平面向量-2019年高考理科数学解读考纲
4.1平面向量的概念及其线性运算
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算2019考纲考题考情1．向量的有关概念2.向量的线性运算三角形法则平行四边形法则(1)a(2)((三角形法则a(1)|λa|＝|λ||a|；向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa。
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)。
2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1。
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件。
要特别注意零向量的特殊性。
一、走进教材1．(必修4P 86例4改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________。
(用a ，b 表示)解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b 。
答案 b －a －a －b2．(必修4P 118A 组T 2(3)改编)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD→|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________。
解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|。
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形。
答案 矩形二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →解析 如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A 。
2019版高考数学(理科,课标A版)一轮复习讲义：§52 平面向量基本定理及坐标表示.docx
考纲解读考点内容解读要求 高考示例常考题型预测热度1 .平面向量基本定理 了解平面向量的基本定理及其意义了解2017 江苏,12;2015 北京，13; 2013 北京,13 选輙 填空题2.平面向赢的坐标运 算①掌握平面向昴的正交分解及其坐标表不;②会用坐标表示平面向昴的加法、减法与 数乘运算；③ 理解用坐标表不的平面向最共线的条件掌握2016课标全国H ,3;2015 江苏,6; 2014 陕西,13; 2013 重庆，10选择题 填空题分析解读1 •理解平面向量基本定理的实质.理解基底的概念.会用给定的基底表示向量• 2.掌握求向量坐标的方法.掌握平面向量 的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题• 4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考 考查的重点.分值约为5分，属中低档题•五年高考1. __________________________________________________________ (2015北京」3,5分)在ZiABC 中，点M,N 满足二2三若二x+y,则x 二____________________________________________________ ,y= ________答案2. (2013北京,13,5分)向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示•若c 二;U+“b( A , “ WR),则二 ____答案4考点二平面向量的坐标运算1.(2016课标全国U ,3,5分)已知向量a=(l >m)>b=(3,-2),且(a+b)丄b,则m=( )A. -8B. -6C.6D.8答案D2. (2015 江苏,6,5 分)已知向量 a 二(2,1) ,b 二(1 ,・2)，若ma+nb 二(9,・8)(m,nWR),则 m-n 的值为 .答案-33. (2014 陕西,13,5 分)设向量 a 二(sin 20 ,cos 0 ),b=(cos 0,1),若 a 〃b,则 tan 0- _________ .答案教师用书专用(4一5)4. (2013重庆,10,5分)在平面上，丄，丨1 = 11=1,=+.若lie,则II 的取值范围是( ) A. B. C.D.答案D§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量基本定理5. (2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB=2,BC=1, ZABC 二60".动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且二入，二,则■的最小值为 _______ . 答案三年模拟A 组2016-2018年模拟•基础题组平面向量基本定理1. （2018江西南昌二中月考,9）D 是AABC 所在平面内一点，二入+ “（入，“ WR ）,则“0＜入＜1”是“点D 在AABC 内部（不含边界）”的（）A.充分不必要条件 B •必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B2. （2018江西新余一中四模,7）已知AOAB,若点C 满足二2，二入+ “（入，“ £R ）,则+二（ ） A. B. C.D.答案D3. （人教A 必4,二,2-3B,3,变式）正方形ABCD 中,E 为DC 的中点，若二入+ 〃，则入+ “的值为（ ） A. B.- C.l D.-1答案A4. （2017河南中原名校4月联考,7）如图所示,矩形ABCD 的对角线相交于点0,E 为A0的中点,若二入+ “（入，“为实数）,则 A 2+ZZ =（）A. B. C.lD.答案A5. （2017河南安阳调硏,13）已知G 为△ ABC 的重心、令二a, =b 、过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且，二nb,则答案3考点二平面向量的坐标运算6. （2018海南海口模拟,5）已知两个非零向量a 与b ，若a+b=（ -3,6） ,a-b=（ -3,2）,则的值为（） A.-3B.-24C.21D.12答案C7. （2017河北翼州模拟,7）已知向量a=,b=（4,4cos a ・）,若a 丄b,则sin=（ ） A. -B. -C.D.答案B8. （2017福建四地六校4月联考,13）已知A （1,0）,B （4,0）,C （3,4）,0为坐标原点，且二（+・）,则11等于 .考点一 R答案2B组2016—2018年模拟•提升题组（满分:15分时间:10分钟）一、选择题（每小题5分，共10分｝1.（2018四川德阳三校联考,11 ）在厶ABC中,AB=AC二5,BC二6,1是△ ABC的内心,若*■!!（m,n丘R）,则二（）A. B. C. 2 D.答案B2.（2017安徽安庆模拟,6）已知a,b丘R+,若向显”（2,12・2a）与向就n=（ 1,2b）共线,则+的最大值为（）A.6B.4C.3D.答案A二、填空题（共5分）3.（2016河北石家庄二模,15）在AABC中J 1=3 J l=5,M是BC的中点,= A（ A ER）,若二+,则AABC的面积为___答案C 组2016—2018年模拟•方法题组1. （2018河南林州一中调研,9）已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点0,点P 在△C0D 的内部（不含边界）.若二x+y,则实数对（x,y ）可以是（）B. D.D2. （2017山西大学附中模拟,15）在直角梯形ABCD 中,AB 丄AD,DC 〃AB,AD=DC 二1 ,AB=2,E,F 分别为AB,BC 的中点，点P 在以A 为圆 心,AD 长为半径的圆弧DE 上运动（如图所示）.若二入+ “，其中入，“WR,则2入的取值范围是答案[-1,1]方法2平面向量的坐标运算技巧3. （2018重庆一中月考,10）给定两个单位向量，，且•二・,点C 在以0点为圆心的圆弧AB 上运动 ，二x+y,则 x-y 的最小值为（）B.-lC.-2D.0答案B4. （2016江西赣州二模）设向量二（x+2,x —cos 2a ）, = ?其中x,y, a 为实数，若二2、则的取值范围为（） A.[-6,l]B.[-l,6]B. [4,8] D.（o,l]答案A方法3方程的思想方法5. （2017山西临汾一中月考,4）已知向量a=（2,m ）,b=（l,l ）,若a ・b=la-bl,则实数m=（ ） A. B. - C. D.-答案D6. （2018吉林长春期中,15）向量,，在正方形网格中的位置如图所示,若二入+ “（入，“ £R）,则二 _方法1 平面向量基本定理及其应用策略A. C.答案答案27.（2016浙江温州二模,⑶如图，矩形ABCD中,AB=3,AD=4MN分别为线段BC,CD（不包括端点）上的点，且满足+二1,若二x+y,则x+y的最小值为_______ .NMB 答案。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用热点难点突破理含解析20190330225
平面向量及其应用1．在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( )A.13a ＋512bB.13a －1312b C ．－13a －512b D ．－13a ＋1312b 【解析】DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C. 【答案】 C2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 【解析】由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a－2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，故选C. 【答案】 C3．已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由a ·b >0，可得到θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，不能得到θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；而由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可以得到a ·b >0.故选B.【答案】 B4．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D ．4【解析】依题意得a ·b ＝12，|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13，故选C. 【答案】 C5．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB →－2BC →)·(3BC →＋4CA →)＝( )A ．－132B ．－112C ．－6－32D ．－6＋326．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1 D.516【解析】DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.【答案】 A。
2019高考数学理高分大二轮课件专题3第1讲平面向量
第1讲 平面向量
［考情考向分析］ 1．考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为
选择题、填空题，难度为中低档． 2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还
常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．
考点一 考点二
考点一 平面向量的线性运算与基本定理 1．(向量分解 )如图所示，在直角梯形 ABCD 中，D→C＝
14A→B，B→E＝2E→C，且A→E＝rA→B＋sA→D，则 2r＋3s
＝ A．1 C．3
B．2 D．4
()
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精准考点突破
易错防范突破
真题押题精练
增分强化练
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考点一 考点二
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精准考点突破
易错防范突破
真题押题精练
增分强化练
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考点一 考点二
又B→E＝2E→C，所以 E 为 PB 的中点，且 A→P＝43A→D. 于是， A→E＝12(A→B＋A→P)＝12(A→B＋43A→D)＝12A→B＋23A→D.(利用向量加法运算及其几何意 义逐步变形 ) 以下同法一．
解析：法一 ：根据图形，由题意可得 A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋23B→C＝A→B＋23(B→A＋A→D＋ D→C)＝13A→B＋23(A→D＋D→C)＝13A→B＋23(A→D＋14A→B)＝12A→B＋23A→D.(利用向量加法运算及 其几何意义逐步变形 ) 因为A→E＝rA→B＋sA→D，所以 r＝12，s＝23， 则 2r＋3s＝1＋2＝3，故选 C.
