最大似然估计法
第三节 最大似然估计法
ˆ ˆ a = min X i , b = max X i ,
性质： 设 具有单值反函数， 性质： θ的函数 u = u(θ ),θ ∈ Θ具有单值反函数， ˆ 的极大似然估计； θ是θ的极大似然估计； ˆ ˆ 的极大似然估计。 则u = u(θ )是u(θ )的极大似然估计。
1 n ˆ 例： σ 2 = ∑ ( X i − X ) 2 是σ 2的极大似然估计 n i =1
L(θ ) = ∏(θ + 1) xiθ = (θ + 1)n (∏xi )θ (0 < xi < 1)
i =1
i =1
n
n
1≤ i ≤ n
对数似然函数为
ln L(θ ) = nln(θ + 1) + θ ∑ln xi
i =1 n
求导并令其为0 求导并令其为
n d ln L(θ ) n = + ∑ln xi =0 dθ θ + 1 i =1
L(θ 1 ,θ 2 ,Lθ k ) = L( x1 ,L, x n ;θ 1 ,θ 2 ,Lθ k ) = ∏ f ( xi ;θ 1 ,θ 2 ,Lθ k )
i =1 n
（2）取对数
ln L(θ 1 ,θ 2 ,Lθ k ) = ∑ lnf ( x i ;θ 1 ,θ 2 ,Lθ k )
i =1
的极大似然估计量。 求θ的极大似然估计量。
解：似然函数为
1 n ,0 ≤ xi ≤ θ ; (i = 1,2,L, n) L( x1 , x 2 ,L, xn ;θ ) = θ 0 , 其它 1 n , max{ xi } ≤ θ ; (i = 1,2,L, n) = θ 0 , 其它
第七章
第57讲 最大似然估计法 (1)
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学1§7.1 点估计四川大学3第57讲最大似然估计法(1)四川大学四川大学4最大似然估计法Maximum Likelihood EstimationMLE四川大学5四川大学6最大似然估计法是建立在最大似然原理基础上的一种参数估计法。
所谓最大似然原理是指：假设一个随机试验E 有若干可能的结果A 1, A 2, …。
如果只进行了一次试验，而结果A k 出现了，那么我们就有理由认为试验的条件对结果A k 的出现最有利，即试验E 出现的结果A k 的概率最大。
也叫极大似然估计法。
四川大学四川大学四川大学7例如，设一袋中装有白球和黑球，并且已知两种颜色的球的比例为8:2，但不知道哪一种颜色的球更多。
如果有放回地从袋中取两次球，每次取一个，结果两次都取到黑球，那么我们有理由认为黑球占80%。
因为若黑球占80%，则两次都取到黑球的概率为0.82=0.64。
相反，如果黑球只占20%，则两次都取到黑球的概率为0.22=0.04。
四川大学四川大学四川大学8因为若黑球占80%，则两次都取到黑球的概率为0.82=0.64。
相反，如果黑球只占20%，则两次都取到黑球的概率为0.22=0.04。
因此，两次都取到黑球对我们判断黑球占80%=0.8有利。
最大似然法的基本思想就是：对于已经出现的样本值x 1, x 2,…, x n ，适当地选取参数θ，使试验得出结果X 1=x 1, X 2=x 2, …, X n =x n 的概率最大。
四川大学四川大学最大似然估计法的模型四川大学9四川大学10设总体X 为离散型随机变量，其分布律为其中θ是未知参数，X 1, X 2,…, X n 为来自总体X 的样本，x 1, x 2, …, x n 为其一组样本值。
记{}(;)P X x p x θ==()L θ1122{,,...,}n n P X x X x X x ====1122{}{}{}n n P X x P X x P X x ===⋅⋅⋅=1{}n i i i P X x ===∏1(;)ni i p x θ==∏独立性同分布L (θ)称为样本x 1, …, x n 的似然函数Likelihood function四川大学四川大学11()L θ11{,...,}n n P X x X x ===1(;)n i i p x θ==∏L (θ)称为样本x 1, …, x n 的似然函数由于L (θ)是事件{X 1=x 1, …, X n =x n }的概率，由最大似然估计法的思想，我们希望求这样的使得达到L (θ)的最大值，即ˆθˆ()L θ因为样本值x 1, …, x n 是已知的常数，L (θ)是θ的一元函数。
概率论与数理统计参数估计最大似然估计法
