VaR_一种风险度量的方法
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第1卷 第2期 2002 年 3月
广州大学学报 ( 自然科学版)
JOURNAL OF G UANGZHOU UNIVERSITY(Natural Science Edition)
Vol. 1 No12 Mar. 2002
文章编号 :1671-4229 (2002) 02-0008-05
作者简介 : 陈学华 (1976 - ) ,男 ,硕士生 ; 主要研究方向 : 数量经济与金融工程学 .
第 2 期 陈学华等 :VaR — — — 一种风险度量的方法 用 风险因素的历史变化构造一个组合未来的可能 损失分布 ,而后再从这个分布出发估计组合的在险 价值 . 蒙特卡罗模拟法与历史模拟法的不同在于 ,它 不是利用市场因素的历史观测值 ,而是通过能描述 市场因素可能变化的统计分布 ,产生假想的未来损 益. 不同的计算方法各有其优缺点 ,实际应用中可 依据资产的复杂程度以及对结果要求的准确程度 选择其中某一方法加以计算 .
10
广州大学学报 ( 自然科学版) 第1卷
ARCH 模型具有良好的特性 , 即持续的方差和
p≥ 0, q≥ 0 ,α 0 ,α 0 ( i = 1 , 2 , …, q) , 0 ≥ iΒιβλιοθήκη Baidu≥
处理厚尾的能力 ,能较好地描述股价等金融变量的 波动特征 ,表明金融时间序列的比较明显的变化是 可以预测的 . 存在 ARCH 效应时 , 使用 ARCH 模型 与使用无条件方差的普通最小二乘法相比 ,能显著 提高预测的准确性 . 正是由于 ARCH 模型的这一特 点 ,它在过去十几年里得到了普遍的重视和推广 . 下面作一些简单的介绍 [3 ,5 ] . 设随机变量 Yt 与解释变量 X t 和参数 B 之间 的回归关系可以用以下模型表示 : Yt = X′ tB + ε t ,
q p
2 σ t = α 0 +
i =1
2 αε ∑
i
t- i
+
j =1
2 βσ ∑
j
t- j
( 2)
图2 VaR 风险控制图
Fig. 2 VaR for stock index
图 2 中显示了每日收益率和置信水平为 95 % 和 99 %的条件置信区间 , 统计结果得到约有 95 % 的收益率落在 95 %的置信区间内 , 而约有 98. 5 % 的收益率在 99 %的置信区间内 . 由此看来该模型 已经抓住了风险变化的特征 . 但也看到 , 当置信水
t- i
( 1)
α 0 > 0 ,α i ≥0 ( i = 1 , 2 , …, q) 则称 ( 1 ) 式为 ARCH ( q ) 模型 . 在实际应用中 , 为了达到更好的拟合效果 , 常常需要更大的阶数
q , 这会增加待估参数的个数 , 而降低参数估计的
效率 . 针对这个问题 , Bollerslec 在 ARCH ( q) 模型中 增加了 P 个自回归项 , 即 :
2 ε t | M t - 1 ～ N ( 0 ,σ t) ,
β 0 ( j = 1 , 2 , …, p) . j ≥
(2) 式被称为 G ARCH ( p , q ) 模型 . G ARCH ( p , q) 模型等价于 ARCH ( q) 模型在 q 趋于无穷时的情
况 , 但待估参数却大为减少 . 由上面两个模型的条 件方差形式可知 , ARCH ( q) 模型是一个短记忆过 程 ,即随机误差项 ε t 的条件方差仅依赖于过去 q 时期的实现 . 而 G ARCH ( p , q ) 模型为一长记忆过 程 ,即 ε t 的条件方差依赖于所有过去的时期的实 现. G ARCH 模型的本质特征是随机误差项的条件 方差服从 ARMA 过程 . ARCH 及其以后产生的扩展模型能很好地模 拟方差的行为 ,经济学家也很热衷于对误差方差的 形式作一些小小的改动 , 构造出新的模型 . 这些模 型被称为 G ARCH 模型类 . 我们可以在一定的分布假设下 , 应用上面的 2 G ARCH 模型类计算时变的条件方差 σ t ,将σ t 代替 VaR 计算公式中的 σ, 即可计算得到 VaR 的值 VaR t σ = Pt - 1α t. 我们应用条件异方差方法 , 估计了上证综指收 益率的风险 . 图 2 是利用 AR ( 6) - GRACH ( 1 ,1) -M 模 型进行估计所得到的持有期为一天 、 置信水平为 95 %和 99 %的 VaR 风险控制图 ( 出于方便 , 纵坐标 用收益率表示 ,而不是用 VaR 值 ,在本文中对讨论 结果没有影响) .