2．(向量共线)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则λ＝________. 解析：2a＋b＝(4,2)，因为 c ∥(2a＋b)，所以 4λ＝2，得 λ＝12. 答案：12
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用教学案理含解析
平面向量及其应用【2019年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为C 级要求，应特别重视．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】 1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)|b |cos 〈a ，b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)若a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a＝x2＋y2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |A B →|＝错误!.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN →＝ON →－OM →(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．5．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直，反之也成立．6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线． 【题型示例】题型一、平面向量的线性运算【例1】(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________. 【解析】由已知得2a ＋b ＝(4,2)．又c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.【答案】 12【变式探究】 (2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →【变式探究】【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.【举一反三】设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →. 答案 A【变式探究】在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16. 答案 12 －16【变式探究】已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2【解析】∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn＝－2. 【答案】 C【变式探究】已知P 为△ABC 所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2PD →＋PC →＝(λ＋1)PA →＋PB →，且△PBA 与△PBC 的面积相等，则实数λ的值为________．【感悟提升】平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等． (1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解． (2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解． (3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程．(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算．【变式探究】设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【解析】如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE →用AB →，AC →表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数． 题型二、平面向量的数量积【例2】(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)、B (2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为________． 【解析】设E (0，m )，F (0，n )， 又A (－1,0)，B (2,0)， ∴AE →＝(1，m )，BF →＝(－2，n )． ∴AE →·BF →＝－2＋mn ， 又知|EF →|＝2，∴|m －n |＝2.①当m ＝n ＋2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n ＋2)n －2＝n 2＋2n －2＝(n ＋1)2－3.∴当n ＝－1，即E 的坐标为(0,1)，F 的坐标为(0，－1)时，AE →·BF →取得最小值－3. ②当m ＝n －2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n －2)n －2＝n 2－2n －2＝(n －1)2－3. ∴当n ＝1，即E 的坐标为(0，－1)，F 的坐标为(0,1)时，AE →·BF →取得最小值－3.综上可知，AE →·BF →的最小值为－3. 【答案】 －3【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】解法一：设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →)＝2(PE →2－EA →2)．而AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时PA →·(PB→＋PC →)取最小值，最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y·⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－34.因此，当x ＝－14，y ＝34时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32，故选B. 【答案】 B【变式探究】已知|a |＝1，b ＝(－1,1)且a ⊥(a ＋b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ，因为a ⊥(a ＋b )，所以a ·(a ＋b )＝0，即|a |2＋a ·b ＝1＋|a ||b |cos θ＝1＋2cos θ＝0，cos θ＝－22，θ＝3π4，故选D. 【答案】 D【变式探究】已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD →在BA →方向上的投影是( ) A ．－3 5 B ．－322 C ．3 5 D.322【解析】依题意得，BA →＝(－2，－1)，CD →＝(5,5)，BA →·CD →＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA →|＝5，因此向量CD →在BA →方向上的投影是BA →·CD →|BA →|＝－155＝－35，选A.【答案】 A【变式探究】已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，－6)，若向量c 满足c 与b 的夹角为120°，c ·(4a ＋b )＝5，则|c |＝( )A ．1 B. 5 C ．2 D ．2 5【解析】依题意可得|a |＝5，|b |＝35，a ∥b .由c ·(4a ＋b )＝5，可得4a ·c ＋b ·c ＝5.由c 与b 的夹角为120°，可得c 与a 的夹角为60°，则有b ·c ＝|b ||c |cos120°＝|c |×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－352|c |，a ·c ＝|a ||c |cos60°＝|c |×5×12＝52|c |，所以4×52|c |－352|c |＝5，解得|c |＝25，故选D.【答案】 D【变式探究】如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.【举一反三】已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2. 答案 D【变式探究】△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析 由于△ABC 是边长为2的等边三角形； ∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0， ∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.答案 D【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【变式探究】设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A ．20 B. 15C ．9D ．6解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →) ＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C. 答案 C题型三、平面向量基本定理及应用例3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2 C. 5 D ．2【解析】分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2,1)，B (2,0)，D (0,1)． ∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上， ∴可设P ⎝⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ. 则AB →＝(0，－1)，AD →＝(－2,0)， AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ－2，25sin θ－1.又AP →＝λAB →＋μAD →， ∴λ＝－25sin θ＋1，μ＝－15cos θ＋1，∴λ＋μ＝2－25sin θ－15cos θ＝2－sin(θ＋φ)，其中tan φ＝12，∴(λ＋μ)max ＝3.【答案】 A【变式探究】【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==,===-2，动点P ，M 满足=1，=，则的最大值是( )（A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】B【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( ) A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R解析 由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.