概率论与数理统计第6章参数估计第2讲最大似然估计法上一讲介绍了矩估计,这一讲介绍点估计地另外一种方法——最大似然估计法,它是在总体类型已知条件下使用地一种参数估计方法 .它首先是由数学家高斯在1821年提出地,费歇在1922年重新发现了这一方法,并研究了它地一些性质,从而得到广泛应用.我们先来看一个实例ꢀ例——生活经验：黑球白球9:1,不知哪种多？有放回抽三次,两次白球,白球多！哪种多？一次黑球.ꢀ原理一次实验就出现得事件有较大得概率这种选择一个参数使得实验结果具有最大概率地思想就是最大似然法地基本思想 .ꢀ方法最大01 最大似然估计法02 典型例题011设是来自X地样本, 是其中一组样本值,若总体X属离散型,其分布律似然函数若总体X属连续型,其概率密度似然函数2挑选使达到最大地参数 ,作为地估计即称为参数地最大似然估计值称为参数地最大似然估计量一般, 可由下式求得似然方程或1 1设X 地密度(或分布律)为则似然函数为似然方程组解方程组求得地最大ꢀ注2似然估计用上述方法求参数地最大似然估计值有时行不通,这时要用最大似然原则来求.不可导无驻点01 最大似然估计法02 典型例题设总体X地概率密度为是总体X地一个简单样本,是未知参数,求地最大似然估计.解似然函数地最大似然估计解得是来自X地一个样本值,试求参数p与EX 地最大似然估计.解 X地分布律为：故似然函数为如何求EX地令最大似然估计解得p地最大似然估计设是来自X地一个样本值,试求参数p与EX 地最大似然估计.P地最大似然估计如何求EX 地最大似然估计因为 ,故EX地最大似然估计为最大似然估计不变性若是地最大似然估计,则也是地最大似然估计设总体 X ~ N ( , 2), x , x , … , x 是 X 地样本值, 1 2n 求 , 2 地最大似然估计.解似然方程组为设某种元件使用寿命X 地概率密度为其中是未知参数.设是样本观测值,求地最大似然估计.解似然函数为取对数得因为,所以单调增加,而设某工厂生产地手机屏幕分为不同地等级,其中一级品率为p,如果从生产线上抽取了20件产品,发现其其中有3件为一级品,求：（1）p地最大似然估计;（2）接着再抽5件产品都不是一级地概率地最大似然估计.解（1）因为每件产品有两种可能：要么是一级品,要么不是一级品,所以总体X服从（0-1）分布,其分布律为20件产品中有3件为一级品,相当于样本观测值中有3个为1,17个为0,故似然函数为对p求导数解得p地最大似然估计为（2）因为一级品率为p,所以再抽5件产品都不是一级品地概率应该为 .既然20件产品中有3件为一级品,此时得到地p最大似然估计为 .那么地最大似然估计为概率论与数理统计学海无涯,祝你成功！。
7.2 最大似然估计方法
最大似然估计方法最（极）大似然估计（Maximum Likelihood Estimator(MLE)）首先是由德国数学家高斯在1821年提出.然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了该方法的一些性质.Gauss(1777-1855)Fisher(1890-1962)一、最大似然估计的基本思想例1.某位同学与一位猎人一起外出打猎一只野兔从前方窜过只听一声枪响，野兔应声倒下如果要你推测，是谁打中的呢？你会如何想呢？因为只发一枪便打中，猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的.其数学模型为令X为打一枪的中弹数，则X~b(1,p)，p未知. 设p有两种可能：p=0.9或p=0.1p的取值范围两人中有一人打枪，估计这一枪是谁打的，即估计参数p的值是0.9还是0.1？选择是猎人打的，相当于选择p 的值，使得样本观测值1出现的可能性最大.若p=0.9，则P {X 1=1}=0.9若p=0.1，则P {X 1=1}=0.1兔子中弹，相当于样本观测值为1，即{X 1=1}发生了打了1枪，相当于得到一个样本，记为X 1考虑此样本观测值出现的概率，有最大似然估计法的基本思想：根据样本观测值，选择参数p的值，使得该样本值出现的可能性最大.例2.从某厂生产的自行车头盔中抽取10件进行检测，结果是前三件为不合格品，后面的7件为合格品，依此对不合格品率p进行估计.例2.从某厂生产的自行车头盔中抽取10件进行检测，结果是前三件为次品，后面的7件为合格品，依据该信息对次品率p进行估计.分析：总体为X~b(1,p),0<p<1样本为X,X2,…,X101样本值为x=x2=x3=1,x4=…=x10=01样本取样本值的概率为：P(X1=1,X2=1,X3=1,X4=0,…,X10=0)=p3(1−p)7=L(p)P (X 1=1,X 2=1,X 3=1,X 4=0,…,X 10=0)=p 3(1−p )7当p =0.25时，L (0.25)=0.2530.757当p =0.5时，L (0.5)=0.5100.25比0.5更有可能导致该样本值的出现.L (0.25)>L (0.5)使L (p )达到最大的p ，最有可能导致该样本值的出现.00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.511.522.5×10-31.似然函数：设总体X 的概率密度（或分布律）为f (x ;θ)，θ∈Θ，X 1,⋯,X n为来自该总体的样本，则(X 1,⋯,X n )的密度函数（或分布律）为若已知样本观测值(x 1,⋯, x n )，则是θ的函数，称其为样本(x 1,⋯, x n )的似然函数.11(;)(;)(;)nn i i f x f x f x θθθ==∏121()(;,,,)(;)nn i i L L x x x f x θθθ===∏二、几个定义注意：a .