). VaR = E ( P) - P′= - P0 ( R′ - μ
合的价值 , 令 W 代表权重的列向量 , R 是回报率的 列向量 . 则组合的回报率可表示为 R P = W T R , 方差
2 T 为σ 表示 R 的方差 - 协方差阵 , 从 P = W ∑W , ∑ σ 而投资组合 VaR p = α p P0 . 由此可见 , 应用分析法计 算 VaR 的关键是对参数 σ的估计 .
描述股票价格等金融现象过去最常用的模型 是随机游走模型 , 但对于异方差性的这一特征 , 用 随机游走模型却很难解释 . 为了刻画时间序列的这 种特征 ,Engle 于 1982 年首先提出了自回归条件异
方差 ( ARCH) 模型 , 并立即受到广大研究人员的重 视 . 目前已出现了许多重要的研究成果 ,ARCH 模 型的理论和数学结构已经建立 ,它的性质和特点已 为研究人员和实际工作者所接受 .
W i = Pi / P0 , 其中 , Pi 是资产 I 的价值 , P0 是资产组
2 VaR 的数学表述和有关参数估计
) =1 设在给定置信水平 C 下 , 有 Prob ( R < R′ - c. 其中 , R 为描述收益率的随机变量 , R′ 称为在
给定的置信水平下的最小收益率 . 设期望收益率为 μ, 期初的资产价值为 P0 , 则期末的资产价值为 p = P0 ( 1 + R ) . 根据前面给出的在险价值的定义 , 在 给定置信水平 C 下 , 投资组合的最小价值为 p′ = ) . 故下面的式子成立 : P0 ( 1 + R′
如果收益率服从正态分布 , 为了方便 , 先把一 般的 分 布 转 换 为 标 准 正 态 分 布 Ψ (ε) , 令 ε = R-μ σ ε σ , 其中 , 是收益率 R 的标准离差 . 则 ～ N
图1 上证综指及其收益率时序图
Fig. 1 Shanghai Stock index and its returns
ε t = zσ t t , zt 为 i . i . d , 并且
E ( z t ) = 0 , Var ( z t ) = 1 .
其中 ,ε t 序列无关 , M t - 1 为 t - 1 期获得的信
2 息集 , 再设 σ t 具有如下形式 :
q
2 σ t = α 0 +
i =1
2 αε ∑
i
核心 — — — 潜在亏损 , 所以它富有吸引力 , 并迅速被
1 风险的定义与在险价值 ( VaR)
广义的金融风险是指未来回报的不确定性 ,主 要包括 4 种类型的风险 : 信用风险 、 操作风险 、 流动 性风险和市场风险 . 市场风险是最主要的金融风 险 ,它是由市场条件变化所引起的未来回报的不确 定性 ,可以通过未结清头寸的价值变化或收益的变 化来度量 [1 ] . 传统的风险度量工具为方差 ,它客观地度量了 资产组合收益率变动的不确定性 ,既包含人们不愿 面对的亏损 ,又包括人们努力追求的超额回报 , 但 不能确切地指出资产投资的损失的可能性到底有 多大 . 根据统计学的理论 , 随机变量的特性应通过 随机变量的概率分布确切描述 ,而不是仅仅使用方 差 . 因此 ,市场风险的度量应通过其收益的概率分 布进行描述 . 为此 , 研究人员引入了风险管理与控 制的新工具 — — — VaR (Value at Risk) ,亦称为在险价 值. VaR 体系的最初目的在于量化市场风险 ,目前 已经成为金融风险量化分析的标准 . 在美国 , 许多 评估机构如穆迪与标准普尔 , 金融会计标准委员 会 ,以及证券与交易委员会都宣称支持 VaR. 它有 两个显著的优点 : 一是它按照随机变量的特性 , 通 过随机变量的概率分布来刻画风险度量概念 ,因此 比较确切 ; 二是它把全部资产组合风险概括为一个 简单的数字 ,并以货币计量单位来表示风险管理的
因此 , 找到最小收益率 R′ , 即等同于找到了
VaR. 令 f ( . ) 为收益率分布的概率密度函数 , 则不
管随机变量 R 服从何种分布 , 在给定的置信度下 , 下面的式子总是有效的 :
1 - c =
∫f ( R) d R .