答案 A【举一反三】已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3. 答案 －3题型四 平面向量的长度与角度问题例4．【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【变式探究】若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4B.π2C.3π4D ．π【变式探究】对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2解析 对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos<a ，b>|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立．故选B.答案 B【举一反三】已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712解析 如图所示，以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy ，不妨设A (0，－1)，B (－3，0)，C (0，1)，D (3，0)，由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1)．因为CE →·CF →＝－23，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)(μ－1)＝－23，即(λ－1)(μ－1)＝13.因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1)． AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13，（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C. 答案 C。
2019版高考数学(理科,课标A版)一轮复习讲义：§51 平面向量的基本概念与线性运算.docx
第五章平面向量解答过程答案:A解析:(解法一)如虱以A为原点、以AB,AD所在直线为x.y轴建立如圏所示的坐标系、则A(0,0),B(l,0),D(0,2),C(l,2)・动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上、设圆的半径为r,■/B(?=2,CD=1，/.BD==,/.BC • CD=BD • r,.\r=,二圆的方程为(x・b+(y・2r=,设点P的坐标为••・・二人+“,/.= A(1,0)+/z(0,2)=( A,2/2),/.cos ^+1= A ,sin 0+2=2“》・••入+ “=cos "+sin "+2二sin( " + 0 )+2,其中匕in 卩=2. •・・-lWsin3 + 0｝Wl,・・・lW；U“W3,故g的最大值为3,故选A・(解法二)分别以CB. CD所在的直线为x轴、y轴廻立直角坐标系，则A⑵1) ,B(2.0) ,D(0J)・•・•点P在以C为圜心且与BD相切的圆上.•••可设P.则=«),-1)(=(-2,0)(=.又二入+“，.••入二・$in & + I, “二・cos ＜9 + 1,/. A + “=2・sin 0 - cos &=2・sin(& + 倂)，其中tan 少=,二(A+ju)x»=3厂❽能力要求｝1 •李握侧的参数方程在址值问题中的应用2•理解数形结合思世的本质，能用代数的方法解决儿何问融再＞方法归纳〕 --------------- 解决此类问題的关键肚通过参数方程中的参数将二元鼓值问題转化为•元扱值问题.这类消九饿略是解决二元域值问题的一个虫要思路®命题规律) --------------------- 1•必考内容：卩面向肚的皋本定理与坐标运算2考黃形式：多以选择题或填空题的形式呈现，髙考中亦冇以下儿种命题方式：①平Iftl向叶的圧本定理及其意义；②用坐标农示平面向笊的加法、减法与数乘运算命题探究声＞核心考点) ---------l.Y-rti向駅的坐标运算2 •直线与阴的位理关系3 •三角函数的性质（2017课标全Win, 12, 5分）在矩i^ABCD屮，AB=L AD=29动点P在以点C为圆心且与BD相切的岡上.若石M 入涵+卩石5,则入+卩的加大偵为() A.3B.X/2C.J5D.2弋思骼分析) ----------------1 •建立平面直角坐标系2•求出圆的标战方程，并设出点P 的坐标3 •由乔=入祐卩”求出入严4 •根据三角函数的性质即可求得最值储备知領) -------------1 •平面向址的基本定綁与坐标运算2圆("甥巴")®上的―点可设为：｛諾寫;(。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用热点难点突破文含解析
平面向量及其应用ABCDK AC 为一条对角线，AB= (2,4),辰(1,3)，则 DA=()• ( - 1 , - 1) 【答案】C【解析】DA= C B= AB-辰(2,4) - (1,3) = (1,1).2.在等腰梯形 ABCDK AB= — 2CD M 为BC 的中点，贝U AM=( )1 A 1A 3A 1AA .严 2A D B• 4A 盼 2AD【答案】B 【解析】因为屁=—2CD 所以AB= 2DC 又M 是BC 的中点，所以AM= 2(A B^AC = 2(A B + 荷DC,2 ,，所以BA- 血甲+乎二均3又因为B A' BC = |B A | BC|cos / AB = 1X 1X COS / ABC 所以 cos / AB G^.又 0°w/ AB&180°,所以/ ABC= 30° .故选 A.4 .将OA= (1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到 A B 则 A B=()【解析】由题意可得创的横坐标工二迈£呃眇+ 迈;#-乎卜 f 纵坐标丁=7^sin 何+铲)=诳(乎+尊=号虫，则易=：二^,号吗 1 5.△ ABC 外接圆的半径等于 1,其圆心O 满足AO= 2(AB+ AC , |AO = |AC ，则向量 薛在Bi 方向上的投影等 于( )逅V3 A .-B .22A . (2,4)B . (3,5)1 •在平行四边形C. (1,1) C .4AEE +4A DD.1AB + 4A D3.已知向量 A . 30°C. 60°)=4AB+ 2AD 故选 B. 2, ¥，张于 2，则/ ABC=() B . 45°EBA=D. 120°【答案】AA.【答案】【解析】因为B A= 2,C. B.1-，2—1 — ,3 1 — *3 1 + *3 2 ， 2 —1+ 3 D.2 ；943 C.2D. 31【答案】C 【解析】由AO= 2(A 內AC 可知0是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA = |O B = |OC |.又因为|A0 = | AC = 1,故4 OAC 为等边三角形，即/ AOC= 60°，由圆周角定理可知/ ABG= 30°,且| AB | = 3，所以BA 在誠向上的投影为|BA • cos / ABC= 3X cos 30 ° = 2,故选C. 6 •已知A, B, C 是圆O 上的不同的三点，线段 CO 与线段AE 交于点 D,若 OC=入 OAF 卩 OB 入€ R,卩 €R),则入+卩的取值范围是( )A . (0,1) B. (1 ,+^)C. (1 , - 2]D . ( —1,0)【答案】B 【解析】由题意可得OD- k OC= k 入O AF k 卩OB 0<k <1),又AD, B 三点共线可得k 入+ k ^ = 1, 1则入+ □= “ >1，即卩入+卩的取值范围是(1 ,+^)，故选B.k17.已知非零向量 m n 满足4| m = 3| n | , cos 〈m n 〉= 3,若n 丄(t m F n )，则实数t 的值为( )A . 4 B.— 4C・42• t|m ||n| cos 〈 m n 〉+ | n | = 0. 厂3 2 12又 4|m = 3|n | , • t X 4|n | X 3+ | n | = 0 ,解得t = — 4.故选B.8. 如图3-3, BC DE 是半径为1的圆O 的两条直径, 图3-3 3A . — ； B4 1 C.— _ D【答案】B 【解析】T n 丄(tm + n ), ••• n •( t2n F n ) = 0,即 tm • n + |n | = 0 ,归2F O 则F D- FE 等于(B【答案】B【解析】T BF= 2FO圆O的半径为1,94————————————|' 1 2••• FD - FE = (FB OD •(FO+ OE = FO + F0・(0曰 OD + OD O E=々 2+ 0— 1 = -2丿9.设向量 a = (a i ,a ?) ,b = (b i , b 2)，定义一种向量积： a ?b = (a i , a 2)?(b , b 2)= (a i b i , a 2b 2).已知向量 m2| b | + 4| b | = I2,解得 |b | = 2(负舍).8 9.0，点P 在y = cos x 的图象上运动，点Q 在y = f (x )的图象上运动，且满足 0Q= n ?OP,n+ n (其中O 为坐标原点)，则y = f (x )在区间.|—, A . 4 B . 2 C. 2 2 D . 2 3【答案】A 【解析】因为点 P 在y = cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(X 。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用热点难点突破文含解析