作为样本(X 1,⋯, X n )的密度函数（或分布律）若大1(;)ni i f x θ=∏1(;)ni i f x θ=∏说明样本(X 1,⋯,X n )在(x 1,⋯,x n )附近取值的概率大；若小1(;)ni i f x θ=∏说明样本(X 1,⋯,X n )在(x 1,⋯,x n )附近取值的概率小.b .当已得样本(X 1,⋯,X n )的观测值为(x 1,⋯,x n )时，若则在第一个参数下，样本(X 1,⋯, X n )在(x 1,⋯, x n )附近取值的概率较大，即在参数下更有可能发生结果(x 1,⋯, x n ).因此，是比更能导致结果(x 1,⋯, x n )发生的参数.11(;,,)(;,,)n n L x x L x x θθ'''>θ'θ'θ''θ'c .若已知观测值(x 1,⋯, x n )，那么哪一个参数最能导致结果(x 1,⋯, x n )的发生呢？1max (;,,)n L x x θθ∈Θ2.最大似然估计：如果似然函数L (θ;x 1,⋯,x n )，在达到最大值，即则称为θ的最大似然估计值.它一般是x 1,⋯,x n 的函数，也常记为ˆθ1ˆ(;,,)n L x x θ1=max (;,,)n L x x θθ∈Θˆθ1ˆ(,...,)nx x θ1ˆ(,...,)nX X θ称为最大似然估计量.3.未知参数的函数的最大似然估计设总体X 的分布类型已知，其概率密度（或分布律）为f (x ;θ)，未知参数θ的已知函数为g (θ).若为θ的最大似然估计，则规定为g (θ)的最大似然估计.ˆθˆ()g θ三、最大似然估计的求法求似然函数L (θ; x 1,⋯,x n )在θ∈Θ内关于θ的最大值点.若f (x,θ)关于θ可微，则θ的MLE 可由下式得到0dL d θ=似然方程（组）又因为L (θ)和ln L (θ)在同一θ处取得极值，因此MLE 也可由下述方程得到ln ()0d L d θθ=对数似然方程（组）当似然函数L (θ)有不连续点时，似然方程一般没有意义不能采用上述极值方法必须直接从定义出发求参数的最大似然估计求最大似然估计（MLE）的一般步骤是：（1）由总体X的分布写出似然函数L(θ)；（2）求对数似然函数ln L(θ)；（3）对ln L(θ)关于θ求（偏）导数，并令（偏）导函数为0；（4）解方程（组），得到未知参数的最大似然估计.。
5-2 最大似然估计
i =1
又设 x1, x2 , , xn 为样本 X1, X 2 , , X n 的一组
观察值.
n
L(x;θ ) = L(x1,
,
xn
;θ
)
=
∏
i =1
p(
xi
;θ
),
θ ∈ Θ,
则 L(x;θ )称为样本似然函数.
8
例 X~P (λ), 即 P( X = m) = λm e−λ , m = 0,1,
的解.
∂θi
18
定义法
当似然函数L(θ )有不连续点时，似然方程没有
意义，须从定义出发求最大似然估计. 性质
如果 θˆ 是θ 的极大似然估计，则对任一函数 g(θ )，其极大似然估计为 g(θˆ) .
该性质称为极大似然估计的不变性.
19
例 设 X = ( X1, , X n ) 是来自两点分布 b(1, p) 的
浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(三)
概率统计
最大似然估计
§5.2 最大似然估计
思想方法：一次试验就出现的事件有较大的概率
例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 99 1 一箱 1 个白球 99个红球 1 99
现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球.
但不知道是黑球多还是红球多，则从中抽出一
球为黑球的概率θ为 ¼ 或 ¾ .
现从罐子里有放回地抽出 n 个球，试根据样本
数据，估计 θ 的值为 ¼ ，还是 ¾？
解：令Xi 表示第i 次抽球的结果，即
⎧1, 黑球 ,
Xi
=
⎨ ⎩
0
,
否则 .
最大似然估计法
样本函数 u
X 0 n
~ N 0,1
对于置信水平1-α，总体均值μ的置信区间为
X
0
n
u X
2
0
n
u
2
(2)设总体X～ N , 2 , 未知σ，求μ的置信区间。
X 用 S 代替 0 ，则样本函数 t ~ t n 1 S n
2
1
2 X i 0 2 i 1
n
~ 2 n.
2 对应于置信水平1-α，总体方差 的置信区间为
X i 0
i 1
n
2
( n)
2 2
2
2 X i 0 i 1
n
2 1
2
( n)
.
6
（2）设总体X～ N , 2 , 未知 ，求 的置信区间。
第六章 参数估计
(一)基本内容
一、参数估计的概念
ˆ X , X ,, X , 如果以它的观测 1 定义：取样本的一个函数 1 2 n
值作为未知参数θ的估计值，则称 ˆ X 1 , X 2 ,, X n 是θ的 点估计量。而称其观测值 ˆ x1 , x 2 ,, x n 是θ的点估计值。
X Y 考虑样本函数 T
假设 1 2，求 1 2 的置信区间。
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1 1 sw n1 n2
~ t n1 n2 2.