- ∞
R′
图 1 是上证综指及其收益率时序图 , 时间自 1998 年 1 月 5 日至 2001 年 12 月 31 日 , 共 723 个交 易日 , 数据来自分析家软件 . 我们通过考察上海股 市的波动情况 , 可以看到上证指数的收益率存在明 显的异方差性 , 即在某些时期内的波动十分激烈 , 而另一些时期的波动又相对平静 .
收稿日期 : 2001 - 12 - 13 ; 修订日期 : 2002 - 02 - 21
推广 . 在险价值 (VaR) 可定义为 : 在一定的市场条件 下 ,一项交易或头寸 ,由于市场反向变动 ,在未来一 个选定的时期内 ,对一个设定的概率而言的预期最 大损失值 [1 ] . 在险价值可以通过以下公式计算而 得: 在险价值 ( VaR) = 头寸当前价值 ×头寸相对 于相关风险改变量敏感度 × 风险因素可能变化幅 度. 这里 ,头寸当前价值是指以目前市场价格和比 率计算的资产组合市值 ; 头寸相对于相关风险因素 改变量的敏感度 ,是指风险因素的市场变化所导致 的组合价值的改变量 ; 风险因素的可能变化幅度 , 是指在设定的置信水平下 ,风险因素相对于目前水 平的最大可能变化幅度 ,它是整个在险价值计算的 核心 ,其计算的关键部分是给出风险因素波动率的 估计 . 计算在险价值的方法大致可分为三类 : 分析 法、 历史法和蒙特卡罗模拟法 . 分析法是基于资产收益的历史时间序列 ,计算 各种资产收益的波动率和相关系数 . 资产组合的在 险价值 ,是组合中所包含的各金融资产收益的波动 率及相关系数的函数 . 历史法又分为简单历史法和 历史模拟法 . 简单历史法不需要对资产收益的分布 作任何假定 ,它从实际历史数据中直接寻找所要的 最低收益率作为在险价值的估计 . 历史模拟法就是
VaR — — — 一种风险度量的方法
陈学华 ,杨辉耀
( 广州大学 数量经济学研究所 , 广东 广州 510405)
摘 要 : 在险价值是目前市场风险估值的主流理论 ,被用来估计市场风险暴露在给定置信度下的最坏的预期损 失 . 本文介绍了 VaR 的概念和计算方法 . 考虑到时变风险 ,讨论了 G ARCH 模型 ,最后给出了评价模型的后验测试 方法 . 关键词 : 在险价值 ; G ARCH 模型 ; 置信水平 ; 后验测试 中图分类号 : F 830. 59 文献标识码 : A
( 0 , 1) . 设 - α = R′ -μ (α > 0) , 于是
9
σ
1 - c =
∫f ( R) d R = ∫Ψ (ε) dε.
- ∞ - ∞
R′
-α
这样求风险价值 VaR 就转化为求偏离 α, 使其 左边区域面积等于 1 - c , 这可根据给定的置信水平 c , 通过查标准正态分布表 , 得到对应的标准正态分 布的分位数 . 因此 , 有 σ, R′= μ - α ) = P0α σ. VaR = E ( P) - P′= - P0 ( R′ - μ 以上的方法可以推广到正态分布和其他的累 积概率函数 , 其中的所有不确定性都体现在 σ 上 , 当然不同的分布会得到不同的 α值 . 这一方法被称 为参数法 [ 1 , 2 ] . 对于任意的投资组合 , 为计算其 VaR , 需要估 计组合的回报率标准差 . 假设包括 N 种资产 , 投资 组合的回报率是其标的资产的线性组合 . 定义权重
广州大学学报 ( 自然科学版)
JOURNAL OF G UANGZHOU UNIVERSITY(Natural Science Edition)
Vol. 1 No12 Mar. 2002
文章编号 :1671-4229 (2002) 02-0008-05
作者简介 : 陈学华 (1976 - ) ,男 ,硕士生 ; 主要研究方向 : 数量经济与金融工程学 .