平面向量及其应用1．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →＝( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1) D ．(－1，－1)【答案】C 【解析】DA →＝CB →＝AB →－AC →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)． 2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B ．34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 【答案】B 【解析】因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 3．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A 【解析】因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC→|cos∠ABC ＝1×1×cos∠ABC ，所以cos∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A. 4．将OA →＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到OB →，则OB →＝( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，－1＋32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋32，－1－325．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →方向上的投影等于( ) A ．－32B ．32C.32D ．3 【答案】C 【解析】由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC→|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.6．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1，2] D ．(－1,0)【答案】B 【解析】由题意可得OD →＝k OC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.7．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94【答案】B 【解析】∵n⊥(tm ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即tm ·n ＋|n |2＝0， ∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.8．如图33，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )图33A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49【答案】B 【解析】∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.9．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3【答案】A 【解析】因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 即f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时， 由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.10．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则|b |＝__________.【答案】2【解析】由题意得 |a |＝12＋32＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cosπ3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．11．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0, 且|AB →－AC →|＝23，点D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB →·BD →＝________.12．在如图32所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与xa ＋yb (x ，y 为非零实数)共线，则xy的值为________．图32 【答案】65【解析】设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx －2y ＝1，λx －2y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65. 13．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________． 【答案】712【解析】∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712. 14．已知点O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则OB →·OC →＝__________. 【答案】－16【解析】∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB →·OC →＝(AB →－AO →)·(AC →－AO →)＝AB →·AC →－AO →·AC →－AO →·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝－16.15．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ， sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值．[解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.4分 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.6分(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，9分当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分16．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3. 答案：23π17．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.18．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用热点难点突破理含解析
平面向量及其应用1.在△ ABC 中，点 D,E 分别在边 BC ,AC 上，且 BD= 2D Q CE 3E A 若 AB= a ,AC= b ,则 D E=( )1 13 3a_他b1 5 _a _ b 3 12【解析】2 .已知向量 a = (2,3) , b = ( — 1,2)，若 ma + nb 与 a _ 2b 共线，则 * ( )1 1A. B . 2 C . — D . — 2【答案】 Ca 与b 的夹角为B ,则"a • b >0”是"0为锐角”的（ A .充分不必要条件 B.必要不充分条件1 13 D._3a + 悝bC. 【解析】由向量 a = (2,3) ,b = ( — 1,2)，得 na + nb = (2 m _ n, 3n u 2n ),a — 2b = (4 , — 1).由 na + nb 与 a—2b 共线，得 2 m — n 4 3m+ 2n —1 12，故选C.3 .已知两个非零向量C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】由a • b >0,可得到0, n ，不能得到0, n ;而由0, n ，可以得到a • b >0. 故选B. 【答案】 B4.已知向量a , b 均为单位向量，若它们的夹角为 60°,则|a + 3b |等于()A. 7B. 10C. 13 D . 41 2 2 _______________________【解析】依题意得 a • b = 2, I a + 3b | = a + 9b + 6a • b = ”..;13,故选 C. 【答案】 C5 .已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，则(EB- 2B C • (34C A =()D.- 6+#【解析】(菇一2吧｛3处+4球)=3鮎 疋-E 盘】+4正忌-E 盘 百=3菇 强 WE 12(T-6处二+ 4石 密ffJ|C4|COS120D -8|5£|^ CA cosl20D =3xlxlxi (5xp + 4xlxlxi —gxlxjx; --■=-6-2 + 4 =-故选B, 【答案】B6•如图所示，矩形 ABCD 勺对角线相交于点 O, E 为A0的中点，若DE =入AB+卩AD 入，卩为实数)，贝U 入A.13 ~2B . 11 22+ 卩=( )7.如图，在直角梯形ABCDK AB= 2AD= 2DC E为BC边上一点，BC= 3E Q F为AE的中点，则( )1T1T 2TA. 3AB- 3ADB. 3AB- 3AD2T 1 T1T 2TC.——AB+ —AD D .- —AB+ —AD3 3 3 31解法二：BF= BA V AF= BA^ 2AE=—A B+ 2 A D V 2昭C E1 T=—AB+ 2AD V1 -T 1-T 1 —=—AB+ 2AD+ 4AB+ 6（CD^ DA^ AB»2T 1 T =—3A叫AD【答案】C18.已知平面向量a, b, c满足| a| =|b| = | c| = 1，若a • b = ，则（a+ b）• （2 b—c）的最小值为（）A. —2 B . 3— 3 C . —1 D . 01【解析】由|a| = |b| = 1, a・b= 2，可得〈a, b〉=；，令OA= a, OB= b，以OA勺方向为x轴的正方向建AB= 6, AC = 3, N 是边BC 上的点，且BN= 2NC , O 为A ABO 的外心，则AN- AO 勺值为（【解析】由于航=涼,则於二摄+詠，取血的中点为為连接OE f 由于O 为A.4BC 的外心，则肪j A^= |^2=|x6- = IS ,同理可得花_花=£卍=靭匸学所以农Ib =vriia#taa.^；-Ab^Ab Ab+ pt-Ab=^ 18 + |x^= 6 + 3=9,故选 D【答案】D10•已知△ DEF 的外接圆的圆心为 Q 半径R = 4,如果6U 酣 6F = 0,且|6D = | 6F ，则向量巨F 在FD 方向 上的投影为（ ） A . 6 B . — 6 C . 2 3 D . — 2 _3【解析】由 ODF 6E + D F = 0 得，DO- 6E + 6F•••DO 经过 EF 的中点，••• DOL EF连接 OF | O F =丨 3D = | DF f = 4,DOF 为等边三角形，•/ ODF= 60° . •/ DFE= 30°，且 EF = 4X sin60 ° x 2= 4 3. •向量 EF 在FD 方向上的投影为 |EF • cos 〈 EF, FD> = 4\3cos150°=— 6，故选 B. 【答案】 B11.已知平面向量 a , b , c 满足| a | = | b | = 1, a 丄(a — 2b ), (c — 2a ) •(c — b ) = 0，则| c |的最大值与最小立如图所示的平面直角坐标系， 则a = OA= （1,0） ,b = S B =则(a + b ) • (2 b — c ) = 2a • b — a • c + 2b 2— b • c = 3— j cos 0 + 一cos 0 +g ,,设 c = OC = (cos 0 , sin 0 )(0 w 0 <2 n ),13sin 02 2n r0 + 3，则A . 8B . 10C .18 D . 93,故选B.9.已知△ ABC 中,值的和为()A. 0B. 3C. 2D. 72 1【解析】■/ a丄(a—2b)，二a •( a—2b) = 0，即a = 2a • b,又| a| = | b| = 1，二a • b = ?, a 与b 的夹角为60°.