∴对应于置信水平1- α ， 两个总体均值差 1 2 的置信区间为:
X Y t sw
有
ˆ 1, limP n
最大似然估计法的步骤
最大似然估计法的步骤
最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据的观测结果，通过寻找最大化概率的参数值来估计真实参数值。
以下是最大似然估计法的步骤：
1. 理解问题：首先，我们需要明确要解决的问题是什么，以及需要估计的参数是什么。
这可以通过问题的背景和给定的数据来确定。
2. 建立模型：根据问题的特点和要求，我们需要选择合适的概率分布模型来描述数据的分布。
常见的模型包括正态分布、伯努利分布等。
3. 定义似然函数：根据所选的模型，我们可以定义似然函数。
似然函数描述了参数取值下观测到给定数据的概率。
4. 取对数：为了方便计算和优化，通常我们会取似然函数的对数，得到对数似然函数。
5. 构建似然方程：通过对对数似然函数求导，我们可以得到似然方程。
将似然方程设为零，求解参数的估计值。
6. 求解参数：根据似然方程，我们可以使用数值方法（如牛顿法、梯度下降法）或解析方法（如求导）来求解参数的估计值。
7. 检验结果：在求解参数后，我们需要对估计结果进行检验。
可以利用统计方法进行假设检验或计算置信区间来评估估计结果的可靠
性。
8. 解释结果：最后，我们需要解释参数估计的意义和结果。
这可以通过与问题的实际意义和背景相结合来完成。
最大似然估计法是一种常用且有效的参数估计方法，它在统计学和机器学习领域得到了广泛应用。
通过合理选择模型和构建似然函数，最大似然估计法可以帮助我们从有限的样本数据中推断出参数的最佳估计值，为问题的解决提供了有力的工具和方法。
统计推断中的最大似然估计法
统计推断中的最大似然估计法在统计推断中，最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种常用的参数估计方法。
它基于样本的观测结果，通过选择使得观测到的数据最有可能出现的参数值，来对未知参数进行估计。
最大似然估计法在各个领域都有广泛的应用，如生物统计学、经济学和工程学等。
最大似然估计法的基本思想是，给定一组观测到的数据，我们希望找到使得这组数据出现的概率最大的参数值。
假设我们有一个概率模型，其参数记为θ，观测到的数据记为x。
最大似然估计法的目标就是找到使得P(x; θ) 最大的参数值θ。
其中，P(x; θ) 表示在给定参数θ的情况下，观测到数据x的概率。
以具体的例子来说明最大似然估计法的应用。
假设我们有一组观测到的数据x1, x2, ..., xn，这些数据是从一个正态分布中获得的，我们希望利用最大似然估计法来估计该分布的均值μ和方差σ^2。
正态分布的概率密度函数为：f(x; μ, σ^2) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))我们的目标是找到最大似然估计下的参数值(μ_hat, σ_hat^2)，使得P(x1, x2, ..., xn; μ_hat, σ_hat^2) 最大。
为了简化计算，我们通常使用对数似然函数来代替概率。
对于正态分布，对数似然函数为：L(μ, σ^2) = log(P(x1, x2, ..., xn; μ, σ^2)) = -n/2 * log(2π) - n/2 * log(σ^2) - 1 / (2σ^2) * Σ(xi-μ)^2其中Σ 表示求和。
为了找到最大似然估计下的参数值，我们需要最大化对数似然函数。
通常，我们通过求导数来找到取得最大值的参数值。
对于上述例子中的均值μ和方差σ^2，分别对其求偏导数，并令导数等于0，可以得到如下的最大似然估计值：μ_hat = (1/n) * Σxiσ_hat^2 = (1/n) * Σ(xi-μ_hat)^2这些估计值就是最大似然估计下的参数值。
最大似然估计算法
最大似然估计算法最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)是一种常用的参数估计方法，广泛应用于统计学和机器学习领域。
它基于概率论的理论基础，通过寻找使得观测数据出现的概率最大的参数值，来估计未知的参数。
1.定义似然函数：假设观测数据是从一个概率分布中生成的，我们需要定义一个参数化的概率分布，并将数据带入概率分布中。
这个概率分布通常是一个概率密度函数(对连续变量)或概率质量函数(对离散变量)。
2.建立似然函数：将观测数据的概率密度函数(或概率质量函数)表达式，带入参数化概率分布中，得到关于参数的函数。
这个函数称为似然函数。
3.计算似然函数的对数：为了方便计算和分析，通常会计算似然函数的对数，这样可以将乘积转化为求和，且便于计算导数。
4.极大化似然函数：通过求解似然函数的极值问题，找到使得似然函数取得最大值时的参数值，这个参数值称为最大似然估计量，通常用θ^表示。
5.参数估计：得到最大似然估计量后，我们就可以用它来估计未知参数的值。
最大似然估计的重要性在于它具有很好的统计性质，例如一致性和渐近正态性。
一致性指的是当样本量趋近于无穷时，最大似然估计量会以概率1收敛到真实参数值。
渐近正态性则是指当样本量足够大时，最大似然估计量的分布近似服从高斯分布。
这些性质使得最大似然估计成为了一种广泛使用的参数估计方法。
最大似然估计在实际应用中有很多应用，例如线性回归、逻辑回归和混合高斯模型等。
最大似然估计也可以通过解析解或者数值优化的方法来求解。
对于简单的问题，通常可以通过求导数等条件来解析求解，而对于复杂的问题，通常需要借助数值优化算法。
总结起来，最大似然估计是一种常用的参数估计方法，通过最大化观测数据出现的概率来估计未知参数。
它具有良好的统计性质并广泛应用于统计学和机器学习领域。
统计推断中的最大似然估计法
统计推断中的最大似然估计法统计推断是指通过观察样本数据来对总体参数进行估计的方法，其中最大似然估计法被广泛应用于估计参数的方法之中。
最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它的基本思想是寻找使得样本观测结果出现的概率最大的参数值。