第 2 期 陈学华等 :VaR — — — 一种风险度量的方法 用 风险因素的历史变化构造一个组合未来的可能 损失分布 ,而后再从这个分布出发估计组合的在险 价值 . 蒙特卡罗模拟法与历史模拟法的不同在于 ,它 不是利用市场因素的历史观测值 ,而是通过能描述 市场因素可能变化的统计分布 ,产生假想的未来损 益. 不同的计算方法各有其优缺点 ,实际应用中可 依据资产的复杂程度以及对结果要求的准确程度 选择其中某一方法加以计算 .
10
广州大学学报 ( 自然科学版) 第1卷
ARCH 模型具有良好的特性 , 即持续的方差和
p≥ 0, q≥ 0 ,α 0 ,α 0 ( i = 1 , 2 , …, q) , 0 ≥ iΒιβλιοθήκη Baidu≥
处理厚尾的能力 ,能较好地描述股价等金融变量的 波动特征 ,表明金融时间序列的比较明显的变化是 可以预测的 . 存在 ARCH 效应时 , 使用 ARCH 模型 与使用无条件方差的普通最小二乘法相比 ,能显著 提高预测的准确性 . 正是由于 ARCH 模型的这一特 点 ,它在过去十几年里得到了普遍的重视和推广 . 下面作一些简单的介绍 [3 ,5 ] . 设随机变量 Yt 与解释变量 X t 和参数 B 之间 的回归关系可以用以下模型表示 : Yt = X′ tB + ε t ,
q p
2 σ t = α 0 +
i =1
2 αε ∑
i
t- i
+
j =1
2 βσ ∑
j
t- j
( 2)
图2 VaR 风险控制图
Fig. 2 VaR for stock index
图 2 中显示了每日收益率和置信水平为 95 % 和 99 %的条件置信区间 , 统计结果得到约有 95 % 的收益率落在 95 %的置信区间内 , 而约有 98. 5 % 的收益率在 99 %的置信区间内 . 由此看来该模型 已经抓住了风险变化的特征 . 但也看到 , 当置信水
t- i
( 1)
α 0 > 0 ,α i ≥0 ( i = 1 , 2 , …, q) 则称 ( 1 ) 式为 ARCH ( q ) 模型 . 在实际应用中 , 为了达到更好的拟合效果 , 常常需要更大的阶数
q , 这会增加待估参数的个数 , 而降低参数估计的
效率 . 针对这个问题 , Bollerslec 在 ARCH ( q) 模型中 增加了 P 个自回归项 , 即 :
2 ε t | M t - 1 ～ N ( 0 ,σ t) ,
β 0 ( j = 1 , 2 , …, p) . j ≥
(2) 式被称为 G ARCH ( p , q ) 模型 . G ARCH ( p , q) 模型等价于 ARCH ( q) 模型在 q 趋于无穷时的情
况 , 但待估参数却大为减少 . 由上面两个模型的条 件方差形式可知 , ARCH ( q) 模型是一个短记忆过 程 ,即随机误差项 ε t 的条件方差仅依赖于过去 q 时期的实现 . 而 G ARCH ( p , q ) 模型为一长记忆过 程 ,即 ε t 的条件方差依赖于所有过去的时期的实 现. G ARCH 模型的本质特征是随机误差项的条件 方差服从 ARMA 过程 . ARCH 及其以后产生的扩展模型能很好地模 拟方差的行为 ,经济学家也很热衷于对误差方差的 形式作一些小小的改动 , 构造出新的模型 . 这些模 型被称为 G ARCH 模型类 . 我们可以在一定的分布假设下 , 应用上面的 2 G ARCH 模型类计算时变的条件方差 σ t ,将σ t 代替 VaR 计算公式中的 σ, 即可计算得到 VaR 的值 VaR t σ = Pt - 1α t. 我们应用条件异方差方法 , 估计了上证综指收 益率的风险 . 图 2 是利用 AR ( 6) - GRACH ( 1 ,1) -M 模 型进行估计所得到的持有期为一天 、 置信水平为 95 %和 99 %的 VaR 风险控制图 ( 出于方便 , 纵坐标 用收益率表示 ,而不是用 VaR 值 ,在本文中对讨论 结果没有影响) .