设OA匕a, O B= b, O G= c,以O为坐标原点，3B勺方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，0& B ；则a= 2，23, b= (1,0).设c= (x, y)，则c —2a= (x—1, y—「j3) , c—b= (x—1, y).又••• (c —2a) •( c —b) = 0,「. (x—1)2+ y(y —3) = 0. 即(x - 1)2+ ”-半j= 3, •••点C的轨迹是以点M1, 3为圆心，C3为半径的圆.I 2 丿2_ _又I C| = \x2+ y2表示圆M上的点与原点O0，0)之间的距离，所以I C| max= | OM +乎，I C| min= | OM—右3•- | c| max+ | c| min= 2| OM = 2 X =7,故选D.【答案】D12.在等腰直角△ ABC中, Z ABC= 90°, AB= BC= 2, M N为AC边上的两个动点(M N不与A, C重合),且满足而N = ,2，则B M- §N的取值范围为( 【解析】不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面A.1, 2]C.|, 2)直角坐标系，如图所示，则 巳0,0) , A (0,2),Q2,0)，线段 AC 的方程为 x + y —2= 0(0 < x < 2) •设 M a, 2 —a ), Na +1,1 — a )(由题意可知 0<a <1) , — BM= (a, 2 — a ) , BN= (a + 1,1 — a ) , — BM* BN= a (a + 1) + (2 — a )(1 — a ) = 2a — 2a + 2=13. 在△ ABC 中, G 为重心，记 a = AB b = AC 则 CG=()1 2 1 2A ・3a —3bB 3a +3b 2 1 2 1 C・3a —3b D. 3a + 3b 解析：•••ABC 的重心，T 1 T T 11二 AG=小(AB^ AC) = a+ b ,3 3 3TTT1112 丄—CG= CAFAG=— b + 3玄+ 3b = 3a — 3b ,故选 A. 答案：A14. 已知向量 a = (m,2) , b = (3 , — 6)，若 | a + b | = | a — b |，则实数 m 的值是( )A . — 4B . — 1 C. 1 D . 4解析：由| a + b | = | a — b |，两边平方整理得 a - b = 0,即卩3n — 12 = 0,故n = 4.故选D. 答案：D15.如图，在直角梯形 ABCDK AB// CD ADL DC E 是 CD 的中点，DC= 1, AB= 2,则 EA- AB=( )BM- BN€21 1解析：过E 作EF ±AB 垂足为F ,则AF = DE= 2CD= 2,••• EA - AB= — AE • AB=— | AE • AE | • cos / EA&— | AB | •] AF J = — 2X -=— 1.故选 D.答案：D-> 1 -> -> -> ->16.在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 BD= §DA 设 CB= a , CA= b ,则 CD=()解析：••• BD= ?DA • BD= ^BA • CD= C 聊 BD= CB+ 3B A= C 聊春CA- CB = 聊 1CA= |a + 3b ，故选 B.2 3 3 3 3333 答案：B17.若两个非零向量 a , b 满足| a + b| = | a — b | = 2| b |，则向量a + b 与a 的夹角为（ ）A. JB.1 2 代3卄3b B. 2 1 3a + 3b 3 4 C・5a +5b D. 4 35a + 5bC. 1 D 1• 3PA= PB- PC= CB •- PA// CB 且方向相同.2 n CPD. 5 n~6 解析: •' | a + b | = | a — b | , • | a + b | 2= | a — b |2,2222~a +b • ab = 0.又 |a + b | = 2| b | , • |a + b | = 4| b | , |a | = 3| b | ,• | a | =3| b | , cos < a + b , a > = |a + b|| a|2 2a + a •b | a | |a + b || a | 2|b ||a |2| b |■L O --- 諮，故 a + b 与a 的夹角为 n.2 6答案：A18. P 是厶ABC 所在平面上的一点，满足 PA + P 聊PC= 2AB,若S^B = 6,则厶PAB 的面积为（ ）A . 2B . 3 C. 4 D . 8解析：••• PA^ PB+ PC= 2AB= 2(PB- PA ,S A ABC BC |CB&== ---- =3,二 S A PAB = ----- = 2. S A PAB AP —3|PA故选A. 答案：A-9•正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的关系•在如图所示的正五角星中，以A ,B , C, D, E 为顶点的多边形为正五边形，且兽仝—丄.下列关系中正确的是（）2B .C Q ^ T P = ^5^T SC. ES- AP=-^ BQD. AT + BQ=^p C R-> -> -> -> -> ^RS PT：5 i->:5 _1i -》 -> -> ->->解析：由题意，知 BP- TS= TE — TS = SE SE =AT =d _,所以 SE =［厂RS 故 A 正确；CQF TP = PA- PT — 讦5+ 1 — — — — — — :- i 1 5 一 1 — — — — — 5 一 1 — =TA = 2 ST,故 B 错误；ES-AP = RC — QG= RQ= 2 QB 故 C 错误；因为 AT + BQ= SD + RD 2 CR=RS= RD-sD 若AT + 鼻迢于^C R 成立，则SD= 0,不合题意，故 D 错误•故选 A.答案：A解析：由2AO= A 聊AC 可知O 是BC 的中点，即BC ^^ ABC 外接圆的直径，所以| OA = I OB = I OC ,由题意 — — — — —知|OA = |AB = 1,故A OA 助等边三角形，所以/ ABG= 60° .所以向量BA 在 BC 方向上的投影为| BA cos / ABC1=1X COS 60° = 2.故选 A.20. △ ABC 勺外接圆的圆心为 O,半径为1,2AO= AB+ AC S | OA = | AB ，则向量BA 在 BC 方向上的投影为（）2 ^31 A.- 2B.C.— 2 D •A. BP —TS=S答案：A21.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH2 f _____其中OA= 1，则给出下列结论：①HD・ BF= 0,②OA OD=-—:③OBF OH=- 2 OE ④| AH- FH| = 2- ,2.其中正确结论的个数为（）解析：正八边ABCDEFGH中，HD丄EF…品茶0,故①正确；云云=1心®竽=-爭，故②正确；OB^-OH=^2药=—迈0E f故③正确；AH-FH=AF- OF-OA ,则扁】=1十1 —养山収^晋二2+迈，二&二也匚迈，故④错误.综上，正确的结论为①②③，故选B答案：B22•若等边三角形ABC的边长为3,平面内一点M满足f M= 1C B+^C A则AM- f B勺值为（A. 2 B . - I5 C. I5 D . - 2B0,0，【答案】 A23.已知向量a = (1,1) , b = (2 , x ),若a + b 与3a — b 平行，贝U 实数x 的值是 ______________ .解析：因为 a + b = (1,1) + (2, x ) = (3,1 + x ) , 3a — b = 3(1,1) — (2, x ) = (1,3 — x ) , a + b 与 3a — b 平行, • CM=+1(3,0) = 2 ,• O M = o (+ C M = 1 乎X 、3= 2.故选A.MB= OB- OM= — 2, • AM - MB= —1X所以3(3 —x) = 1 + x,解得x= 2.答案：224•若非零向量a , b满足| b| =羽| a| ,若(a+ 2b)丄(3 a—t b) , a与ba •b 2 2--------- 2,故a • b= | a| .由(a+ 2b)丄(3a—tb)可得3a2| a|2 2 2 2 2—ta • b+ 6a • b—2tb = 0,即3| a| + (6 —1)| a| —4t | a| = 0 ,又a 为非零向量，所以|a| 丰0,则有 3 + 69—t —4t= 0,解得t= 5.n25.已知非零向量a , b满足a • b= 0 , | a+ b| = 11 a| ,若a+ b与a-b的夹角为p,则t的值为2 2解析：因为a • b = 0,所以(a+ b) = (a—b),即| a+ b| = | a—b|.又| a+ b| = t| a| ,所以| a—b| = | a+ b|a—b n| a| —| b| 1=co s n3 ,整理得|t2|a|2| =-,即(2 —因为t >0 ,所以t =答案：23326.在四边形ABCD中, AB= DC P为CD上一点，已知| AB = 8, |AD = 5, ABf AD勺夹角为11 —- —- —- —-亦,CF= 3PD,则AF- BF=解析：••• AB= DC CP= 3PD 二AP= AM DP= AD+ 4AB, BP= BO CP= AD- 4AB 又|AB = 8 ,1 1 1 120'••• AD- AB= 8X 5^r= 22 , A AP- BF= I AD^AB 卜AD-：AB=|AD20I 4丿i 4丿202-：AD・ AB- 16|AB2= 52- 11-2 161 fn n解析：由a与b的夹角等于4可得cos 4=a • b| a|| b|.. n a + b=t|a|.因为a+ b与a—b的夹角为专,所以下匸^ • a—b|t2| a|29 —t2| a|24 t2)| a|2= 2| b|2.又|a+ b| = t| a| ,平方得|a|2+ |b|2= t2| a|2,所以| a| 2+ —2= 12| a|2,解得t2= 3.0，且cos 0 =| AD = 5, cos 05 A.8 B.【解析］DE =扌陥扌血1陥4DB =寸陥4(陥AB = 4AB -沁所以入=4, □=-4故入2+卩2=5,故选A. 【答案】 A3 2 点D 在线段BC 的延长线上，且E3C= 3CD 点0在线段CD 上（与点C D 不重合），若AO x X B x 的取值范围是 ___________ . 设80入BC ,其中1＜入＜3,则有 心 AB+ §0= A B+入BC= XB+入（A C-云B = （1 —入）屁 3 入AC 又AO= x AB^ （1 — x ）AC 且应 AC 不共线，于是有 x = 1—入，由入€ J , 3，，知x € [— 3 0 i ，即x 的取值 范围是i — 3, 0 . 【答案】—3,0 28.已知在直角梯形 ABCD^, AB= AD= 2CD= 2, AB// CD / ADC= 90°，若点 M 在线段 AC 上，贝U | AB- A D 的最小值为 ___________ . 16X8= 2. 答案：2 27.在厶 ABC 中, + （1 — x ）AC 则 【解析】依题意,【解析】建立如图所示的平面直角坐标系. 则 A （0,0） , B （2,0） , C （1,2） , Q0,2），设 AM =入 AC O w 入 w 1），贝U M 入，2 入），故 M D=（—入，2— 2 入）, MB= （2 —入，—2 入）,则 M B^ MD= （2 — 2 入，2 — 4 入）,| M B+ A D = — 2 入 2+ — 4入 【答案】 52+ ：,当入=5时，而聊AD 取得最小值为。