一、最大似然估计法的基本原理最大似然估计法的基本原理是，在给定一组观测数据的情况下，通过调整参数的取值，使得观测数据的概率最大化。
换言之，最大似然估计法寻求使得观测数据出现的最有可能的参数估计。
在统计学中，我们可以将观测数据表示为X1, X2, …, Xn，其中X1, X2, …, Xn是来自同一总体的独立随机变量。
总体的概率分布由参数θ决定，我们的目标就是通过观测数据来估计参数θ的值。
假设总体的概率分布函数为f(x|θ)，其中θ是待估计的参数。
那么给定样本数据X1, X2, …, Xn，它们的联合概率密度函数可以表示为：L(θ|X1, X2, …, Xn) = ∏[f(xi|θ)]最大似然估计法的核心思想就是要找到一个参数估计值θ^，使得L(θ^|X1, X2, …, Xn)最大。
二、最大似然估计法的步骤最大似然估计法的步骤包括以下几个关键的步骤：1. 确定总体的概率分布函数：在进行最大似然估计之前，首先需要确定总体的概率分布函数f(x|θ)。
这一步通常需要根据实际问题对总体分布的形式进行假设。
2. 建立似然函数：根据观测数据的概率密度函数，建立似然函数L(θ|X1, X2, …, Xn)。
3. 求解最大似然估计值：通过最大化似然函数，求解使得似然函数取得最大值的参数估计值θ^。
常见的求解方法包括解析法、迭代法等。
4. 检验估计值合理性：通过假设检验、置信区间等统计方法，确定最大似然估计值的合理性。
三、最大似然估计法的优缺点最大似然估计法作为一种常用的参数估计方法，具有以下优点：1. 理论上的有效性：最大似然估计法在一定条件下是一致性的，即当样本容量增加时，参数估计值趋近于真实值。
最大似然估计法
n
i
例
设总体 X ~N( μ , σ 2 , μ , σ 2未知 . x1 , , xn )
是来自 X 的样本值 , 试求 μ , σ 2的最大似然估计量 . 解 X 的概率密度为
f ( x) 1 2
( x )2 2 2
e
, x
似然函数为
L( μ, σ )
设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的样本。
似然函数为：
L( p)
i 1
n
P ( x i , p)
i 1
n
p x i (1 p )1 x i
p i 1 (1 p)
n
xi
n
n
xi
i 1
n i
n
l n L( p) (
x ) l n p (n x ) l n (1 p)
L( ) L( x1 ,, x n ; )
p( x ; ), .
i i 1
n
它是的函数。 ( )称为样本的 L 似然函数 。
由 极 大 似 然 估 计 法 ： 固 x1 , , x n ; 挑 选 使 概 率 定 ˆ L( x , , x ; )达 到 最 大 的 参 数， 作 为 的 估 计 值 ，
取对数
ln L( ) n ln ( 1)
ln x
i 1
n
i
求导并令其为0
d ln L( ) n d
ln x
i 1
n
i
=0
从中解得
n
n
ln x
i 1
n
i
, ,
最大似然估计要点
最大似然估计法是由英国统计学家R.A.Fisher 于1912年提出来的，随后经过进一步的发展，成了一种普遍采用的估计方法。
与矩估计法不同的是，它使用了总体的概率分布，从而很好的利用了总体分布提供的有关θ的信息，所以具有许多优良的性质。
前提：总体分布已知 １． 准备工作定义1 设总体的密度函数（或分布列）为),(θx f ，其中T k),,,(21θθθθ =为待估参数。
若T nX X X ),,,(21 是来自总体的样本，则样本的联合密度函数（或联合分布列）为∏=ni ix f 1),(θ。
一旦抽样结束，取定n x x x ,,,21 后，我们可以把它看作待估参数Tk),,,(21θθθθ =的函数，记为)(θL ，即∏==n i i x f L 1),()(θθ我们称这里的函数)(θL 为似然函数。
从定义1不难看出，样本的联合概率分布和似然函数其实是同一个事物从不同侧面看得到的两个概念。
前者度量的是固定参数θ后，试验出现各种样本值的概率；而后者度量的是样本值n x x x ,,,21 出现后，样本空间Θ中的各个可能参数θ导致这个样本值出现的概率。
综上所述，最大似然估计的思想是：在试验的结果出现的情况下，应该寻求使这个结果出现的可能性最大的那个θ值作为θ的估计。
定义2 若对任意给定的样本值n x x x ,,,21 ，存在),,,(ˆˆ21n x x x θθ=，使)(max )ˆ(θθθL L Θ∈= 则称),,,(ˆˆ21n x x x θθ=为θ的最大似然估计值，称相应的统计量),,,(ˆˆ21n X X X θθ=为θ的最大似然估计量，两者统称为最大似然估计。
２．步骤通过以上定义不难看出，最大似然估计本质上就是似然函数的最大值点，所以我们就可以利用高等数学中求最大值点的方法求之。
具体步骤如下：⑴ 写出似然函数∏==ni i x f L 1),()(θθ； ⑵ 令∑==n i i x f L 1),(ln )(ln θθ，称)(ln θL 为对数似然函数。
最大似然估计算法
最大似然估计算法
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种通过模型参数来估计样本的概率分布的方法。
它的基本思想是，在给定某些模型参数时，找到同一模型下使得观测数据出现的概率最大的这些参数值。
具体来说，最大似然估计法是指：在已知观测数据X 的基础上，通过调整模型参数的取值，使得观测数据出现的概率最大。
对于一个已知的概率分布模型，我们可以首先确定其概率密度函数或概率质量函数，然后假设样本是从这个分布中独立地抽取而来的，那么给定模型参数θ时，样本 X=x 的可能性就是这个分布的密度函数/质量函数在 x 处的取值。
我们希望找到一个θ值，使得样本 X=x 出现的可能性最大。
这个问题可以转化为最大化似然函数L(θ|x)，也就是在给定样本 X=x 的情况下，关于模型参数θ的似然函数 L(θ|x) 取最大值时的θ值。
通常使用对数似然函数进行求解，原因是取对数后可以把乘积转化为和，比较方便计算和处理。
因此，通常利用对数似然函数来计算最大似然估计。
最终求解过程通常使用数值优化算法，如梯度下降法、牛顿迭代法等进行求解。