). VaR = E ( P) - P′= - P0 ( R′ - μ
合的价值 , 令 W 代表权重的列向量 , R 是回报率的 列向量 . 则组合的回报率可表示为 R P = W T R , 方差
2 T 为σ 表示 R 的方差 - 协方差阵 , 从 P = W ∑W , ∑ σ 而投资组合 VaR p = α p P0 . 由此可见 , 应用分析法计 算 VaR 的关键是对参数 σ的估计 .
描述股票价格等金融现象过去最常用的模型 是随机游走模型 , 但对于异方差性的这一特征 , 用 随机游走模型却很难解释 . 为了刻画时间序列的这 种特征 ,Engle 于 1982 年首先提出了自回归条件异
方差 ( ARCH) 模型 , 并立即受到广大研究人员的重 视 . 目前已出现了许多重要的研究成果 ,ARCH 模 型的理论和数学结构已经建立 ,它的性质和特点已 为研究人员和实际工作者所接受 .
W i = Pi / P0 , 其中 , Pi 是资产 I 的价值 , P0 是资产组
2 VaR 的数学表述和有关参数估计
) =1 设在给定置信水平 C 下 , 有 Prob ( R < R′ - c. 其中 , R 为描述收益率的随机变量 , R′ 称为在
给定的置信水平下的最小收益率 . 设期望收益率为 μ, 期初的资产价值为 P0 , 则期末的资产价值为 p = P0 ( 1 + R ) . 根据前面给出的在险价值的定义 , 在 给定置信水平 C 下 , 投资组合的最小价值为 p′ = ) . 故下面的式子成立 : P0 ( 1 + R′
如果收益率服从正态分布 , 为了方便 , 先把一 般的 分 布 转 换 为 标 准 正 态 分 布 Ψ (ε) , 令 ε = R-μ σ ε σ , 其中 , 是收益率 R 的标准离差 . 则 ～ N
图1 上证综指及其收益率时序图
Fig. 1 Shanghai Stock index and its returns
ε t = zσ t t , zt 为 i . i . d , 并且
E ( z t ) = 0 , Var ( z t ) = 1 .
其中 ,ε t 序列无关 , M t - 1 为 t - 1 期获得的信
2 息集 , 再设 σ t 具有如下形式 :
q
2 σ t = α 0 +
i =1
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核心 — — — 潜在亏损 , 所以它富有吸引力 , 并迅速被
1 风险的定义与在险价值 ( VaR)
广义的金融风险是指未来回报的不确定性 ,主 要包括 4 种类型的风险 : 信用风险 、 操作风险 、 流动 性风险和市场风险 . 市场风险是最主要的金融风 险 ,它是由市场条件变化所引起的未来回报的不确 定性 ,可以通过未结清头寸的价值变化或收益的变 化来度量 [1 ] . 传统的风险度量工具为方差 ,它客观地度量了 资产组合收益率变动的不确定性 ,既包含人们不愿 面对的亏损 ,又包括人们努力追求的超额回报 , 但 不能确切地指出资产投资的损失的可能性到底有 多大 . 根据统计学的理论 , 随机变量的特性应通过 随机变量的概率分布确切描述 ,而不是仅仅使用方 差 . 因此 ,市场风险的度量应通过其收益的概率分 布进行描述 . 为此 , 研究人员引入了风险管理与控 制的新工具 — — — VaR (Value at Risk) ,亦称为在险价 值. VaR 体系的最初目的在于量化市场风险 ,目前 已经成为金融风险量化分析的标准 . 在美国 , 许多 评估机构如穆迪与标准普尔 , 金融会计标准委员 会 ,以及证券与交易委员会都宣称支持 VaR. 它有 两个显著的优点 : 一是它按照随机变量的特性 , 通 过随机变量的概率分布来刻画风险度量概念 ,因此 比较确切 ; 二是它把全部资产组合风险概括为一个 简单的数字 ,并以货币计量单位来表示风险管理的
因此 , 找到最小收益率 R′ , 即等同于找到了
VaR. 令 f ( . ) 为收益率分布的概率密度函数 , 则不
管随机变量 R 服从何种分布 , 在给定的置信度下 , 下面的式子总是有效的 :
1 - c =
∫f ( R) d R .