2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：5.1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理
第五章平面向量与解三角形§5.1平面向量的观点及线性运算、平面向量基本定理考纲解读浙江省五年高考统计考点考纲内容要求20132014 2015 2016 20171.认识向量的实质背景 .2.理解平面向量的观点 ,理解两个向量相等的含义 .理解、1.平面向量的 3.理解向量的几何表示 . 10,4 分15(文),线性运算及 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义 . 17,4 分8,5 分15,约 34 分几何意义 5.掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共分掌握线的含义 .6.认识向量线性运算的性质及其几何意义.1.理解平面向量的基本定理及其意义,会用平面向2.平面向量的量基本定理解决简单问题 .13(文),基本定理及 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 掌握7,5 分10,4 分4 分坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.剖析解读 1.向量的线性运算及其几何意义、向量的坐标表示是高考的要点考察对象(例:2017 浙江 10 题 ).2.向量与其余知识交汇成为高考命题的趋向,向量与平面几何、分析几何、三角函数、解三角形等联合成为高考命题的亮点 .3.估计 2019 年高考取平面向量的线性运算会要点考察,复习时应加以重视.五年高考考点一平面向量的线性运算及几何意义1.(2017 课标全国Ⅱ文 ,4,5 分)设非零向量a,b 知足 |a+b|=|a-b|,则()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案 A2.(2015 课标Ⅰ,7,5 分 )设 D 为△ABC 所在平面内一点, =3,则()A. =- +B. = -C. = +D. = -答案 A3.(2015 陕西 ,7,5 分)对随意愿量 a,b,以下关系式中的是 ( )A.|a ·b| ≤|a||b|B.|a-b| ≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b| 2D.(a+b) ·(a-b)=a 2-b2答案 B4.(2015 四川 ,7,5 分)设四边形 ABCD 为平行四边形 ,| |=6,| |=4. 若点 M,N 知足=3 ,=2,则·=()A.20B.15C.9D.6答案 C5.(2014 福建 ,8,5 分)在以下向量组中,能够把向量a=(3,2) 表示出来的是 ()A.e1=(0,0),e2 =(1,2)B.e1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e 2=(-2,3)答案 B6.(2017 天津文 ,14,5 分)在△ABC 中,∠ A=60°,AB=3,AC=2. 若=2, = λ-(λ ∈R),且·=-4, 则λ的值为.答案7.(2013 四川 ,12,5 分 )在平行四边形ABCD 中 ,对角线 AC 与 BD 交于点 O,+= λ,则λ=.答案 2教师用书专用 (8—10)8.(2013 辽宁 ,3,5 分)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.答案 A9.(2014 课标Ⅰ,15,5 分)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点 ,若 = ( + ),则与的夹角为.答案90°10.(2013 江苏 ,10,5 分 )设 D,E 分别是△ ABC 的边 AB,BC 上的点 ,AD= AB,BE= BC.若= λ1 + λ2 (λ1,λ2为实数 ),则λ 1+λ 2 的值为.答案考点二平面向量的基本定理及坐标表示1.(2017 课标全国Ⅲ理 ,12,5 分)在矩形 ABCD 中 ,AB=1,AD=2, 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上 .若 = λ + μ ,则λ + μ的最大值为 ()A.3B.2C.D.2答案 A2.(2017 山东文 ,11,5 分)已知向量 a=(2,6),b=(-1, λ ).若 a∥b,则λ= .答案-33.(2015 江苏 ,6,5 分)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2), 若 ma+nb=(9,-8)(m,n ∈ R),则 m-n 的值为.答案-34.(2014 北京 ,10,5 分 )已知向量 a,b 知足 |a|=1,b=(2,1), 且λa+b=0( λ ∈ R),则| λ |= .答案5.(2014 湖南 ,16,5 分 )在平面直角坐标系中,O 为原点 ,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点 D 知足 ||=1, 则|++| 的最大值是.答案+16.(2013 北京 ,13,5 分 )向量 a,b,c 在正方形网格中的地点如下图.若 c=λ a+μb(λ ,μ ∈ R),则 =.答案 4教师用书专用 (7—8)7.(2015 课标Ⅱ,13,5 分)设向量 a,b 不平行 ,向量λ a+b 与 a+2b 平行 ,则实数λ =.答案8.(2014 陕西 ,13,5 分 )设 0<θ < ,向量 a=(sin2 θ ,cosθ ),b=(cosθ ,1),若 a∥ b,则 tanθ =.答案三年模拟A 组 2016—2018 年模拟·基础题组考点一平面向量的线性运算及几何意义1.(2018 浙江杭州地域要点中学第一学期期中,10)△ ABC 中,已知∠C= ,||<||,=λ+(1- λ) (0< λ<1),则 || 取最小值时 ()A.| |>| |>| |B.| |>| |>| |C.| |>| |>| |D.| |>| |>| |答案 B2.(2017 浙江杭州质检 ,7)设 O 是△ ABC 的心里 ,AB=c,AC=b, 若= λ1 + λ2 ,则 ()A. =B. =C. =D. =答案 A3.(2016 浙江温州一模 ,14)已知△ABC 中 ,||=1,·=2, 点 P 为线段 BC 上的动点 ,动点 Q 知足=++ ,则·的最小值等于.答案-考点二平面向量的基本定理及坐标表示4.(2018 浙江“七彩阳光”结盟期中 ,6)已知两向量a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ),此中 0< β< α < ,则 |a+b|+|a-b|的取值范围是()A.(2,2 )B.(2,2)C.(2,4)D.(2,4)答案 A5.(2017 浙江名校 (衢州二中 )沟通卷五 ,16)在平面内 ,已知向量a=(1,3),b=(4,-3),c=(6,5), 若非负实数x,y,z 知足 x+y+z=1, 则向量p=xa+yb+zc的模的取值范围是.答案[,]B 组2016—2018 年模拟·提高题组一、选择题1.(2018 浙江高考模拟训练冲刺卷一,10)已知菱形ABCD 的边长为 2,∠BAD=120° .动点 P 在以 C 为圆心 ,1 为半径的圆上 ,且= λ+ μ,λ ,μ∈ R,则λ+ μ的最大值是 ()A. B.C.2D.3答案 D2.(2018 浙江镇海中学期中,9)在平面内 ,·=·=·=6, 动点 P,M 知足 ||=2,=,则|| 的最大值是()A.3B.4C.8D.16答案 B3.(2018 浙江名校协作体期初,10)设数列 {x n} 的各项都为正数且x1 =1. △ABC 内的点 P n(n ∈N * )均知足△ P n AB 与△P n AC 的面积比为 2∶1,若+ x n+1+(2x n +1)=0, 则 x 4的值为 ()A.15B.17C.29D.31答案 A4.(2017 浙江镇海中学模拟卷二,7)已知△ABC 的外心为 O,且知足∠ BAC=60°, =x+y( 此中 x≥ 1),则 x+4y 的最大值为()A.2B.C. D.5答案 A二、填空题5.(2018 浙江要点中学12 月联考 ,15)已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1, 点 E 是 AB 的中点 ,点 P 是对角线 BD 上的动点 ,若=x+y,则·的最小值是,x+y 最大值是.答案1;56.(2017 浙江镇海中学模拟卷(六 ),16)已知向量 a,b,|a|=2,|b|=1,向量c=xa+2(1-x)b(x∈ R),若|c|取最小值时,向量m知足(a-m)·(c-m)=0, 则 |m| 的取值范围是.答案7.(2017 浙江镇海中学模拟卷五,16)在△ABC 中 ,∠ ACB 为钝角 ,CA=CB=1, 当 t∈ R 时 ,|-t| 有最小值 ,为,若=x+(1-x)(x∈ R),则|| 的最小值为.答案8.(2017 浙江杭州二模 (4 月),15)设 P 为△ ABC 所在平面上一点,且知足 3 +4=m(m>0). 若△ ABP 的面积为 8,则△ ABC 的面积为.答案14C 组 2016—2018 年模拟·方法题组方法 1 平面向量的线性运算的解题策略1.(2017 浙江金华十校调研,16)设单位向量a,b 的夹角为α ,且α∈,若对随意的 (x,y) ∈ {(x,y)||xa+yb|=1,x,y≥0},都有|x+2y|≤建立,则a· b的最小值为.答案方法 2平面向量的坐标运算的解题策略2.如下图 ,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线 ,垂足为点 Q,且·=·.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程 ;(2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A 、 B 两点 ,交直线 l 于点 M, 已知= λ1,= λ2,求λ1+ λ2的值 .分析(1)设点 P(x,y), 则 Q(-1,y),由·=·得(x+1,0)· (2,-y)=(x-1,y)· (-2,y),化简得轨迹 C 的方程为 y 2=4x. (2)设直线 AB 的方程为x=my+1(m ≠0),A(x 1,y1),B(x 2,y2),则 M.由消去 x 得 y2-4my-4=0,=(-4m) 2 +16>0, 故由= λ1,= λ2得y1+ =- λ1y 1,y2+=- λ2y 2,整理得λ 1=-1-,λ2=-1-,∴λ1+λ 2=-2-=-2-·=-2-·=0.。
专题08 平面向量-2019年高考数学(理)考试大纲解读 Word版含解析