最大似然估计是一种比较常见的统计方法，可以应用于很多
领域，如回归模型、分类模型等。
其优点是简单易用，而缺点则是容易出现过拟合等问题。
最大似然估计(maximum likelihood estimation, MLE)一种重要而普遍的求估计量的方法。
用最大似然法估计点频信号的的幅度频率和相位
最大似然法是一种常用的参数估计方法，它可以用来估计信号的幅度、频率和相位等参数。
在信号处理领域，我们经常需要对收集到的信号进行分析和估计，以获取其中包含的有用信息。
而最大似然估计方法可以帮助我们从观测到的数据中找到最符合实际情况的参数值，从而准确地估计信号的幅度、频率和相位。
1. 最大似然估计方法的基本原理最大似然估计方法是一种通过观测数据来估计参数的统计方法，它的基本原理是寻找使得观测数据出现的概率最大的参数值。
假设我们观测到了一组数据，我们要估计其中的某些参数，使得这组数据出现的概率最大。
最大似然估计方法通过最大化观测数据出现的概率来确定参数的值，使得观测到的数据在给定参数下出现的可能性最大。
2. 用最大似然法估计点频信号的幅度频率和相位在信号处理中，我们经常需要对收集到的信号进行参数估计。
最大似然估计方法可以应用于估计点频信号的幅度、频率和相位等参数。
假设我们观测到一组包含了点频信号的数据，请问如何使用最大似然估计方法来准确地估计信号的幅度、频率和相位呢？3. 估计点频信号的幅度我们可以通过最大似然估计方法来估计点频信号的幅度。
假设我们观测到的信号为s(t)，其中包含了一个点频信号Acos(2πft+φ)，我们可以构建似然函数L(A,f,φ)来描述这组数据在不同参数下出现的可能性。
通过最大化似然函数，我们可以得到使这组数据出现概率最大的参数值，从而准确地估计信号的幅度A。
4. 估计点频信号的频率除了幅度外，我们还可以使用最大似然估计方法来估计点频信号的频率。
通过构建似然函数，并最大化观测数据出现的概率，我们可以得到最符合实际情况的频率值，从而准确地估计信号的频率。
5. 估计点频信号的相位最大似然估计方法也可以用来估计点频信号的相位。
通过构建似然函数，并最大化观测数据出现的概率，我们可以得到最符合实际情况的相位值，从而准确地估计信号的相位。
6. 如何实际应用最大似然估计方法在实际应用中，我们需要将观测到的信号数据代入似然函数中，并利用数值优化算法来求取似然函数的最大值点，从而得到最大似然估计的幅度、频率和相位等参数值。
stata tobit最大似然估计法
stata tobit最大似然估计法【最新版】目录1.最大似然估计法的概念和原理2.Stata 软件的应用和操作3.Tobit 模型的概述和应用场景4.使用 Stata 进行 Tobit 最大似然估计的步骤和示例5.结果的解读和应用正文一、最大似然估计法的概念和原理最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation，简称 MLE）是一种统计方法，它的主要目标是找到一个样本集的相关概率密度函数的参数。
这个方法最早是由遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在 1912 年至 1922 年间开始使用的。
最大似然估计法的基本原理是：假设我们有一个概率分布，我们可以从这个分布中抽出一个具有个值的采样，通过利用这些采样数据，我们就能计算出其概率。
如果我们不知道这个概率分布的具体形式，但我们知道这些采样数据来自于这个分布，那么我们如何才能估计出这个概率分布的参数呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有个值的采样，然后用这些采样数据来估计。
一旦我们获得足够的采样数据，我们就能从中找到概率分布的参数。
二、Stata 软件的应用和操作Stata 是一种广泛应用于社会科学、生物统计学、医学统计学等领域的统计软件，它具有操作简单、功能强大、易于上手等特点。
在最大似然估计法中，Stata 可以通过命令行或菜单界面进行操作，使用户能够方便地估计各种概率分布的参数。
三、Tobit 模型的概述和应用场景Tobit 模型是一种用于分析二元选择数据的统计模型，它假设被观察的个体在选择某个行为时是基于某个概率阈值的。
Tobit 模型通常用于分析诸如是否接受某项治疗、是否购买某种产品等问题。
在最大似然估计法中，Tobit 模型可以用于估计概率分布的参数，从而更好地解释和预测二元选择数据。
四、使用 Stata 进行 Tobit 最大似然估计的步骤和示例使用 Stata 进行 Tobit 最大似然估计的步骤如下：1.首先，打开 Stata 软件，并导入需要分析的数据文件。
伯努利分布的最大似然估计法公式
伯努利分布的最大似然估计法公式最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, 简称MLE)是一种常用的参数估计方法，它通过在给定观测结果的条件下，寻找最能解释这些结果的参数值。
对于伯努利分布，最大似然估计法可以用来估计成功的概率p。
假设进行了n次伯努利试验，其中出现成功的次数为x，失败的次数为n-x。
根据伯努利分布的概率质量函数，每个试验的概率可以表示为：P(X=1)=pP(X=0)=1-p则n次试验的联合概率可以表示为：L(p)=P(X=x)=p^x*(1-p)^(n-x)最大似然估计法的目标是找到使得观测数据出现的概率最大的参数p 的值。
可以通过对似然函数取对数并对参数p求导来实现。
对似然函数取对数有以下好处：1.对数函数可以将连乘变为连加，简化计算。
2.对数函数单调递增，即使扩大似然函数的范围，不会改变极值。
对似然函数取对数：log(L(p)) = log(p^x * (1-p)^(n-x))= x * log(p) + (n - x) * log(1-p)接下来，对参数p求导数：d/dp (log(L(p))) = x/p - (n - x)/(1-p)令导数等于0，求解p的极值点：0=x/p-(n-x)/(1-p)解这个方程可以得到最大似然估计的解p：p=x/n由上述推导可知，在给定观测数据的条件下，最大似然估计值为成功次数x除以试验次数n。
最大似然估计具有一些良好的性质，例如无偏性和渐进正态性等。