- ∞
R′
图 1 是上证综指及其收益率时序图 , 时间自 1998 年 1 月 5 日至 2001 年 12 月 31 日 , 共 723 个交 易日 , 数据来自分析家软件 . 我们通过考察上海股 市的波动情况 , 可以看到上证指数的收益率存在明 显的异方差性 , 即在某些时期内的波动十分激烈 , 而另一些时期的波动又相对平静 .
收稿日期 : 2001 - 12 - 13 ; 修订日期 : 2002 - 02 - 21
推广 . 在险价值 (VaR) 可定义为 : 在一定的市场条件 下 ,一项交易或头寸 ,由于市场反向变动 ,在未来一 个选定的时期内 ,对一个设定的概率而言的预期最 大损失值 [1 ] . 在险价值可以通过以下公式计算而 得: 在险价值 ( VaR) = 头寸当前价值 ×头寸相对 于相关风险改变量敏感度 × 风险因素可能变化幅 度. 这里 ,头寸当前价值是指以目前市场价格和比 率计算的资产组合市值 ; 头寸相对于相关风险因素 改变量的敏感度 ,是指风险因素的市场变化所导致 的组合价值的改变量 ; 风险因素的可能变化幅度 , 是指在设定的置信水平下 ,风险因素相对于目前水 平的最大可能变化幅度 ,它是整个在险价值计算的 核心 ,其计算的关键部分是给出风险因素波动率的 估计 . 计算在险价值的方法大致可分为三类 : 分析 法、 历史法和蒙特卡罗模拟法 . 分析法是基于资产收益的历史时间序列 ,计算 各种资产收益的波动率和相关系数 . 资产组合的在 险价值 ,是组合中所包含的各金融资产收益的波动 率及相关系数的函数 . 历史法又分为简单历史法和 历史模拟法 . 简单历史法不需要对资产收益的分布 作任何假定 ,它从实际历史数据中直接寻找所要的 最低收益率作为在险价值的估计 . 历史模拟法就是
VaR — — — 一种风险度量的方法
陈学华 ,杨辉耀
( 广州大学 数量经济学研究所 , 广东 广州 510405)
摘 要 : 在险价值是目前市场风险估值的主流理论 ,被用来估计市场风险暴露在给定置信度下的最坏的预期损 失 . 本文介绍了 VaR 的概念和计算方法 . 考虑到时变风险 ,讨论了 G ARCH 模型 ,最后给出了评价模型的后验测试 方法 . 关键词 : 在险价值 ; G ARCH 模型 ; 置信水平 ; 后验测试 中图分类号 : F 830. 59 文献标识码 : A
( 0 , 1) . 设 - α = R′ -μ (α > 0) , 于是
9
σ
1 - c =
∫f ( R) d R = ∫Ψ (ε) dε.
- ∞ - ∞
R′
-α
这样求风险价值 VaR 就转化为求偏离 α, 使其 左边区域面积等于 1 - c , 这可根据给定的置信水平 c , 通过查标准正态分布表 , 得到对应的标准正态分 布的分位数 . 因此 , 有 σ, R′= μ - α ) = P0α σ. VaR = E ( P) - P′= - P0 ( R′ - μ 以上的方法可以推广到正态分布和其他的累 积概率函数 , 其中的所有不确定性都体现在 σ 上 , 当然不同的分布会得到不同的 α值 . 这一方法被称 为参数法 [ 1 , 2 ] . 对于任意的投资组合 , 为计算其 VaR , 需要估 计组合的回报率标准差 . 假设包括 N 种资产 , 投资 组合的回报率是其标的资产的线性组合 . 定义权重