形PQCD是等腰梯形，

∵AP＝t，BQ＝26－3t，

∴t＝26－3t＋2，t＝7.

综上所述当t＝6 s或7 s时，PQ＝CD.

【方法归纳】根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求

解．

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形

是平行四边

形．

1

BC＝8.∵AD＝，CE解：由题意可知，AP＝t，CQ＝2t2∥BC，∴当PD＝EQ 时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．

当2t＜8，即t＜4时，点Q在C、E之间，如图甲．此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CE－CQ＝8－2t，

由6－t＝8－2t得t＝2.

当8<2t<16，且t<6，即4

＝得t－t＝2t8－CE＝2t－8，由6－，＝如图乙．此时，PDAD－AP＝6－tEQ

＝CQ314s时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．或s∴当运动时间为23

图甲图乙

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2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．

(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD?

(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．

解：(1)设P，Q两点从出发开始到第x秒时，PQ∥AD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，即AP∥DQ.

∵PQ∥AD，

∴四边形APQD是平行四边形．