然而，需要注意的是，最大似然估计值并不一定总是存在，有时候也可能存在多个估计值或处于边界情况。
此外，最大似然估计也有一定的局限性，例如当样本容量较小时，估计结果可能较为不准确，需要进行合理的样本容量设定。
总结起来，伯努利分布的最大似然估计公式为p=x/n，其中p为成功的概率，x为观测到的成功次数，n为试验次数。
这个公式可以用来估计伯努利分布的参数，帮助我们更好地理解和分析随机试验的结果。
最大似然估计
Yi ~ N(Xiβ, 2 ) i ~ N (0, 2 )
L(βˆ , 2 ) P(Y1 ,Y2 ,,Yn )
1
e
1 2
2
(Yi
(
ˆ0
ˆ1
X
1i
ˆ2
X
2
i
ˆk
X
k
i
))2
(2
)
n 2
n
1
1 (YXβˆ )(YXβˆ )
e 2 2
(2
)
n 2
3、例题
Y 0 1X 2 X 2 u
州 开支 收入 州 开支 收入 州 开支 收入 AL 275 6247 AK 821 10851 AZ 339 7374 AR 275 6183 CA 387 8850 CO 452 8001 CT 531 8914 DE 424 8604 DC 428 10022 FL 316 7505 GA 265 6700 HI 403 8380 ID 304 6813 IL 437 8745 IN 345 7696 IA 431 7873 KS 355 8001 KY 260 6615 LA 316 6640 ME 327 6333 MD 427 8306 MA 427 8063 MI 466 8442 MN 477 7847
2. 一般非线性模型的ML估计
h( yi , ) g(xi , ) ui i 1,, n
(u1,, un ) ~ N (0, 2 I )
xi x1i x2i xki
随机项满足 经典假设
其中 h() 和 g() 是非线性函数， 和 是参数。
• 以上是一般非线性模型的完整描述。
参数估计方法
参数估计方法参数估计方法是统计学中非常重要的一个概念，它用于根据样本数据来估计总体参数的数值。
在统计学中，参数通常是指总体的特征数值，比如总体均值、方差等。
而样本则是从总体中抽取的一部分数据。
参数估计方法的目的就是通过对样本数据的分析，来估计总体参数的数值。
本文将介绍几种常见的参数估计方法。
一、最大似然估计法。
最大似然估计法是一种常用的参数估计方法。
它的核心思想是，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的参数值作为总体参数的估计值。
具体来说，假设总体的概率分布函数为f(x|θ)，其中θ是待估计的参数，x是观察到的样本数据。
那么最大似然估计法就是要找到一个θ值，使得观察到的样本数据出现的概率f(x|θ)最大。
通过对数似然函数的求解，可以得到最大似然估计值。
二、贝叶斯估计法。
贝叶斯估计法是另一种常见的参数估计方法。
它的特点是将参数视为一个随机变量，而不是一个固定但未知的数值。
在贝叶斯估计中，参数的取值是有一定概率分布的，这个概率分布称为参数的先验分布。
当观察到样本数据后，可以通过贝叶斯定理来更新参数的概率分布，得到参数的后验分布。
而后验分布的均值或中位数可以作为参数的估计值。
三、矩估计法。
矩估计法是一种比较直观的参数估计方法。
它的思想是利用样本矩来估计总体矩，进而得到总体参数的估计值。
具体来说，对于总体的某个参数，可以通过样本的矩（如样本均值、样本方差等）来估计总体对应的矩，然后解出参数的估计值。
矩估计法的计算比较简单，但在某些情况下可能会产生不稳定的估计结果。
四、区间估计法。
除了点估计方法，还有一种常见的参数估计方法是区间估计法。
区间估计法不是直接给出参数的估计值，而是给出一个区间，称为置信区间，该区间内有一定的概率包含真实的参数值。
区间估计法的优势在于可以提供参数估计的不确定性信息，而不仅仅是一个点估计值。
总之，参数估计方法是统计学中的重要内容，不同的参数估计方法有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的参数估计方法，并结合实际问题对参数进行准确估计。
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最大似然估计概述
最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。
这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。
“似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。
故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。
最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。
最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。
该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。
例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。
在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所在的序列之间的关系很有可能更接近。
由于被研究序列的共同祖先序列是未知的，概率的计算变得复杂；又由于可能在一个位点或多个位点发生多次替换，并且不是所有的位点都是相互独立，概率计算的复杂度进一步加大。
尽管如此，还是能用客观标准来计算每个位点的概率，计算表示序列关系的每棵可能的树的概率。
然后，根据定义，概率总和最大的那棵树最有可能是反映真实情况的系统发生树。
最大似然估计的原理
给定一个概率分布D，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为f D，以及一个分布参数θ，我们可以从这个分布中抽出一个具有n个
值的采样，通过利用f D，我们就能计算出其概率：