2019年考试大纲解读08 平面向量（九）平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景.（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.（3）理解向量的几何表示.2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.平面向量是每年高考的必考知识点，一般以“一小”的形式呈现，多为容易或中档题.预计在2019年的高考中，仍将以“一小”的形式进行考查，命题的热点有如下四部分内容：一是给出三角形或四边形的背景，考查平面向量基本定理，难度为容易或中档；二是考查平面向量的共线或垂直的坐标表示，多是求参数的值的问题，难度为容易或中档；三是考查平面向量的数量积或夹角，难度多为中档；四是考查求平面向量的模或求模的最值，难度为中档或高档.虽然近五年在小题中较少考查平面向量与其他知识相交汇的内容，但有关平面向量与三角函数、解析几何、基本不等式、概率等知识相交汇的内容也需给予关注，在2019年高考中有可能成为新的命题点.考向一平面向量的线性运算样题1 如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DFA．B．C．D．【答案】D故选D.【名师点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，1=2AF AE，，1=2BE BC，=BC AD ，即可得出答案.向量的运算有两种方法：样题5（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2 【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设, 易得圆的半径r =，即圆C 的方程是，，若满足，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，，所以， 设，即，点(),P x y 在圆上，所以圆心(20),到直线的距离d r ≤，即，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.考向四向量与其他知识的综合样题6 （2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，OA与OC的m n∈R，则夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°．若(,)+=．学-科网m n【答案】3【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．。
专题06 平面几何-2019年高考数学(理科)考试大纲解读 含答案
2019年考试大纲解读06 平面解析几何（四）平面解析几何初步1.直线与方程(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.2.圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.（十五）圆锥曲线与方程1.圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的简单应用.(5)理解数形结合的思想.2.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.预计2019年的高考中，对平面解析几何部分的考查总体保持稳定，其考查情况的预测如下： 直线和圆的方程问题单独考查的几率很小，多作为条件和圆锥曲线结合起来进行命题；直线与圆的位置关系是命题的热点，需给予重视，试题多以选择题或填空题的形式命制，难度中等及偏下.圆锥曲线为每年高考考查的热点，题目一般为“一小(选择题或填空题）一大（解答题)”或“两小一大”，小题多是考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，解答题般作为压轴题出现，考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、范围及探索性问题等，其中以对椭圆和抛物线的相关知识的考查为主，题目难度较大，考向一 圆与方程样题1 （2018新课标Ⅲ理）直线分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】直线分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，,则AB =.点P 在圆上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离.故点P 到直线的距离2d 的范围为，则.故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.样题2 （2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.考向二 圆锥曲线的简单几何性质样题3 （2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，A 是C的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13 D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，，所以，由AP 的斜率为6可得，所以，，由正弦定理得，所以，所以4a c =，14e =，故选D ． 所以，则．从而，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以．综上，．考向四 曲线方程的求解样题9 已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】由题可知)0,21(F ．设1:l y a =，2:l y b =，则0≠ab ，且2(,)2a A a ，2(,)2b B b ，1(,)2P a -，1(,)2Q b -，．记过A ，B 两点的直线为l ，则直线l 的方程为．（1） 由于F 在线段AB 上，故01=+ab ． 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ， 则，所以ARFQ ．（2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则，．由题设可得，所以01=x (舍去)或11=x ．设满足条件的AB 的中点为),(y x E ． 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =，可得，而y ba =+2，所以．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为12-=x y ．考向五 圆锥曲线的其他综合问题样题10 （2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB的中点为．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）设，则．两式相减，并由1221y x y k x -=-得．由题设知，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12k <-．设该数列的公差为d ，则．①将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+， 代入C 的方程，并整理得，故，代入①解得||28d =，所以该数列的公差为28或28-．样题11 设椭圆的右焦点为1F 1F 且与x 轴垂直的直线被（1）求椭圆C 的方程；（2）若24y x =上存在两点M N 、，椭圆C 上存在两个点P Q 、满足： 1P Q F 、、三点共线，1M N F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.【解析】（122b a=∵离心率为2，∴ 2c a =，又222a b c =+，解得．∴椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，此时；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为，联立24y x =，得，设,M N 的横坐标分别为,M N x x ，则，∴MN =，由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为，联立椭圆C 的方程，消去y ，得，设,P Q 的横坐标分别为,P Q x x ，则P Q x x∴，,令，则，综上，.。
2019年高考数学 考点汇总 考点18 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算
2019年高考数学 考点汇总 考点18 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算（含解析）一、选择题1、（xx ·浙江高考理科·Ｔ8）记，，设为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+【解题指南】充分理解与的意思，借助向量运算的几何意义进行分析.【解析】选D.根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知与的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，所对的角大于或等于，故2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+.2.（xx ·福建高考文科·Ｔ10）10．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于 （ ）..2.3.4A OM B OM C OM D OM【解题指南】可以运用特殊法求解．【解析】取特殊情况，假设点O 与点A 重合，如图，则()024OA OB OC OD OB OD OC OC OM +++=+++==．3.(xx ·广东高考文科·T3)已知向量a =(1,2),b =(3,1),则b -a = ( )A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)【解题提示】直接把向量的坐标相减,注意减数和被减数.【解析】选B. b -a =(3,1)-(1,2)=(2,-1).4. （xx ·安徽高考理科·Ｔ10）在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若为两段分离的曲线，则( )A. B. C. D.【解题提示】设向量，利用数形结合判断。
高考数学复习平面向量知识点-2019年精选教育文档
高考数学复习平面向量知识点
【考纲解读】
1.理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会
进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【考点预测】
高考对平面向量的考点分为以下两类:
(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.
(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.