但是，我们可能不知道θ的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。
那么我们如何才能估计出θ呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n 个值的采样X1,X2,...,X n，然后用这些采样数据来估计θ.
一旦我们获得，我们就能从中找到一个关于θ的估计。
最
大似然估计会寻找关于θ的最可能的值（即，在所有可能的θ取值中，寻找一
个值使这个采样的“可能性”最大化）。
这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如θ的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的θ值。
要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义可能性:
并且在θ的所有取值上，使这个[[函数最大化。
这个使可能性最大的
值即被称为θ的最大似然估计。
注意
z这里的可能性是指不变时，关于θ的一个函数。
z最大似然估计函数不一定是惟一的，甚至不一定存在。
最大似然估计的例子
离散分布，离散有限参数空间
考虑一个抛硬币的例子。
假设这个硬币正面跟反面轻重不同。
我们把这个硬
币抛80次（即，我们获取一个采样并把正面的次数记下来，
正面记为H，反面记为T）。
并把抛出一个正面的概率记为p，抛出一个反面的概率记为1 − p（因此，这里的p即相当于上边的θ）。
假设我们抛出了49个正面，31 个反面，即49次H，31次T。
假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。
这三个硬币抛出正面的概率分别为p = 1 / 3, p = 1 / 2, p = 2 / 3. 这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。
使用最大似然估计，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。
这个可能性函数取以下三个值中的一个：
我们可以看到当时，可能性函数取得最大值。
这就是p
的最大似然估计.
离散分布，连续参数空间
现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于中的任何
一个p，都有一个抛出正面概率为p的硬币对应，我们来求其可能性函数的最大值：
其中. 我们可以使用微分法来求最值。
方程两边同时对p
取微分，并使其为零。
在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线t = 3, n = 10；其最大似然估计值发生在其众数(数学)并在曲线的最大值处。
其解为p = 0, p = 1，以及p = 49 / 80. 使可能性最大的解显然是p = 49 / 80（因为p = 0 和p = 1 这两个解会使可能性为零）。
因此我们说最大似然估计值为
.
这个结果很容易一般化。
只需要用一个字母t代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的'成功'次数，用另一个字母n代表伯努利试验的次数即可。
使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:
对于任何成功次数为t，试验总数为n的伯努利试验。
[
连续分布，连续参数空间
最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：
其n个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：
或：
,
这个分布有两个参数：μ,σ2. 有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。
实际上，在两个参
数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性在两个
参数上最大化即可。
当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。
使用上边例子同样的符号，我们有θ = (μ,σ2).
最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。
因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的函数。
[注意：可能性函数（似然函
数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。
求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：
这个方程的解是. 这的确是这个函数的最大值，因为它是
μ里头惟一的拐点并且二阶导数严格小于零。
同理，我们对σ求导，并使其为零。
这个方程的解是.
因此，其关于θ = (μ,σ2)的最大似然估计为：
.
性质
泛函不变性（Functional invariance）
如果是θ的一个最大似然估计，那么α = g(θ)的最大似然估计是. 函数 g 无需是一个——映射。
渐近线行为
最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差（其证明可见于Cramer-Rao lower bound）。
当最大似然估计非偏时，等价的，在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。
对于独立的观察来说，最大似然估计函数经常趋于正态分布。
偏差
最大似然估计的非偏估计偏差是非常重要的。
考虑这样一个例子，标有1到n的n张票放在一个盒子中。
从盒子中随机抽取票。
如果n是未知的话，那么n的最大似然估计值就是抽出的票上标有的n，尽管其期望值的只有(n + 1) / 2. 为了估计出最高的n值，我们能确定的只能是n值不小于抽出来的票上的值。