【要点梳理】
1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;
2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义;
3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示;
4.两个向量夹角的范围是:[0,π]
5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.。
2019年高考理科数学知识点总结：平面向量
2019年高考理科数学知识点总结：平面向量平面向量61．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量c b a ,,,自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的长度，记作：|AB →|(3)向量的夹角：两个非零向量a ，b ，作b a ==OB OA ,，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，(4)零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a 共线的单位向量是：)0(||=/±a a a 相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量．相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a ∥b62．向量的几何运算(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则．(2)减法：三角形法则．共起点；差向量方向指向被减向量(3)数乘：记作：λ a ．它的长度是：｜λ a ｜＝｜λ ｜·｜a ｜它的方向：①当λ ＞0时，λ a 与a 同向②当λ ＜0时，λ a 与a 反向③当λ ＝0时，λ a ＝0(4)数量积：①定义：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉．②性质：设a ，b 是非零向量，则： a ·b ＝0⇔a ⊥b当θ为锐角时，∙＞0，且a ，b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，∙＜0，且a ，b 不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件； 特殊地：a ·a ＝｜a ｜2或a a a ⋅=|| 夹角：||||,cos b a b a b a ⋅>=<63．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)(3)数乘：λ a ＝(λ x 1，λ y 1) (4)数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2(5)若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a (6)222221212121||||,cos y x y x y y x x +++=>=<⋅⋅b a b a b a(7)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(||y y x x AB -+-=(8)a 在b 方向上的正射影的数量为22222121||,cos ||y x y y x x ++=>=<⋅b b a b a a 64．重要定理(1)平行向量基本定理：若a ＝λ b ，则a ∥b ，反之：若a ∥b ，且b ≠0，则存在唯一的实数λ 使得a ＝λ b(2)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2使a ＝a 1e 1＋a 2e 2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则：a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=2121y y x x b a 65、ABC ∆中中向量一些常用的结论：① 0GA GB GC G →→→→++=⇔为ABC ∆的重心； ②,⋅⋅⋅==O 为ABC ∆的垂心； ③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ→→→→+≠所在直线过ABC ∆内心(是BAC ∠角平分线所在直线)；。
2019高考大纲正式版理科数学-(5597)
理科数学Ⅰ．考核目标与要求根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003 年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列 2 和系列 4 的内容,确定理工类高考数学科考试内容.一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列 2 和系列 4 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明.对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它.这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等.2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等.3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等.二、能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志.2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论.抽象概括能力是对具体的、生动的实例,经过分析提炼,发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.3.推理论证能力：推理是思维的基本形式之一,它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理,也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行证明.中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.4.运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.5.数据处理能力：会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并做出判断.数据处理能力主要是指针对研究对象的特殊性，选择合理的收集数据的方法，根据问题的具体情况，选择合适的统计方法整理数据，并构建模型对数据进行分析、推断,获得结论.6.应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,构造数学模型,并加以解决.7.创新意识：能发现问题、提出问题,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法,选择有效的方法和手段分析信息,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题.是创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高,显示出的创新意识也就越强.三、个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野,认识数学的科学价值和人文价值,崇尚数学的理性精神,形成审慎的思维习惯,体会数学的美学意义.要求考生克服紧张情绪,以平和的心态参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的科学态度解答试题,树立战胜困难的信心,体现锲而不舍的精神.四、考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系,包括各部分知识的纵向联系和横向联系,要善于从本质上抓住这些联系,进而通过分类、梳理、综合,构建数学试卷的框架结构.1.对数学基础知识的考查,既要全面又要突出重点.对于支撑学科知识体系的重点内容,要占有较大的比例,构成数学试卷的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性,不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题,在知识网络的交汇点处设计试题,使对数学基础知识的考查达到必要的深度.2.对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查,考查时必须要与数学知识相结合,通过对数学知识的考查,反映考生对数学思想方法的掌握程度.3.对数学能力的考查,强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用统一的数学观点组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力,从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.对能力的考查要全面,强调综合性、应用性,并要切合考生实际.对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷,是考查的重点,强调其科学性、严谨性、抽象性；对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查,考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力.4.对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活,背景公平,控制难度”的原则,试题设计要切合中学数学教学的实际和考生的年龄特点,并结合实践经验,使数学应用问题的难度符合考生的水平.5.对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境,构造有一定深度和广度的数学问题时,要注重问题的多样化,体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题；也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题.数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查,展现数学的科学价值和人文价值,同时兼顾试题的基础性、综合性和应用性,重视试题间的层次性,合理调控综合程度,坚持多角度、多层次的考查,努力实现全面考查综合数学素养的要求,促进学生德智体美劳全面发展.Ⅱ．考试范围与要求本部分包括必考内容和选考内容两部分.必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列 2 的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列 4 的“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”等 2 个专题.必考内容（一）集合1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)1.函数(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.(5)会运用函数图像理解和研究函数的性质.2.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.3.对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数ya x与对数函数y log a x 互为反函数( a 0 ,且a 1).4.幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y x , yx 2, yx 3, y11, y x 2的图像,了解它们的变化情况.x5.函数与方程(1)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.(2)根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解.6.函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.（三）立体几何初步1.空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.2.点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.?公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.?公理 2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.?公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.?公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.?定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.?如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.?如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.?如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.?如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理,并能够证明.?如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.?如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.?垂直于同一个平面的两条直线平行.?如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.（四）平面解析几何初步1.直线与方程(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.2.圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.（五）算法初步1.算法的含义、程序框图(1)了解算法的含义,了解算法的思想.(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.2.基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.（六）统计1.随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性.(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.2.用样本估计总体(1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.(2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释.(4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.3.变量的相关性(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.(2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.（七）概率1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.随机数与几何概型(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.（八）基本初等函数Ⅱ(三角函数)1.任意角的概念、弧度制(1)了解任意角的概念.(2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.2.三角函数(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出π2, π的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出 y sin x ,ycos x ,y tan x 的图像,了解三角函数的周期性.(3)理解正弦函数、余弦函数在区间[ 0, 2π ] 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x),π,π.轴的交点等理解正切函数在区间内的单调性(4)理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x cos 2x1, cos sin x xtan x .(5)了解函数y A sin(x)的物理意义；能画出y A sin(x)的图像,了解参数A ,, 对函数图像变化的影响.(6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.（九）平面向量1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.（十）三角恒等变换1.和与差的三角函数公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).（十一）解三角形1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（十二）数列1.数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.2.等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念.(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.（十三）不等式1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.(2)了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.4.基本不等式： a b≥( a≥0, b≥0)ab2(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.（十四）常用逻辑用语1.命题及其关系(1)理解命题的概念.(2)了解“若p ,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.3.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义.(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.（十五）圆锥曲线与方程1.圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的简单应用.(5)理解数形结合的思想.2.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.（十六）空间向量与立体几何1.空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.2.空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.（十七）导数及其应用1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义求函数yC ( C 为常数), yx , yx 2, yx 3, y1, y x 的导数.x(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax b)的复合函数)的导数.?常见基本初等函数的导数公式：nn 1, n N ；( C ) 0( C 为常数)； ( x ) nx(sin x ) cos x ； (cos x )sin x ；( e x )e x ； ( a x)a xln a ( a0 ,且a1)；1； ( log1log e ( a 0 ,且a1).( ln x )xax )xa ?常用的导数运算法则：法则 1： [u (x) v(x)]u ( x) v (x) .法则 2： [u (x)v(x)]u (x)v(x) u (x)v (x) .u ( x )u ( x )v ( x ) u ( x )v ( x)( v(x) 0 ).法则 3：v 2( x)v ( x )3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.。
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08 平面向量
（九）平面向量
1．平面向量的实际背景及基本概念
（1）了解向量的实际背景.
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.
（3）理解向量的几何表示.
2．向量的线性运算
（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.
3．平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义.
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
4．平面向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5．向量的应用
（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量是每年高考的必考知识点，一般以“一小”的形式呈现，多为容易或中档题.预计在2019年的高考中，仍将以“一小”的形式进行考查，命题的热点有如下四部分内容：
一是给出三角形或四边形的背景，考查平面向量基本定理，难度为容易或中档；
二是考查平面向量的共线或垂直的坐标表示，多是求参数的值的问题，难度为容易或中档；
三是考查平面向量的数量积或夹角，难度多为中档；
四是考查求平面向量的模或求模的最值，难度为中档或高档.
虽然近五年在小题中较少考查平面向量与其他知识相交汇的内容，但有关平面向量与三角函数、解析几何、基本不等式、概率等知识相交汇的内容也需给予关注，在2019年高考中有可能成为新的命题点.
考向一平面向量的线性运算
样题1 如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF
A．B．
C．D．
【答案】D
故选D.
【名师点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.利用向量的三
角形法则和向量共线定理可得：，1=2AF AE ，，1=2
BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.向量的运算有两种方法： 样题5（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若
，则λμ+的最大值为
A ．3
B ．
C
D ．2 【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设, 易得圆的半径
r =，即圆C 的方程是，
，若满足，
则21x y μλ
=⎧⎨-=-⎩ ，，所以， 设，即，点(),P x y 在圆上，
所以圆心(20),到直线的距离d r ≤，即，解得13z ≤≤，
所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
考向四向量与其他知识的综合
样题6 （2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，OA与OC的
m n∈R，则夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°．若(,)
+=．学-科网
m n
【答案】3
【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．。